Seien
\({
p \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
}\),
\({
v_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
v_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
reelle Vektoren und seien
\({
G_i \coloneqq p + \langle v_i \rangle
\subset \R^3
}\)
für
\({
i = 1,2
}\)
die entsprechenden Gerade in
\({
\R^3
}\).
Seien
\({
q_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
}\),
\({
q_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
n \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
-1 \\
3
\end{pmatrix}
}\)
weitere reelle Vektoren
und
\({
E_i \coloneqq
q_i + n^{\perp}
\subset \R^3
}\)
für
\({
i = 1,2
}\)
die entsprechenden affinen Ebenen.
-
Bestimmen Sie die Schnittmengen
\({
G_1 \cap E_i
}\)
für
\({
i = 1,2
}\)
einschließlich einer Basis für den Tangentialraum
sofern möglich.
-
Bestimmen Sie die Schnittmengen
\({
G_2 \cap E_i
}\)
für
\({
i = 1,2
}\).
Zunächst beschreiben wir die affinen Ebenen
\({
E_1, E_2 \subset \R^3
}\)
als Fasern einer Linearform.
Sei dazu
\[
\alpha \coloneqq \varphi_{n^T} \colon
\R^3 \to \R,\, v \mapsto n^T v,
\]
dann gilt
\({
E_i = \alpha^{-1}(\alpha(q_i))
}\)
für
\({
i = 1,2
}\).
Weiter gilt
\[
\begin{split}
\begin{pmatrix}
\alpha(q_1) & \alpha(q_2)
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
n^T q_1 & n^T q_2
\end{pmatrix}
\\
&=
n^T
\begin{pmatrix}
q_1 & q_2
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
3 & -1
\end{pmatrix}
.
\end{split}
\]
Damit erhalten wir
\({
E_1 = \alpha^{-1}(3)
}\)
und
\({
E_2 = \alpha^{-1}(-1)
}\).
Sei nun
\[
f_i \colon \R \to \R^3,\,
t \mapsto p + tv_i
\]
für
\({
i = 1,2
}\).
Dann gilt
\({
G_i = f_i(\R)
}\)
für
\({
i = 1,2
}\).
Als nächstes bestimmen wir die Fasern von
\({
\varphi \circ f_i
\colon \R \to \R
}\)
über
\({
s = 3, -1
}\)
für
\({
i = 1,2
}\).
Für
\({
t \in \R
}\)
gilt die Gleichung
\[
\begin{split}
s
&=
(\alpha \circ f_i)(t)
\\
&=
n^T (p + t v_i)
\\
&=
n^T p + t n^T v_i
\end{split}
\]
genau dann wenn
\({
s - n^T p = t n^T v_i
}\)
gilt.
Weiter ist
\[
\begin{split}
\begin{pmatrix}
n^T p & n^T v_1 & n^T v_2
\end{pmatrix}
&=
n^T
\begin{pmatrix}
p & v_1 & v_2
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\end{split}
\]
und damit gilt insbesondere
\({
(\alpha \circ f_i)(t)
= s
}\)
genau dann,
wenn die Gleichung
\[
t n^T v_i
=
s - n^T p
=
s - 3
\]
gilt.
-
Setzen wir
\({
i = 1
}\)
erhalten wir also
\({
(\alpha \circ f_1)(t) = s
}\)
genau dann wenn
\({
s - 3 =
t n^T v_1 =
0
}\)
also
\({
s = 3
}\)
gilt.
Damit erhalten wir
\({
(\alpha \circ f_1)^{-1}(3) = \R
}\)
und
\({
(\alpha \circ f_1)^{-1}(-1) = \emptyset
}\).
Nach
dem Lemma zum Schnitt von Bild und Faser
gilt damit
\[
\begin{split}
G_1 \cap E_1
&=
f_1\big((\alpha \circ f_1)^{-1}(3)\big)
\\
&=
f_1(\R)
\\
&=
G_1
\\
&=
p + \langle v_1 \rangle
\end{split}
\]
und
\[
\begin{split}
G_1 \cap E_2
&=
f_1\big((\alpha \circ f_1)^{-1}(-1)\big)
\\
&=
f_1(\emptyset)
\\
&=
\emptyset
.
\end{split}
\]
-
Setzen wir
\({
i = 2
}\)
erhalten wir dagegen
\({
(f_2 \circ \alpha)(t) = s
}\)
genau dann wenn
\({
s - 3 =
t n^T v_2 = 2t
}\)
also
\[
t =
\frac{s-3}{2}
=
\begin{cases}
\frac{3-3}{2} = 0
& \text{für $s = 3$}
\\
\frac{-1-3}{2} = -2
& \text{für $s = -1$}
\end{cases}
\]
gilt.
