Seien
\({
p \coloneqq
\begin{pmatrix}
7 \\
3 \\
4
\end{pmatrix}
}\),
\({
v_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
v_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
-4
\end{pmatrix}
}\)
reelle Vektoren
und sei
\({
E \coloneqq
p + \langle v_1, v_2 \rangle
}\)
die zugehörige affine Ebene.
Weiter seien
\({
q \coloneqq
\begin{pmatrix}
-2 \\
7 \\
4
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
r \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
6 \\
3
\end{pmatrix}
}\)
Punkte in
\({
\R^3
}\)
und
\({
G \subset \R^3
}\)
die Gerade durch die Punkte
\({
q
}\)
und
\({
r
}\).
Bestimmen Sie die Schnittmenge
\({
E \cap G
}\).
Zunächst definieren wir
\({
w \coloneqq
r - q =
\begin{pmatrix}
4 \\
-1 \\
-1
\end{pmatrix}
}\),
dann gilt
\({
G = q + \langle w \rangle
}\).
Um die Schnittmenge
\({
E \cap G
}\)
zu bestimmen,
bringen wir zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix
\[
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{ccc|c}
v_1 & v_2 & w & q-p
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
=
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rrr|r}
1 & -3 & 4 & -9 \\
-1 & 4 & -1 & 4 \\
1 & -4 & -1 & 0
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\]
auf Zeilenstufenform:
\[
\begin{split}
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rrr|r}
1 & -3 & 4 & -9 \\
-1 & 4 & -1 & 4 \\
1 & -4 & -1 & 0
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rrr|r}
1 & -3 & 4 & -9 \\
0 & 1 & 3 & -5 \\
0 & -1 & -5 & 9
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\\
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rrr|r}
1 & -3 & 4 & -9 \\
0 & 1 & 3 & -5 \\
0 & 0 & -2 & 4
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
.
\end{split}
\]
Durch Rückwärtssubstution erhalten wir die spezielle Lösung
\({
u \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-2
\end{pmatrix}
}\)
und damit
\({
q - p =
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2 & w
\end{pmatrix}
u
=
2 v_1 + v_2 - 2 w
}\).
Nach
dem Lemma zur Charakterisierung nicht-leerer Schnitte
gilt damit
\({
p + 2v_1 + v_2 \in E \cap G
}\)
und damit insbesondere
\({
E \cap G \neq \emptyset
}\)
und
\({
T (E \cap G) = TE \cap TG
}\).
Da die eben berechnete Zeilenstufenform der Matrix
\({
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2 & w
\end{pmatrix}
\in \R^{3 \times 3}
}\)
vollen Rang hat
gilt
\({
\R^3 = \langle v_1, v_2, w \rangle
= \langle v_1, v_2 \rangle + \langle w \rangle
= TE + TG
}\)
und damit nach
der Dimensionsformel \[
\begin{split}
\dim T(E \cap G) &=
\dim (TE \cap TG)
\\
&= \dim TE + \dim TG - \dim \R^3
\\
&\leq
2 + 1 - 3
\\
&= 0
.
\end{split}
\]
Folglich gilt
\({
T(E \cap G) = \{0\}
}\)
und damit insgesamt
\[
\begin{split}
E \cap G
&= p + 2v_1 + v_2 + T(E \cap G)
\\
&=
p + 2v_1 + v_2 + \{0\}
\\
&=
\{p + 2v_1 + v_2\}
\end{split}
\]
wobei
\(
p + 2v_1 + v_2 =
\begin{pmatrix}
7 \\
3 \\
4
\end{pmatrix}
+
2
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
-4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 \\
5 \\
2
\end{pmatrix}
\).
Seien
\({
p_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
}\),
\({
p_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
u \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
-2
\end{pmatrix}
}\)
reelle Vektoren
und
\({
G_i \coloneqq p_i + \langle u \rangle \subset \R^2
}\)
für
\({
i = 1,2
}\)
die zugehörigen parallelen Geraden in
\({
\R^2
}\).
Seien weiter
\({
q \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
4
\end{pmatrix}
}\),
\({
r \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
5
\end{pmatrix}
}\),
\({
v \coloneqq
\begin{pmatrix}
-3 \\
4
\end{pmatrix}
}\),
\({
w \coloneqq
\begin{pmatrix}
-4 \\
5
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
H_1 \coloneqq
q + \langle v \rangle
}\)
und
\({
H_2 \coloneqq
r + \langle w \rangle
}\)
die zugehörigen Geraden in
\({
\R^2
}\).
-
Bestimmen Sie jeweils den Schnittpunkt von
\({
G_1
}\)
und
\({
H_1
}\)
sowie
\({
G_2
}\)
und
\({
H_1
}\).
