Die Euklid’sche Gruppe

Jan-Oliver Kohlberg

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung in die Euklid’sche Gruppe E_{2} 1 1.1 Die Gruppe E_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Alternativbeweis des Hauptsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Der Satz von Beckman und Quarles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Benötigte Gruppentheorie 4 2.1 Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Faktorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Die drei Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Automorphismen und das semidirekte Produkt . . . . . . . . . . . . 9

3 E_{2} aus einer neuen Perspektive 11 3.1 E_{2} unter gruppentheoretischen Aspekten . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Kennzeichnung der Isometrien mit Hilfe des semidirekten Produktes 11 3.3 Alternativbeweis zu “Jede orientierungserhaltende Isometrie ist...” . 12 3.4 Beispiele zur Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Literaturhinweise 14

1 Einführung in die Euklid’sche Gruppe E_{2}

1.1 Die Gruppe E_{2}

Die Euklid’sche Gruppe E_{2} ist die Menge der Isometrien der Ebene – in der Vorlesung ℬ(2) genannt. Für g : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} gilt:

g ist Isometrie wenn ∥ g(x) − g(y) ∥ = ∥ x − y ∥ ∀x, y ∈ ℝ^{2}, dabei bezeichnet ∥x∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} die Norm von x ∈ ℝ^{2}. (Abstanderhaltend)

E_{2} bildet bzgl. der Verknüpfung von Funktionen eine Gruppe. Es gilt:

g, h ∈ E_{2} ⇒ gh ∈ E_{2}, g^{−1} ∈ E_{2}

Die Verknüpfung von Funktionen ist assoziativ, id ist neutrales Element

⇒ E_{2} ist Gruppe.

1.2 Alternativbeweis des Hauptsatzes

Der Hauptsatz der Isometrien

Sei Φ : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} eine Isometrie. Dann gibt es einen orthogonalen Endomorphismus Φ′ : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} und einen Vektor a ∈ ℝ^{n} mit Φ = t_{a} ∘ Φ′. Der Vektor a wie auch der orthogonale Endomorphismus Φ′ sind durch Φ eindeutig bestimmt.

lässt sich alternativ zum Beweis in der Vorlesung auch wie folgt anschaulich beweisen: Wir beginnen mit:

Jede Isometrie ist entweder eine Drehung um den Ursprung, gefolgt von einer Translation, oder eine Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung, gefolgt von einer Translation.

Angenommen g ∈ E_{2}, g(0) = v. Setze f := t_{−v} ∘ g ⇒ f(0) = 0. f ist entweder Drehung um den Ursprung oder Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung. Sei p = (1, 0), q = (0, 1). Drei Kreise im ℝ^{2} deren Mittelpunkte nicht auf einer Geraden liegen, schneiden sich in höchstens einem Punkt. ⇒ jeder Punkt x des ℝ^{2} ist durch die drei Normen

∥x∥, ∥x − p∥, ∥x − q∥

eindeutig bestimmt. Entsprechend ist f(x) durch die Abstände zu f(p), f(q) und 0 = f(0) bestimmt. Es gilt:

∥f(x)∥ = ∥x∥, ∥f(p)∥ = ∥p∥ = 1, ∥f(q)∥ = ∥q∥ = 1
∥f(x) − f(p)∥ = ∥x − p∥, ∥f(x) − f(q)∥ = ∥x − q∥

⇒ kennen wir f(p), f(q) kennen wir die Wirkung von f auf jeden Punkt x ∈ ℝ^{2}.

Da

∥f(p) − f(q)∥ = ∥p − q∥ = \sqrt{2}

gilt nach Pythagoras, dass der Winkel ∠f(p)0f(q) = 90^{∘} ist. Wenn p nach f(p) durch eine Drehung um θ gedreht wird und der um den Winkel θ gedrehte Punkt q mit q′ benannt wird, so ist entweder f(q) = q′ oder f(q) = −q′.

