Gitter und Punktgruppen

Regina Schulz

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1 1.1 Symmetriegruppe eines Musters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Translationsuntergruppe und Punktgruppe . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Wallpaper Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Die Translationsuntergruppe einer Wallpaper Group 3 2.1 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Die fünf Typen von Gittern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Sätze zum Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Die Punktgruppe einer Wallpaper Group 8 3.1 Welche Punktgruppen sind denkbar? . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Isomorphismen zwischen Wallpaper Groups . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Einleitung

1.1 Symmetriegruppe eines Musters

Im allgemeinen wird die Symmetrie eines Musters durch eine Gruppe angegeben, und zwar durch eine jeweils passende Untergruppe von ℬ(2) (Bewegungsgruppe der Ebene), die das gegebene Muster auf sich selbst abbildet. Diese Gruppen heißen Symmetriegruppen. Eingangsbeispiel: Zu untersuchen sind die Symmetrien, die folgendes Muster wieder auf sich selbst abbilden:

Es ist leicht zu sehen, dass die Translationen τ_{1} und τ_{2} das Muster auf sich selbst abbilden. Gleiches gilt für eine Spiegelung an der x - Achse sowie für die Drehung um einen Winkel von \frac{π}{3}. Das Muster des Eingangsbeispiels sieht relativ einfach aus. Man kann es aber verwenden um auch komplizierter aussehende Muster zu beschreiben. Beispielsweise weisen die folgenden beiden Muster exakt dieselben Symmetrien auf:

Eine speziellere Untersuchung der Symmetriegruppe des Eingangsbeispiel folgt weiter unten.

Zunächst soll jedoch noch einmal auf die im folgenden verwendete Schreibweise für Isometrien hingewiesen werden. Wie aus der Vorlesung LA II bekannt ist, lässt sich jede Isometrie eindeutig als Hintereinanderausführung eines orthogonalen Endomorphismus und einer Translation schreiben. Wir verwenden daher die Schreibweise

g = (v, M) mit v ∈ ℝ^{2} und M ∈ O_{2},

um die Isometrie g(x) = v + f_{M}(v) zu beschreiben.

Durch die Abbildung

π : B_{2} ⟶ O_{2}, (v, M) ↦ M

erhält man einen Gruppenhomomorphismus, denn:

π((v, M) (v_{1}, M_{1})) = π(v + f_{M}(v_{1}), MM_{1}) = MM_{1} = π(v, M) π(v_{1}, M_{1})

Der Kern dieser Abbildung ist gegeben durch die Isometrien der Form (v, I), v ∈ ℝ^{2}, also durch die Translationen.

1.2 Translationsuntergruppe und Punktgruppe

Definitionen:

G sei Symmetriegruppe des zu untersuchenden Musters (also G Untergruppe von B(2)) Man schreibt H für G ∩ T und J für π(G) und nennt H die Translationsuntergruppe von G und J die Punktgruppe von G .

In dem Eingangsbeispiel wird also H erzeugt durch die Vektoren τ_{1} und τ_{2} und J durch die Matrizen

( \begin{matrix}cos \frac{π}{3} & − sin \frac{π}{3} \\ sin \frac{π}{3} & cos \frac{π}{3} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

Das Spiegeln an der y Achse erhält man z.B., indem man zuerst die zweite Matrix anwendet und anschliessend dreimal die erste.

1.3 Wallpaper Groups

Definition:

Als Wallpaper Group (zu deutsch Tapetenmuster) bezeichnet man eine Untergruppe der B(2), für die gilt:

• die Translationsuntergruppe wird von zwei linear unabhängigen Translationsvektoren erzeugt

• die Punktgruppe ist endlich.

Wallpaper Groups sind also auch schon in der Vorlesung LA II aufgetaucht, dort verwendeten wir allerdings den Namen ’Ebene Kristallgruppen’. Zur näheren Klassifizierung der ’Ebenen Kristallgruppen’ vgl. LA II. Was wir hier im weiteren untersuchen wollen, ist die Fragestellung: Was lässt sich über die Translationsuntergruppe und über die Punktgruppe einer Wallpaper Group sagen:

2 Die Translationsuntergruppe einer Wallpaper Group

2.1 Gitter

zur Erinnerung: G bezeichne die Wallpaper Group, H die Translationsuntergruppe von G und J die Punktgruppe von G.

Wir betrachten nun den Ursprung und wenden H darauf an (nach Definition wird H von zwei linear unabhängigen Translationen erzeugt). Die Menge der Vektoren, die man auf diese Weise erhält bezeichne man mit L. Wähle nun einen Vektor a ≠ 0, a ∈ L minimaler Länge und anschließend einen Vektor b ∈ L minimaler Länge, dessen Richtung nicht parallel zu der von Vektor a ist. Man nennt L das von den Vektoren a und b aufgespannte Gitter. Eine allgemeinere Definition zum Gitter folgt später noch.