-
Bestimmen Sie jeweils den Schnittpunkt von
\({
G_1
}\)
und
\({
H_2
}\)
sowie
\({
G_2
}\)
und
\({
H_2
}\).
-
Geben Sie die Schnittmengen
\({
G_1 \cap H_1 \cap H_2
}\)
sowie
\({
G_2 \cap H_1 \cap H_2
}\)
an.
-
Um die beiden Schnittpunkte zu bestimmen,
können wir eine einzige erweiterte Koeffizientenmatrix
\[
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{cc|cc}
u & v & q-p_1 & q-p_2
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
=
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rr|rr}
1 & -3 & 1 & -2 \\
-2 & 4 & 2 & 2
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\]
aufstellen und auf Zeilenstufenform bringen:
\[
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rr|rr}
1 & -3 & 1 & -2 \\
-2 & 4 & 2 & 2
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rr|rr}
1 & -3 & 1 & -2 \\
0 & -2 & 4 & -2
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
.
\]
Durch Rückwärtssubstution erhalten wir die speziellen Lösungen
\({
\begin{pmatrix}
-5 \\
-2
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
und damit die Gleichungen
\({
-5 u - 2v = q - p_1
}\)
und
\({
u + v = q - p_2
}\).
Nach dem
Lemma zur Charakterisierung nicht-leerer Schnitte
gilt damit
\({
p_1 -5u \in G_1 \cap H_1
}\)
und
\({
p_2 + u \in G_2 \cap H_1
}\).
Da die Zeilenstufenform in jeder Spalte eine Stufe hat,
sind die Vektoren
\({
u
}\)
und
\({
v
}\)
linear unabhängig
und damit gilt
\({
T (G_i \cap H_1) = T G_i \cap T H_1 =
\langle u \rangle \cap \langle v \rangle = \{0\}
}\)
für
\({
i = 1, 2
}\).
Insgesamt erhalten wir
\[
\begin{split}
G_1 \cap H_1
&=
\{p_1 - 5 u\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
- 5
\begin{pmatrix}
1 \\
-2
\end{pmatrix}
\right\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
-4 \\
12
\end{pmatrix}
\right\}
\\[2ex]
\text{und}
\quad
G_2 \cap H_1
&=
\{p_2 + u\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 \\
-2
\end{pmatrix}
\right\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
5 \\
0
\end{pmatrix}
\right\}
.
\end{split}
\]
-
Analog zu Teil a bringen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix
\[
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{cc|cc}
u & w & r-p_1 & r-p_2
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
=
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rr|rr}
1 & -4 & 0 & -3 \\
-2 & 5 & 3 & 3
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\]
auf Zeilenstufenform:
\[
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rr|rr}
1 & -4 & 0 & -3 \\
-2 & 5 & 3 & 3
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rr|rr}
1 & -4 & 0 & -3 \\
0 & -3 & 3 & -3
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
.
\]
Durch Rückwärtssubstution erhalten wir die speziellen Lösungen
\({
\begin{pmatrix}
-4 \\
-1
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
und damit die Gleichungen
\({
-4 u - v = r - p_1
}\)
und
\({
u + v = r - p_2
}\).
Nach dem
Lemma zur Charakterisierung nicht-leerer Schnitte
gilt damit
\({
p_1 - 4u \in G_1 \cap H_2
}\)
und
\({
p_2 + u \in G_2 \cap H_2
}\).
Da die Zeilenstufenform in jeder Spalte eine Stufe hat,
sind die Vektoren
\({
u
}\)
und
\({
w
}\)
linear unabhängig
und damit gilt
\({
T (G_i \cap H_2) = T G_i \cap T H_2 =
\langle u \rangle \cap \langle w \rangle = \{0\}
}\)
für
\({
i = 1, 2
}\).
Zusammen mit den Rechnungen aus Teil a erhalten wir
\[
\begin{split}
G_1 \cap H_2
&=
\{p_1 - 4 u\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
- 4
\begin{pmatrix}
1 \\
-2
\end{pmatrix}
\right\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
-3 \\
10
\end{pmatrix}
\right\}
\\[2ex]
\text{und}
\quad
G_2 \cap H_2
&=
\{p_2 + u\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
5 \\
0
\end{pmatrix}
\right\}
.