Im ersten Fall beschreibt f somit eine Drehung um den Winkel θ und im zweiten Fall beschreibt f eine Spiegelung an der Geraden durch den Ursprung, die einen Winkel von θ/2 mit der positiven x-Achse einschliesst. Nach Definition gilt: g = t_{−v}^{−1} ∘ f = t_{v} ∘ f

□

Die Translationen 𝒯(2) sind eine Untergruppe von E_{2}:

τ_{1}, τ_{2} ∈ 𝒯(2) ⇒ τ_{1} ∘ τ_{2}^{−1} ∈ 𝒯(2)

Definiere 𝒪(2) wie in der Vorlesung (orthogonale Abbildungen des ℝ^{2}) und verwende im folgenden 𝒪 := 𝒪(2), 𝒯 := 𝒯(2). Dann folgt aus obigem Beweis: E_{2} = 𝒯𝒪 Ferner gilt 𝒯∩𝒪 = id, da jede Translation den Ursprung verschiebt, jede orthogonale Abbildung den Ursprung jedoch nicht verändert. Sei

g = τ_{1} ∘ f_{1} = τ_{2} ∘ f_{2} ⇔ τ_{2}^{−1} ∘ τ_{1} = f_{2} ∘ f_{1}^{−1} ∈ 𝒯 ∩ 𝒪
⇒ τ_{1} = τ_{2}, f_{1} = f_{2} für τ_{1}, τ_{2} ∈ 𝒯, f_{1}, f_{2} ∈ 𝒪

Daraus folgt die noch zu zeigende Eindeutigkeit und somit ist der Hauptsatz bewiesen.

□

1.3 Der Satz von Beckman und Quarles

Der Satz von Beckmann und Quarles bietet eine interessante Erleichterung, Isometrien im ℝ^{n} zu identifizieren:

Satz 1. Sei k > 0 eine feste reelle Zahl und sei f : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} mit n ∈ ℕ\{1} eine Abbildung, so dass für alle p, q ∈ ℝ^{n} mit ∥p − q∥ = k gilt ∥f(p) − f(q)∥ = k. Dann ist f eine Isometrie des ℝ^{n}, d. h. es gibt eine orthogonale Matrix Q ∈ ℝ^{n×n} und einen Vektor t ∈ ℝ^{n} mit

f(x) = Qx + t

für alle x ∈ ℝ^{n}.

Es genügt also, von einer Abbildung des ℝ^{n} zu wissen, dass sie eine Distanz erhält, z. B. k = 1, um zu wissen, dass es sich bei dieser Abbildung um eine Isometrie handelt, d. h. dass sie alle Abstände erhält.

Für n = 1 gilt der Satz nicht:

z.B. f(x) = x + 1 fuer z ∈ ℤ und f(x) = x fuer x ∈ ℝ\ℤ

erhält den Abstand 1, aber z. B. nicht den Abstand 1/3.

Beweis des Satzes: vgl. Walter Benz, Geometrische Transformationen, pp. 16-27

2 Benötigte Gruppentheorie

2.1 Konjugation

Definition 1. Seien x, y ∈ G, G Gruppe. Dann ist y zu x konjugiert, wenn es ein g ∈ G gibt mit y = gxg^{−1}.

Definition 2. Die Menge aller Elemente, die zu einem gegebenem Element konjugiert sind, heißt Konjugationsklasse (conjugacy class).

Definition 3. Eine Partition (partition) einer Menge X ist eine Zerlegung der Menge in nicht-leere Teilmengen, die paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung X ist.

Folgerung 1. Die einzelnen Konjugationsklassen bilden eine Partition von G

Beweis: Konjugation ist eine Äquivalenzrelation auf G, und die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation bilden eine Partition der Menge, siehe Armstrong p. 63.

Folgerung 2. Für ein festes g ∈ G ist φ : G ⟶ G, x ⟼ gxg^{−1} (Konjugation unter g/ conjugation by g) ein Isomorphismus:

φ ist eine Bijektion, da es invertierbar ist: Die Umkehrabbildung ist die Konjugation unter g^{−1} und φ ist ein Homomorphismus, da

g(xy)g^{−1} = (gxg^{−1})(gyg^{−1}) ∀x, y ∈ G

Beispiele:

1. Wenn G abelsche Gruppe ist und x ∈ G, dann gilt gxg^{−1} = x für alle g ∈ G und die Konjugationsklassen sind die einelementigen Mengen {x}.

