Symmetriegruppen von Polyedern, Permutationen

Viktor Schulz

Symmetriegruppe

Definition: Unter einer Symmetrie einer geometrischen Figur verstehen wir eine Bewegung des zugrundeliegenden Vektorraumes, die diese Figur in sich selbst überführt.

Symmetrien eines Tetraeders Zur Vereinfachung betrachten wir nur Drehsymmetrien. Wir wählen zwei Achsen L und M. Dabei soll L das Tetraeder in einer Ecke und der Mitte der Ecke gegenüber liegenden Seite schneiden. M soll durch die Mittelpunkte sich gegenüber liegender Seiten gehen. Es können vier Achsen, die die Bedingungen für L erfüllen ausgewählt werden. Um jede dieser Achsen lässt sich das Tetraeder einmal um \frac{2π}{3} und \frac{4π}{3} drehen. Es können drei Achsen wie M bestimmt werden. An diesen Achsen lässt sich das Tetraeden nur einmal um π drehen. Also gibt es insgesamt (4 ∗ 2) + 3 = 11 Drehsymmetrien des Tetraeders. Zusammen mit der Identität gibt es zwölf Drehungen.

Die hexagonale Platte Auch eine gleichseitige sechseckige Platte hat zwölf Symmetrien. An der Achse L senkrecht durch den Mittelpunkt der Platte lassen sich fünf Drehungen um \frac{π}{3} , \frac{2π}{3} , \frac{3π}{3} , \frac{4π}{3} , \frac{5π}{3} ausführen. Dazu kommen jeweils eine drehung um π an den drei Achsen N die durch die sich gegenüber liegenden Ecken und die drei Achsen M, die durch die Mittelpunkte sich gegenüberliegender Seiten gehen. Zusammen mit der Identität erhalten wir zwölf Symmetrien.

Viktor Schulz  Symmetriegruppen von Polyedern, Permutationen

Die Pyramide über einem gleichseitigen Zwölfeck hat ebenfalls zwölf Symmetrien. Es sind die Drehungen um \frac{kπ}{6} , 1 ≤ k ≤ 12 an der Achse L, die duch die Spitze und die Mitte des Zwölfecks geht.

Definition Die Menge aller Symmetrien einer Figur zusammen mit der Hintereinenderschaltung von Symmetrien heißt Symmetriegruppe.

Achtung! Obwohl das Tetraeder, die Platte und die Pyramide jeweils zwölf Drehungen besitzen haben sie nicht dieselbe Symmetriegruppe. Hier drei wichtige Unterschiede:

1. Die Pyramide hat nur eine Symmetrieachse. Wiederholt man die Drehung um \frac{π}{6} an dieser Achse, so erhält man alle Drehungen der Pyramide. Beim Tetraeder und der Platte kann man aus keiner Drehung alle anderen erhalten

2. Alle Drehungen der Pyramide kommutieren. Dies gilt nich für die Drehungen des Tetraeders und der Platte.

3. Die Pyramide besitzt nur eine Drehung x mit x^{2} = id (x ist Drehung um \frac{6π}{6} ). Das Tetraeder besitzt drei Drehungen. Die Platte hat sieben Drehungen dieser Sorte.

Definition: Zwei Gruppen G und G′ sind isomorph, wenn es einen Gruppen-Isomorphismus, φ von G nach G′ gibt und es gilt: φ(xy) = φ(x)φ(y) für alle x, y ∈ G.

Nach obigen Bemerkungen sind die Dreh-Symmetriegruppe des Tetraeders, der hexagonalen Platte und der Pyramide paarweise nicht isomorph.

Diedergruppen

Definition Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Sei a ∈ O(2) eine Drehung im ℝ^{2} um \frac{2π}{n} und b ∈ O(2) eine Geradenspiegelung. Dann heißt die von a und b erzeugte Untergruppe D_{n} ⊂ O(2) Diedergruppe der Ordnung n.

Für jede natürliche Zahl n ≥ 3 können wir ein gleichseitiges n-Eck erzeugen. So wird eine Familie von nicht kommutativen Symmetriegruppen, Diedergruppen erzeugt.

Beispiel (n = 3): Gleichseitiges Dreieck Sei r die Drehung um \frac{2π}{3} an der Achse, die senkrecht duch den Mittelpunkt des Dreiecks geht. Sei s die Spiegelung an der Geraden, die durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüber liegenden Seite geht. Dann hat das Dreieck genau folgende sechs Symmetrien

{e, r, r^{2}, s, rs, r^{2}s}.

