Ebene Kristallgruppen

von Alexander Bee

Einleitung

Satz: Es gibt 17 verschiedene, d.h zueinander nicht isomorphe ebene Kristallgruppen.

Um dies zu beweisen, betrachten wir die 5 möglichen Gittertypen für ein Gitter L und die zugehörigen orientierungserhaltenden Symmetrien für L. Diese Symmetrien bilden eine Symmetriegruppe. Jede Punktgruppe einer Kristallgruppe ist eine Untergruppe von dieser Symmetriegruppe. Durch diese Reduzierung auf die Punktgruppe ist es möglich, die Kristallgruppen zu einem Gittertypen zu numerieren. Eine ausführliche Analyse aller Fälle wäre zu umfangreich; wir begnügen uns mit den Kristallgruppen deren Ordnung ≤ 2 ist, um uns einen Einblick in den Beweis zu verschaffen. Die übrigen Fälle werden in ähnlicher Weise diskutiert. Daß diese Gruppen zueinander nicht isomorph sind, werden wir am Ende beweisen. Zunächst die Bezeichnungen für die folgenden Fallunterscheidungen:

G = ebene Kristallgruppe
H = die zu G gehörende Translationsuntergruppe
L = das Gitter zu G
J = die zu G gehörende Punktgruppe

Die Vektoren a und b spannen L auf, wobei a o.B.d.A auf der x-Achse liegen soll. A_{α} bezeichne die Matrix für eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel α und B_{ϕ} die Matrix für eine Spiegelung, deren Spiegelachse durch den Ursprung geht und mit der postitiven x-Achse einen Winkel von \frac{ϕ}{2} einschließt. I ist die Identitätsabbildung.

Beweis: Das Gitter von G sei ein Parallelogramm. Die einzigen orientierungserhaltenden Symmetrien sind die Identität und eine Drehung um den Winkel π um den Ursprung, also muß die zugehörige Punktgruppe eine Untergruppe von {+I, −I} sein.

Die ebene Kristallgruppe p1

J = {I}

Dies ist die einfachste von allen möglichen Kristallgruppen, sie wird durch zwei unabhängige Translationen erzeugt, welche von der Form

(ma + nb, I) mit m, n ∈ ℤ

sind.

Die ebene Kristallgruppe p2

J = {+I, −I}

Die Punktgruppe beinhaltet natürlich die Halb-Drehung um den Ursprung, also

(0, −I) ∈ G

Die Vereinigung von H und (0, −I) ergibt:

(ma + nb, I)(0, −I) = (ma + nb, −I), m, n ∈ ℤ,

mit anderen Worten, alle Halb-Drehungen um die Punkte

\frac{1}{2}ma + \frac{1}{2}nb

gehören zu G,weil die Punkte c sich aus

c = (I − M)^{−1}v
= (I − A_{π}) · \binom{ma}{nb}
= \binom{\frac{1}{2} ma}{\frac{1}{2} nb}

ergeben (siehe ”Die Euklidsche Gruppe” von Jan Oliver Kohlberg).

Sei nun das Gitter von G das Rechteck.

Es gibt vier orientierungserhaltende Symmetrien für L, nämlich die Identität, die Halb-Drehung, die Spiegelung an der x-Achse und die Spiegelung um die y-Achse, also ist die Punktgruppe eine Untergruppe von {I, −I, B_{0}, B_{π}}. Wir suchen nun nach Kristallgruppen die nicht isomorph zu p1 oder p2 sind.

Die ebene Kristallgruppe pm

J = {I, B_{0}}

G enthält die Spiegelung an der x-Achse

Die ebene Kristallgruppe pg

J = {I, B_{0}}

G enthält keine Spiegelungen an der x-Achse, sonst wäre pg isomorph zu pm. Also muß pg eine Gleitspiegelung an der x-Achse enthalten. Da zwei hintereinander ausgeführte Gleitspiegelungen eine Translation ergeben, muß unsere Gleitspiegelung die Form

(\frac{1}{2}ka, B_{0})k ∈ ℤ

haben. Falls k gerade ist, dann ist (−\frac{1}{2}ka, I) eine Translation in G und die Spiegelung

(0, B_{0}) = (−\frac{1}{2}ka, I)(\frac{1}{2}ka, B_{0})

liegt in G, was ein Widerspruch zu unserer Bedingung für pg ist. Also muß k ungerade sein und

(\frac{1}{2}a, B_{0}) = (−\frac{1}{2}(k − 1)a, I)(\frac{1}{2}ka, B_{0})

liegt in G. Die Elemente von G, welche keine Translationen sind, sind von der Form

(ma + nb, I)(\frac{1}{2}a, B_{0}) = ((m + \frac{1}{2})a + nb, B_{0}),

also alle Gleitspiegelungen an horizontalen Achsen, die durch Gitterpunkte oder deren Mittelpunkte gehen, gehören zu G. Die Länge von jedem Gleitvektor ist ein ungerades Vielfaches von \frac{1}{2}a. Ersetzt man {I, B_{0}} durch {I, B_{π}}, so vertauscht man die horizontale Achse mit der senkrechten, dies führt aber zu keiner neuen Gruppe.