2. Sei G die Diedergruppe D_{6} mit

D_{6} = {e, r, r^{2}, r^{3}, r^{4}, r^{5}, s, rs, r^{2}s, r^{3}s, r^{4}s, r^{5}s}

und r^{6} = e, s^{2} = e, sr = r^{5}s Um die Konjugationsklasse z. B. von r^{a} mit 1 ≤ a ≤ 5 zu bestimmen, muß gr^{a}g^{−1} für alle g ∈ D_{6} berechnet werden. Es gilt:

er^{a}e = r^{a}, r^{b}r^{a}r^{6−b} = r^{a}, sr^{a}s = r^{6−a}s^{2} = r^{6−a}
(r^{b}s)r^{a}(r^{b}s)^{−1} = r^{b}(sr^{a}s)r^{6−b} = r^{b}(r^{6−a})r^{6−b} = r^{6−a}

⇒ Konjugationsklasse ist {r^{a}, r^{6−a}}. Entsprechend verfahre für die anderen Elemente, so daß sich folgende Partition ergibt:

{e}, {r, r^{5}}, {r^{2}, r^{4}}, {r^{3}}, {s, r^{2}s, r^{4}s}, {rs, r^{3}s, r^{5}s}

→ Armstrong, p. 74

3. Sei G = 𝒪(2), D(α), S(β) wie in der Vorlesung. Die Konjugation von n × n Matrizen entspricht gerade der Ähnlichkeit. Ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante, d. h. jede Konjugationsklasse besteht entweder nur aus Drehungen oder nur aus Spiegelungen. Es gilt

D(α) · S(β) · D(α)^{−1} = S(β + 2α),
D(β) · D(α) · D(β)^{−1} = D(α)
S(β) · D(α) · S(β)^{−1} = D(−α)

⇒ Die Konjugationsklassen von 𝒪(2) lauten:

{I}; {D(α), D(−α)}, 0 < α < π; {D(π)}; {S(β)|0 ≤ β < 2π}

Definition 4. Das Zentrum (centre) einer Gruppe G besteht aus all denen Elementen, die mit jedem Element aus G vertauschen. Es wird üblicherweise mit Z(G) bezeichnet.

Z(G) = {x ∈ G|xa = ax ∀a ∈ G}

Theorem 1. Das Zentrum von G ist eine Untergruppe und wird von allen einelementigen Konjugationsklassen gebildet.

Beweis: Für x, y ∈ Z(G), g ∈ G gilt

gxy^{−1} = xgy^{−1} = x(yg^{−1})^{−1} = x(g^{−1}y)^{−1} = xy^{−1}g

⇒ xy^{−1} ∈ Z(G). Da auch e ∈ Z(G) ist das Zentrum eine Untergruppe.

xg = gx ⇔ gxg^{−1} = x

⇒ x liegt genau dann in Z(G), wenn die Konjugationsklasse von x die einelementige Menge {x} ist.

2.2 Faktorgruppe

Definition 5. Eine Untergruppe H einer Gruppe G heißt Normalteiler (normal subgroup) von G, wenn H die Vereinigung von Konjugationsklassen von G ist, d. h.: Für jedes a ∈ H und jedes b ∈ G liegt das Konjugierte bab^{−1} von a unter b in H.

Definition 6. Eine Linksnebenklasse ist eine Teilmenge der Form:

aH = {ah | h ∈ H}, a ∈ G

Definition 7. Wir definieren die Multiplikation von Teilmengen einer Gruppe G wie folgt:

XY = {xy | x ∈ X, y ∈ Y } mit X, Y ⊂ G  (2.1)

Theorem 2. Sei N ein Normalteiler von G. Dann ist das Produkt von zwei Nebenklassen aN, bN wieder eine Nebenklasse, und zwar

(aN)(bN) = abN

und die Menge aller Linksnebenklassen von N in G bildet eine Gruppe bzgl. der Multiplikation von (2.1).

Beweis: Jedes Element von (aN)(bN) ist von der Form anbn′ mit n, n′ ∈ N.

anbn′ = ab(b^{−1}nb)n′ = ab(n′′n′) mit n′′ = b^{−1}nb ∈ N

Dies gilt, da N Normalteiler von G ist und damit die gesamte Konjugationsklasse von n enthält. ⇒ (aN)(bN) ⊆ abN

Umgekehrt gilt: Jedes Element von abN ist von der Form abn mit n ∈ N. Es gilt:

abn = (ae)(bn) ⊆ (aN)(bN) ⇒ abN ⊆ (aN)(bN)

Assoziativität folgt aus der Assoziativität in G, die Nebenklasse eN = N operiert als Identität und a^{−1}N ist das Inverse von aN für jedes a ∈ G. Somit handelt es sich bei der Menge aller Linksnebenklassen um eine Gruppe.