Damit erhalten wir
\({
(\alpha \circ f_2)^{-1}(3) = \{0\}
}\)
und
\({
(\alpha \circ f_2)^{-1}(-1) = \{-2\}
}\).
Nach
dem Lemma zum Schnitt von Bild und Faser
gilt damit
\[
\begin{split}
G_2 \cap E_1
&=
f_2\big((\alpha \circ f_2)^{-1}(3)\big)
\\
&=
f_2(\{0\})
\\
&=
\{f_2(0)\}
\\
&=
\{p\}
\end{split}
\]
und
\[
\begin{split}
G_2 \cap E_2
&=
f_2\big((\alpha \circ f_2)^{-1}(-1)\big)
\\
&=
f_2(\{-2\})
\\
&=
\{f_2(-2)\}
\\
&=
\{
p - 2v_2
\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
-
2
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
\right\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}
\right\}
.
\end{split}
\]
Seien
\({
p_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
}\),
\({
p_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-2
\end{pmatrix}
}\),
\({
p_3 \coloneqq
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
}\),
\({
n_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
3
\end{pmatrix}
}\),
\({
n_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
}\),
\({
v_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
v_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
0 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
reelle Vektoren.
Weiter seien
\({
E_i \coloneqq p_i + n_i^{\perp}
}\)
für
\({
i = 1,2
}\)
und
\({
E_3 \coloneqq p_3 + \langle v_1, v_2 \rangle
}\)
die entsprechenden affinen Ebenen.
Ziel dieser Übung ist es die Schnittmenge
\({
E_1 \cap E_2 \cap E_3
}\)
zu bestimmen.
-
Bestimmen Sie die Schnittgerade
\({
G \coloneqq E_1 \cap E_3
}\)
einschließlich eines Erzeugers
\({
w
}\)
des Tangentialraums
\({
TG
}\).
-
Bestimmen Sie den Schnittpunkt von
\({
E_2
}\)
und
\({
G
}\)
und damit den Schnittpunkt
der drei affinen Ebenen
\({
E_i
}\),
\({
i = 1,2,3
}\).
-
Sei
\({
f \colon \R^2 \to \R^3,\,
u \mapsto p_3 +
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2
\end{pmatrix}
u
}\)
dann gilt
\({
E_3 = f(\R^2)
}\).
Zunächst bestimmen wir die Faser von
\({
\varphi_{n_1^T} \circ f \colon
\R^2 \to \R
}\)
über
\({
\varphi_{n_1^T}(p_1) =
n_1^T p_1 =
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
= 2
}\).
Sei dazu
\({
u \in \R^2
}\)
dann gilt die Gleichung
\[
\begin{split}
2
&=
(\varphi_{n_1^T} \circ f)(u)
\\
&=
n_1^T
\big(
p_3
+
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2
\end{pmatrix}
u
\big)
\\
&=
n_1^T
p_3
+
n_1^T
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2
\end{pmatrix}
u
\\
&=
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
u
\\
&=
3
+
\begin{pmatrix}
-1 & 3
\end{pmatrix}
u
\end{split}
\]
genau dann wenn
\({
\begin{pmatrix}
-1 & 3
\end{pmatrix}
u
=
2 - 3 = -1
}\)
gilt.
Für diese Gleichung erhalten wir die spezielle Lösung
\({
\bar{q} \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
}\)
und den Erzeuger
\({
e \coloneqq
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
}\)
für den Kern des Zeilenvektors
\({
\begin{pmatrix}
-1 & 3
\end{pmatrix}
}\).
Folglich gilt
\({
(\varphi_{n_1^T} \circ f)^{-1}(2) =
\bar{q} + \langle e \rangle
}\).
Zusammen mit
dem Lemma zum Schnitt von Bild und Faser
gilt damit
\[
\begin{split}
G
&=
E_1 \cap E_3
\\
&=
f(\bar{q} + \langle e \rangle)
\\
&=
f(0) + Tf(\bar{q} + \langle e \rangle)
\\
&=
f(0) + Tf(\bar{q}) + Tf(\langle e \rangle)
\\
&=
p_3 +
Tf(\bar{q}) + \langle Tf(e) \rangle
\\
&=
p_3 +
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2
\end{pmatrix}
\bar{q}
+
\big\langle
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2
\end{pmatrix}
e
\big\rangle
.
