Übung 1.

Seien \({ u \coloneqq \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} }\), \({ v \coloneqq \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} }\), \({ w \coloneqq \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} }\), \({ p_1 \coloneqq \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} }\), \({ p_2 \coloneqq \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} }\) und \({ q \coloneqq \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} }\) reelle Vektoren sowie \({ G_i \coloneqq p_i + \langle u \rangle }\) und \({ E \coloneqq q + \langle v, w \rangle }\) zugehörige affine Unterräume. Bestimmen Sie die Schnittmengen \({ G_i \cap E }\) für \({ i = 1,2 }\).

Lösung.

Sei \({ n \coloneqq v \times w = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} }\) dann gilt \({ E = q + n^{\perp} }\). Weiter ist \({ E }\) damit die Faser von \({ \alpha \coloneqq \varphi_{n^T} \colon \R^3 \to \R,\, v' \mapsto n^T v' }\) über \({ \alpha(q) = n^T q = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 }\). Für \({ i = 1, 2 }\) sei nun \({ f_i \colon \R \to \R^3,\, t \mapsto p_i + tu }\), dann gilt die Gleichung \({ G_i \cap E = f_i(\R) \cap \alpha^{-1}(1) = f_i((\alpha \circ f_i)^{-1}(1)) }\). Wie gehabt bestimmen wir zunächst die Fasern von \({ \alpha \circ f_i \colon \R \to \R }\) über \({ 1 }\). Sei dazu \({ t \in \R }\) dann gilt die Gleichung \[ \begin{split} 1 &= (\alpha \circ f_i)(t) \\ &= n^T (p_i + tu) \\ &= n^T p_i + t n^T u \end{split} \] genau dann, wenn die Gleichung \({ 1 - n^T p_i = t n^T u }\) gilt. Wir berechnen weiter \[ \begin{split} \begin{pmatrix} n^T p_1 & n^T p_2 & n^T u \end{pmatrix} &= n^T \begin{pmatrix} p_1 & p_2 & u \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} . \end{split} \] Damit gilt für \({ t \in \R }\), \({ i = 1, 2 }\) die Gleichung \({ 1 = (\alpha \circ f_i)(t) }\) genau dann, wenn die Gleichung \({ 0 = 0 t = 1 - n^T p_i = \begin{cases} 1 - 0 = 1, & i=1 \\ 1 - 1 = 0, & i=2 \end{cases} }\) gilt. Folglich gilt \({ (\alpha \circ f_1)^{-1}(1) = \emptyset }\) und \({ (\alpha \circ f_2)^{-1}(1) = \R }\). Insgesamt erhalten wir \({ G_1 \cap E = f_1(\emptyset) = \emptyset }\) und \({ G_2 \cap E = f_1(\R) = G_2 = p_2 + \langle u \rangle }\).

Übung 2.

Seien \({ p \coloneqq \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} }\), \({ q \coloneqq \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} }\), \({ u \coloneqq \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} }\) und \({ v \coloneqq \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} }\) reelle Vektoren und \({ A \coloneqq p + \langle u, v \rangle }\) sowie \({ H \coloneqq q + \langle v \rangle }\) zugehörige affine Unterräume. Zeigen Sie die Inklusion \({ H \subseteq A }\).

Lösung.

Sei \({ n \coloneqq u \times v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} }\) dann gilt \({ A = p + n^{\perp} }\). Weiter ist \({ A }\) die Faser von \({ \alpha \coloneqq \varphi_{n^T} \colon \R^3 \to \R,\, w \mapsto n^T w }\) über \[ \alpha(p) = n^T p = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -1 . \] Aufgrund von \[ \alpha(q) = n^T q = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = -1 \] gilt damit \({ q \in A }\) und folglich \[ H = q + \langle v \rangle \subseteq q + \langle u, v \rangle = q + TA = A . \]

Übung 3.

Sei \({ V }\) ein Vektorraum über \({ K }\) und \({ A \subset V }\) ein affiner Unterraum mit \({ 0 \notin A }\), \({ p \in A }\) und \({ u \in TA }\). Sei weiter \({ G \coloneqq p + \langle u \rangle }\) und \({ U \coloneqq \langle p, u \rangle }\). Zeigen Sie die Gleichung \({ G = A \cap U }\).