□

Definition 8. Wenn N ein Normalteiler von G ist, schreibt man N ⊲ G.

Definition 9. Die Gruppe der Linksnebenklassen N von G aus Theorem 2 heißt Faktorgruppe (quotient group oder factor group) von G nach N und wird mit

G/N = {aN | a ∈ G}

bezeichnet.

Nach Folgerung 1 und Definition 5 bilden die Linksnebenklassen von N in G eine Partition von G. Jede der Nebenklassen repräsentiert ein Element von G/N und somit haben wir “G durch N geteilt”.

Beispiele:

1. Sei N die durch das Element r^{3} erzeugte Untergruppe von D_{6}. N ist Normalteiler von D_{6}, da sie durch die Konjugationsklassen {e} und {r^{3}} gebildet wird. Es gibt sechs unterschiedliche Linksnebenklassen von N:

eN = {e, r^{3}}, rN = {r, r^{4}}, r^{2}N = {r^{2}, r^{5}}, sN = {s, sr^{3}},
rsN = {rs, r^{4}s}, r^{2}sN = {r^{2}s, r^{5}s}

Dies sind die Elemente von D_{6}/N. Mit der Multiplikation aus (2.1) können wir Theorem 2 überprüfen (→ Armstrong, p. 80).

2. Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler, da es sich bei den Konjugationsklassen um einelementige Mengen handelt. Sei n ∈ ℕ_{+} und betrachte die Untergruppe nℤ von ℤ. Es gibt n verschiedene Nebenklassen:

0 + nℤ, 1 + nℤ, …, (n − 1) + nℤ

die unter

(x + nℤ) + (y + nℤ) = (x + y) + nℤ

die Faktorgruppe ℤ/nℤ bilden.

Folgerung 3. Ist N Normalteiler von G, so ist die Funktion

φ : G ⟶ G/N, φ(x) = xN

ein Homomorphismus.

Beweis:

φ(xy) = xyN = (xN)(yN) = φ(x)φ(y) ∀x, y ∈ G

Es gilt:

im(φ) = G/N
Ker(φ) = N

Zur Erleichterung der Überprüfung von Untergruppen, z. B. H von G, auf die Normalteilereigenschaft, genügt es zu zeigen, daß

ghg^{−1} ∈ H ∀h ∈ H, g ∈ G  (2.2)

Theorem 3. Sei H eine Untergruppe von G und X eine Menge von Erzeugern von G. Gilt

xhx^{−1} ∈ H ∀h ∈ H, x ∈ X

so ist H ein Normalteiler von G.

Beweis: z.z.: Ist h ∈ H, so muß jedes zu h konjugierte Element ghg^{−1} ebenfalls zu H gehören. g = x_{1}x_{2} … x_{t} mit x_{i} ∈ X oder x_{i}^{−1} ∈ X (X Menge aus erzeugenden Elementen von G)

⇒ ghg^{−1} = (x_{1}x_{2} … x_{t})h(x_{1}x_{2} … x_{t})^{−1} = x_{1}x_{2} … x_{t}hx_{t}^{−1} … x_{2}^{−1}x_{1}^{−1}

Konjugation unter g entspricht also wiederholter Konjugation unter Elementen aus X und damit liegt ghg^{−1} nach Voraussetzung in H.

2.3 Die drei Isomorphiesätze

Theorem 4. Erster Isomorphiesatz Sei φ : G ⟶ G′ ein Gruppenhomomorphismus, und sei N = Ker(φ). Dann ist N Normalteiler von G und G/N ist isomorph zu im(φ).

Beweis: Seien x, y ∈ N. φ(xy^{−1}) = φ(x)φ(y)^{−1} = e ⇒ xy^{−1} ∈ N, N ≠ Ø da e ∈ N ⇒ N ist Untergruppe von G

Sei x ∈ N, g ∈ G.

φ(gxg^{−1}) = φ(g)φ(x)φ(g)^{−1} = φ(g)φ(g)^{−1} = e

⇒ gxg^{−1} ∈ N ⇒ N ist Normalteiler von G.