Lemma:

L besteht gerade aus allen Linearkombinationen der Form m ∗ a + n ∗ b, m, n ∈ ℤ

Beweis: zu zeigen ist:

1. die eingezeichneten Punkte (= Punkte der Form m ∗ a + n ∗ b) gehören zu L. Beweis: (v, I) ↦ v ist ein Isomorphismus zwischen der Translationsgruppe und der Additionsgruppe (ℝ^{2}, +), der H aufL schickt. ⇒ L ist Untergruppe von ℝ^{2} ⇒ jeder Punkt der Form m ∗ a + n ∗ b gehört zu L

2. alle anderen Punkte gehören nicht zu L Beweis: die Punkte des Gitters teilen die Ebene in Parallelogramme auf (s. Abb). Angenommen es existiert ein Punkt x ∈ L, der nicht der Form m ∗ a + n ∗ b ist. Nehme das Parallelogramm, welches den Punkt x enthält. Sei C die Ecke des Parallelogramms, die am nächsten an x ist. Bilde den Vektor x − c =: w. Dann gilt (wie man leicht nachrechnet): w ≠ 0, w ≠ a, w ≠ b, ∥w∥ < ∥b∥ sowie w ∈ L, da x ∈ L (Vor.) und c ∈ L. ∥w∥ = ∥x − c∥ < ∥a∥ unmöglich, da a min. Länge in L hat ⇒ ∥a∥ ≤ ∥x − c∥ < ∥b∥ ⇒ Widerspruch, zu b minimaler Länge.

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2.2 Die fünf Typen von Gittern

Man unterscheidet zwischen fünf verschiedenen Typen von Gittern. Die Einteilung erfolgt nach der Form des Parallelogramms, das durch die Vektoren a undb bestimmt wird (vgl. Abb oben). Bei der Einteilung geht man wie folgt vor:

Ersetze gegebenenfalls b durch −b, um sicherzustellen, dass folgende Ungleichung gilt:

∥a − b∥ ≤ ∥a + b∥

So kann man die folgenen fünf Fälle unterscheiden:

Oblique  ∥a∥ < ∥b∥ < ∥a − b∥ < ∥a + b∥ (oblique = verzerrt)
Rectangular  ∥a∥ < ∥b∥ < ∥a − b∥ = ∥a + b∥ (rect. = rechtwinklig)
Centred Rectangular ∥a∥ < ∥b∥ = ∥a − b∥ < ∥a + b∥
Square  ∥a∥ = ∥b∥ < ∥a − b∥ = ∥a + b∥
Hexagonal  ∥a∥ = ∥b∥ = ∥a − b∥ < ∥a + b∥ (hexagonal = sechseckig)

Die fünf Namen, werden deutlich, wenn man sich das Aussehen der Gitter anschaut (s. Abb.):

Es sieht zunächst so aus, als hätte man bei der obigen Klassifizierung der Gittertypen den Fall ∥a∥ = ∥b∥ < ∥a−b∥ < ∥a+b∥ nicht berücksichtigt. Die folgende Abb.

verdeutlicht aber, dass dieser Fall zu einer Raute führen würde, deren Diagonalen sich im rechten Winkel schneiden. Dadurch entsteht dasselbe Muster, das auch im Falle des Centred Rectangular entsteht.

Die beiden übrigen Fälle ∥a∥ < ∥b∥ = ∥a − b∥ = ∥a + b∥ und ∥a∥ = ∥b∥ = ∥a − b∥ = ∥a + b∥, die in der Klassifikation ebenfalls nicht aufgeführt sind, können nicht auftreten. (Man verdeutliche sich dies, indem man versucht, für diese Fälle eine Zeichnung anzufertigen und dabei zu einem Widerspruch kommt.)

Allgemeine Definition des Gitters:

Ein Gitter im ℝ^{n} ist eine Untermenge M ⊂ ℝ^{n} mit der Eigenschaft: Es ex. eine Basis (e_{1}, …, e_{n}) des ℝ^{n}, so dass

M = {x ∈ ℝ^{n} | x = ∑_{i=1}^{n} z_{i} ∗ e_{i}, z_{i} ∈ ℤ}

(e_{1}, …, e_{n}) heißt dann Basis des Gitters M.

Standartbeispiel: ℤ^{n} ⊂ ℝ^{n} ist Gitter, bestehend aus allen Punkten mit ganzzahligen Koordinaten.

An dieser Stelle wird auch deutlich, warum Wallpaper Groups auch ’Ebene Kristallgruppen’ genannt werden: Im Dreidimensionalen werden die Gitter durch drei Vektoren erzeugt. Die dann im Gitter enthaltenen Punkte geben gerade die möglichen Strukturen wieder, die in Kristallen zu finden sind (17 Möglichkeiten).

2.3 Sätze zum Gitter

Satz

Gegeben sei eine Gerade g, die durch zwei Punkte eines Gitters L verläuft. Dann gilt: g enthält unendlich viele Punkte des Gitters.