Da r^{3} und s^{2} die Identität liefern erzeugen höhere Potenzen von r und s keine neuen Symmetrien. Die sechs Symmetrien bilden die Symmetriegruppe D_{3}.

Wir leiten die Gleichung sr = r^{2}s graphisch her, und können nun für jedes Element x, das eine Kombination von r und s ist zeigen, x ∈ {e, r, r^{2}, s, rs, r^{2}s}. Zum Beispiel:

(i) sr^{2} = srr = (sr)r = r^{2}sr = r^{2}(sr) = r^{2}r^{2}s = r^{3}rs = rs,

(ii) (r^{2}s)(rs) = r^{2}(sr)s = r^{2}(r^{2}s)s = r^{4}s^{2} = r.

Folgende Multiplikationstabelle gibt alle 36 möglichen Produkte von xy mit x, y ∈ D_{3} an.

\begin{matrix}x\y & e & r & r^{2} & s & rs & r^{2}s \\ e & e & r & r^{2} & s & rs & r^{2}s \\ r & r & r^{2} & e & rs & r^{2}s & s \\ r^{2} & r^{2} & e & r & r^{2}s & s & rs \\ s & s & r^{2}s & rs & e & r^{2} & r \\ rs & rs & s & r^{2}s & r & e & r^{2} \\ r^{2}s & r^{2}s & rs & s & r^{2} & r & e \end{matrix}

Die Identität e kommt in jeder Zeile nur einmal vor, denn jedes Element hat ein eindeutiges Inverses.

Allgemein gilt: D_{n} ist die Symmetriegruppe eines Gleichseitigen n-Ecks. Ihre Elemente können genauso durch eine Drehung r um \frac{2π}{n} und eine Spiegelung s beschrieben werden, wie die Elemente von D_{3}. Dann bekommen wir Elemente der Form

{e, r, r^{2}, …, r^{n−1}, s, rs, …, r^{n−1}s}

und es gilt: r^{n} = e, s^{2} = e. Es kann verifiziert werden, dass gilt: sr = r^{n−1}s. Und somit kann genauso wie im Fall n = 3 für alle Produkte x von r und s gezeigt werden: x ∈ {e, r, r^{2}, …, r^{n−1}, s, rs, …, r^{n−1}s}.

Jedes Element einer Diedergruppe hat die Form r^{a}, r^{a}s mit 0 ≤ a ≤ n − 1 und es gilt:

r^{a}r^{b} = r^{k},
r^{a}(r^{b}s) = r^{k}s,

für k = a +_{n} b und

(r^{a}s)(r^{b}) = r^{l}s,

(r^{a}s)(r^{b}s) = r^{l},

für l = a +_{n} (n − b).

Bemerkung Die Ordnung einer endlichen Gruppe G ist die Anzahl der Elemente der Gruppe. Man schreibt |G| für die Ordnung von G. Die Diedergruppe D_{n} hat die Ordnung |D_{n}| = 2n.

Permutationen

Definition Unter einer Permutation der Elemente der Menge X versteht man eine eindeutige (bijektive) Abbildung von X auf sich. Man sagt, die Permutation operiert auf der Menge X.

Behauptung Die Menge aller Permutationen von X bildet mit der Verknüpfung von Funktionen die Gruppe S_{X}.

Es ist zu zeigen:

• Wenn α : X → X und β : X → X Permutationen von X sind, so ist die Verknüpfung αβ : X → X mit αβ(x) = α(β(x)) auch eine Permutation.

• Assoziativität Wir wissen Verknüpfung von Funktionen ist assoziativ.

• Identität Das neutrale Element ist die Permutation e die jedes Element von X an seiner Position läßt.

• Inverses Jede Permutation α ist eine bijektive Abbbildung und hat also eine inverse Abbildung α^{−1} : X → X, α^{−1} ist ebenfalls eine Permutation. Weiterhin gilt α^{−1}α = αα^{−1} = e. Man erhält α^{−1} indem man die Zeilen von α vertauscht.

Bemerkung: Besteht X aus den ersten n ganzen Zahlen, so schreibt man statt S_{X} auch S_{n} und nennt es die Symmetrische Gruppe vom Grad n. Die Gruppe S_{n} hat die Ordnung n!

Bemerkung: Im allgemeinen gilt: S_{n} ist für ein n ≥ 3 keine abelsche Gruppe.