Definiere ψ : G/N ⟶ G′, ψ(xN) = φ(x). ψ ist wohldefiniert: Sei xN = yN

⇒ y^{−1}x ∈ N ⇒ e = φ(y−1x) = φ(y)^{−1}φ(x) ⇒ φ(x) = φ(y)

ψ ist Homomorphismus, da

ψ(xNyN) = ψ(xyN) = φ(xy) = φ(x)φ(y) = ψ(xN)ψ(yN) ∀xN, yN ∈ G/N ψ ist injektiv, da

φ(x) = φ(y) ⇒ φ(y^{−1}x) = φ(y)^{−1}φ(x) = e ⇒ y^{−1}x ∈ N

Es gilt im(ψ) = im(φ), damit ist ψ Isomorphismus.

□

Folgerung 4. Sei im(φ) = G′. Genau dann ist φ ein Isomorphismus, wenn Ker(φ) nur aus dem Einselement von G besteht.

Theorem 5. Zweiter Isomorphiesatz Seien H, J Untergruppen von G, J ⊲ G. Dann ist HJ eine Untergruppe von G, H ∩ J ⊲ H und die Faktorgruppen HJ/J, H/H ∩ J sind isomorph.

Theorem 6. Dritter Isomorphiesatz Seien H, J Normalteiler von G und H ⊂ J. Dann ist J/H Normalteiler von G/H und die Faktorgruppe (G/H)/(J/H) ist isomorph zu G/J.

Beweise: → z. B. Armstrong, p. 88

2.4 Automorphismen und das semidirekte Produkt

Definition 10. Ein Automorphismus einer Gruppe G ist ein Isomorphismus von G nach G. Die Menge Aut(G) aller Autormorphismen von G heißt Automorphismengruppe (automorphism group).

Folgerung 5. Aut(G) bildet bzgl. der Verknüpfung von Funktionen eine Gruppe.

Definition 11. Die Konjugation unter einem festen Element g ∈ G , x ⟼ gxg^{−1}, heißt innerer Automorphismus. Die Menge aller inneren Automorphismen von G wird mit Inn(G) bezeichnet.

Definition 12. Semidirektes Produkt Seien H, J Gruppen und φ : J → Aut(H) ein Homomorphismus. Die Menge H ×_{φ}J heißt semidirektes Produkt von H und J bzgl. φ. Die Elemente sind geordnete Paare (x, y) mit x ∈ H, y ∈ J und Multiplikation ist wie folgt definiert:

(x, y)(x′, y′) = (x· φ(y)(x′), y· y′)

Die erste Koordinate wird dabei durch Anwenden des Automorphismus φ(y) auf x′ und anschliessendes multiplizieren von links mit x erhalten.

Folgerung 6. H ×_{φ} J ist eine Gruppe.

Beweis: Das Einselement ist (e_{H}, e_{J}).

(x, y)^{−1} = (φ(y)^{−1}(x^{−1}), y^{−1})

Assoziativität: → Armstrong, p. 133

Theorem 7. Seien H, J Untergruppen einer Gruppe G. Ist H Normalteiler , HJ = G und H ∩ J = e, so ist G isomorph zum semidirekten Produkt H ×_{φ} J, wobei φ : J → Aut(H) der durch φ(y)(x) = yxy^{−1} ∀x ∈ H, y ∈ J definierte Homomorphismus ist.

Beweis: Definiere ψ : H ×_{φ} J → G, ψ(x, y) = xy. ψ ist Homorphismus, da

ψ[(x, y)(x′, y′)] = ψ(x· φ(y)(x′), y · y′)
= ψ(xyx′y^{−1}, y· y′)
= xyx′y^{−1}yy′
= xyx′y′
= ψ(x, y) ∘ ψ(x′, y′)

im(ψ) = G, da G = HJ ⇒ g = xy mit x ∈ H, y ∈ J ∀g ∈ G

(x, y) ∈ ker(ψ) ⇒ ψ(x, y) = xy = e ⇒ x = y^{−1} x ∈ H, y ∈ J, H, J Untergruppen ⇒ x, y ∈ H ∩ J = {e}, ⇒ (x, y) Einselement von H ×_{φ} J

Folgerung 4 ⇒ ψ ist Isomorphismus.

□

3 E_{2} aus einer neuen Perspektive

3.1 E_{2} unter gruppentheoretischen Aspekten

Wir betrachten jetzt E_{2} unter neuen Aspekten, und zwar im Hinblick auf die nun erworbenen gruppentheoretischen Kenntnisse.

