Proseminar Coxeter-Gruppen, WS 2023

In diesem Seminar diskutieren wir endliche Gruppen, die von Spiegelungen an Hyperebenenen erzeugt werden, sogenannte Coxeter-Gruppen. Inhaltlich orientieren wir uns an dem Buch Finite Reflection Groups von L. C. Grove und C. T. Benson. (Eine erste Vorbesprechung war am Mittwoch den 12. Juli 2023 um 14:15 Uhr in Raum E01-108.) Für einen freien Vortrag kann man sich per Email (bfluhr) melden. Die Vortrags-Themen 10 bis 13 sind zunächst noch in Reserve.

Eine erfolgreiche Teilnahme beinhaltet den Besuch des Seminars und einen eigenen Vortrag mit einer Länge von 90 Minuten einschließlich Diskussion und Zwischenfragen sowie die Abgabe einer Ausarbeitung oder Manuskript zum eigenen Vortrag in Kopie. Fragen zum eigenen Vortragsthema können je nach Bedarf in Einzelgesprächen geklärt werden. Um möglichen Schwierigkeiten bei der Vorbereitung schon im Vorfeld vorzubeugen, empfehle ich jeweils zum Seminartermin der Vorwoche ein vorläufiges Manuskript mitzubringen.

Hier die Seite im eKVV.

Vortrags-Themen

  1. Gruppenwirkungen und orthogonale Abbildungen in Dimension 2, 13.10.2023 - vergeben
    Grundlagen zu Gruppenwirkungen zum Beispiel nach Abstract Algebra von Pierre Antoine Grillet:
    • Definition einer Gruppe auf Seite 8
    • Definition einer Untergruppe auf Seite 12
    • Absatz zu Erzeugern (Generators) ab Seite 13 bis zur Definition von zyklischen Gruppen auf Seite 14
    • Absatz zu Nebenklassen (Cosets) ab Seite 15 bis zur Definition des Index einer Untergruppe auf Seite 16
    • Definitionen von Bild, Kern und Normalteilern auf Seite 19
    • Proposition 4.7 und Definition von Quotienten-Gruppen auf Seite 20
    • Abschnitt zu Gruppenwirkungen ab Seite 54 bis vor den Absatz zu inneren Automorphismen auf Seite 55
    Orthogonale Abbildungen und endliche Untergruppen in Dimension 2 (Abschnitt 2.1 und 2.2)
  2. Untergruppen in Dimension 3, 20.10.2023 - vergeben
    Orthogonale Abbildungen und endliche Untergruppen in Dimension 3 (Abschnitt 2.3 bis 2.6)
  3. Fundamentalbereiche, 03.11.2023 - vergeben
    • Topologie (Seite 2 ab The length... bis einschließlich Seite 3 erster Absatz)
    • Fundamentalbereiche (Abschnitt 3)
  4. Wurzelsysteme I, 10.11.2023 - vergeben
    • Definition von Coxeter-Gruppen und Wurzelsystemen
    • Einführung der Begriffe t-positiv, t-negativ und t-Basis für einen Vektor t
    (Abschnitt 4.1 bis vor Proposition 4.1.8)
  5. Wurzelsysteme II, 17.11.2023 - noch frei
    • Eindeutigkeit von t-Basen, Fundmentalspiegelungen erzeugen die Coxeter-Gruppe (Abschnitt 4.1 ab Proposition 4.1.8)
    • Fundmentalbereicher für Coxeter-Gruppen (Abschnitt 4.2 ohne Satz 4.2.6)
  6. Coxeter-Graphen, 24.11.2023 - vergeben
    • Coxeter-Graphen
    • Positiv-Definitheit
    • Irreduzibilität
    • Liste möglicher Graphen
    (Abschnitt 5.1 bis vor Proposition 5.1.6)
  7. Crystallographische Gruppen, 01.12.2023 - vergeben
    • Mögliche Coxeter-Graphen (Abschnitt 5.1 ab Seite 61)
    • Crystallographische Gruppen und zugehörige Graphen (Abschnitt 5.2)
  8. Konstruktion irreduzibler Coxeter-Gruppen, 08.12.2023 - vergeben
    • Vollständige Konstruktion für die Typen An, Bn und Dn
    • Angabe einer Basis für die übrigen Typen
    (Abschnitt 5.3 bis Ende Seite 71)
  9. Klassifikationssatz, 15.12.2023 - noch frei
    • Explizite Wurzelsysteme für die übrigen Typen aus dem vorhergehenden Vortrag und Abschluss des Klassifikationssatzes (Abschnitt 5.3 ab Seite 72)
    • Ordnung der irreduziblen Coxeter-Gruppen (Abschnitt 5.4)
  10. Präsentationen von Coxeter-Gruppen, 12.01.2024
    • Freie Gruppen, Relationen und Präsentationen von Gruppen
    • Längen von Elementen von Coxeter-Gruppen
    • Präsentation von Coxeter-Gruppen
    (Kapitel 6 bis Seite 94 ... the drawing of the resulting paths are left as an exercise.)
  11. Rekonstruktion von Coxeter-Gruppen, 19.01.2024
    • Reduktion auf unzerlegbare Gruppen
    • Rekonstruktion von Coxeter-Gruppen
    (Kapitel 6 ab Seite 94 For the remainder of the chapter we shall suppose that ...)
  12. Invarianten von Coxeter-Gruppen, 26.01.2024
    • Einleitung und einfache Beispiele (Abschnitt 7.1)
    • Wirkung der allgemeinen linearen Gruppe auf Polynomen (Abschnitt 7.2)
    • Fixpunkte als Invarianten (Abschnitt 7.3)
  13. Molien-Reihen, 02.02.2024
    • Satz von Molien
    • Satz von Shephard und Todd
    (Abschnitt 7.4)