Einführung einer neuen Schreibweise. Für große n ist unsere Schreibweise für Permutationen zu unbequem! Zum Beispiel sei α ∈ S_{6} :

α = [\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 3 & 6 & 1 & 2 \end{matrix}]

Die selbe Information kann man auch anders ausdrücken, nämlich mit der sogenannten Zyklenschreibweise:

α = (15)(246)

Erklärung:. Innerhalb einer Klammer wird ein Element auf das ihm folgende abgebildet. Das letzte Element wird auf das erste Element abgebildet. Mit dieser Methode braucht man die Elemente, die auf sich selber abgebildet werden, nicht zu notieren. In unserem Beispiel ist es die 3.

Beispiele:

(i) [\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 1 & 8 & 9 & 3 & 6 & 2 & 7 & 5 & 4 \end{matrix}] = (2856)(394);

(ii) [\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 1 & 6 & 7 & 3 & 5 & 4 & 2 \end{matrix}] = (182)(365)(47);

(iii) Die sechs Elemente von S_{3} sehen dann so aus: e, (12), (13), (23), (123), (132).

Bemerkung: Ein Element der Form (a_{1}a_{2} … a_{k}) heißt Zyklus einer Permutation. Jedes Element von S_{n} läßt sich als Produkt elementfremder Zyklen schreiben, nicht eindeutig bez. der Reihenfolge. Die Zerlegung einer Permutation in elementfremde Zyklen heißt (vollständige) Zyklendarstellung. Eine Transposition ist ein 2-er Zyklus (a_{1}a_{2}). Zwei elementfremde Zyklen kommutieren. Beispiel:

(583)(261) = (261)(583)

Satz 1: Die Transpositionen in S_{n} erzeugen S_{n}. Beweis: Jedes Element von S_{n} ist das Produkt von Zyklen, und jeder Zyklus kann als Produkt von Transpositionen geschrieben werden:

(a_{1}a_{2} … a_{k}) = (a_{1}a_{k}) … (a_{1}a_{3})(a_{1}a_{2}).

Also kann jedes Element von S_{n} als Produkt von Transpositionen geschrieben werden. Achtung! Die Transpositionen müssen nicht elementfremd sein, und die Darstellung ist i.a. nicht eindeutig.

Folgerung: (1) Die Transpositionen (12), (13), …, (1n) erzeugen S_{n}.

(2) Die Transpositionen (12), (23), …, ((n − 1)n) erzeugen S_{n}. Beweis: (1) Da (ab) = (1a)(1b)(1a) für (ab) in S_{n}, folgt mit Satz1 die Behauptung.

(2) Da (1k) = ((k − 1)k) … (34)(23)(12)(23)(34) … ((k − 1)k) folgt aus (1) die Behauptung.

Bemerkung: Eine Permutation heißt gerade, wenn sie sich als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen schreiben lässt. Sie heißt ungerade, wenn die Anzahl der Transpositionen ungerade ist.

Satz2: Die geraden Permutationen von S_{n} erzeugen eine Untergruppe der Ordnung \frac{n!}{2}, diese Gruppe heißt alternierende Gruppe A_{n} vom Grad n. Beweis: Sind α und β gerade Permutationen, dann kann man sie als Produkte von Transpositionen mit gerader Anzahl schreiben. Daraus folg, dass das Produkt αβ sich als Produkt von Transpositionen mit gerader Anzahl schreiben läßt. Schreibe das Produkt von α in der umgekehrten Reihenfolge (z.B: α = (345), α^{−1} = (543)), es ist offensichtlich, α^{−1} ist eine gerade Permutation. Die Identität ist ebenfalls gerade. Also bilden die geraden Permutationen eine Untergruppe von S_{n}. Die Abbildung A_{n} → A_{n}τ, α ↦ α· τ, mit τ eine ungerade Permutation, ist bijektiv. Da S_{n} aus n! Elementen besteht, enthalten A_{n} und A_{n}τ je \frac{1}{2}n! Elemente.

Nachtrag: Wir betrachten die drei Dreh-Symmetriegruppen aus dem ersten Abschnitt. Nummerieren wir die Ecken des Tetraeders mit 1, 2, 3, 4 durch, so wird durch jede Drehung eine Permutation der Ecken erzeugt, also auch eine Permutation der Zahlen 1, 2, 3, 4. Man kann leicht nachrechnen, dass die Drehsymmetriegruppe des Tetraeders isomorph ist zu der alternierenden Gruppe A_{4} Die Symmetriegruppe der Hexagonalen Platte ist nach Definition die Diedergruppe D_{6}. Die Symmetriegruppe der Pyramide wird von der Drehung um \frac{π}{6} erzeugt. Sie heißt zyklische Gruppe der Ordnung 12 und ist isomorph zu ℤ_{12}