\end{split}
\]
-
Mit Hilfe unserer Ergebnisse zu den Teilen a und b erhalten wir
\[
\begin{split}
G_1 \cap H_1 \cap H_2
&=
G_1 \cap H_1 \cap G_1 \cap H_2
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
-4 \\
12
\end{pmatrix}
\right\}
\cap
\left\{
\begin{pmatrix}
-3 \\
10
\end{pmatrix}
\right\}
\\
&=
\emptyset
\\[2ex]
\text{und}
\quad
G_2 \cap H_1 \cap H_2
&=
G_2 \cap H_1 \cap G_2 \cap H_2
\\
&=
\{
p_2 + u
\}
\cap
\{
p_2 + u
\}
\\
&=
\{
p_2 + u
\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
5 \\
0
\end{pmatrix}
\right\}
.
\end{split}
\]
Seien
\({
v_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
-2 \\
-1
\end{pmatrix}
}\),
\({
v_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
}\),
\({
w_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}
}\),
\({
w_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
3 \\
-8 \\
3 \\
-5
\end{pmatrix}
}\),
\({
p \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
7 \\
0 \\
4
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
q \coloneqq
\begin{pmatrix}
7 \\
3 \\
7 \\
7
\end{pmatrix}
}\)
reellwertige Vektoren
und seien
\({
A \coloneqq p + \langle v_1, v_2 \rangle
}\)
und
\({
B \coloneqq q + \langle w_1, w_2 \rangle
}\)
die zugehörigen affinenen Ebenen
\({
A, B \subset \R^4
}\).
Bestimmen Sie die Schnittmenge
\({
A \cap B \subset \R^4
}\)
einschließlich einer Basis für den Tangentialraum
\({
T (A \cap B)
}\)
sofern
\({
A \cap B \neq \emptyset
}\).
Zunächst bringen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix
\({
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{cccc|c}
v_1 & v_2 & w_1 & w_2 & q-p
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
}\)
auf Zeilenstufenform:
\[
\begin{split}
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rrrr|r}
-1 & 1 & 0 & 3 & 5 \\
1 & 1 & 3 & -8 & -4 \\
-2 & 2 & 1 & 3 & 7 \\
-1 & 3 & 4 & -5 & 3
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rrrr|r}
-1 & 1 & 0 & 3 & 5 \\
0 & 2 & 3 & -5 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -3 & -3 \\
0 & 2 & 4 & -8 & -2
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\\
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rrrr|r}
-1 & 1 & 0 & 3 & 5 \\
0 & 2 & 3 & -5 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -3 & -3 \\
0 & 0 & 1 & -3 & -3
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\\
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{rrrr|r}
-1 & 1 & 0 & 3 & 5 \\
0 & 2 & 3 & -5 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -3 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
.
\end{split}
\]
Für eine spezielle Lösung setzen wir an mit
\({
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
0
\end{pmatrix}
}\)
und erhalten durch Rückwärtssubstitution
\({
z = -3
}\),
\({
y = 5
}\)
und
\({
x = 0
}\).
Nach dem
Lemma zur Charakterisierung nicht-leerer Schnitte
gilt damit
\({
p + 5v_2 \in A \cap B
}\).
Sei also
\[
p' \coloneqq
p + 5v_2
=
\begin{pmatrix}
2 \\
7 \\
0 \\
4
\end{pmatrix}
+
5
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 \\
12 \\
10 \\
19
\end{pmatrix}
.
\]
Um den Tangentialraum
\({
T(A \cap B)
}\)
zu bestimmen definieren wir
\({
L \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 & -3 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
}\)
als den Block rechts unten in der eben berechneten Zeilenstufenform
analog zur Vorlesung.
Für einen Erzeuger
\({
e
}\)
von
\({
\ker L
}\)
machen wir den Ansatz
\({
e =
\begin{pmatrix}
x' \\
1
\end{pmatrix}
}\).
Da die erste Komponente von
\({
L e
}\)
verschwinden muss,
erhalten wir
\({
x' = 3
}\)
und damit
\({
e =
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
}\).
Analog zur Vorlesung erhalten wir mit
\[
u \coloneqq
\begin{pmatrix}
w_1 & w_2
\end{pmatrix}
e
=
\begin{pmatrix}
0 & 3 \\
3 & -8 \\
1 & 3 \\
4 & -5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
6 \\
7
\end{pmatrix}
\]
einen Erzeuger von
\({
T(A \cap B)
}\).
Insgesamt erhalten wir also die Gerade
\({
p' + \langle u \rangle = A \cap B
}\)
als Schnittmenge der Ebenen
\({
A
}\)
und
\({
B
}\).
Seien
\({
A, B \subset \R^4
}\)
affine Ebenen
mit
\({
TA \cap TB = \{0\}
}\).
Zeigen Sie, dass sich
\({
A
}\)
und
\({
B
}\)
in genau einem Punkt schneiden.