\end{split}
\]
Weiter gilt
\[
\begin{split}
q
&\coloneqq
p_3 +
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2
\end{pmatrix}
\bar{q}
\\
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{split}
\]
und
\[
\begin{split}
w
&\coloneqq
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2
\end{pmatrix}
e
\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
-2
\end{pmatrix}
.
\end{split}
\]
Insgesamt erhalten wir
\({
G = q + \langle w \rangle
}\).
-
Sei
\({
g \colon \R \to \R^3,\,
t \mapsto q + tw
}\)
dann gilt
\({
G = g(\R)
}\).
Zunächst bestimmen wir die Faser von
\({
\varphi_{n_2^T} \circ g \colon \R \to \R
}\)
über
\({
\varphi_{n_2^T}(p_2) =
n_2^T p_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-2
\end{pmatrix}
=
-1
}\).
Sei dazu
\({
t \in \R
}\)
dann gilt die Gleichung
\[
\begin{split}
-1
&=
(\varphi_{n_2^T} \circ g)(t)
\\
&=
n_2^T (q + t w)
\\
&=
n_2^T q
+
t n_2^T w
\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
-2
\end{pmatrix}
\\
&=
2
+
3t
\end{split}
\]
genau dann wenn
\({
3t
=
-1 - 2 = -3
}\)
also
\({
t = -1
}\)
gilt.
Folglich gilt
\({
(\varphi_{n_2^T} \circ g)^{-1}(-1) =
\{-1\}
}\).
Zusammen mit
dem Lemma zum Schnitt von Bild und Faser
folgt damit
\[
\begin{split}
E_1 \cap E_2 \cap E_3
&=
G \cap E_2
\\
&=
g(\{-1\})
\\
&=
\{q - w\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
-2
\end{pmatrix}
\right\}
\\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
-2 \\
-1 \\
2
\end{pmatrix}
\right\}
.
\end{split}
\]
Seien
\({
p, q, v, n \in \R^3
}\)
Spaltenvektoren
mit
\({
n^T v \neq 0
}\).
Weiter seien
\({
G \coloneqq p + \langle v \rangle
}\)
und
\({
E \coloneqq q + n^{\perp}
}\)
die entsprechende Gerade und affine Ebene in
\({
\R^3
}\).
Zeigen Sie,
dass sich
\({
G
}\)
und
\({
E
}\)
in genau einem Punkt schneiden.
Zunächst stellen wir fest,
dass aufgrund von
\({
n^T v \neq 0
}\)
auch
\({
n, v \neq 0
}\)
gelten muss
und damit
\({
G
}\)
und
\({
E
}\)
tatsächlich eine Gerade
und eine affine Ebene bilden.
Weiter liegt
\({
v
}\)
aufgrund von
\({
n^T v \neq 0
}\)
nicht im Tangentialraum
\({
TE = n^{\perp}
}\)
von
\({
E
}\)
und damit gilt
\({
TE =
n^{\perp} \subsetneq n^{\perp} + \langle v \rangle =
TE + TG
}\).
In dem wir
das Lemma zur Dimension von Untervektorräumen
zweimal verwenden
erhalten wir damit zunächst
\({
\dim(TE + TG) \geq 3
}\)
und weiter
\({
TE + TG = \R^3
}\).
Folglich gilt
\({
q - p \in \R^3 = TE + TG
}\)
und damit
\({
G \cap E \neq \emptyset
}\)
nach
dem Lemma zur Charakterisierung nicht-leerer Schnitte.
Aus der Gleichung
\({
TG + TE = \R^3
}\)
folgt außerdem zusammen mit
der Dimensionsformel
die Gleichung
\(
\dim (TG \cap TE)
=
\dim TG + \dim TE - \dim (TG + TE) =
1 + 2 - \dim \R^3 =
3 - 3 = 0
\)
und damit
\({
TG \cap TE = \{0\}
}\).
Sei nun
\({
s \in G \cap E
}\),
dann gilt
\[
\begin{split}
G \cap E &= s + T(G \cap E)
\\
&= s + (TG \cap TE)
\\
&=
s + \{0\}
\\
&=
\{s\}
\end{split}
\]
nach
dem Lemma zum Tangentialraum des Schnitts.
Also ist
\({
s \in G \cap E
}\)
der eindeutige Schnittpunkt von
\({
G
}\)
und
\({
E
}\).