Lösung.

\({ G \subseteq A \cap U }\):

Aufgrund von \({ u \in TA }\) gilt \({ \langle u \rangle \subseteq TA }\) und damit \({ G = p + \langle u \rangle \subseteq p + TA = A }\). Weiter gilt \({ G = p + \langle u \rangle \subseteq \langle p, u \rangle = U }\) und wir erhalten \({ G \subseteq A \cap U }\).

\({ A \cap U \subseteq G }\):

Sei \({ \varphi \colon V \to W }\) eine lineare Abbildung mit \({ A = \varphi^{-1}(q) }\) für einen Punkt \({ q \in W }\). Dann gilt \({ q \neq 0 }\) denn ansonsten wäre \( 0 \in {\ker \varphi} = \varphi^{-1}(0) = \varphi^{-1}(q) = A \). Sei nun \({ v \in A \cap U = \varphi^{-1}(q) \cap U }\) dann gibt es \({ \lambda, \mu \in K }\) mit \({ v = \lambda p + \mu u }\). Weiter gilt \[ \begin{split} q &= \varphi(v) \\ &= \varphi(\lambda p + \mu u) \\ &= \lambda \varphi(p) + \mu \varphi(u) \\ &= \lambda q \end{split} \] aufgrund von \({ u \in TA = \ker \varphi }\). Aufgrund von \({ q \neq 0 }\) folgt schließlich \({ \lambda = 1 }\) und damit \({ v = p + \mu u \in p + \langle u \rangle = G }\).

Übung 4.

Seien \({ p \coloneqq \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} }\), \({ q \coloneqq \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} }\), \({ u \coloneqq \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} }\) und \({ v \coloneqq \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} }\) reelle Vektoren und \({ A \coloneqq p + \langle u, v \rangle }\) sowie \({ H \coloneqq q + \langle v \rangle }\) zugehörige affine Unterräume wie in Übung 2. Sei weiter \({ G \coloneqq p + \langle u \rangle }\). Bestimmen Sie die Schnittmenge \({ G \cap H }\) der Geraden \({ G }\) und \({ H }\). Die Ergebnisse der Übungen 2 und 3 dürfen ohne Beweis verwendet werden.

Lösung.

Sei \({ n \coloneqq u \times v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} }\) dann gilt \({ A = p + n^{\perp} }\). Weiter ist \({ A }\) die Faser von \({ \alpha \coloneqq \varphi_{n^T} \colon \R^3 \to \R,\, w \mapsto n^T w }\) über \[ \alpha(p) = n^T p = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -1 . \] Aufgrund von \({ \alpha(q) = -1 \neq 0 }\) gilt \({ 0 \notin A }\). Zusammen mit Übung 3 folgt damit \({ G = A \cap U }\) für \({ U \coloneqq \langle p, u \rangle }\). Weiter folgt zusammen mit Übung 2 die Gleichung \({ H \cap G = H \cap A \cap U = H \cap U }\). Sei nun \({ m \coloneqq p \times u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} }\) dann ist \({ U }\) der Kern der Linearform \({ \beta \coloneqq \varphi_{m^T} \colon \R^3 \to \R, v' \mapsto m^T v' }\). Sei weiter \({ f \colon \R \to \R^3,\, t \mapsto q + t v }\) dann gilt \({ f(\R) = H }\). Insgesamt erhalten wir \({ H \cap G = H \cap U = f(\R) \cap \beta^{-1}(0) = f((\beta \circ f)^{-1}(0)) }\). Wir berechnen also zunächst die Faser von \({ \beta \circ f }\) über \({ 0 }\). Sei dazu \({ t \in \R }\) dann gilt die Gleichung \[ \begin{split} 0 &= (\beta \circ f)(t) \\ &= m^T (q + t v) \\ &= m^T q + t m^T v \\ &= \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &= -1 -t \end{split} \] genau dann wenn \({ t = -1 }\) gilt. Damit erhalten wir \({ (\beta \circ f)^{-1}(0) = \{-1\} }\) und folglich \[ \begin{split} H \cap G &= f((\beta \circ f)^{-1}(0)) \\ &= f(\{-1\}) \\ &= \{f(-1)\} \\ &= \{q - v\} \\ &= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \right\} \\ &= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} . \end{split} \]