Sei f ∈ 𝒪, τ ∈ 𝒯 und τ(0) = v. Dann gilt für jedes x ∈ ℝ^{2}:

fτf^{−1}(x) = f(v + f^{−1}(x)) = f(v) + f(f^{−1}(x)) = f(v) + x

⇒ fτf^{−1} ∈ 𝒯 Nach (2.2) bzw. Theorem 3 gilt: Da die Elemente von 𝒯 und 𝒪 die Gruppe E_{2} erzeugen, gilt: 𝒯 ⊲ E_{2} Betrachten wir nun die Multiplikation in E_{2} in Hinblick auf die Zerlegung E_{2} = 𝒯𝒪: Sei g = τf, h = τ_{1}f_{1} mit τ, τ_{1} ∈ 𝒯 und f, f_{1} ∈ 𝒪.

gh = τfτ_{1}f_{1} = (τfτ_{1}f^{−1})(ff_{1})

drückt gh wiederum als Element aus 𝒯𝒪 aus.

Sei φ : 𝒪 ⟶ Aut(𝒯), φ(f)(τ) = fτf^{−1} ∀τ ∈ 𝒯, f ∈ 𝒪. Dann gilt: Die Abbildung

ψ : E_{2} ⟶ 𝒯 ×_{φ} 𝒪, g ↦ (τ, f)

ist nach Theorem 7 ein Isomorphismus: 𝒯, 𝒪 Untergruppen von E_{2}, 𝒯 ⊲ E_{2}, 𝒯𝒪 = E_{2}, 𝒯 ∩ 𝒪 = id ⇒ E_{2} ist isomorph zum semidirekten Produkt 𝒯 ×_{φ} 𝒪.

Setzen wir v = τ(0) und sei M die orthogonale Matrizendarstellung von f bzgl. der kanonischen Basis des ℝ^{2}. Dann können wir jede Isometrie – bisher in der Vorlesung ϕ(x) = Mx + v – als geordnetes Paar (v, M) darstellen. Wir identifizieren E_{2} somit mit dem semidirekten Produkt ℝ^{2}×_{ψ}𝒪(2) mit ψ : 𝒪(2) ⟶ Aut(ℝ^{2}) sei die normale Operation von 𝒪(2) auf ℝ^{2}. Die Multiplikation ist gemäß der Definition des semidirekten Produktes mit

(v, M)(v_{1}, M_{1}) = (v + f_{M}(v_{1}), MM_{1})

gegeben.

3.2 Kennzeichnung der Isometrien mit Hilfe des semidirekten Produktes

Die Isometrien kann man nun einfach durch entsprechende Paare beschreiben. Sei im folgenden A die Drehmatrix D(α) und B die Spiegelmatrix S(β)aus der Vorlesung.

A = ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ sin θ & − cos θ \end{matrix} )

Zu unterscheiden sind:

1. Translation mit einem Vektor v, wobei I die 2 × 2 Einheitsmatrix ist: (v, I)

2. Drehung um den Winkel θ um den Ursprung: (0, A)

3. Spiegelung an der Geraden durch den Ursprung, die mit der positiven x-Achse einen Winkel von θ/2 einschließt: (0, B)

4. Drehung um den Winkel θ um den Punkt c: (c − f_{A}(c), A)

5. Spiegelung an der um den Vektor a verschobenen Geraden aus 3.: (2a, B)

6. Spiegelung wie in 5. und anschließende Verschiebung um den zur Spiegelachse parallel verlaufenden Vektor b (f_{B}(b) = b, b ≠ 0, Gleitspiegelung): (2a + b, B)

Zu 4.:

(c − f_{A}(c), A) = (c, A)· (−c, I)

d. h. die Ebene wird zunächst verschoben, so daß die Drehachse der Drehung, der Punkt c, sich nun im Ursprung befindet – (−c, I). Anschließend wird die Drehung um den Ursprung und anschliessende Rückverschiebung um c durchgeführt: (c, A)

Zu 5.:

(a, B)· (−a, I) = (a + f_{B}(−a), B· I) = (2a, B)

d. h. jeder Punkt wird zunächst um den Vektor −a verschoben – (−a, I) – anschließend an der Geraden durch den Ursprung, die mit der positiven x-Achse einen Winkel von θ/2 einschließt gespiegelt, und zum Schluß wieder um den Vektor a zurückverschoben: (a, B).