Beweis: einfach

Satz

Gegeben: L_{1}, L_{2} Gitter. Dann gilt Die Punkte der Form x + y mit x ∈ L_{1}, y ∈ L_{2} bilden ein Gitter.

Beweis: einfach

Weitere Sätze wurden in Aufgabe 27, Vorlesung LA II bewiesen.

Satz

Die Punktgruppe J bildet das Gitter L auf sich ab.

Beweis

Sei M ∈ J, x ∈ L, das heisst zu zeigen ist: f_{M}(x) ∈ L! Sei τ := (x, I)

Wir erinnern uns (s.o.) an den Homomorphismus

π : G ⟶ J, g = (v, M) ↦ π(g) = M

Die Translationsgruppe H ist Kern v. π : G ⟶ J und damit Untergruppe v. G ⇒ gτg^{−1} ∈ H nach dem 1. Isomorphiesatz (H ◁ G) Andererseits: gτg^{−1} = (v, M) (x, I) (−f_{M}^{−1}(v), M^{−1}) = (v, M) (x − f_{M}^{−1}(v), M^{−1}) = (v + f_{M}(x − f_{M}^{−1}(v)), MM^{−1}) = (v + f_{M}(x) − v, I) = (f_{M}(x), I)

⇒ f_{M}(x) ist Punkt, der zum Gitter L gehört.

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3 Die Punktgruppe einer Wallpaper Group

3.1 Welche Punktgruppen sind denkbar?

Satz

Die Ordnung einer Drehung in einer Wallpaper Group kann nur 2,3,4 oder 6 betragen. (vgl. Vorl. LA II : ’Kristallographische Bedingung’)

Beweis: vgl. Skript LA II

Daraus folgt also:

Die Punktgruppe einer Wallpaper Group wird durch eine Drehung um den Winkel 0, π, \frac{2π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{π}{3} und möglicherweise einer Spiegelung erzeugt.

3.2 Isomorphismen zwischen Wallpaper Groups

Satz

Gegeben: Isomorphismus φ zwischen zwei Wallpaper Groups G und G_{1}. Dann werden Translationen auf Translationen, Drehungen auf Drehungen, Spiegelungen auf Spiegelungen und Gleitspiegelungen auf Gleitspiegelungen abgebildet.

Beweis: Es gilt:

Translationen und Gleitspiegelungen sind unendlicher Ordnung, Drehungen und Spiegelungen sind endlicher Ordnung. Wähle eine Translation τ ∈ G ⇒ φ(τ) ist entweder eine Translation oder eine Gleitspiegelung, denn φ ist Homomorphismus. Annahme φ(τ) ist Gleitspiegelung: Wähle eine Translation τ_{1} ∈ G_{1}, die nicht mit φ(τ) vertauscht ⇒ τ_{1} φ(τ) ≠ φ(τ) τ_{1} (Ungl. 3.2.1) Sei φ(g) = τ_{1} (ein solches g ∈ G ex., da φ Isomorph.) ⇒ g ist Translation oder Gleitspiegelung ⇒ g^{2} ist Translation ⇒ g^{2} vertauscht mit τ, denn 2 Translationen sind stets kommutativ. ⇒ g^{2} τ = τ g^{2} Wende auf beiden Seiten φ an und verwende φ(g^{2}) = φ(g)^{2} = τ_{1}^{2} ⇒ τ_{1}^{2} φ(τ) = φ(τ) τ_{1}^{2} (Gl. 3.2.2) Damit hat man einen Widerspruch zu Ungleichung 3.2.1, denn τ_{1} und τ_{1}^{2} haben dieselbe Richtung und es gilt: Eine Translation und eine Gleitspiegelung sind genau dann kommutativ, wenn die Richtung der Translation parallel zur Gleitspiegelachse ist. Deshalb können Ungleichung 3.2.1 und Gleichung 3.2.2 nicht gleichzeitig gelten. Damit hat man also die ersten beiden Beh. des Satzes gezeigt.

Eine Spiegelung r hat die Ordnung 2 ⇒ φ(r) ist entweder eine Spiegelung oder eine Halbdrehung (denn φ(r)^{2} = φ(r^{2}) = φ(I) = I) Sei r Spiegelung mit φ(r) ist Halbdrehung. Wähle Translation τ ∈ G, deren Richtung nicht senkrecht zur Spiegelachse ist ⇒ τ r ist Gleitspiegelung, aber φ(τ r) = φ(τ) φ(r) ist Produkt aus einer Translation (s. Teil 1 des Beweises) und einer Halbdrehung und daher insgesamt eine Halbdrehung. Das ist ein Widerspruch, denn nach dem 1. Teil des Beweises müsste sich hier eigentlich eine Gleitspiegelung ergeben. ⇒ Spiegelungen werden auf Spiegelungen abgebildet ⇒ Drehungen müssen auf Drehungen abgebildet werden.

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Satz

Sind zwei Wallpaper Groups isomorph, so sind auch ihre Punktgruppen isomorph.

Beweis: vgl. M.A. Armstrong: Groups and Symmetry, p. 153