Sei nun

J = {I, −I, B_{0}, B_{π}}

Es gibt drei Möglichkeiten für die ebenen Kristallgruppen:

(i) B_{0} und B_{π} werden durch Spiegelungen erzeugt

(ii) B_{0} oder B_{π} werden durch Spiegelungen erzeugt (iii) keine Spiegelungen

Diese werden wir im Folgenden klassifizieren.

zu (i) Die ebene Kristallgruppe p2mm

G beinhaltet sowohl Spiegelung an der x-Achse als auch an der y-Achse

zu (ii) Die ebene Kristallgruppe p2mg

Beinhalte G eine horizontale Spiegelung, aber keine senkrechte. Dann muß B_{π} durch eine Gleitspiegelung erzeugt werden. Wähle den Schnittpunkt der Spiegelachse mit der Gleitspiegelachse als Ursprung für die Gleitspiegelung. Benutze das Argument von pg, so gehören (0, B_{0}) und (\frac{1}{2}b, B_{π}) zu G.Also gehören auch

(\frac{1}{2}b, B_{π})(0, B_{0}) = (\frac{1}{2}b, −I),

d.h. die Halb-Drehungen um den Punkt \frac{1}{4}b zu G. Die Mengen

H, H(0, B_{0}), H(\frac{1}{2}b, B_{π}), H(\frac{1}{2}b, −I)

füllen G aus. Ein Element der 2. Menge hat die Form

(ma + nb, I)(0, B_{0}) = (ma + nb, B_{0})

Falls m = 0 ist, erhalten wir eine horizontale Spiegelung durch die Gitterpunkte oder ihre Mittelpunkte. Falls m ≠ 0 ist, erhalten wir Gleitspiegelungen mit dem Gleitvektor ma. Die dritte Menge beinhaltet Elemente der Form

(ma + (n + \frac{1}{2})b, B_{π}),

also senkrechte Gleitspiegelungen ,deren Achsen wieder durch Gitterpunkte oder durch deren Mittelpunkte gehen mit einem Gleitvektor, der ein ungerades Vielfaches von \frac{1}{2}b ist. H(\frac{1}{2}b, −I) beinhaltet alle Halb-Drehungen um die Punkte

\frac{1}{2}ma + \frac{1}{2}(n + \frac{1}{2})b.

zu (iii) Die ebene Kristallgruppe p2gg

Es gibt keine Spiegelung in G, also sind horizontale sowie vertikale Gleitspiegelungen in G enthalten

Das Gitter sei nun zentriertes Rechteck; die Punktgruppe ist die gleiche wie im vorherigen Rechteck-Gitter, also

J ⊂ {I, −I, B_{o}, B_{π}}

Die ebene Kristallgruppe cm

Annahme: Sei J = {I, B_{0}} und (v, B_{0}) erzeuge B_{0} in G, also entweder eine horizontale Spiegelung oder eine Gleitspiegelung. Der Ursprung liege auf der Gleitoder Spiegelachse, so daß 2v ein Vielfaches von a ist. Achtung: Senkrecht ist im zentrierten Rechteck durch den Vektor \binom{2b}{−a} definiert. Wenn 2v = kta und k gerade ist, dann gehört die Spiegelung von

(0, B_{0}) = (−\frac{1}{2}ka, I)(\frac{1}{2}ka, B_{0})

zu G. Die Elemente von G, die keine Translationen sind, haben die Form

(ma + nb, B_{0}) = (m + \frac{1}{2}n)a + \frac{1}{2}n(2b − a), B_{0}) m, n ∈ ℤ

Setze n gerade und m = \frac{1}{2}n, so erhalten wir alle horizontalen Spiegelungen durch Gitterpunkte. Wenn n gerade und m ≠ −\frac{1}{2}n ist, dann erhalten wir Gleitspiegelungen durch Gitterpunkte mit Verschiebungsvektor j·a, j ∈ ℤ. Falls n ungerade erhalten wir Gleitspiegelungen durch die Mittelpunkte der Gitterpunkte mit einem ungeraden Vielfachen von 1/2a als Verschiebungsvektor. Wenn k ungerade ist, dann liegt

(\frac{1}{2}(2b − a), B_{0}) = (−\frac{1}{2}(k + 1)a + b, I)(\frac{1}{2}ka, B_{0})

in G. Dies ist wieder eine Spiegelung und eine Verschiebung des Ursprungs auf die Spiegelachse führt zu dem obigen Fall. Ersetzen von {I, B_{0}} durch {I, B_{π}} führt zu einer Gruppe die isomorph zu cm ist.

Die ebene Kristallgruppe c2mm

J = {I, −I, B_{0}, B_{π}}

In diesem Fall werden B_{0} und B_{π} durch Spiegelungen erzeugt.

Dies sind nun alle ebenen Kristallgruppen mit Ordnung ≤ 2. Es ist nun zu prüfen, ob diese zueinander isomorph sind. Ein Isomorphismus zwischen zwei Kristallgruppen bildet eine Translation auf eine Translation, eine Drehung auf eine Drehung, eine Spiegelung auf eine Spiegelung und eine Gleitspiegelung auf eine Gleitspiegelung ab.

Die Kristallgruppen p2, pm, pg und cm sind zueinander nicht isomorph, d.h. sie sind verschieden.

Beweis:

1) p2 beinhaltet eine Rotation, die anderen nicht;
2) pg hat keine Spiegelung;
3) pm hat keine Gleitspiegelung.

Die Kristallgruppen p2mm, p2mg, p2gg, c2mm sind zueinander nicht isomorph.

Beweis:

1) p2gg hat keine Spiegelung;
2) p2mm hat keine Gleitspiegelung;
3) In c2mm sind alle Spiegelungen horizontal, zwei beliebige Spiegelungen

ergeben eine Translation. In p2mg gibt es horizontale und senkrechte Spiegelungen, das Produkt ist eine Halb-Drehung, die in p2mm nicht enthalten ist.

Abbildung 1: Beispiele Abbildung 2: Die behandelten ebenen Kristallgruppen Abbildung 3: Die nichtbehandelten, restlichen ebenen Kristallgruppen