Zu 6.: Führe durch wie in 5. und verschiebe anschließend um den Vektor b (parallel zur Spiegelachse):

(b, I)· (a, B)· (−a, I) = (b, I)· (2a, B) = (b + f_{I}(2a), IB) = (2a + b, B)

3.3 Alternativbeweis zu “Jede orientierungserhaltende Isometrie ist...”

Theorem 8. Jede orientierungserhaltende Isometrie ist eine Translation oder Drehung, jede orientierungsumkehrende Isometrie ist eine Spiegelung oder Gleitspiegelung.

Beweis: Jede orientierungserhaltende Isometrie wird durch das Paar (v, A) repräsentiert, wobei 0 ≤ θ < 2π ist. Für θ = 0 gilt: (v, A) = (v, I), es handelt sich also nach 1. um eine Translation.

Sonst:

det(I − A) = det ( \begin{matrix}1 − cos θ & sin θ \\ − sin θ & 1 − cos θ \end{matrix} ) = 2 − 2 cos θ > 0

⇒ I − A ist invertierbar.

c − f_{A}(c) = f_{I}(c) − f_{A}(c) = f_{I−A}(c) = v

besitzt eine eindeutige Lösung für c. Einsetzten in (v, A) ergibt: (c − f_{A}(c), A) also nach 4. eine Drehung.

Jede orientierungsumkehrende Isometrie wird durch das Paar (v, B) repräsentiert, wobei 0 ≤ θ < 2π ist. Ist f_{B}(v) = −v, so handelt es sich um eine Spiegelung an der um a = v/2 verschobenen Geraden aus 3., da nach der Anwendung von f_{B} jeder Punkt noch um 2a verschoben wird.

Ist f_{B} ≠ −v setzen wir w = v − f_{B}(v) und erhalten:

f_{B}(w) = f_{B}(v − f_{B}(v)) = f_{B}(v) − f_{B}^{2}(v) = f_{B}(v) − v = −w

Die Projektion von v in Richtung w ergibt den Vektor \frac{<v,w>}{∥w∥^{2}}w (s. auch Leitfaden LA II, S. 34). Definieren wir 2a = \frac{<v,w>}{∥w∥^{2}}w, b = v − 2a, so sehen wir, dass es sich um eine Gleitspiegelung nach 6. handelt: (2a + b, B).

□

3.4 Beispiele zur Anwendung

1. Betrachten wir die Funktion g : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} mit

g(x, y) = (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}(x − y), 1 − \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y))

die dem Paar (v, M) mit

v = ( \begin{matrix}1 \\ 1 − \sqrt{2} \end{matrix} ) , M = ( \frac{1}{\sqrt{2}} − \frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}} )

entspricht.

Da sin(π/4) = cos(π/4) = 1/\sqrt{2} handelt es sich um eine Drehung um π/4 um den Punkt c, wobei

v = f_{I−M}(c) ⇔ c = (I − M)^{−1}v = (1, 1)

2. Sei h : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} mit

h(x, y) = (−\frac{1}{2}(x + \sqrt{3}y), 4 + \frac{1}{2}(y − \sqrt{3}x),

die der Isometrie (v, M) mit

v = ( \begin{matrix}0 \\ 4 \end{matrix} ) , M = ( \begin{matrix}− \frac{1}{2} & − \frac{\sqrt{3}}{2} \\ − \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} )

entspricht. M ist eine Spiegelung, und da

f_{M}(v) = Mv = (−2\sqrt{3}, 2) ≠ −v

handelt es sich um eine Gleitspiegelung, wobei w = v − f_{m}(v) = (2\sqrt{3}, 2), < v, w >= 8, ∥w∥^{2} = 16

2a = \frac{< v, w >}{∥w∥^{2}}w = (\sqrt{3}, 1), b = v − 2a = (−\sqrt{3}, 3)

4 Literaturhinweise

• M. A. Armstrong: Groups and Symmetry

• Walter Benz: Geometrische Transformationen

• Wolfgang Hein: Einführung in die Struktur- und Darstellungstheorie der

klassischen Gruppen

• Michael Artin: Algebra

• Joseph J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups