Inhaltsübersicht und Stichwortverzeichnis

( Die Zahlen in Klammern geben die Seitenzahlen an, ansonsten bezeichnet Ü.4 z.B. den 4. Übungszettel )

Einführung (1-13)

Satz von der topologischen Invarianz der Dimension (3) Peano Kurve (4-7) Cantor–Menge (3-4; 38, Ü.6) Weg–Zusammenhangs–Klassen ( π_{0}(…) ) (8-11, Ü. 2; 8) Natürlichkeit der Konstruktion von π_{0}(…) (10-11) Schlingen ( in ℝ^{3} − 0 und ℝ^{2} − 0 ) (11-13; 55-73)

Topologische Räume (14-22)

metrische Räume (14-15) Umgebungen und offene Mengen in metrischen Räumen (15) topologische Räume (16-19) Umgebungen und offene Mengen in topologischen Räumen (18) Unterraumtopologie (19, Ü.4) Quotientenraumtopologie (20-22, Ü.3; 4) Universelle Eigenschaft der Quotientenraumtopologie (21)

Kompakte Räume (23-32)

Hausdorff–Räume (23, Ü.5) folgen–kompakt (24, Ü.3) quasikompakt (Überdeckungseigenschaft ) (24) Kompaktheit abgeschlossener Intervalle (24-25) kompakte und abgeschlossene Teilmengen (26-28) stetige Abbildungen (insb. topologische Äquivalenzen) kompakter Räume (28-30) Quotientenraum–Kriterium (28) normale Räume (29) Hausdorff–Eigenschaft von Quotientenräumen (30-32, Ü.3)

Produkte (33-46)

Produkte metrischer Räume (33-34) Produkttopologie (34; 36-37) Basis, Subbasis (34; 36, Ü.6) Universelle Eigenschaft der Produkttopologie (36, Ü.6) Kompaktheit von Produkten; Satz von Tychonoff (für endliche Produkte) (40-42) kompakte Teilmengen des ℝ^{n} (42-43) Beispiele (Torus, ℝ^{n}−0 ≈ S^{n−1}×ℝ , …) (44-46)

Disjunkte Vereinigung (47-49)

Vereinigung mit Durchschnitt (49-54)

Der Verklebeprozeß (51-54)

Schlingen und deren Homotopieklassen (55-73) Deformation (Homotopie) von Schlingen (55-56, Ü.7; 8) Natürlichkeit der Konstruktion von 𝒮(…) (56-57) Schlingen in Produkten (57-58) 𝒮(S^{n}), n ≥ 2 , hat nur 1 Element (58-65) Lebesgue’scher Überdeckungssatz (61-62) Deformation von Wegen relativ zu den Endpunkten (63) 𝒮(S^{1}) hat abzählbar unendlich viele Elemente (65-73) Windungszahl (65; 73) die Abbildung exp : ℝ → S^{1} und ihre lokalen Umkehrfunktionen (68-69) Liften von Schlingen in S^{1} zu Wegen in ℝ bzgl. der Abbildung exp (67; 69-70) Liften von Homotopien nach ℝ (70-72) Anwendungen der Berechnung von 𝒮(S^{n}) (58; 74)

Theorie der Fundamentalgruppe (74-79) Schleifen und deren Deformationsklassen (74-75) Fundamentalgruppe (75-76, Ü.9) Natürlichkeit der Konstruktion von π_{1}(…) (76) Berechnung von π_{1}(S^{n}, x) (77) die Rolle des Basispunktes (78-79)

Theorie der Überlagerungen (80-115)

Elementarumgebung (80) Blätterzahl (81; 111) Wege–Liftungs–Satz (83-85) Homotopie–Liftungs–Satz (86-87) Allgemeiner Liftungs–Satz (88-95) lokal weg–zusammenhängend (88) Abbildungen von Überlagerungen (95; 111) Konstruktion von Überlagerungen (96-105) universelle Überlagerung (96; 98, Ü.10) semi–lokal einfach–zusammenhängend (96) Decktransformation (106; 114-115) Operation von π_{1} auf dem Urbild des Basispunktes unter einer Überlagerungsprojektion (106; 111-112) Mengen mit Gruppenoperation (G–Mengen) (106-110) Bahn, transitive G–Mengen, Isotropiegruppe (107) Abbildungen von G–Mengen (108-110) 1 : 1 Beziehung zwischen Abbildungen von Überlagerungen und π_{1}(X, x_{0}) –Abbildungen von p^{−1}(x_{0}) (111-112) eindeutige Bestimmtheit einer Überlagerung durch die π_{1}(X, x_{0}) –Menge p^{−1}(x_{0}) (112-113) Isomorphie von Fundamentalgruppe und der Decktransformationengruppe der zugehörigen universellen Überlagerung (114)

Einführung

Eigentlich sollte ich versuchen, Ihnen zu erzählen, was das ist: Topologie. Es ist aber schwierig, in wenigen Worten zu skizzieren, was unter diesem Namen subsumiert in vielen Büchern steht. Ich will daher zunächst einige Aspekte nennen, die in dieser Vorlesung eine Rolle spielen werden. Als eine Art Einstieg werde ich danach einige spezielle Dinge ausführlicher diskutieren.

Sprache. Es gibt ziemlich viele Vokabeln der Topologie. Bei einigen von diesen ist es auch in anderen Gebieten der Mathematik wichtig, daß man sie beherrscht: Topologischer Raum; stetige Abbildung; Zusammenhang; kompakt; …

Grundlagen der Analysis. Ziemlich viele Sätze der Analysis lassen sich in der Sprache der Topologie formulieren (und verallgemeinern). Es wäre ein Irrtum, zu glauben, daß die Sätze dadurch unbedingt besser werden. Man versteht sie aber wohl ein kleines bißchen besser auf diese Art, und vor allem lassen sie sich leichter merken.

Zum Beispiel gibt es folgenden Sachverhalt, den wir später noch eingehend diskutieren werden: Wenn X ein kompakter Raum ist (denken Sie an eine kompakte Teilmenge eines euklidischen Raumes) und wenn

f : X ⟶ (irgendwohin)

eine stetige Abbildung ist, dann ist auch Bild (f) = f(X) kompakt. Man kann dies auffassen als eine Verallgemeinerung des Maximumprinzips. Denn im Spezialfall einer reellen Funktion, d.h. einer Abbildung f : X ⟶ ℝ , hat die Kompaktheit von Bild (f) ⊂ ℝ als unmittelbare Konsequenz, daß die Funktion ein Maximum besitzt.

Gestalt–Erkennung. Zunächst eine Vokabel: Wenn X ⊂ ℝ^{n} und Y ⊂ ℝ^{n} , dann wollen wir sagen, daß X und Y topologisch äquivalent sind, wenn es stetige Abbildungen

f : X ⟶ Y und g : Y ⟶ X

gibt, die zueinander invers sind, d.h. es ist f ∘ g = id_{Y} und g ∘ f = id_{X} .

Beispiele. 1. Das Quadrat und der Kreis (genauer gesagt, die beiden Kurven in der Ebene, die durch diese Worte beschrieben sind) sind zueinander topologisch äquivalent.

— Um das einzusehen, stellen wir uns vor, daß die beiden konzentrisch zueinander angeordnet sind und daß wir selbst in der Mitte stehen. Wenn wir nun in irgendeine Richtung schauen, so sehen wir sowohl vom Quadrat als auch vom Kreis genau einen Punkt. Dies liefert die behauptete ein–eindeutige Zuordnung. Es ist klar (oder?) daß diese Zuordnung auch in beiden Richtungen stetig ist.

2. Das offene Intervall (−1, +1) und die Gerade ℝ sind zueinander topologisch äquivalent; z.B. vermöge der beiden Abbildungen

f : ℝ ⟶ (−1, +1)  g : (−1, +1) ⟶ ℝ

x ⟼ \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}  y ⟼ \frac{y}{\sqrt{1−y^{2}}}

Diese Beispiele illustrieren, was auch allgemeiner gilt. Nämlich in der Regel ist eine Behauptung der Art “ X und Y sind topologisch äquivalent” nicht besonders aufregend. Der Grund liegt im Prinzip des menschlichen Erfindungsreichtums. Wenn man nämlich mit solch einer Behauptung konfrontiert wird, dauert es meist nicht sehr lange, bis man selbst in der Lage ist, sich eine solche Äquivalenz auszudenken (vorausgesetzt natürlich, daß die Behauptung überhaupt richtig war). Selbstverständlich gibt es auch hier Ausnahmen, darunter ganz spektakuläre.

Ganz anders liegt es mit Behauptungen der Art, daß zwei vorgegebene Räume X und Y nicht topologisch äquivalent seien. Hier langt es nicht, irgendwelche Abbildungen zu erfinden, denn die Behauptung ist ja gerade, daß es Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften gar nicht gibt. Es geht auch nicht, daß man etwa die vorhandenen Abbildungen durchmustert um nachzuschauen, ob vielleicht topologische Äquivalenzen darunter sind — i.a gibt es einfach viel zu viele Möglichkeiten, die da zu inspizieren wären. Es bleibt einem in dieser Situation kaum eine andere Wahl: Wohl oder übel wird man sich einen Grund ausdenken müssen, warum eine topologische Äquivalenz gar nicht existieren kann. Oft ist das sehr schwierig.

Beispiele. 1. Die 2-dimensionale Sphäre ( = Kugeloberfläche) und der 2-dimensionale Torus ( = (Auto-)Reifenoberfläche) sind offensichtlich (!!) nicht topologisch äquivalent. Dies zu beweisen erfordert aber einigen Aufwand.

2. ℝ^{2} und ℝ^{3} (die euklidischen Räume der Dimensionen 2 und 3 ) sind offensichtlich (!!) nicht topologisch äquivalent, allgemeiner: ℝ^{m} und ℝ^{n} sind nicht topologisch äquivalent, wenn m ≠ n ; dies ist der sogenannte Satz von der topologischen Invarianz der Dimension.

Letzterer Satz wurde erstmals ca. 1910 bewiesen (oder ca. 1930 — je nachdem wie genau man es nimmt mit der Stichhaltigkeit der verwendeten Argumente). Vor 1910 jedenfalls war der Satz ein berühmtes Problem, das als sehr beunruhigend empfunden wurde.

Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde das Problem als solches überhaupt erkannt. Das steht im Zusammenhang mit einer bemerkenswerten Entdeckung des Mathematikers Peano; das von diesem entdeckte Phänomen wird heutzutage üblicherweise auch als die Peano–Kurve bezeichnet.

Satz. Für jedes n existiert eine surjektive (!) stetige Abbildung ℝ^{1} → ℝ^{n} .

Ich möchte zunächst noch einmal auf diese beiden Aspekte des Satzes von der topologischen Invarianz der Dimension eingehen. Einmal ist der Satz “offensichtlich richtig” in dem Sinne, daß er uns nach dem, was wir über die Realität wissen (oder zu wissen glauben) beinahe als eine grundlegende Tatsache unserer Erkenntnis erscheint, zumindest für m, n ≤ 3 . Zum andern ist der Satz sehr schwer zu beweisen.

Diese beiden Tatsachen stehen nicht im Widerspruch zueinander. Man muß sich hier folgendes klarmachen.

Zu einem mathematischen Satz gehört ein mathematischer Sachverhalt; im vorliegenden Fall ein mathematisches Modell für den Begriff Raum. (Das Modell besteht darin, daß postuliert wird, gewisse Aspekte des m–dimensionalen Raumes (im Sinne unserer Anschauung) seien sehr gut beschreibbar durch den “Raum” der m–Tupel reeller Zahlen).

Sich auf diese Weise ein Modell zu verschaffen, bedeutet eine Art “höheres Raten”. Nun ist es aber gar nicht ausgemacht, daß man sogleich richtig geraten hat (oder daß dies überhaupt möglich ist). Wenn man wissen will, ob das Modell adäquat ist, so muß man es studieren. Dazu gehört der Nachweis, daß das Modell die Sachen auch liefert, die es gefälligst zu liefern hat. Im vorliegenden Fall bedeutet dies, daß wir verpflichtet sind, die Gültigkeit des Satzes von der topologischen Invarianz der Dimension innerhalb des gewählten Modells nachzuweisen; mit anderen Worten, den Satz zu beweisen in der Ihnen bekannten Form — und dabei hilft uns die Anschauung möglicherweise nur wenig.

Zurück nun zur Peano–Kurve. Ich führe die Konstruktion zunächst durch für die folgende Variante. Dazu bezeichne [0, 1] = { x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1 } das Einheitsintervall; und [0, 1] × [0, 1] das Einheitsquadrat.

Satz. Es gibt eine surjektive stetige Abbildung [0, 1] ⟶ [0, 1] × [0, 1] .

Beweis. Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten.

Wir definieren eine Menge C ⊂ [0, 1] , die sogenannte Cantor–Menge (sie ist benannt nach ihrem Entdecker, dem Mathematiker Cantor) und überzeugen uns sodann von der Gültigkeit der folgenden drei Aussagen

(a) es gibt eine surjektive stetige Abbildung C ⟶ C × C ,

(b) es gibt eine surjektive stetige Abbildung C ⟶ [0, 1] ,

(c) jede stetige Abbildung C ⟶ [0, 1] × [0, 1] läßt sich fortsetzen zu einer stetigen Abbildung, die auf dem ganzen Intervall [0, 1] definiert ist.

Sobald wir diese Dinge gezeigt haben, werden wir fertig sein. Denn mit Hilfe von (a) und (b) können wir eine surjektive stetige Abbildung erhalten

f : C ⟶^{(a)} C × C ⟶^{(b)} [0, 1] × [0, 1] .

Wegen (c) können wir die Abbildung f zu einer stetigen Abbildung auf ganz [0, 1] erweitern. Die resultierende stetige Abbildung [0, 1] ⟶ [0, 1] × [0, 1] ist nun automatisch surjektiv. Der Grund ist höchst kurios. Nämlich die konstruierte Abbildung hat als Einschränkung auf C ja gerade die oben f genannte Abbildung, und die war schon surjektiv.

Nun zur Cantor–Menge! Man kann sie sich vorstellen, wenn auch vielleicht nicht besonders gut. Sie entsteht aus dem Intervall [0, 1] indem man aus diesem das offene mittlere Drittel wegläßt; aus den entstehenden beiden Intervallen [0, 1/3] und [2/3, 1] wieder jeweils das mittlere Drittel; und so fort, ad infinitum.

Die Konstruktion läßt sich prägnant beschreiben mit Hilfe der triadischen Entwicklung der reellen Zahlen (d.h. dem Analogon der Dezimalbruch–Entwicklung, wo eben die 10 durch die 3 ersetzt ist). Jede Zahl aus [0, 1] hat eine Darstellung der Art

x = ∑_{i=1}^{∞} \frac{a_{i}}{3^{i}} , a_{i} ∈ \{0, 1, 2\} ,

wo, wie auch sonst, die vorkommende unendliche Summe aufzufassen ist als der Limes der entsprechenden Partialsummen,

lim_{n→∞} ∑_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{3^{i}} .

Wie man es von der Dezimal–Entwicklung kennt, so ist auch die triadische Darstellung nicht in allen Fällen eindeutig. Wir schauen genauer hin. Seien also

x = ∑_{i=1}^{∞} \frac{a_{i}}{3^{i}} und y = ∑_{i=1}^{∞} \frac{b_{i}}{3^{i}}

zwei Ausdrücke, die möglicherweise dieselbe reelle Zahl darstellen, von denen wir aber annehmen wollen, daß sie verschieden sind. Bezeichne m die erste Stelle, wo die beiden sich unterscheiden. Es ist m ≥ 1 und wir haben

a_{i} = b_{i} für i ≤ m − 1 , aber a_{m} ≠ b_{m}

und o.B.d.A. a_{m} < b_{m} . Die Differenz y − x können wir nun schreiben als

(\frac{b_{m}}{3^{m}} − \frac{a_{m}}{3^{m}} ) − ( ∑_{i=m+1}^{∞} \frac{a_{i}}{3^{i}} − ∑_{i=m+1}^{∞} \frac{b_{i}}{3^{i}} ) .

Wegen

∑_{i=m+1}^{∞} \frac{a_{i}}{3^{i}} − ∑_{i=m+1}^{∞} \frac{b_{i}}{3^{i}} ≤ ∑_{i=m+1}^{∞} \frac{2}{3^{i}} − 0 = \frac{2}{3^{m+1}} (1 + \frac{1}{3} + …) = \frac{1}{3^{m}}

ist der Subtrahend ≤ \frac{1}{3^{m}} , und für das Gleichheitszeichen ist es notwendig, daß alle a_{i} gleich 2 und alle b_{i} gleich 0 sind. Abgezogen andererseits wird von (b_{m} − a_{m}) \frac{1}{3^{m}} , wo der Faktor (b_{m} − a_{m}) entweder gleich 1 oder gleich 2 ist. Damit y − x = 0 gelten kann, müssen wir also haben

a_{m+1} = a_{m+2} = ⋯ = 2
b_{m+1} = b_{m+2} = ⋯ = 0

und b_{m} = a_{m} + 1 . Letzteres bedeutet übrigens, daß eines von a_{m} und b_{m} gleich 1 sein muß (da ja nur die Werte 0, 1, 2 in Frage kommen).

Unsere Überlegung gestattet noch die folgende Schlußfolgerung, die wir weiter unten verwenden werden: Wenn m die erste Stelle ist, an der die Ausdrücke für x und y sich unterscheiden und wenn (in der obigen Notation) b_{m} = 2 , a_{m} = 0 , dann ist

notwendigerweise |y − x| ≥ \frac{1}{3^{m}} .

Die Cantor–Menge C sei jetzt definiert als

C : = \{ x ∈ [0, 1] | x = ∑_{i=1}^{∞} \frac{a_{i}}{3^{i}} , a_{i} = 0 oder 2 \}

oder, was auf dasselbe hinausläuft: C besteht aus all denjenigen reellen Zahlen aus [0, 1] , die eine triadische Entwicklung haben, in der die Ziffer 1 nicht vorkommt.

Es ist zum Beispiel \frac{1}{3} ∈ C , da ja \frac{1}{3} = ∑_{i=2}^{∞} \frac{2}{3^{i}} . Andererseits zeigt die vorstehende Diskussion, daß jeder Punkt der Cantor–Menge eine eindeutige triadische Darstellung hat, in der die Ziffer 1 nicht vorkommt. Wie wir gesehen haben, gilt auch dies: Wenn zwei solche Ausdrücke sich an der m–ten Stelle unterscheiden, dann ist ihre Differenz, dem Betrage nach, mindestens \frac{1}{3^{m}} .

Wir kommen jetzt zum Beweis der obigen drei Aussagen (a), (b), (c) .

zu (a) Die Abbildung C ⟶ C × C , x ↦ (x′, x′′) , ist ein mathematisches Modell vom Reißverschluß; sie ist gegeben durch

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, …) ⟼ ( (a_{1}, a_{3}, a_{5}, …) , (a_{2}, a_{4}, a_{6}, …) )

wobei x = ∑ \frac{a_{i}}{3^{i}} die triadische Entwicklung von x bezeichnet (ohne Einsen, also auch eindeutig bestimmt).

1. die Abbildung ist stetig — denn seien x = ∑ \frac{a_{i}}{3^{i}} und y = ∑ \frac{b_{i}}{3^{i}} mit |x−y| < \frac{1}{3^{2n}} . Dann unterscheiden sich (a_{1}, …) und (b_{1}, …) nicht vor dem Index 2n+1 und somit (a_{1}, a_{3}, …) und (b_{1}, b_{3}, …) nicht vor dem Index n + 1 ; folglich ist

|x′ − y′| ≤ \frac{2}{3^{n+1}} + \frac{2}{3^{n+2}} + … = \frac{1}{3^{n}} .

Die zweite Komponente behandelt man ähnlich.

2. die Abbildung ist surjektiv — denn zu x′, x′′ ∈ C erhält man durch “Mischen” der dazugehörigen Folgen ein Urbild. (Tatsächlich ist die angegebene Abbildung sogar bijektiv und in beiden Richtungen stetig; wir brauchen das aber nicht.)

zu (b) Die Abbildung C ⟶ [0, 1] wird so definiert. Zunächst identifieren wir den Punkt ∑ \frac{a_{i}}{3^{i}} mit der dazugehörigen Folge (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …) (hier benutzen wir die Eindeutigkeit der Darstellung von Punkten der Cantor-Menge). Die erhaltene Folge ist nun eine 0 − 2− Folge in dem Sinne, daß jedes der Folgenglieder entweder eine 0 oder eine 2 ist. Aus der 0 − 2− Folge machen wir eine 0 − 1− Folge auf die einfachstmögliche Weise. Wir dividieren nämlich jedes der Folgenglieder durch 2 . Wir erhalten so die 0 − 1− Folge (a_{1}/2, a_{2}/2, a_{3}/2, …) . Aus dieser 0 − 1− Folge schließlich verschaffen wir uns wieder eine reelle Zahl. Nämlich wir nehmen die dazugehörige duadische Darstellung. Kurz gesagt, die Abbildung ist gegeben durch

∑ \frac{a_{i}}{3^{i}} ⟼ ∑ \frac{a_{i}/2}{2^{i}} .

1. die Abbildung ist stetig — denn wenn |x − y| < \frac{1}{3^{n}} , so unterscheiden sich die dazugehörigen Folgen nicht vor dem Index n + 1 ; folglich

| Bild(x) − Bild(y) | ≤ \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+2}} + … = \frac{1}{2^{n}} .

2. die Abbildung ist surjektiv — denn jede reelle Zahl besitzt eine Darstellung im duadischen System.

zu (c) Um die verlangte Erweiterung der Abbildung zu definieren, gehen wir die Komponenten des Komplements von C einzeln durch. Das Komplement von C enthält:

• (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) , das offene Intervall, das aus den x = ∑ \frac{a_{i}}{3^{i}} besteht mit a_{1} = 1 . Die

Endpunkte \frac{1}{3} bzw. \frac{2}{3} gehören beide zu C (wegen \frac{1}{3} = \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}} + ⋯) . Wir erweitern f auf dieses Intervall, indem wir f dort als lineare Funktion definieren,

f (\frac{1}{3} + t (\frac{2}{3} − \frac{1}{3})) : = f (\frac{1}{3}) + t (f (\frac{2}{3}) − f (\frac{1}{3})) , t ∈ [0, 1] .

Die Definition ist sinnvoll, weil f auf den Randpunkten schon vorher definiert war (die Randpunkte gehören ja zu C , wie eben angemerkt wurde).

• (0 + \frac{1}{3^{2}} , 0 + \frac{2}{3^{2}} ) und (\frac{2}{3} + \frac{1}{3^{2}} , \frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} ) , die beiden offenen Intervalle, die

aus denjenigen Zahlen bestehen, wo die zweite Ziffer in der triadischen Entwicklung eine 1 ist, die erste Ziffer aber nicht; wie oben gehören die Randpunkte wieder zu C , so daß wir f wieder linear erweitern können. Und schließlich, allgemein (für jedes n ),

• (∑_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{3^{i}} + \frac{1}{3^{n+1}} , ∑_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{3^{i}} + \frac{2}{3^{n+1}} ) , die 2^{n} offenen Intervalle, wo jedes der

a_{i} entweder 0 oder 2 ist. Auch auf diesen Intervallen wird f wieder linear erweitert.

Mit der Konstruktion erhalten wir insgesamt eine Erweiterung von f auf ganz [0, 1] ; etwas mißbräuchlich wollen wir die erweiterte Abbildung ebenfalls mit f bezeichnen. Wir müssen noch nachweisen, daß die konstruierte Abbildung stetig ist. Dazu untersuchen wir die lokale Stetigkeit in einem Punkt x . Wir unterscheiden Fälle.

1. Fall. x ∉ C Der Fall bedeutet, daß x in einem der Intervalle liegt, in denen f als lineare Funktion definiert worden ist; und zwar liegt x im Innern des fraglichen Intervalls. Die Stetigkeit ist klar in diesem Fall.

2. Fall. x ∈ C Wir benutzen folgende Bemerkung. Wenn f bei x nicht stetig ist, dann gibt es eine gegen x konvergente Folge, deren Bildfolge nicht ( oder zumindest nicht gegen f(x) ) konvergiert. Um zu zeigen, daß das hier nicht vorkommen kann, betrachten wir eine Folge (x_{n}) in [0, 1] mit lim x_{n} = x .

Als Hilfsmittel bestimmen wir zunächst zu der gegebenen Folge (x_{n}) eine andere Folge, deren sämtliche Folgenglieder in C liegen. Dazu wird jedes x_{n} ∉ C ersetzt durch einen der beiden Randpunkte x′_{n} des Intervalls, in dem x_{n} liegt; und zwar wird der Randpunkt x′_{n} so bestimmt, daß für den anderen Randpunkt x′′_{n} gilt |f (x′_{n}) − f(x)| ≥ |f (x′′_{n}) − f(x)| . Die Abbildung f ist auf dem Intervall eine lineare Abbildung, wir haben also als Konsequenz, daß |f (x_{n}) − f(x)| ≤ |f (x′_{n}) − f(x)| (oder?). Es wird somit genügen zu zeigen, daß die Folge (f(x′_{n})) gegen f(x) konvergiert. Für eine weitere Fallunterscheidung nehmen wir zunächst nun an, daß die vorgegebene Folge noch die folgende Bedingung erfüllt:

(∗) In jedem der Intervalle des Komplements von C liegen nur endlich viele der x_{n} .

Wenn die Bedingung (∗) erfüllt ist, können wir sicher sein, daß mit der Folge (x_{n}) auch die Folge (x′_{n}) gegen x konvergiert. Denn wenn man aus unseren fraglichen Intervallen eine Folge bildet, in der jedes Intervall nur endlich oft vorkommt, so geht die zugehörige Folge der Längen gegen null; also geht auch die Folge der Differenzen (x′_{n} − x_{n}) gegen null.

Nun ist aber (x′_{n}) eine Folge in C , sie konvergiert gegen x (wegen unserer Annahme), und die Funktion f ist auf C stetig. Es folgt, daß lim f (x′_{n}) = f(x) .

Schließlich müssen wir noch den Fall betrachten, wo die Bedingung (∗) nicht erfüllt ist; das heißt, daß es ein Intervall I des Komplements von C gibt, in dem unendlich viele der Folgenglieder liegen. Es folgt sofort, daß x ein (Rand–)Punkt von I sein muß. Da die Funktion f auf I linear ist, können wir die Folgenglieder in I ignorieren. Die Teilfolge der restlichen Folgenglieder ist nun entweder endlich (in dem Fall ist nichts mehr zu beweisen) oder unendlich. In jedem Fall erfüllt sie die Bedingung (∗) . Denn es gibt keine zwei unter den fraglichen Intervallen, die einen Randpunkt gemeinsam hätten. Wir haben uns somit auf den Spezialfall zurückgezogen. □

Was Peano–Kurven allgemein angeht, sei hier nur folgendes angemerkt:

1. Um eine stetige surjektive Abbildung ℝ^{1} ⟶ ℝ^{1} × ℝ^{1} zu konstruieren geht man ganz genauso vor, nur daß man beginnt mit reellen Zahlen der Form

a_{−m} 3^{m} + a_{−m+1} 3^{m−1} + ⋯ + a_{0} + \frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + ⋯

2. Ist f : ℝ^{1} ⟶ ℝ^{1} × ℝ^{1} stetige und surjektive Abbildung, so erhält man eine stetige surjektive Abbildung ℝ^{1} ⟶ ℝ^{1} × (ℝ^{1} × ℝ^{1}) als Komposition der Abbildungen

ℝ^{1} ⟶^{f} ℝ^{1} × ℝ^{1} ⟶^{id×f} ℝ^{1} × (ℝ^{1} × ℝ^{1}) .

Durch Induktion erhält man hieraus für jedes n eine stetige und surjektive Abbildung ℝ^{1} ⟶ ℝ^{n} .

Ich habe schon betont, daß der Satz von der topologischen Invarianz der Dimension schwierig zu beweisen ist, aber in einem speziellen Fall ist er doch relativ einfach, und diesen Fall will ich hier behandeln.

Satz. Für kein n > 1 ist es richtig, daß ℝ^{1} und ℝ^{n} topologisch äquivalent sind.

Der Beweis ist dadurch äußerst interessant, daß er eine für die Topologie typische Schlußweise illustriert. Die grundlegende Idee besteht darin, daß man einem Raum gewisse “diskrete Strukturen” zuordnen kann mit den folgenden beiden Eigenschaften:

1. Die zugeordnete Struktur ist “topologisch invariant”; das heißt, wenn X und Y topologisch äquivalent sind, dann sind auch die zugeordneten Strukturen äquivalent. (In unserem speziellen Fall wird die zugeordnete Struktur eine diskrete Menge sein, und äquivalent wird in dem Fall heißen gleiche Anzahl von Elementen).

2. Die zugeordnete Struktur ist “berechenbar”. (In unserem Fall wird die Menge endlich sein und wir können die Anzahl ihrer Elemente einfach abzählen).

Die hier interessierende Struktur ist die Menge der Weg–Zusammenhangs–Klassen; die Konstruktion geht so: Sei X ein Raum. Zwei Punkte x, y ∈ X heißen wege–äquivalent, wenn es einen Weg in X gibt, der sie verbindet; das ist, nach Definition, eine stetige Abbildung

w : [0, 1] ⟶ X

mit w(0) = x und w(1) = y .

Die Wege–Äquivalenz ist eine Äquivalenz–Relation; die Nachprüfung erfordert keinen Tiefsinn:

Symmetrie: Ist w : [0, 1] ⟶ X stetige Abbildung mit w(0) = x und w(1) = y , so ist auch w′ : [0, 1] ⟶ X , die Komposition der stetigen Abbildungen

[0, 1] ⟶ [0, 1] ⟶ X
t ⟼ 1 − t ⟼ w(1 − t)

wieder stetig, und es gilt w′(0) = w(1) = y und w′(1) = w(0) = x .

Transitivität: Seien v, w : [0, 1] ⟶ X Wege mit v(0) = x , v(1) = w(0) = y , w(1) = z . Dann gibt es auch einen Weg von x zu z ,

u(t) := \{ \begin{matrix}v(2t) & wenn 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2} \\ w(2t − 1) & wenn \frac{1}{2} ≤ t ≤ 1 \end{matrix} .

Definition. π_{0}X , die Menge der Weg–Zusammenhangs–Klassen, ist die Menge der Äquivalenzklassen von Punkten von X unter der angegebenen Äquivalenzrelation.

Beispiele. 1. π_{0}ℝ^{n} hat nur ein Element — denn zu x, y ∈ ℝ^{n} gibt es den Weg t ↦ x + t (y − x) , t ∈ [0, 1] , der die beiden verbindet.

2. π_{0} (ℝ^{1} − 0) hat zwei Elemente — zunächst gibt es höchstens zwei Elemente. Denn je zwei positive reelle Zahlen sind wege–äquivalent: t ↦ x + t (y − x) ist für positive x und y ein Weg in den positiven reellen Zahlen. Ebenso sind je zwei negative Zahlen wege–äquivalent. Andererseits gibt es aber auch mindestens zwei Elemente, denn ein Weg zwischen einer positiven und einer negativen Zahl trifft notwendigerweise die 0 ; dies sagt der Zwischenwertsatz aus der Analysis.

3. π_{0} (ℝ^{n} − 0) hat nur ein Element für n ≥ 2 — denn seien x, y ∈ ℝ^{n} − 0 . Im Falle, wo die Strecke x + t (y − x) , t ∈ [0, 1] , den Punkt 0 nicht trifft, sind x und y wege–äquivalent in ℝ^{n}−0 vermöge dieser Strecke. Wenn andererseits 0 auf der Strecke x+t (y −x) liegt, so wählen wir irgendeinen Punkt a , der nicht auf der Geraden durch x und y liegt (das geht wegen n ≥ 2 ) ; x und y sind dann jeweils wege–äquivalent zu a in ℝ^{n} − 0 (der vorige Fall ist anwendbar) und somit auch untereinander.

Satz. Für n ≥ 2 sind ℝ^{1} und ℝ^{n} nicht topologisch äquivalent.

Entgegen der Behauptung nehmen wir an, sie wären es doch. Wir nehmen also an, daß es zueinander inverse stetige Abbildungen

f : ℝ^{1} ⟶ ℝ^{n} und g : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{1}

gibt, und wir wollen diese Annahme zum Widerspruch führen. Der Bequemlichkeit halber wollen wir hier zusätzlich auch noch annehmen, daß f(0) = 0 . Diese zusätzliche Annahme ist keine Einschränkung der Allgemeinheit. Denn sei etwa f(0) = z . Nun gibt es zweifellos eine bijektive und in beiden Richtungen stetige Abbildung h : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} mit h(z) = 0 ; z.B. die Abbildung x ↦ x−z . Wir brauchen also nur die Abbildung f zu ersetzen durch die zusammengesetzte Abbildung h ∘ f und entsprechend die Abbildung g durch g ∘h^{−1} , wo h^{−1} die Umkehrabbildung von h bezeichnet. Wir nehmen also jetzt an, f(0) = 0 .

Der Trick ist nun, die beiden folgenden eingeschränkten Abbildungen zu betrachten

f′ : ℝ^{1} − 0 ⟶ ℝ^{n} − 0 und g′ : ℝ^{n} − 0 ⟶ ℝ^{1} − 0 .

Da diese Abbildungen ebenfalls zueinander invers sind, liefern sie eine topologische Äquivalenz zwischen ℝ^{1} − 0 und ℝ^{n} − 0 .

Das kann aber nicht sein — denn betrachte f′(+1) und f′(−1) : diese sind in ℝ^{n} − 0 durch einen Weg verbindbar ( π_{0} (ℝ^{n} − 0) hat nach Beispiel 3 nur ein Element ) . Aus unserer ominösen topologischen Äquivalenz schließen wir, daß dann auch +1 und −1 in ℝ^{1}−0 durch einen Weg verbindbar sind. Andererseits wissen wir aber auch, daß dem nicht so ist (Beispiel 2). Wir haben einen Widerspruch erhalten. □

Bemerkung. Der Punkt bei der obigen Schlußweise ist der: Wenn die stetige Abbildung w : [0, 1] ⟶ ℝ^{n} − 0 einen Weg in ℝ^{n} − 0 von f′(+1) zu f′(−1) gibt, so gibt die zusammengesetzte Abbildung w′ = g′ ∘ w einen Weg in ℝ^{1} − 0 von

+1 = g′(f′(+1)) zu − 1 = g′(f′(−1))

— was ja nicht sein kann.

Die Konstruktion X ⟼ π_{0} X ist ein einfaches Beispiel einer sogenannten topologischen Invariante. Das Beispiel ist geeignet, um einige formale Aspekte herausstellen, die man sich gut merken kann, und die — mehr oder weniger — den Begriff der topologischen Invariante ausmachen: a. Zu jedem Raum gehört ein “Ding” — im vorliegenden Fall ist dem Raum X die Menge π_{0} X zugeordnet.

b. Zu jeder stetigen Abbildung von Räumen gehört eine Abbildung der zugeordneten Dinge — im vorliegenden Fall ist der Abbildung f : X ⟶ Y eine Abbildung (von Mengen) π_{0} f zugeordnet,

π_{0} f : π_{0} X ⟶ π_{0} Y .

Wenn [x] die Wege–Äquivalenz–Klasse von x bezeichnet, so ist diese Abbildung definiert durch

[x] ⟼ [f(x)] ;

wobei wir noch nachzuprüfen müssen, daß letztere Zuordnung wohl–definiert ist,

[x] = [y] ⟹ [f(x)] = [f(y)] .

Nun bedeutet aber “ [x] = [y] ” , es gibt einen Weg von x zu y , d.h. eine stetige Abbildung

w : [0, 1] ⟶ X mit w(0) = x , w(1) = y .

Dann ist die Abbildung w′ = f ∘ w , die Komposition der stetigen Abbildungen

[0, 1] ⟶^{w} X ⟶^{f} Y ,

ein Weg mit

w′(0) = f(w(0)) = f(x) und w′(1) = f(w(1)) = f(y) ;

es ist also [f(x)] = [f(y)] .

c. Die Zuordnung f ⟼ π_{0} f respektiert Komposition von Abbildungen: wenn

f : X ⟶ Y , g : Y ⟶ Z

stetige Abbildungen sind, dann ist π_{0}(g ∘ f) = π_{0} g ∘ π_{0} f . Klar, denn

π_{0} (g ∘ f) [x] =_{Def. von π_{0}(g ∘f)} [ (g ∘ f) (x) ] =

[ g (f(x)) ] =_{Def. von π_{0} g} π_{0} g ( [f(x)] ) =_{Def. von π_{0} f}

π_{0} g ( π_{0} f ( [x] )) = π_{0} g ∘ π_{0} f ( [x] ) .

d. Die identische Abbildung auf X induziert die identische Abbildung auf π_{0} X ,

π_{0} id_{X} = id_{π_{0}X} .

Für den Sachverhalt, der durch die Eigenschaften a. – d. ausgedrückt ist, sagt man auch, daß die Zuordnung

X ⟼ π_{0} X , (f : X ⟶ Y) ⟼ (π_{0} f : π_{0} X ⟶ π_{0} Y)

funktoriell ist, oder auch, daß sie “ein Funktor” ist.

Die Eigenschaften a. – d. implizieren formal eine weitere, nämlich

X und Y topologisch äquivalent ⟹ π_{0} X und π_{0} Y sind isomorphe Mengen.

Denn seien f : X ⟶ Y und g : Y ⟶ X stetige Abbildungen mit f ∘ g = id_{Y} und g ∘ f = id_{X} . Dann gilt:

π_{0} f ∘ π_{0} g =_{(c)} π_{0}(f ∘ g) =_{(b)} π_{0} id_{Y} =_{(d)} id_{π_{0}Y}

und ebenso auch π_{0} g ∘ π_{0} f = id_{π_{o} X} . Das heißt, π_{0} f und π_{0} g sind zueinander inverse Abbildungen zwischen π_{0} X und π_{0} Y .

Letzteres mag man ansehen als eine formalisierte Version (und Verallgemeinerung) unserer früheren Überlegung, daß ℝ^{1} − 0 und ℝ^{n} − 0 für n ≥ 2 nicht topologisch äquivalent sind: Die beiden Räume können nicht topologisch äquivalent sein, da π_{0} (ℝ^{1} − 0) und π_{0} (ℝ^{n} − 0) nicht isomorphe Mengen sind.

Wir wollen jetzt noch kurz eine topologische Invariante erfinden, mit der wir ℝ^{2} von ℝ^{3} unterscheiden können (sofern wir nur bereit sind, gewisse Dinge plausibler Art als Tatsachen zu akzeptieren). Mit demselben Trick wie vorher ziehen wir uns zunächst auf die Behauptung zurück, daß ℝ^{2} − 0 und ℝ^{3} − 0 nicht topologisch äquivalent sind.

Wir lassen uns von der Idee leiten, daß die Löcher in ℝ^{2} − 0 und ℝ^{3} − 0 von verschiedenem Typ sein sollten. Um den Unterschied dingfest zu machen, untersuchen wir, ob etwa eine Schlinge um das Loch herum zusammengezogen werden kann ohne das Loch zu treffen. Unsere Vermutung ist, daß das im zweiten Falle geht, im ersten aber nicht.

Es bezeichne S^{1} die 1–dimensionale Sphäre (= Kreislinie)

S^{1} = { x ∈ ℝ^{2} | ∥x∥ = 1 } .

Wenn X ein Raum ist, dann bezeichne

{S^{1} , X} = Menge der stetigen Abbildungen S^{1} ⟶ X .
( = “Menge der Schlingen in X” ) .

Dies ist eine sehr große (und sehr unübersichtliche) Menge, an der wir nicht so sehr unmittelbar interessiert sind. Vielmehr interessieren wir uns für eine bestimmte Äquivalenzrelation auf der Menge der Schlingen, und was wir letztlich betrachten werden, ist die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich dieser Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzrelation wird als Deformations-Äquivalenz (oder Homotopie) bezeichnet; die Äquivalenzklassen heißen Deformationsklassen (oder Homotopieklassen). In der vorliegenden Situation wird die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen S^{1} ⟶ X mit [S^{1} , X] bezeichnet.

Nun zur Definition der Äquivalenzrelation. Wir wollen sagen, daß zwei Abbildungen f_{0}, f_{1} : S^{1} ⟶ X deformations–äquivalent sind (oder “homotop” — diese Worte bedeuten dasselbe), wenn es eine stetige Familie von stetigen Abbildungen gibt,

f_{t} : S^{1} ⟶ X , t ∈ [0, 1] ;

also eine Art Interpolation zwischen f_{0} und f_{1} .

Es sei hier angemerkt, daß natürlich der Begriff der stetigen Familie von stetigen Abbildungen einer Präzisierung bedarf. Doch zunächst gebe ich einige Beispiele an. Die in diesen Beispielen behaupteten Sachverhalte sind durchweg nicht–trivial (und sogar einigermaßen aufwendig zu beweisen), sie sind am besten daher aufzufassen als inoffizielle Mitteilungen.

1. Die Menge [S^{1} , ℝ^{3} − 0] besteht aus nur einem Element—oder, was auf dasselbe hinausläuft, jede Schlinge in ℝ^{3} − 0 kann stetig deformiert werden in jede beliebige andere, z.B. in die konstante Abbildung S^{1} ⟶ ℝ^{3} − 0 , x ↦ e_{1} (wo e_{1} einen Punkt aus ℝ^{3} − 0 bezeichnen soll; etwa den ersten Basisvektor).

Wie schon angedeutet wurde, ist dies ein nicht–trivialer Satz. Um sich eine Vorstellung von der Komplexität der Dinge zu machen, sollte man sich folgendes klarmachen: Bezeichne S^{2} die zweidimensionale Sphäre, S^{2} = { x ∈ ℝ^{3} | ∥x∥ = 1 } . Es gibt eine stetige Abbildung S^{1} ⟶ ℝ^{3} − 0 , deren Bild die ganze S^{2} enthält — eine solche Abbildung kann man relativ leicht mit Hilfe der Peano-Kurve konstruieren.

2. Die Menge [S^{1} , ℝ^{2} − 0] hat abzählbar viele Elemente. Diese sind klassifiziert durch die Windungszahl der jeweiligen Schlinge um den Nullpunkt.

Repräsentanten einiger Elemente und die zugehörige Windungszahl :

.  .  .  .

(Windungszahl:) −1  0  +1  +2

3. Die Zuordnung X ⟼ [S^{1} , X] ist funktoriell in dem Sinne, wie wir es im Anschluß an die Konstruktion von π_{0} X bereits diskutiert haben. (Dies – zur Abwechslung – ist nicht so schwierig.)

Die letzte Sache liefert: Sind X und Y topologisch äquivalent, so sind die Mengen [S^{1} , X] und [S^{1} , Y ] isomorph. Mit 1. und 2. bekommen wir so das annoncierte Hilfsmittel, um ℝ^{2} − 0 und ℝ^{3} − 0 unterscheiden zu können. □

Noch eine Bemerkung zum genannten Begriff der stetigen Familie von stetigen Abbildungen

f_{t} : S^{1} ⟶ X , t ∈ [0, 1] .

Statt von einer Familie von Abbildungen zu reden, kann man sich hier zurückziehen auf die Betrachtung einer einzigen Abbildung. Das geht auf zwei Weisen:

1. man definiert eine Abbildung F : [0, 1] × S^{1} ⟶ X , (t, s) ⟼ f_{t}(s) ;

2. man definiert eine Abbildung φ : [0, 1] ⟶ {S^{1} , X} , t ⟼ f_{t} .

Auf dem mengentheoretischen Niveau ist das mehr oder weniger dasselbe; das eine ist nur eine Umformulierung des andern. Wenn man nun den Begriff der Stetigkeit präzisieren will, so gibt es bei der ersten Beschreibung eine naheliegende Lösung: man verlangt einfach, daß die ganze Abbildung F stetig ist. Bei der zweiten Beschreibung möchte man analog vorgehen (Stetigkeit von φ) , es ist aber zunächst nicht einmal so ganz klar, was dies heißen soll.

Bei Gelegenheiten wie dieser stellt es sich als wichtig heraus, daß man über eine allgemeine Sprache verfügt, die es gestattet, Aussagen über “Räume” allgemeinen Typs und “stetigen Abbildungen” zwischen diesen zu formulieren.

Topologische Räume

Ziel der Begriffsbildung ist es, mit wenig Mühe sich einen allgemeinen Rahmen zu verschaffen, in dem es sinnvoll ist, von stetigen Abbildungen zu reden.

Ich will an Bekanntes anknüpfen, nämlich an die ε–δ–Definition der stetigen Abbildungen. Zur Formulierung der ε–δ–Definition braucht man einen Raum, in dem ein Abstands–Begriff erklärt ist; so etwas nennt man einen metrischen Raum.

Definition. Eine Distanzfunktion auf einer Menge X ist eine Abbildung in die nichtnegativen reellen Zahlen, d : X × X ⟶ ℝ_{+} , (x, y) ⟼ d (x, y) , die den folgenden Bedingungen genügt:

— d(x, y) = 0 ⟺ x = y

— d(x, y) = d(y, x)

— d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung).

Die Menge X zusammen mit der Distanzfunktion d heißt ein metrischer Raum.

Beispiele. 1. Jeder normierte Vektorraum V ist ein metrischer Raum: wenn ∥ ∥ die Norm auf V bezeichnet, so ist die Distanzfunktion gegeben durch d(v, w) = ∥v − w∥ .

2. Jede Untermenge eines metrischen Raumes ist wieder ein metrischer Raum: man nimmt die eingeschränkte Funktion als Distanzfunktion.

Sobald man eine Distanzfunktion hat, kann man Begriffe wie Kugeln erklären. Wie üblich gibt es davon zwei Sorten: offene Kugeln und abgeschlossene Kugeln.

Sei X metrischer Raum mit Distanzfunktion d . Sei ε eine positive reelle Zahl. Für x ∈ X definiert man die

\{ \begin{matrix}offene \\ abgeschlossene \end{matrix} \}  ε–Kugel  \{ \begin{matrix}U(x, ε) = \{y ∈ X | d(x, y) < ε\} \\ B(x, ε) = \{y ∈ X | d(x, y) ≤ ε\} \end{matrix} \}

Man kann auch Stetigkeit erklären.

Sei f : X ⟶ Y Abbildung von metrischen Räumen. Sei x ein Punkt aus X . Wir sagen, f ist stetig im Punkt x ∈ X , wenn folgendes gilt: für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0 mit d(x, y) < δ ⟹ d(f(x), f(y)) < ε ; oder, was dasselbe ist,

f( U(x, δ) ) ⊂ U( f(x), ε) .

Wie üblich können wir nun sagen, daß die Abbildung f stetig (schlechthin) heißen soll, wenn sie in allen Punkten von X stetig ist.

Kann man die Definition der Stetigkeit so umformulieren, daß ε und δ nicht mehr explizit vorkommen? Wir benötigen eine neue Vokabel.

Definition. Sei x ein Punkt aus X , wo X ein metrischer Raum ist. Sei U eine Teilmenge von X . Wir wollen sagen, daß U eine Umgebung von x ist , wenn ein ε > 0 existiert, so daß

U(x, ε) ⊂ U .

Satz. Sei f : X ⟶ Y eine Abbildung von metrischen Räumen und sei x ∈ X . Es ist f stetig in x genau dann, wenn zu jeder Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x existiert mit f(U) ⊂ V .

Beweis. “ ⇒ ” Sei die Umgebung V von f(x) vorgegeben. Nach Definition von Umgebung existiert ein ε > 0 , so daß U(f(x), ε) ⊂ V . Wegen der Stetigkeit in x existiert ein δ > 0 mit f(U(x, δ)) ⊂ U(f(x), ε) . Wir setzen U := U(x, δ) . Dann ist U Umgebung von x und f(U) ⊂ V .

“ ⇐ ” Sei ε > 0 vorgegeben. Dann ist U(f(x), ε) Umgebung von f(x) . Wegen der Annahme existiert eine Umgebung U von x mit f(U) ⊂ U(f(x), ε) . Nach Definition von Umgebung nun existiert ein δ > 0 mit U(x, δ) ⊂ U . Es folgt f(U(x, δ)) ⊂ U(f(x), ε) . □

Können wir diese Definition weiter so umformulieren, daß Punkte nicht mehr explizit genannt werden? Anders gesagt, können wir die globale Stetigkeit definieren ohne vorher von der lokalen Stetigkeit reden zu müssen? Wir benötigen eine neue Vokabel.

Definition. Eine Teilmenge O ⊂ X heißt offen, wenn sie zu jedem ihrer Punkte noch eine ganze Umgebung enthält.

Beispiele. 1. Eine offene Kugel im Sinne der oben gegebenen Definition ist eine offene Menge. Es ist klar (oder?), daß das aus der Dreiecksungleichung folgt.

2. Sei x ∈ X und sei U Umgebung von x ; dann enthält U noch eine offene Umgebung, d.h. eine Umgebung, die gleichzeitig eine offene Menge ist. Denn nach Definition von Umgebung enthält U z.B. noch eine offene Kugel.

Satz. Sei f : X ⟶ Y Abbildung von metrischen Räumen. Es ist f stetig genau dann, wenn für jede offene Teilmenge O′ des Zielraumes Y gilt, daß f^{−1}(O′) eine offene Menge in X ist (“Urbilder offener Mengen sind offen”).

Beweis. “ ⇒ ” Sei O′ offen in Y und sei x ∈ f^{−1}(O′) . Zu zeigen: f^{−1}(O′) enthält eine Umgebung von x . Weil O′ offen und f(x) ∈ O′ , ist O′ Umgebung von f(x) . Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f existiert eine Umgebung U von x mit f(U) ⊂ O′ , also U ⊂ f^{−1}(O′) .

“ ⇐ ” Sei V Umgebung von f(x) . Zu zeigen: es gibt Umgebung U von x mit f(U) ⊂ V . Die Umgebung V enthält eine offene Umgebung V′ von x (s. oben). Wegen der Annahme ist f^{−1}(V′) offen in X , und es gilt x ∈ f^{−1}(V′) . Daher ist f^{−1}(V′) Umgebung von x . Wir setzen U := f^{−1}(V′) . □

Wir nehmen die in dem vorstehenden Satz genannte Charakterisierung der Stetigkeit zum Anlaß für eine Definition.

Definition. Ein topologischer Raum besteht aus

— einer Menge X ( = “unterliegende Punktmenge”) und

— einem System von Teilmengen von X , die offene Mengen genannt werden; dabei soll dieses System gewissen naheliegenden Bedingungen formaler Art genügen, die wir später formulieren werden. Ein solches System wird auch als topologische Struktur auf X , oder kurz als Topologie auf X bezeichnet.

Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen wird als stetig bezeichnet, wenn sie die Bedingung erfüllt: Urbilder offener Mengen sind offen.

Beispiel. Einem metrischen Raum ist ein topologischer Raum zugeordnet: die unterliegende Menge ist dieselbe wie die des metrischen Raumes; die offenen Mengen sind definiert sind als diejenigen, die wir auch früher schon so bezeichnet haben (d.h., es sind diejenigen Teilmengen, die mit jedem ihrer Punkte noch eine Kugel um diesen Punkt enthalten). Etwas kürzer (und nur ein wenig mißbräuchlich) werden wir auch sagen: ein metrischer Raum ist auch ein topologischer Raum.

Die Bedingungen (= “Axiome”), denen das System der offenen Mengen genügen muß, kann man am besten vielleicht so sich merken: Offene Mengen stelle man sich vor als solche Mengen, die zu jedem ihrer Punkte noch eine ganze Umgebung enthalten (wobei “Umgebung” ein bisher undefinierter Begriff ist!). Die Bedingungen lauten:

O1. Die leere Menge ist offen.

O2. Der Durchschnitt von je zwei offenen Mengen ist wieder offen.

(Denn wenn zwei Mengen “Umgebung” eines Punktes sind, so auch ihr Durchschnitt. Ebenso ist auch der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen wieder offen (das entsprechende Axiom folgt formal aus O2 ). )

O3. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen.

(Denn jeder Punkt der Vereinigung liegt in einer der Mengen, und diese enthält eine ganze “Umgebung”, also enthält auch die Vereinigung eine “Umgebung”.)

O4. Die ganze Menge X ist offen.

(Wegen O3 ist hierzu äquivalent, daß jeder Punkt in mindestens einer offenen Menge liegt — oder in unserer inoffiziellen Sprechweise, daß jeder Punkt mindestens eine “Umgebung” besitzt.)

Zurück nun zu den metrischen Räumen! Wir spezialisieren noch ein bißchen mehr.

Sei V ein normierter ℝ –Vektorraum mit Norm ∥ ∥ . Wie wir schon gesehen haben, kann man V als metrischen Raum auffassen mit der Distanzfunktion d(x, y) = ∥x−y∥ . Diese induziert eine topologische Struktur auf V durch die Vorschrift:

Zusatz zu S. 17 (zur Äquivalenz von Normen)

Sei V ein ℝ –Vektorraum. Seien | |_{1} und | |_{2} zwei Normen auf V . Bezeichne U_{◯ 1} (x, r) die offene Kugel bezüglich der ersten Norm, mit Mittelpunkt x und Radius r . Etc. (wie im Skript). Sei C positive Konstante. Behauptung. Es sind äquivalent:

1. Für alle v ist | v |_{2} ≤ C| v |_{1} .

2. Für jedes r > 0 ist B_{◯ 1} (0, r) ⊂ B_{◯ 2} (0, Cr) ; allgemeiner: B_{◯ 1} (x, r) ⊂ B_{◯ 2} (x, Cr) .

3. Für jedes r > 0 ist U_{◯ 1} (0, r) ⊂ U_{◯ 2} (0, Cr) ; allgemeiner: U_{◯ 1} (x, r) ⊂ U_{◯ 2} (x, Cr) . Beweis. “ 1. ⇒ 2. ” Die Behauptung von (2) ist: | x − y |_{1} ≤ r ⟹ | x − y |_{2} ≤ Cr . Das ist aber klar wegen

| x − y |_{1} ≤ r ⟺ C| x − y |_{1} ≤ Cr und | x − y |_{2} ≤ C| x − y |_{1} . “ 1. ⇒ 3. ” Die Behauptung ist: | x − y |_{1} < r ⟹ | x − y |_{2} < Cr . Das geht genauso. “ 2. ⇒ 1. ” Wenn v = 0 , dann ist (1) klar; sei also v ≠ 0 . Dann ist B_{◯ 1} (0, |v|_{1}) definiert, und v ∈ B_{◯ 1} (0, |v|_{1}) . Folglich ist v ∈ B_{◯ 1} (0, |v|_{1}) ⊂ B_{◯ 2} (0, C|v|_{1}) ; also | v |_{2} ≤ C| v |_{1} . “ 3. ⇒ 1. ” Wie im vorigen Fall nehmen wir wieder an, daß v ≠ 0 . Der jetzige Fall ist ein wenig komplizierter als der vorige, da v ∉ U_{◯ 1} (0, |v|_{1}) . Sei (a_{n}) eine Folge von reellen Zahlen mit a_{n} > 1 und lim_{n→∞} a_{n} = 1 ( z.B. die Folge a_{n} = 1 + 1/n ). Dann ist

v ∈ U_{◯ 1} (0, a_{n}|v|_{1}) ( weil ja |v|_{1} < a_{n}|v|_{1} )

also nach (3) auch v ∈ U_{◯ 2} (0, Ca_{n}|v|_{1}) , d.h. |v|_{2} < Ca_{n}|v|_{1} . Das gilt nun für alle n . Da lim_{n→∞} a_{n} = 1 , folgt |v|_{2} ≤ C|v|_{1} .

Folgerung. Die beiden Normen | |_{1} und | |_{2} heißen äquivalent wenn positive Konstanten C und C′ existieren, so daß für alle v ∈ V gilt

| v |_{2} ≤ C| v |_{1} und | v |_{1} ≤ C′| v |_{2} .

Nach dem obigen läßt sich dies auch so formulieren, daß für alle r gilt

U_{◯ 1} (0, r) ⊂ U_{◯ 2} (0, Cr) und U_{◯ 2} (0, r) ⊂ U_{◯ 1} (0, C′r) ;

und allgemeiner auch:

U_{◯ 1} (x, r) ⊂ U_{◯ 2} (x, Cr) und U_{◯ 2} (x, r) ⊂ U_{◯ 1} (x, C′r)

( für alle x ∈ V ).

Eine Teilmenge O von V ist offene Menge in V genau dann, wenn gilt: für jedes x ∈ O existiert ein ε > 0 mit U(x, ε) ⊂ O . Nun gibt es Fälle (die nicht einmal selten sind) wo derselbe Vektorraum mit mehreren Normen versehen ist.

Beispiele. (a)

ℝ^{2} mit \{ \begin{matrix}euklidischer Norm \\ Maximum–Norm \end{matrix}

(b) Der Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf [0, 1]

mit \{ \begin{matrix}Maximum–Norm & ∥f∥_{∞} = max_{x∈[0,1]}|f(x)| \\ L^{1}–Norm & ∥f∥_{1} = ∫ |f| \\ L^{2}–Norm & ∥f∥_{2} = (∫ f^{2})^{1/2} \end{matrix}

Im Beispiel (a) sind die Normen äquivalent zueinander, in Beispiel (b) nicht. Was heißt das für die topologische Struktur?

Satz. Sei V ein ℝ –Vektorraum. Seien | |_{1} und | |_{2} zwei Normen auf V . Dann sind gleichbedeutend:

1. Die Normen | |_{1} und | |_{2} sind äquivalent.

2. Die Normen | |_{1} und | |_{2} induzieren auf V dieselbe topologische Struktur.

Beweis. “ 1. ⇒ 2. ” Zu zeigen: jede offene Menge bezüglich der ersten topologischen Struktur ist auch offen bezüglich der zweiten, und umgekehrt. Sei O ⊂ V , sei O offen bezüglich der ersten Struktur. Wenn x ∈ O , so existiert (nach Definition) ein ε > 0 mit U_{◯ 1} (x, ε) ⊂ O . Wegen 1. existiert folglich auch ein ε′ > 0 mit U_{◯ 2} (x, ε′) ( ⊂ U_{◯ 1} (x, ε) ) ⊂ O . Da das für alle x ∈ O gilt, folgt (nach Definition), daß O offen bezüglich der zweiten Struktur ist. — Die Umkehrung geht analog.

“ 2. ⇒ 1. ” Zu zeigen: jede Kugel (um den Nullpunkt) bezüglich der ersten Norm enthält eine Kugel bezüglich der zweiten Norm, und umgekehrt. Sei U_{◯ 1} (0, ε) eine Kugel bezüglich der ersten Norm. Dann ist U_{◯ 1} (0, ε) offen bezüglich der ersten topologischen Struktur und wegen 2. deshalb auch offen bezüglich der zweiten Struktur. Also existiert (nach Definition) ein ε′ > 0 mit U_{◯ 2} (0, ε′) ⊂ U_{◯ 1} (0, ε) . — Die Umkehrung geht analog. □

Folgerung. Es gibt Fälle, wo ein– und dieselbe Menge mit verschiedenen topologischen Strukturen betrachtet wird, nämlich etwa, wie wir gerade gesehen haben, der Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf [0, 1] mit den von verschiedenen Normen induzierten Topologien.

Dieses Phänomen, daß ein– und dieselbe Menge mit verschiedenen Topologien versehen ist, kommt aber sonst in dieser Vorlesung nur selten vor.

In dem Zusammenhang ist noch ein Ihnen aus der Analysis bekannter Sachverhalt von Interesse: Sei V ein ℝ –Vektorraum endlicher Dimension. Dann sind alle Normen auf V zueinander äquivalent. Mit dem obigen Satz folgt dann: Wie auch immer man sich auf einem ℝ^{n} eine Norm verschafft, die induzierte Topologie ist immer dieselbe.

Nach diesem Exkurs zu metrischen Räumen wenden wir uns wieder den topologischen Räumen allgemein zu.

Als heuristisches Prinzip hatten wir uns vorgestellt, daß der axiomatische (=“nicht von vornherein mit einem bestimmten Inhalt versehene”) Begriff der offenen Menge solche Mengen bezeichnet, die zu jedem ihrer Punkte noch eine ganze “Umgebung” enthalten (der Begriff “Umgebung” war dabei ein undefinierter Term; er ist aber, zumindest für meinen eigenen Geschmack, doch etwas anschaulicher als der Begriff der “offenen Menge”).

Kann man aus diesem heuristischen Prinzip einen wahren Sachverhalt machen? Um das zu tun, muß natürlich gesagt werden, was denn eine “Umgebung” eigentlich sein soll. Wir benötigen eine neue Definition.

Definition. Sei X ein topologischer Raum, sei x ∈ X . Eine Teilmenge U ⊂ X heißt Umgebung von x , wenn eine offene Menge O in X existiert, mit x ∈ O ⊂ U .

Selbstverständlich müssen wir uns hier fragen, ob der neue Sprachgebrauch mit dem alten kompatibel ist in den Fällen, wo es eine Überschneidung gibt. Das ist der Fall:

Bemerkung. Wenn X ein metrischer Raum ist, dann stimmt der neue Umgebungsbegriff überein mit dem, den wir früher eingeführt haben. Denn sei x ∈ X ;

— ist U Umgebung von x im alten Sinn, so existiert ε > 0 mit U(x, ε) ⊂ U . Nun ist U(x, ε) offene Menge, also ist U auch Umgebung von x im neuen Sinn.

— ist umgekehrt U Umgebung von x im neuen Sinn, so existiert eine offene Menge O mit x ∈ O ⊂ U . Nach Definition der offenen Mengen in einem metrischen Raum existiert ε′ > 0 , U(x, ε′) ⊂ O . Damit ist O und somit auch U Umgebung im alten Sinn. □

Wir können nun wieder einen Satz formulieren. Vom Inhalt her ist er nicht besonders aufregend. Man mag ihn als Beleg dafür ansehen, daß uns bei unseren bisherigen Sprachübungen keine allzu groben Schnitzer unterlaufen sind.

Satz. Sei X topologischer Raum. Sei W Teilmenge von X ( genauer: W sei Teilmenge der unterliegenden Menge von X ). Es sind äquivalent:

1. W ist offene Menge in X .

2. Die Menge W enthält mit jedem ihrer Punkte noch eine ganze Umgebung.

Beweis. “ 1. ⇒ 2. ” Wenn x ∈ W , dann ist W selbst Umgebung von x (nach Definition von Umgebung).

“ 2. ⇒ 1. ” Wegen der Annahme 2. existiert zu jedem x ∈ W eine offene Menge O_{x} mit x ∈ O_{x} ⊂ W . Es ist ⋃_{x∈W} O_{x} ⊂ W (weil O_{x} ⊂ W für alle x) und W ⊂ ⋃_{x∈W} O_{x} ( jedes x ∈ W liegt in einem der O_{x} ) , also ist W = ⋃_{x∈W} O_{x} als Vereinigung von offenen Mengen selbst wieder offen (Axiom O3). □

Bei der Definition des topologischen Raumes haben wir den Begriff der offenen Menge als den primitiven (oder axiomatischen) Begriff genommen und wir haben den Begriff der Umgebung später daraus abgeleitet. Der vorige Satz macht plausibel, daß man auch umgekehrt vorgehen könnte, d.h. man könnte den Begriff der Umgebung als den primitiven Begriff nehmen und daraus den Begriff der offenen Menge dann herleiten. Technisch gesehen läuft das darauf hinaus, daß man ein geeignetes Axiomensystem für Umgebungen angibt. Ein solches System kann man in Büchern finden; ich möchte hier nicht weiter darauf eingehen. In der Praxis ist es meistens bequemer, mit offenen Mengen zu arbeiten; der Unterschied ist aber nicht groß.

Das Hantieren mit offenen Mengen will ich jetzt illustrieren anhand von zwei wichtigen Begriffsbildungen, nämlich der Konstruktion von Unterräumen einerseits und der von Quotientenräumen andererseits.

Im ersten Fall geht es um folgende Frage: Gegeben seien ein topologischer Raum X und eine Untermenge Y in X (das könnte man etwas genauer (pedantischer?) auch so formulieren, daß Y gegeben sei als Teilmenge der unterliegenden Menge von X ). Man möchte in dieser Situation Y nun wieder als topologischen Raum auffassen können. Das geht auch in ziemlich naheliegender Weise. (Man denke an den entsprechenden Sachverhalt bei metrischen Räumen.)

Im zweiten Fall geht es um eine ganz analoge Frage, nur daß man jetzt nicht eine Untermenge von X betrachtet, sondern eine Quotientenmenge von X ; oder, was dasselbe ist, die Menge von Äquivalenzklassen bezüglich einer Äquivalenzrelation auf X (bzw. genauer wieder, der unterliegenden Menge von X ). Eine ganz wichtige Bemerkung an dieser Stelle ist die, daß es zwar bei der Frage, nicht aber bei ihrer Antwort, eine vernünftige Entsprechung bei den metrischen Räumen gibt. Das ist einer der Gründe, warum es notwendig ist, topologische Räume überhaupt zu betrachten.

Bemerkung. Für das folgende beachte man, daß zu einer Untermenge Y von X immer eine ganz bestimmte Abbildung Y ⟶ X gehört. Diese Abbildung ist injektiv und wird als die kanonische Inklusion bezeichnet. Analog dazu gehört zu einer Quotientenmenge Z von X immer eine ganz bestimmte Abbildung X ⟶ Z . Diese Abbildung ist surjektiv und wird als die kanonische Projektion bezeichnet.

Definition und Satz. Sei ( X , System der offenen Mengen in X ) ein topologischer Raum. Sei Y Untermenge von X . Folgende Vorschrift definiert eine topologische Struktur auf Y , die sogenannte Unterraumtopologie:

Eine Teilmenge O′ in Y heiße offene Menge in Y genau dann, wenn es eine offene Menge O in X gibt mit O ∩ Y = O′.

Der Raum Y wird auch als ein Unterraum von X bezeichnet. Die Inklusion Y ⟶ X ist stetige Abbildung.

Definition und Satz. Sei ( X , System der offenen Mengen in X ) ein topologischer Raum. Sei Z eine Quotientenmenge von X und bezeichne q : X ⟶ Z die kanonische Projektion. Folgende Vorschrift definiert eine topologische Struktur auf Z , die sogenannte Quotiententopologie:

Eine Teilmenge O′ in Z heiße offene Menge in Z genau dann, wenn q^{−1}(O′) offene Menge in X ist.

Der Raum Z wird auch als ein Quotientenraum von X bezeichnet. Die Abbildung X ⟶ Z (die kanonische Projektion) ist stetig.

Es ist jetzt nachzuweisen, daß die oben definierten Systeme wirklich topologische Strukturen auf der Untermenge Y bzw. auf der Quotientenmenge Z liefern; das heißt, es ist nachzuweisen (in jedem der beiden Fälle), daß die Axiome O1 – O4 gelten. Ich will das hier nur für den Fall der Quotiententopologie vorführen:

Axiom O1: Die leere Menge ist offen, aber q^{−1}(∅) = ∅ ist offen in X , also folgt (Def. der Quotiententopologie) daß auch ∅ offen in Z .

Axiom O2: Der Durchschnitt von zwei offenen Mengen ist offen, aber O, O′ offen in Z ⟺ q^{−1}(O) und q^{−1}(O′) offen in X ⟹ q^{−1}(O) ∩ q^{−1}(O′) = q^{−1}(O ∩ O′) offen in X ⟺ O ∩ O′ offen in Z .

Axiom O3: Die Vereinigung von offenen Mengen ist offen, aber O_{i} , i ∈ I , offene Menge in Z ⟺ q^{−1}(O_{i}) offen in X ⟹ ⋃_{i∈I} q^{−1}(O_{i}) = q^{−1} (⋃_{i∈I} O_{i}) offen in X ⟺ ⋃_{i∈I} O_{i} offen in Z .

Axiom O4: Die unterliegende Menge selbst ist offen, aber q^{−1}(Z) = X offen in X ⟹ Z offen in Z .

Es ist auch nachzuweisen, daß die Abbildung X ⟶ Z stetig ist. Das ist aber klar (oder?). □

Die Konstruktion von Quotientenräumen gestattet es uns, eine sehr wichtige Idee auch mathematisch zu erfassen; nämlich diejenige, neue Räume aus alten zu bekommen mit Hilfe einer “Verklebe”–Konstruktion. So können wir etwa eine Strecke hernehmen und uns vornehmen, davon die Endpunkte zusammenzufügen. Ein Versuch, dies zu “mathematisieren” ist der folgende, den wir jetzt näher anschauen wollen. Wir nehmen das Einheitsintervall [0, 1] und betrachten hierauf eine geeignete Äquivalenzrelation: die Punkte 0 und 1 sind zusammen in einer Äquivalenzklasse, dagegen enthält jede andere Äquivalenzklasse nur jeweils einen einzigen Punkt. Der zugehörige Quotientenraum (im Sinne der oben gegebenen Definition) wird bezeichnet als das Intervall mit identifizierten Endpunkten, [0, 1] / 0∼1 . In der Erwartung, daß unsere “Mathematisierung” nicht ganz abwegig war, vermuten wir, daß der Raum [0, 1] / 0∼1 topologisch äquivalent ist zum Kreis

S^{1} = { x ∈ ℝ^{2} | ∥x∥ = 1 } ≈ { z ∈ ℂ | |z| = 1 } .

Davon wollen wir uns jetzt überzeugen. Wir betrachten die Abbildung f : [0, 1] ⟶ S^{1} ,

t ⟼ f(t) = e^{2πit} .

Die Abbildung f nun definiert eine Abbildung auf der Quotientenmenge,

g : [0, 1] / 0∼1 ⟶ S^{1} ,

(wir haben hier benutzt, daß f(0) = f(1) ist), und es ist klar (oder?), daß letztere Abbildung bijektiv ist. Um uns davon zu überzeugen, daß die beiden Räume topologisch äquivalent sind, müssen wir also nur noch zeigen:

(i) die Abbildung g ist stetig, (ii) die Umkehrabbildung g^{−1} ist stetig. Der Teil (i) ist eine Konsequenz aus der Definition der Quotiententopologie (und, natürlich, der Stetigkeit von f ). Man nimmt ihn am besten in allgemeiner Form zur Kenntnis.

Satz. Sei f : X ⟶ Y stetige Abbildung. Sei Z Quotientenraum von X (mit der Quotiententopologie ! ). Bezeichne q : X ⟶ Z die Projektion. Es gelte, daß die Abbildung f über den Quotientenraum Z faktorisiert (als Abbildung von Mengen); das heißt, daß eine Abbildung g : Z ⟶ Y existiert, so daß

f = g ∘ q .

Dann ist g stetige Abbildung.

Bemerkung. Es ist klar (oder?), daß die Abbildung g eindeutig bestimmt ist.

Beweis des Satzes. Sei O ⊂ Y offen. Zu zeigen, g^{−1}(O) ist offen in Z . Nach Definition der Quotiententopologie heißt das, daß q^{−1} (g^{−1}(O)) offen in X ist. Aber q^{−1} (g^{−1}(O)) = f^{−1}(O) , und f^{−1}(O) ist offen wegen der Stetigkeit von f . □

Zurück zu unserer speziellen Abbildung

g : [0, 1] / 0∼1 ⟶ S^{1} .

Um die Stetigkeit der Umkehrabbildung g^{−1} nachzuweisen, müssen wir zeigen: g bildet offene Mengen auf offene Mengen ab (für den hier behaupteten Sachverhalt sagt man auch, daß g eine offene Abbildung ist). Sei also O ⊂ [0, 1] / 0∼1 offene Menge, und sei x ∈ O . Zu zeigen, g(O) enthält noch eine Umgebung von g(x) in S^{1} . Bezeichne q : [0, 1] ⟶ [0, 1] / 0∼1 die Projektion. Wir unterscheiden zwei Fälle.

1. Fall. x ≠ q(0) (und deshalb auch x ≠ q(1) ). Dann enthält q^{−1}(O) ein Intervall (x−ε, x+ε) . Folglich enthält g(O) = f ( q^{−1}(O) ) den Kreisbogen

{ e^{2πit} | t ∈ (x−ε, x+ε) } .

Dieser Kreisbogen ist eine Umgebung von g(x) in S^{1} (Unterraumtopologie von S^{1} in ℂ ), denn der Kreisbogen enthält sicherlich den Durchschnitt von S^{1} mit einer hinreichend kleinen (Kreis–)Umgebung von g(x) in ℂ .

2. Fall. x = q(0) = q(1) . Dann ist q^{−1}(O) offene Teilmenge von [0, 1] , die 0 und 1 enthält; folglich existiert ein ε > 0 mit [0, ε) ∪ (1−ε, 1] ⊂ q^{−1}(O) , und g(O) = f (q^{−1}(O)) enthält wieder einen Kreisbogen, nämlich {e^{2πit} | t ∈ (−ε, +ε)} . □

Bemerkung. Man könnte versucht sein zu glauben, daß der Schritt (ii) in dem vorangegangenen Beweis überflüssig war; das heißt, daß eine stetige bijektive Abbildung automatisch schon eine topologische Äquivalenz sein müßte (daß in dieser Situation die Umkehrabbildung automatisch schon stetig sein müßte). Das ist aber nicht der Fall, wie Gegenbeispiele zeigen: Die Abbildung

[0, 1) ⟶ S^{1} , t ⟼ e^{2πit} ,

ist ein Beispiel für eine stetige, bijektive Abbildung, deren Umkehrabbildung nicht stetig ist. □

Das gerade beschriebene Gegenbeispiel hat aber auch einen erfreulichen Aspekt. Es gibt nämlich einen Grund dafür, warum hier tatsächlich zur Vorsicht zu raten ist (einer der Räume in dem Beispiel ist nicht “kompakt”). Wie wir in Kürze sehen werden, war die Vermutung “eine stetige, bijektive Abbildung f : X ⟶ Y ist schon eine topologische Äquivalenz” (die Umkehrabbildung ist wieder stetig) doch nicht gar so abwegig: dadurch daß man gewisse Bedingungen an die topologischen Räume X und Y stellt, kann man die Aussage retten. Die Notwendigkeit solcher Bedingungen wird durch das obige Gegenbeispiel belegt. Es handelt sich insbesondere also auch um eine nicht–triviale Aussage; ein Beweis ist unbedingt erforderlich. Zur Formulierung der Bedingungen benötigen wir zwei Begriffe, die auch sonst von großer Wichtigkeit sind. Es handelt sich um die Begriffe kompakt und Hausdorff–Raum, die wir jetzt diskutieren wollen.

Doch zunächst notieren wir der Vollständigkeit halber noch eine Vokabel. Man sagt, daß eine Teilmenge A eines topologischen Raumes X abgeschlossen ist, wenn die komplementäre Menge

CA := { x ∈ X | x ∉ A }

eine offene Menge in X ist. Es gilt also: Das Komplement einer offenen Menge ist abgeschlossen; und das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist offen. Es gilt auch (warum?), daß man Stetigkeit durch abgeschlossene Mengen charakterisieren kann: Eine Abbildung von topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn sie die Bedingung erfüllt: Urbilder von abgeschlossenen Mengen sind wieder abgeschlossen.

Kompakte Räume und Hausdorff–Räume

Ein topologischer Raum X wird als Hausdorff–Raum bezeichnet, wenn er die folgende Bedingung erfüllt: Zu je zwei Punkten x, y ∈ X , x ≠ y , gibt es offene Mengen O_{x} und O_{y} mit

x ∈ O_{x} , y ∈ O_{y} und O_{x} ∩ O_{y} = ∅ ;

man sagt auch: Punkte lassen sich durch offene Mengen trennen.

Auf den ersten Blick mag die Eigenschaft (oder vielmehr die Tatsache, daß man sie als spezielle Eigenschaft ausdrücklich fordert) ein wenig kurios erscheinen. Metrische Räume haben die Eigenschaft selbstverständlich (davon werden wir uns sogleich überzeugen). Man mag sich wundern, daß hier ein Raum–Begriff überhaupt Gegenstand der Betrachtung ist, wo diese Bedingung nicht automatisch eingebaut ist. Das hat aber ganz pragmatische Gründe. So ist es bei der Quotientenraum–Konstruktion keineswegs so, daß das Resultat automatisch immer ein Hausdorff–Raum wäre. Wenn man nun etwa darauf bestanden hätte, daß “Raum” automatisch schon “Hausdorff–Raum” bedeuten solle, so hätte das die fatale Konsequenz, daß die Quotientenraum–Konstruktion nicht einmal allgemein definiert wäre ! Man hätte dann z.B. auch erhebliche Schwierigkeiten, die wichtige Tatsache zu diskutieren, daß in einigen besonders interessanten Situationen die Quotientenraum–Konstruktion tatsächlich immer auf Hausdorff–Räume führt.

Metrische Räume haben die Hausdorff–Eigenschaft, wie schon angedeutet wurde. Denn sei M metrischer Raum, seien x, y ∈ M und ε = d(x, y) . Wenn x ≠ y , dann ist ε > 0 . Wir definieren O_{x} = U(x, \frac{ε}{2}) , O_{y} = U(y, \frac{ε}{2}) . Dann sind O_{x} und O_{y} offene Mengen (nämlich offene Kugeln) und punktfremd.

Auch Unterräume von Hausdorff–Räumen sind wieder Hausdorff–Räume. Denn sei X Hausdorff–Raum und Y ⊂ X Unterraum. Seien x, y ∈ Y . Nach Voraussetzung über X existieren offene Mengen O und O′ in X , die x und y trennen. Dann sind O ∩ Y und O′ ∩ Y offene Mengen in Y , die x und y trennen.

Bei topologischen Räumen schlechthin bedeutet die Hausdorff–Eigenschaft andererseits eine arge Einschränkung der Allgemeinheit. Auch dies kann man illustrieren an dem beliebten Spielmaterial der Räume mit endlich vielen Punkten: Ist X topologischer Raum mit nur endlich vielen Punkten und gleichzeitig ein Hausdorff–Raum, dann ist X ein diskreter Raum (d.h., jede Teilmenge von X ist eine offene Menge). Hierzu genügt es, zu wissen, daß für jedes x ∈ X die Teilmenge {x} offen ist (denn jede andere Teilmenge ist Vereinigung von solchen Mengen, und eine Vereinigung von offenen Mengen ist wieder offen). Wegen der Voraussetzung “Hausdorff” nun gibt es zu jedem y ∈ X eine offene Menge O_{x,y} mit x ∈ O_{x,y} , y ∉ O_{x,y} . Dann ist

{x} = ⋂_{y, y≠x} O_{x,y}

ein Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen, und daher selbst offen.

Ich komme jetzt zum Begriff der Kompaktheit. Sie kennen diesen Begriff aus der Analysis: Er garantiert, daß jede Folge mindestens einen Häufungspunkt hat. Die meisten von Ihnen werden wohl noch wissen, daß es mehrere Möglichkeiten gibt, zu definieren, wann eine Teilmenge von ℝ^{n} kompakt sein soll; und daß alle diese Möglichkeiten auf denselben Begriff führen.

Gegenwärtig hantieren wir aber mit “Räumen” sehr allgemeiner Art, und da ist es nicht überraschend, daß diese verschiedenen Begriffe nicht mehr ganz äquivalent sind. Deshalb brauchen wir hier verschiedene Namen.

Man sagt, ein Raum X ist folgen–kompakt, wenn er die Bolzano–Weierstraß Eigenschaft hat; d.h., wenn gilt, daß jede Folge in X mindestens einen Häufungspunkt in X hat. (In manchen Texten wird hier auch die (stärkere) Eigenschaft verlangt, daß jede Folge in X tatsächlich eine konvergente Teilfolge haben soll.)

Der “bessere” Begriff, zu dem ich jetzt komme, postuliert die sogenannte Überdeckungs– Eigenschaft. Auch dazu ist die Terminologie in der Literatur nicht ganz einheitlich. Das kommt daher, daß man sich festlegen muß, ob kompakt die Hausdorff–Eigenschaft beinhalten soll oder nicht (d.h., ob “kompakter Raum” gleichbedeutend sein soll mit “kompakter Hausdorff–Raum”). Wir wollen das so machen, und wir brauchen deshalb für die Überdeckungseigenschaft selbst einen gesonderten Namen.

Wir benötigen noch einige Vokabeln. Sei X ein topologischer Raum. Eine offene Überdeckung von X soll einfach eine indizierte Menge von offenen Mengen bezeichnen, die insgesamt den Raum überdecken,

{O_{i}}_{i∈I} , O_{i} offen in X , ⋃_{i∈I} O_{i} = X .

Eine Teil–Überdeckung der offenen Überdeckung {O_{i}}_{i∈I} bedeutet ein Teilsystem dieser offenen Mengen, das immer noch ganz X überdeckt; d.h. also, eine Teilmenge J ⊂ I mit

⋃_{i∈J} O_{i} = X .

Eine (Teil–)Überdeckung heißt endlich, wenn die Indexmenge J eine endliche Menge ist.

Definition. Sei X topologischer Raum. X heißt quasi–kompakt, wenn gilt: Jede offene Überdeckung von X hat eine endliche Teilüberdeckung.

Definition. Sei X topologischer Raum. X heißt kompakt, wenn gilt: X ist quasi– kompakt und ein Hausdorff–Raum.

Folgender Sachverhalt ist sicher schon aus der Analysis bekannt. Er soll trotzdem hier noch einmal behandelt werden. Er ist sehr wichtig.

Satz. Der Raum [0, 1] ist kompakt.

Beweis. Die Hausdorff–Eigenschaft ist klar, denn [0, 1] ist metrischer Raum. Es bleibt zu zeigen, daß [0, 1] quasi–kompakt ist. Sei also {O_{i}}_{i∈I} eine vorgegebene offene Überdeckung von [0, 1] . Wir wollen zeigen, daß diese Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dazu betrachten wir Teilintervalle der Art [0, a] ⊂ [0, 1] . Wir werden sagen, daß der Punkt a gut ist, wenn das Teilintervall [0, a] überdeckt werden kann durch endlich viele der offenen Mengen O_{i} . Es bezeichne G die Menge der guten a . In dieser Sprache ist dann unsere Behauptung gerade die, daß 1 ∈ G . Um die Behauptung einzusehen, werden wir die Menge G ein wenig studieren.

Es gilt 0 ∈ G (denn [0, 0] liegt in einem der O_{i}) , und wenn b < a und a ∈ G , dann ist auch b ∈ G (denn wenn [0, a] schon in endlich vielen der {O_{i}}_{i∈I} enthalten ist, dann auch der Teil [0, b] davon). Daher ist G ein Intervall, also entweder G = [0, g) oder G = [0, g] . Unsere Behauptung ist, daß G = [0, 1] ist. Wir werden zeigen, daß die anderen Fälle nicht möglich sind. Diese (zwei) anderen Fälle sind:

1. Fall. G = [0, g) (insbesondere g ∉ G) . Weil [0, 1] = ⋃_{i∈I} O_{i} , existiert ein i_{0} mit g ∈ O_{i_{0}} . Dies ist eine offene Menge, enthält deshalb eine Umgebung von g und insbesondere auch ein Intervall [g′, g] , g′ < g . Wegen g′ < g ist g′ ∈ G . Nach Definition von G existiert also eine endliche Teilmenge J ⊂ I mit

[0, g′] ⊂ ⋃_{i∈J} O_{i} .

Es folgt [0, g] = [0, g′] ∪ [g′, g] ⊂ ⋃_{i∈J} O_{i} ∪ O_{i_{0}} . Aber J ∪ {i_{0}} ist auch endliche Menge. Somit erhalten wir einen Widerspruch dazu, daß g ∉ G .

2. Fall. G = [0, g] und g < 1 . Nach Voraussetzung existiert eine endliche Teilmenge K ⊂ I mit

[0, g] ⊂ ⋃_{i∈K} O_{i} = O .

Weil O offen ist, enthält O mit g auch noch eine Umgebung von g , insbesondere deshalb auch ein Intervall [g, g′′] , g < g′′ ≤ 1 . Es folgt

[0, g′′] = [0, g] ∪ [g, g′′] ⊂ O = ⋃_{i∈K} O_{i} .

Also ist g′′ ∈ G . Das widerspricht aber der Voraussetzung des 2. Falles (daß g nämlich maximal sein soll unter den guten Punkten). □

Satz. Jedes abgeschlossene Intervall [a, b] ⊂ ℝ ist kompakt.

Beweis. Man kann den obigen Beweis übernehmen. Man kann aber auch so schließen:

1. Für alle a, b mit a < b ist [a, b] topologisch äquivalent zu [0, 1] .

2. Wenn X kompakt ist und Y topologisch äquivalent zu X , dann ist Y ebenfalls kompakt. □

Satz. Sei X topologischer Raum und Y ⊂ X ein Unterraum (mit der Unterraumtopologie). Sei X quasi–kompakt. Wenn Y abgeschlossen in X ist, dann ist auch Y quasi–kompakt.

Beweis. Sei {O′_{i}}_{i∈I} eine offene Überdeckung von Y . Nach Definition der Unterraumtopologie gibt es zu jedem O′_{i} eine offene Menge O_{i} in X mit O_{i} ∩ Y = O′_{i} . Das Komplement CY ist offen in X ( Y ist abgeschlossen in X , und abgeschlossene Mengen sind ja nach Definition solche, deren Komplement offen ist). Also ist

{CY } ∪ {O_{i}}_{i∈I}

eine offene Überdeckung von CY ∪ Y = X . Da X quasi–kompakt ist, gibt es von jeder offenen Überdeckung, speziell also auch von dieser, eine endliche Teilüberdeckung. Das nun heißt nichts anderes als daß eine endliche Untermenge J ⊂ I existiert mit CY ∪ ⋃_{i∈J} O_{i} = X . Weil CY ∩ Y = ∅ , folgt, daß schon {O_{i} ∩ Y }_{i∈J} eine Überdeckung von Y sein muß. {O′_{i}}_{i∈J} ist also endliche Teilüberdeckung der vorgegebenen offenen Überdeckung {O′_{i}}_{i∈I} . □

Korollar. Sei X kompakter topologischer Raum und Y ⊂ X abgeschlossener Unterraum. Dann ist Y kompakt.

Beweis. Unsere Sprache ist so, daß “kompakt” = “quasi–kompakt” + “Haussdorff ”. Nach dem Satz ist Y quasi–kompakt. Und wir haben früher schon notiert, daß ein Unterraum von einem Hausdorff–Raum auch wieder die Hausdorff–Eigenschaft hat. □

Satz. Sei X ein Hausdorff–Raum und Y ⊂ X Unterraum. Y sei (quasi–)kompakt. Dann ist Y abgeschlossener Unterraum von X .

Bemerkung. Dieser Satz ist gewissermaßen die Umkehrung des vorherigen Satzes. Zusammen liefern diese beiden Sätze folgende Aussage: Sei X ein kompakter Raum. Sei Y ⊂ X . Dann sind äquivalent:

• Y ist abgeschlossene Teilmenge in X .

• Der Unterraum Y (Unterraumtopologie ! ) ist kompakt.

Wie wir in Kürze sehen werden, kann man diesen Sachverhalt auffassen als eine abstrakte Version (und Verallgemeinerung) des Satzes von Heine–Borel, daß eine Teilmenge von ℝ^{n} genau dann kompakt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Zum Beweis des Satzes benötigen wir den folgenden

Hilfssatz. In der Situation des obigen Satzes ( Y ⊂ X (quasi–)kompakt, X Hausdorff ) gilt: Zu jedem Punkt x ∈ X − Y existieren offene Teilmengen O_{x,Y} und O′_{x,Y} von X mit x ∈ O_{x,Y} , Y ⊂ O′_{x,Y} , O_{x,Y} ∩ O′_{x,Y} = ∅ .

Beweis. Sei x ∈ X − Y vorgegeben. Zu jedem Punkt y ∈ Y finden wir offene Mengen O_{x,y} und O′_{x,y} in X mit x ∈ O_{x,y} , y ∈ O′_{x,y} , O_{x,y} ∩ O′_{x,y} = ∅ (dies benutzt die Hausdorff–Eigenschaft von X ). {O′_{x,y} ∩ Y }_{y∈Y} ist nun eine offene Überdeckung von Y , wir können deshalb die vorausgesetzte Quasi–Kompaktheit von Y anwenden um zu schließen, daß eine endliche Teilüberdeckung {O′_{x,y} ∩ Y }_{y∈J} existiert; mit anderen Worten, wir können schließen, daß eine endliche Indexmenge J ⊂ Y existiert, so daß Y ⊂ ⋃_{y∈J} O′_{x,y} . Wir setzen

O_{x,Y} = ⋂_{y∈J} O_{x,y} , O′_{x,Y} = ⋃_{y∈J} O′_{x,y} .

Die Endlichkeit von J ergibt dann, daß O_{x,Y} als Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen wieder offen ist. Schließlich ist O′_{x,Y} ∩ O_{x,Y} = ∅ , denn

O′_{x,Y} ∩ O_{x,Y} = ( ⋃_{y∈J} O′_{x,y} ) ∩ ( ⋂_{z∈J} O_{x,z}) = ⋃_{y∈J} ( O′_{x,y} ∩ ⋂_{z∈J} O_{x,z} )

und jede der Mengen O′_{x,y} ∩ ⋂_{z∈J} O_{x,z} ist = ∅ , da schon O′_{x,y} ∩ O_{x,y} = ∅ ist. □

Beweis des Satzes. Zu zeigen ist, daß das Komplement CY eine offene Menge ist. Nach dem Hilfssatz ist aber

CY = ⋃_{x∈CY} O_{x,Y} ,

was als Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist. □

Der folgende Satz ist ein schönes Beispiel für einen nicht–trivialen (und wichtigen) Satz mit einem recht trivialen Beweis (dies illustriert, wie nützlich eine angemessene Sprache sein kann ! ). Der Satz kann aufgefaßt werden als abstrakte Version des Maximum– Prinzips, daß nämlich jede stetige reelle Funktion auf [0, 1] ihr Maximum wirklich annimmt.

Satz. Sei f : X ⟶ Y stetige surjektive Abbildung. Sei X quasi–kompakt. Dann ist auch Y quasi–kompakt.

Beweis. Wir testen dies an einer vorgegebenen offenen Überdeckung {O_{i}}_{i∈I} von Y . Wegen der Stetigkeit von f nun ist f^{−1}(O_{i}) offen in X ; das bedeutet, daß das System {f^{−1} (O_{i})}_{i∈I} auch eine offene Überdeckung von X ist. Da X quasi–kompakt ist, existiert von dieser Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung; das heißt, es gibt eine endliche Indexmenge J ⊂ I , so daß

X = ⋃_{i∈J} f^{−1}(O_{i}) .

Weil f surjektiv ist, folgt

Y = f(X) = ⋃_{i∈J} O_{i} ;

die Überdeckung von Y hat also ebenfalls eine endliche Teilüberdeckung, wie behauptet. □

Durch Zusammenbauen der vorherigen Sätze erhalten wir eine wichtige Aussage, die vielseitig verwendbar ist. Insbesondere die nachfolgenden Korollare dieses Satzes werden oft gebraucht.

Satz. Sei f : X ⟶ Y eine stetige Abbildung. Es gelte

— X ist quasi–kompakt

— Y ist Hausdorff

Dann ist f eine abgeschlossene Abbildung, d.h., f hat die folgende Eigenschaft: Ist A abgeschlossene Menge in X , dann ist f(A) abgeschlossene Menge in Y .

Beweis. A ⊂ X abgeschlossen ⟹_{(X quasi–kompakt)} A quasi–kompakt

⟹ f(A) quasi–kompakt ⟹_{(Y Hausdorff)} f(A) abgeschlossen.  □

Korollar 1. Sei f : X ⟶ Y stetige bijektive Abbildung. Sei X quasi–kompakt und Y Hausdorff. Dann ist f topologische Äquivalenz.

Beweis. Es ist zu zeigen, daß die Umkehrabbildung f^{−1} stetig ist. Aber

f^{−1} stetig ⟺ für offenes O in X ist (f^{−1})^{−1} (O) offen in Y .

Per Übergang zum Komplement ist das gleichbedeutend damit, daß

für abgeschlossenes A in X ist (f^{−1})^{−1} (A) = f(A) abgeschlossen in Y ;

d.h., daß f abgeschlossene Abbildung ist. Das sagt aber gerade der Satz. □

Beispiel. Das Korollar sagt, daß die stetige Abbildung g : [0, 1] / 0∼1 ⟶ S^{1} eine topologische Äquivalenz ist. □

Korollar 2. (Quotientenraum–Kriterium). Sei f : X ⟶ Y stetige surjektive Abbildung. Sei X quasi–kompakt und Y Hausdorff. Dann ist Y Quotientenraum von X (das heißt, Y trägt die Quotientenraumtopologie).

Beweis. Es ist zu zeigen, eine Teilmenge O ⊂ Y ist genau dann offen, wenn f^{−1}(O) offen in X ist; oder, was auf dasselbe hinausläuft (per Übergang zum Komplement), eine Teilmenge A ⊂ Y ist genau dann abgeschlossen, wenn f^{−1}(A) abgeschlossen in X ist. Die Implikation

A abgeschlossen in Y ⟹ f^{−1}(A) abgeschlossen in X

ist einfach die Stetigkeit von f . Die Implikation

f^{−1}(A) abgeschlossen in X ⟹ A = f (f^{−1}(A)) abgeschlossen in Y

ist durch den Satz gegeben. □

Beispiel. Angewandt auf die Abbildung f : [0, 1] ⟶ S^{1} , t ⟼ f(t) = e^{2πit} , sagt das Korollar, daß S^{1} als Quotientenraum von [0, 1] aufgefaßt werden kann. □

Neben der Hausdorff–Eigenschaft, die ein kompakter Raum ja (nach Definition) hat, besitzt er noch eine weitere sogenannte Trennungseigenschaft, die manchmal nützlich ist; diese soll jetzt diskutiert werden.

Definition. Ein topologischer Raum heißt normal, wenn er nicht nur die Hausdorff– Eigenschaft hat, sondern zusätzlich auch noch folgende Eigenschaft: Seien Y, Z ⊂ X abgeschlossen, Y ∩ Z = ∅ . Dann existieren offene Mengen O, O′ ⊂ X mit

Z ⊂ O , Y ⊂ O′ , O ∩ O′ = ∅ ;

man sagt hierfür auch, punktfremde abgeschlossene Mengen lassen sich durch offene Mengen trennen.

Satz. Jeder kompakte Raum ist normal.

Beweis. Der Beweis beruht auf ganz genau demselben Trick, wie der des Hilfssatzes auf S. 26, nur daß dieser Trick jetzt zweimal angewendet werden muß. Die erste Anwendung besteht einfach darin, daß der Hilfssatz zunächst zitiert wird: Nach diesem Hilfssatz existieren nämlich für jedes z ∈ Z offene Mengen O_{z,Y} , O′_{z,Y} mit

z ∈ O_{z,Y} , Y ⊂ O′_{z,Y} , O_{z,Y} ∩ O′_{z,Y} = ∅ .

{Z ∩ O_{z,Y} }_{z∈Z} nun ist offene Überdeckung von Z . Wegen der Kompaktheit von Z gibt es also eine endliche Teilüberdeckung {Z ∩ O_{z,Y} }_{z∈K} hiervon; mit anderen Worten, es gibt eine endliche Indexmenge K ⊂ Z so daß Z ⊂ ⋃_{z∈K} O_{z,Y} . Wir setzen

O_{Z,Y} = ⋃_{z∈K} O_{z,Y} , O′_{Z,Y} = ⋂_{z∈K} O′_{z,Y} .

Als Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist O′_{Z,Y} wieder offen. Schließlich ist O_{Z,Y} ∩ O′_{Z,Y} = ∅ , denn

O_{Z,Y} ∩ O′_{Z,Y} = ( ⋃_{z∈K} O_{z,Y} ) ∩ ( ⋂_{z′∈K} O′_{z′,Y} ) = ⋃_{z∈K} ( O_{z,Y} ∩ ⋂_{z′∈K} O′_{z′,Y} ) ,

und jede der Mengen O_{z,Y} ∩ ⋂_{z′∈K} O′_{z′,Y} ist = ∅ , da schon O_{z,Y} ∩ O′_{z,Y} = ∅ . □

Als Anwendung des vorhergehenden Satzes wollen wir nun auch ein Kriterium dafür herleiten, daß ein Quotientenraum eines Hausdorff–Raumes wieder ein Hausdorff–Raum ist. Das Kriterium ist formuliert für Quotientenräume von kompakten Räumen. Das ist einerseits der wichtigste (Spezial–)Fall, andererseits kann man aber auch das Kriterium bisweilen in anderen Situationen anwenden, indem man in geschickter Weise Unterräume heranzieht.

Satz. Der Raum X sei kompakt (quasi–kompakt und Hausdorff). Z sei Quotientenraum von X , mit Projektion q : X ⟶ Z . Dann sind äquivalent:

• Z ist Hausdorff–Raum

• q ist abgeschlossene Abbildung.

Beweis. Die eine Richtung haben wir schon früher als Satz kennengelernt (S. 28). Wir zeigen hier die Umkehrung. Wir nehmen also jetzt an, daß q abgeschlossene Abbildung ist. Wir werden uns davon überzeugen, daß dann Z die Hausdorff–Eigenschaft hat.

Zunächst notieren wir, daß für jeden Punkt z ∈ Z die einpunktige Menge {z} abgeschlossen ist. Der Grund ist der: Für jedes x ∈ X ist {x} abgeschlossen (denn wegen der Hausdorff–Eigenschaft von X ist das Komplement Vereinigung von offenen Mengen). {z} nun ist das Bild einer solchen Menge, daher wieder abgeschlossen wegen der vorausgesetzten Abgeschlossenheit der Abbildung q .

Wir müssen die Abgeschlossenheit der Abbildung q noch in einer andern Weise ausnutzen, die ein wenig raffinierter ist. Dazu führen wir eine Begriffsbildung ein. Wir sagen nämlich, daß eine Untermenge W von X saturiert ist, wenn sie die Bedingung erfüllt

W = q^{−1}( q(W) )

oder was dasselbe ist in Worten: wenn ein Punkt aus X denselben Bildpunkt hat wie ein Punkt aus W , dann ist er schon in W enthalten. Mit dieser Begriffsbildung können wir nun eine Behauptung formulieren.

Behauptung. Sei A abgeschlossene Menge in X , die saturiert ist. Sei U offene Menge in X , die A enthält. Dann existiert in U eine offene Menge V , die auch noch A enthält und die saturiert ist.

Beweis. Das Komplement CU ist abgeschlossen (weil U als offen vorausgesetzt war). Also ist auch das Bild q(CU) abgeschlossen (weil die Abbildung q als abgeschlossen vorausgesetzt war). Also ist auch dessen Urbild q^{−1}( q(CU) ) abgeschlossen (weil q stetig ist). Dieses Urbild nun ist saturiert (Urbilder haben immer diese Eigenschaft) und es ist punktfremd zu der Menge A (das Bild q(CU) ist punktfremd zu q(A) , weil CU ∩ A = ∅ und weil A saturiert ist; also ist q^{−1}( q(CU) ) punktfremd zu q^{−1}( q(A) ) = A ). Das Komplement V = C( q^{−1}( q(CU) ) ) hat dann die gewünschten Eigenschaften. □

Wir können nun den Beweis des Satzes zu Ende führen. Was wir zeigen müssen, ist dies: Wenn z_{1}, z_{2} ∈ Z , z_{1} ≠ z_{2} , dann existieren offene Mengen O_{1}, O_{2} in Z mit z_{1} ∈ O_{1} , z_{2} ∈ O_{2} , O_{1} ∩ O_{2} = ∅ .

Sei Y_{1} = q^{−1} (z_{1}) und Y_{2} = q^{−1} (z_{2}) . Wie eingangs notiert, sind Y_{1} und Y_{2} Urbilder abgeschlossener Mengen, daher selbst abgeschlossen. Wir nutzen jetzt die Normalität von X aus (ein kompakter Raum ist normal). Es gibt also punktfremde offene Mengen O′_{1} und O′_{2} , die Y_{1} und Y_{2} trennen. Diese offenen Mengen sind möglicherweise nicht saturiert, wir können sie aber durch kleinere saturierte ersetzen (das sagt die obige Behauptung). Wir brauchen jetzt nur noch anzumerken, daß das Bild einer saturierten offenen Menge in X immer eine offene Menge in Z ist. Die beiden Bildmengen sind die gewünschten offenen Mengen O_{1} und O_{2} . □

Anschließend möchte ich noch einen Fall der Quotientenraum–Konstruktion diskutieren, der besonders wichtig ist. Sei X ein Raum und Y ⊂ X eine nicht–leere Teilmenge. Es bezeichne X/Y den folgenden (Quotienten–)Raum: Die Punkte von X/Y sind — die Menge Y

— die einpunktigen Mengen {x} , x ∈ X − Y .

Die Abbildung q : X ⟶ X/Y ist definiert als diejenige Abbildung, die jedem Punkt aus X seine Äquivalenzklasse zuordnet. Wenn A ⊂ X , so ist also

q^{−1} ( q(A) ) = \{ \begin{matrix}A , wenn A ∩ Y = ∅ \\ A ∪ Y , wenn A ∩ Y ≠ ∅ . \end{matrix}

Satz. Sei X kompakt und Y ⊂ X . Es sind äquivalent:

• Y ist abgeschlossen in X

• X/Y ist Hausdorff–Raum.

Beweis. Wenn Y abgeschlossen ist, so ist für abgeschlossenes A ⊂ X die Menge

q^{−1}( q(A) ) = \{ \begin{matrix}A bzw. \\ A ∪ Y \end{matrix}

auch abgeschlossen. Nach Definition der Quotiententopologie ist q also abgeschlossene Abbildung. Der vorige Satz sagt, daß, folglich, der Quotientenraum die Hausdorff– Eigenschaft hat.

Wenn andererseits der Quotientenraum Hausdorff–Raum ist, so ist (wie wir bei früherer Gelegenheit auch schon notiert haben) jede einpunktige Menge darin abgeschlossen. Speziell gilt das für den Punkt “ Y ”. Die Menge Y ist das Urbild dieses Punktes, sie ist somit abgeschlossen. □

Den Raum X/Y kann man seltsamerweise auch in dem Fall definieren, wo der Unterraum Y die leere Menge ist (böse Zungen könnten das so kommentieren, daß Topologen sich nicht scheuen, selbst leere Mengen noch zu kollabieren ! ). Wie oben sind auch in diesem Fall die Punkte von X/Y gegeben durch die Menge Y einerseits und die einpunktigen Mengen {x} , x ∈ X − Y , andererseits.

X/∅ ist aber nicht Quotientenraum von X . Es hat nämlich einen zusätzlichen Punkt, eben “ ∅ ” ; als Raum ist X/∅ die disjunkte Vereinigung X/∅ = X ∪^{.} {∅} .

Die soeben benutzte Begriffsbildung bedeutet, allgemein gesprochen, dies. Wenn X_{1} und X_{2} topologische Räume sind, dann bezeichnet X_{1} ∪^{.}X_{2} die disjunkte Vereinigung der beiden Räume. Die unterliegende Menge davon ist, nach Definition, die disjunkte Vereinigung derjenigen von X_{1} und X_{2} ; die topologische Struktur ist so definiert: Eine Menge A ⊂ X_{1} ∪^{.} X_{2} ist offen in X_{1} ∪^{.} X_{2} genau dann, wenn ihre Schnitte mit X_{1} und X_{2} jeweils offen sind.

Wir betrachten noch ein Beispiel einer etwas seltsamen Verklebe–Konstruktion. Wir verkleben nämlich zwei Kopien des abgeschlossenen Intervalls [0, 1] entlang dem halboffenen Intervall [0, 1) ; d.h., wir bilden den Quotientenraum von [0, 1] ∪^{.} [0, 1] bezüglich der Äquivalenzrelation, die erzeugt ist von der Vorschrift:

(x; 1) ∼ (x′; 2) ⟺ x = x′ , x < 1

(dabei soll (x; 1) den x entsprechenden Punkt aus der ersten Kopie von [0, 1] bezeichnen; und (x′; 2) den x′ entsprechenden Punkt aus der zweiten Kopie). Der entstandene Raum kann aufgefaßt werden als das Intervall [0, 1] mit einem zusätzlichen Punkt. Er ist aber nicht die disjunkte Vereinigung; er ist nicht einmal ein Hausdorff– Raum. Das sieht man z.B. durch Anwendung des obigen Satzes auf die Quotientenraum– Konstruktion. So hat die abgeschlossene Teilmenge [0, 1] ∪^{.} ∅ von [0, 1] ∪^{.} [0, 1] ein Bild, das nicht abgeschlossen ist; denn dessen Urbild ist die nicht–abgeschlossene Menge

q^{−1}( q( [0, 1] ∪^{.} ∅ )) = [0, 1] ∪^{.} [0, 1) .

In dem Beispiel hat die Quotientenraum–Konstruktion die Eigenschaft, daß die Urbilder von Punkten zweipunktige oder einpunktige Mengen sind (also kompakt und deshalb abgeschlossen). Das Beispiel illustriert deshalb auch, daß es z.B. nicht hinreichend für die Hausdorff–Eigenschaft eines Quotientenraumes Z von X ist, wenn man etwa fordert, daß die Quotientenabbildung q : X ⟶ Z die Bedingung erfüllt: “Urbilder von Punkten sind abgeschlossen”.

Produkte

Wenn X_{1} und X_{2} Mengen sind, dann ist die Produktmenge X_{1} × X_{2} definiert als die Menge der Paare

X_{1} × X_{2} = { (x_{1}, x_{2}) | x_{1} ∈ X_{1} , x_{2} ∈ X_{2} } .

Wenn X_{1} und X_{2} topologische Räume sind, dann kann X_{1} × X_{2} auf naheliegende Weise wieder als topologischer Raum aufgefaßt werden; die Details dazu werden wir in Kürze zur Kenntnis nehmen.

Man braucht Produkte unter anderem, um Funktionen von mehreren Variablen zu betrachten.

Mit Hilfe von Produkten kann man auch neue Räume aus alten konstruieren. Ein Aspekt dabei ist, daß diese “neuen” Räume oft ohnehin schon da sind; sie als Produkte zu erkennen, kann interessante zusätzliche Information sein.

Beispiel. Der Kreisring K sei gegeben durch

K = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 1 ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ 2\} .

Die Punkte von K kann man alternativ beschreiben durch ihre Polarkoordinaten. Die Angabe der Polarkoordinaten kann aufgefaßt werden als Abbildung

K ⟶ [1, 2] × S^{1} , (x, y) ⟼ (r, ρ) , wo r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} , ρ = (\frac{x}{r}, \frac{y}{r} ) ;

diese Abbildung ist bijektiv (die Abbildung ist sogar eine topologische Äquivalenz — was z.B. folgt, sobald wir wissen, daß die Abbildung stetig ist, K kompakt und der Zielraum Hausdorff-Raum). □

Um die Produkt–Topologie zu definieren, lassen wir uns leiten von dem speziellen Fall metrischer Räume. Sind X_{1} und X_{2} metrische Räume mit Abstandsfunktionen d_{1}(−, −) und d_{2}(−, −) , so kann X_{1} ×X_{2} aufgefaßt werden als metrischer Raum mit der Abstandsfunktion

d( (x_{1}, x_{2}) , (y_{1}, y_{2}) ) = max ( d_{1}(x_{1}, y_{1}) , d_{2}(x_{2}, y_{2}) ) .

Die Kugeln bezüglich dieser Metrik auf X × Y sind eigentlich eher Kästchen; sie sind vom Typ

U_{1}(x_{1}, ε) × U_{2}(x_{2}, ε) .

Man kann nun offene Mengen auf folgende Weise charakterisieren. Sei O ⊂ X_{1} × X_{2} . Dann sind äquivalent

— O ist offene Teilmenge des metrischen Raumes X_{1} × X_{2}

— für jedes (x_{1}, x_{2}) ∈ X_{1} × X_{2} existiert ε > 0 mit U_{1}(x_{1}, ε) × U_{2}(x_{2}, ε) ⊂ O .

Dies können wir auch formulieren, ohne die Metrik explizit zu nennen. Unter Ausnutzung dessen, daß jede Umgebung noch eine offene Umgebung enthält, erhalten wir:

Seien X_{1}, X_{2} metrische Räume. Eine Teilmenge O ⊂ X_{1} × X_{2} ist genau dann offen, wenn für jedes (x_{1}, x_{2}) ∈ O offene Mengen A ⊂ X_{1} , B ⊂ X_{2} existieren, so daß

x_{1} ∈ A , x_{2} ∈ B , A × B ⊂ O .

Wir nehmen das zum Anlaß für die nachfolgende Definition.

Definition. Seien X_{1}, X_{2} topologische Räume. Die Produkt–Topologie auf X_{1} × X_{2} ist gegeben durch die folgende Vorschrift. Eine Menge O ⊂ X_{1} × X_{2} ist offene Menge in X_{1} × X_{2} genau dann, wenn gilt: für jedes (x_{1}, x_{2}) ∈ O existieren offene Mengen A ⊂ X_{1} , B ⊂ X_{2} mit

x_{1} ∈ A , x_{2} ∈ B , A × B ⊂ O .

Die Definition sagt, mit anderen Worten, daß die offenen Mengen von X_{1} × X_{2} genau diejenigen sind, die sich als Vereinigung von Kästchen–Mengen A×B darstellen lassen (wo A und B offene Mengen in X_{1} bzw. X_{2} sind).

In dem Zusammenhang ist es angebracht, eine Vokabel zu nennen. Sei Y ein topologischer Raum, sei ℬ ein System von offenen Mengen in Y . Man sagt, ℬ ist eine Basis der Topologie von Y , wenn sich jede offene Menge in Y darstellen läßt als Vereinigung von Mengen aus ℬ . In dieser Sprache läuft die Definition der Produkttopologie darauf hinaus, daß die genannten Kästchen–Mengen eine Basis der Topologie in dem Produkt– Raum bilden.

Die Definition der Produkttopologie beinhaltet noch eine stillschweigende Behauptung, wie wir uns jetzt klarmachen; das ist die folgende

Behauptung. Das oben definierte System von offenen Mengen ist tatsächlich eine topologische Struktur auf X_{1} × X_{2} ; das heißt, es erfüllt die Axiome O1 – O4.

( Beweis. Übungsaufgabe. )

Wir können jedem Punkt (x_{1}, x_{2}) aus X_{1}×X_{2} seine erste Koordinate, d.h., den Punkt x_{1} ∈ X_{1} zuordnen. Das gibt eine Abbildung, die erste Projektion, pr_{1} : X_{1}×X_{2} → X_{1} . Diese Abbildung ist stetig. Denn sei A ⊂ X_{1} offen. Dann ist pr_{1}^{−1}(A) = A×X_{2} , und das ist offen in X_{1} × X_{2} nach Definition der Produkttopologie. Entsprechend haben wir die zweite Projektion pr_{2} : X_{1} × X_{2} → X_{2} , (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{2} ; diese ist ebenfalls stetig.

Satz. Seien X_{1}, X_{2} und Z topologische Räume, X_{1} ×X_{2} sei mit der Produkttopologie versehen. Sei f : Z ⟶ X_{1} × X_{2} eine Abbildung. Dann sind äquivalent:

— f ist stetig

— die Abbildungen f_{1} = pr_{1} ∘ f : Z ⟶ X_{1} , f_{2} = pr_{2} ∘ f : Z ⟶ X_{2} sind stetig.

Beweis. Wenn f stetig ist, so ist f_{1} = pr_{1} ∘f als Komposition stetiger Abbildungen wieder stetig; f_{2} ebenso.

Für die Gegenrichtung nehmen wir nun an, daß f_{1} und f_{2} stetig sind. Sei O offene Teilmenge von X_{1}×X_{2} , wir wollen zeigen, daß f^{−1}(O) offen in Z ist. Nach Definition der offenen Mengen in X_{1} × X_{2} ist O Vereinigung von Mengen des Typs A × B . Es folgt, daß f^{−1}(O) Vereinigung von Mengen des Typs f^{−1}(A × B) ist. Es genügt deshalb zu zeigen, daß f^{−1}(A × B) offen ist, wenn A offen in X_{1} , B offen in X_{2} . Nun ist

f^{−1}(A × B) = { z ∈ Z | f(z) ∈ A × B }
= { z ∈ Z | f_{1}(z) ∈ A , f_{2}(z) ∈ B }
= f_{1}^{−1}(A) ∩ f_{2}^{−1}(B) .

Das ist der Durchschnitt von zwei Mengen, die beide offen sind wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f_{1} und f_{2} ; der Durchschnitt ist also auch offen. □

Beispiel. Die oben betrachtete Abbildung

K ⟶ [1, 2] × S^{1} , (x, y) ⟼ ( r , ρ)

ist stetig; denn die beiden Abbildungen

K ⟶ [1, 2] , (x, y) ⟼ r , K ⟶ S^{1} , (x, y) ⟼ ρ

sind stetig. □

Man kann Produkte allgemeiner betrachten. Die Anzahl der Faktoren braucht nicht einmal endlich zu sein.

Dazu sei i ⟼ X_{i} , i ∈ I , eine indizierte Menge von Mengen. Die Produktmenge ∏_{i∈I} X_{i} ist definiert als die Menge der “Tupel”,

∏_{i∈I} X_{i} = {{x_{i}}_{i∈I} | x_{i} ∈ X_{i}} .

Ist zum Beispiel I die Menge { 1, …, n } , dann ist das Produkt ∏_{i∈I} X_{i} die Menge

{ (x_{1}, …, x_{n}) | x_{i} ∈ X_{i} } = X_{1} × X_{2} × ⋯ × X_{n} .

Ist I = { 1, 2, … } , die Menge der natürlichen Zahlen, so ist das Produkt ∏_{i∈I} X_{i} die Menge der Folgen

(x_{1}, x_{2}, …) , x_{i} ∈ X_{i} .

Es sei nun i ⟼ X_{i} , i ∈ I , eine indizierte Menge von topologischen Räumen. Wir möchten das Produkt ∏_{i∈I} X_{i} ebenfalls als topologischen Raum auffassen, und zwar in der Weise, daß folgendes gilt:

• Jede der Projektionen pr_{j} : ( ∏_{i∈I} X_{i} ) ⟶ X_{j} , {x_{i}}_{i∈I} ⟼ x_{j} ist stetig.

• Die topologische Struktur von ∏_{i∈I} X_{i} soll durch die topologischen Strukturen der Faktoren X_{i} vollständig bestimmt sein.

Die erste dieser Aussagen impliziert: Ist A_{j} offene Menge in X_{j} , dann ist pr_{j}^{−1}(A_{j}) offene Menge in ∏_{i∈I} X_{i} ; d.h., die Menge derjenigen Tupel, deren j –te Komponente in A_{j} liegt,

pr_{j}^{−1}(A_{j}) = A_{j} × ∏_{i∈I, i≠j} X_{i} ,

ist offen.

Die zweite der Aussagen sagt, daß es nicht mehr offene Mengen geben soll als diejenigen, deren Existenz durch das gerade Gesagte zusammen mit den Axiomen O1 – O4 erzwungen ist.

Was das bedeutet, können wir ein klein wenig besser formulieren, wenn wir geeignete Vokabeln benutzen, nämlich die Begriffe Basis und Subbasis. Die erste der beiden folgenden Definitionen kennen wir schon:

Definition. Sei X topologischer Raum. Ein System ℬ von offenen Mengen in X heißt Basis der Topologie, wenn jede offene Menge in X sich darstellen läßt als Vereinigung von Mengen aus ℬ .

Definition. Sei X topologischer Raum. Ein Sytem 𝒮 von offenen Mengen in X heißt Subbasis der Topologie, wenn gilt: Die endlichen Durchschnitte von Mengen aus 𝒮 , d.h. die Mengen der Art ⋂_{k∈K} A_{k} , A_{k} ∈ 𝒮 , K endlich , bilden eine Basis der Topologie.

Es folgt aus diesen beiden Definitionen, daß sich jede offene Menge in X darstellen läßt als Vereinigung endlicher Durchschnitte von Mengen aus 𝒮 ; d.h., sie läßt sich darstellen in der Form

(∗)  ⋃_{ℓ∈L} ( ⋂_{k∈K_{ℓ}} A_{k,ℓ} )  ( wobei A_{k,ℓ} ∈ 𝒮 , K_{ℓ} endlich für alle ℓ ) .

Umgekehrt kann man folgendes sagen: Sei X′ eine Menge, sei 𝒮 ein System von Teilmengen von X′ , das die Bedingung erfüllt

∅ ∈ 𝒮 , X′ ∈ 𝒮 .

Man definiert ein System 𝒜 von Teilmengen von X′ wie folgt: Eine Teilmenge A von X′ soll zu 𝒜 gehören, wenn sie sich in der Art (∗) darstellen läßt; also als Vereinigung von endlichen Durchschnitten von Mengen aus 𝒮 .

Das System 𝒜 seinerseits ist dann abgeschlossen gegenüber der Bildung von Vereinigungen und endlichen Durchschnitten. M.a.W.

Behauptung. Das System 𝒜 erfüllt die Axiome O1 – O4 (das System 𝒜 ist also eine topologische Struktur auf X′ ).

( Beweis. Übungsaufgabe. )

Für die so konstruierte topologische Struktur ist das ursprüngliche System 𝒮 eine Subbasis der Topologie. Die beschriebene Konstruktion leistet das, was oben als wünschenswert vorgestellt wurde; nämlich eine Topologie anzugeben, die als offene Mengen enthält

– die Mengen aus 𝒮

– und was durch diese und die Axiome O1 – O4 erzwungen ist.

Wir können die allgemeine Beschreibung der Produkttopologie nun so präzisieren:

Definition. Eine Subbasis der Topologie von ∏_{i∈I} X_{i} ist gegeben durch die Mengen vom Typ

A_{j} × ∏_{i∈I, i≠j} X_{i} , A_{j} ⊂ X_{j} offen.

Es ist andererseits natürlich auch möglich, eine Basis der Topologie direkt anzugeben; das ist nur wenig komplizierter. Wir betrachten Fälle.

(a) I = {1, 2} . Seien A_{1} ⊂ X_{1} , A_{2} ⊂ X_{2} offen. Dann ist

A_{1} × A_{2} = A_{1} × X_{2} ∩ X_{1} × A_{2} .

Die Mengen dieses Typs sind bereits abgeschlossen gegenüber der Bildung von endlichen Durchschnitten. Sie bilden daher eine Basis (nicht nur eine Subbasis) der Topologie auf X_{1} × X_{2} . Das ist natürlich genau die Topologie auf X_{1} × X_{2} , die wir schon kennengelernt haben.

(b) Allgemeiner: Sei I = {1, 2 …, n} und A_{i} ⊂ X_{i} offen; dann ist

A_{1} × A_{2} × ⋯ × A_{n} = A_{1} × X_{2} × ⋯ × X_{n} ∩ X_{1} × A_{2} × X_{3} × ⋯ × X_{n} ∩ ⋯ ∩ X_{1} × X_{2} × ⋯ × X_{n−1} × A_{n}

offen in ∏_{i∈I} X_{i} . Wie in (a) bilden die Mengen dieses Typs schon eine Basis der Topologie auf X_{1} × ⋯ × X_{n} .

(c) Ganz allgemein: Sei I beliebig. Die Mengen vom Typ

∏_{k∈K} A_{k} × ∏_{i∈I, i∉K} X_{i} , A_{k} ⊂ X_{k} offen , K ⊂ I endlich ,

bilden eine Basis der Topologie auf ∏_{i∈I} X_{i} . — Wenn andererseits aber J ⊂ I eine nicht–endliche Menge ist und A_{i} offene Menge in X_{i} , ∅ ≠ A_{i} ≠ X_{i} , dann ist die Menge

∏_{i∈J} A_{i} × ∏_{i∈I, i∉J} X_{i}

nicht offene Menge im Produktraum (denn sie enthält keine(!) nicht–leere Basismenge der Topologie). Insbesondere folgt auch, daß ein nicht–endliches Produkt diskreter Räume (mit jeweils mehr als nur einem Punkt) nicht wieder diskret sein kann. Wir betrachten einen speziellen Fall als Beispiel.

Beispiel. Sei X topologischer Raum und I Indexmenge. Es bezeichne

X^{I} = ∏_{i∈I} X_{i} , wobei X_{i} = X für alle i .

Sei jetzt X = {0, 1} ( = diskreter Raum mit 2 Punkten)

und I = ℕ = {1, 2, … } ( = Menge der natürlichen Zahlen) .

Der sog. Raum der 0−1−Folgen ist nun, nach Definition, der Produktraum

{0, 1}^{ℕ}

Dieser Raum ist, wie schon bemerkt, nicht diskret. Kann man mehr darüber sagen? Ja, der Raum ist topologisch äquivalent zur Cantor–Menge ! (s. Übungszettel Nr. 6). □

Wir kehren zur Beschreibung der Produkttopologie mit Hilfe von Subbasen zurück. Dazu wollen wir einen einfachen Sachverhalt zur Kenntnis nehmen. Um eine Subbasis der Topologie des Produktraums zu erhalten, braucht man nämlich nicht, wie oben, alle der offenen Mengen A_{j} ⊂ X_{j} , es langt vielmehr, wenn das A_{j} seinerseits nur eine spezifizierte Subbasis der Topologie von X_{j} durchläuft, wie wir nun als Satz formulieren wollen. Natürlich wird die erhaltene Subbasis i.a. eine andere sein als vorher.

Satz. Sei {X_{i}}_{i∈I} eine Familie von topologischen Räumen. Sei 𝒮_{i} eine Subbasis von X_{i} . Dann ist eine Subbasis der Topologie von ∏_{i∈I} X_{i} gegeben durch die Mengen vom Typ

A_{j} × ∏_{i∈I, i≠j} X_{i} , A_{j} ∈ 𝒮_{j} .

Beweis. Für die Zwecke dieses Beweises bezeichne eine Auffüllung eines Mengensystems den folgenden Prozeß: man darf beliebige Vereinigungen von endlichen Durchschnitten zu dem System hinzufügen. In dieser Sprache können wir die weiter oben formulierte Behauptung auch so aussprechen, daß aus einer Subbasis durch Auffüllung eine topologische Struktur wird. Eine topologische Struktur andererseits läßt sich nicht weiter auffüllen: die beliebigen Vereinigungen von endlichen Durchschnitten sind alle schon da.

Das können wir auch so formulieren: Wenn man schon einmal aufgefüllt hat, dann bewirkt eine weitere Auffüllung keinen Unterschied mehr; oder: Es macht keinen Unterschied, ob man einmal auffüllt oder gleich zweimal hintereinander.

Wenn man aber zweimal hintereinander auffüllen darf, so ist es offensichtlich, daß man aus dem in dem Satz angegebenen Mengensystem alles verlangte erhält: Da 𝒮_{j} Subbasis von X_{j} ist, liefern die Mengen des Satzes bei einer ersten Auffüllung schon alle die Mengen vom Typ

A_{j} × ∏_{i∈I, i≠j} X_{i}

wo A_{j} offene Teilmenge von X_{j} ist (der Index j wird hier als festgehalten betrachtet). Bei einer zweiten Auffüllung ( j wird nicht mehr als fest betrachtet) liefern letztere schließlich alle offenen Mengen des Produktraumes, da sie ja, nach Definition der Produkttopologie, eine Subbasis bilden. □

Als Anwendung nehmen wir zur Kenntnis, daß ein Produkt von mehr als zwei Räumen auch als iteriertes Produkt aufgefaßt werden kann.

Bemerkung. Seien X_{1} , …, X_{n} topologische Räume. Es gibt eine topologische Äquivalenz

X_{1} × … × X_{n} ⟶ ( X_{1} × … × X_{n−1} ) × X_{n} .

Beweis. Die Abbildung ordnet dem n -Tupel (x_{1}, …, x_{n}) das Paar zu, das besteht aus dem (n−1)− Tupel (x_{1}, …, x_{n−1}) und dem Punkt x_{n} . Die Abbildung ist bijektiv. Die Bijektion respektiert die topologische Struktur. Denn die Mengen vom Typ

A_{j} × ∏_{i ∈ {1,...,n} , i ≠ j} X_{i}

bilden, nach dem gerade beschriebenen Satz, auch für den Zielraum eine Subbasis der Topologie. □

Über Produkte allgemein gibt es den berühmten Satz von Tychonoff, der besagt, daß das Produkt einer Familie von kompakten Räumen auch wieder ein kompakter Raum ist. Wir werden den Satz in dieser Allgemeinheit nicht benötigen. Wir beschränken uns deshalb auf den Spezialfall endlicher Produkte, da dieser Spezialfall erheblich einfacher zu behandeln ist. Per Induktion kann man den Spezialfall endlich vieler Faktoren zurückführen auf den noch spezielleren Fall von nur zwei Faktoren.

Satz. Seien X, Y kompakte Räume. Der Produktraum X × Y ist kompakt.

Korollar. Seien X_{1}, X_{2}, …, X_{n} kompakte Räume. Dann ist X_{1} × X_{2} × … × X_{n} ebenfalls kompakt.

Beweis. Per Induktion über n können wir annehmen, daß X_{1} × … × X_{n−1} kompakt ist. Nach dem Satz ist

(X_{1} × … × X_{n−1}) × X_{n}

dann auch kompakt. X_{1} × X_{2} × … × X_{n} ist zu diesem Produktraum topologisch äquivalent (s. oben), also ebenfalls kompakt. □

Beweis des Satzes. Wir prüfen zunächst die Hausdorff–Eigenschaft nach: Sind X, Y Hausdorff–Räume, dann auch der Produktraum X × Y . Das ist aber klar, denn seien (x, y) , (x′, y′) zwei Punkte aus X × Y . Wenn (x, y) ≠ (x′, y′) , dann ist entweder x ≠ x′ oder y ≠ y′ . Sei etwa x ≠ x′ . Da X Hausdorff–Raum ist, gibt es offene Mengen A_{x} , A_{x′} in X mit

x ∈ A_{x} , x′ ∈ A_{x′} , A_{x} ∩ A_{x′} = ∅ .

A_{x} × Y und A_{x′} × Y sind dann offene Mengen in X × Y von der geforderten Art.

Nun zur Überdeckungseigenschaft: Seien X und Y als quasi–kompakt vorausgesetzt. Sei {O_{i}}_{i∈I} offene Überdeckung von X × Y . Wir wollen zeigen, es gibt eine endliche Teilmenge J ⊂ I mit ⋃_{i∈J} O_{i} = X × Y .

Es ist, nach Definition der Produkttopologie, jede offene Menge in dem Produktraum darstellbar als Vereinigung von offenen Mengen spezieller Art (Kästchen–Mengen). Speziell gilt das für die Mengen O_{i} . Wir dürfen also annehmen (und wir werden das sogleich auch tun), daß jede der Mengen O_{i} auf irgendeine Weise in dieser Form tatsächlich dargestellt ist,

O_{i} = ⋃_{k∈K_{i}} A_{k}^{i} × B_{k}^{i} , A_{k}^{i} offen in X , B_{k}^{i} offen in Y .

Wir definieren nun eine neue Indexmenge (die disjunkte Vereinigung der K_{i} )

K = . ; ⋃_{i∈I} K_{i} = { (i, k) | k ∈ K_{i} } .

Dann ist

⋃_{(i,k) ∈ K} A_{k}^{i} × B_{k}^{i} = ⋃_{i∈I} ( ⋃_{k∈K_{i}} A_{k}^{i} × B_{k}^{i}) = ⋃_{i∈I} O_{i} = X × Y .

Deshalb ist {A_{k}^{i} × B_{k}^{i}}_{(i,k) ∈ K} ebenfalls eine offene Überdeckung von X ×Y . Es wird nun genügen, zu zeigen, daß diese (!) Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat. Denn jede der Mengen davon ist enthalten in einer der Mengen O_{i} , und wenn man die Mengen einer Überdeckung vergrößert, so erhält man wieder eine Überdeckung. Man braucht also zum Schluß nur die fraglichen endlich vielen Kästchen durch die passenden O_{i} zu ersetzen, um die gewünschte endliche Teilüberdeckung von {O_{i}}_{i∈I} zu erhalten.

Wir ändern jetzt die Notation und fangen noch einmal von vorne an. Sei also I eine Indexmenge und sei {A_{i} × B_{i}}_{i∈I} eine Familie von Mengen, mit den Eigenschaften

A_{i} ⊂ X offen , B_{i} ⊂ Y offen , ⋃_{i∈I} A_{i} × B_{i} = X × Y .

Wir wollen zeigen, daß diese Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.

Hilfssatz. Sei x ∈ X . Es existiert eine endliche Teilmenge I_{x} ⊂ I mit

⋃_{i∈I_{x}} A_{i} × B_{i} ⊃ {x} × Y .

Beweis. Zunächst merken wir an, daß der Unterraum {x}×Y von X ×Y topologisch äquivalent ist zu Y . Denn wegen der Definition von Produkttopologie einerseits und Unterraumtopologie andererseits läßt sich jede offene Mengen in {x} × Y darstellen in der Form

({x} × Y) ∩ ( ⋃_{ℓ∈L} (A_{ℓ} × B_{ℓ}) ) = ⋃_{ℓ∈L} ({x} × Y) ∩ (A_{ℓ} × B_{ℓ})

(wo A_{ℓ} und B_{ℓ} offene Mengen aus X bzw. Y bezeichnen). Es gilt auch

(\{x\} × Y) ∩ (A_{ℓ} × B_{ℓ}) = \{ \begin{matrix}\{x\} × B_{ℓ} & falls x ∈ A_{ℓ} \\ ∅ & falls x ∉ A_{ℓ} . \end{matrix}

Die Bijektion {x} × Y → Y , (x, y) ↦ y , bildet also offene Mengen auf offene Mengen ab; sie ist daher eine topologische Äquivalenz.

Nun war Y als quasi–kompakt vorausgesetzt. Es folgt, daß {x} × Y quasi–kompakt ist. Die offene Überdeckung

{ (A_{i} × B_{i}) ∩ ({x} ∩ Y) }_{i∈I}

hat also eine endliche Teilüberdeckung, d.h., es gibt die behauptete endliche Teilmenge I_{x} ⊂ I mit ⋃_{i∈I_{x}} A_{i} × B_{i} ⊃ {x} × Y . Der Hilfssatz ist damit bewiesen. □

Sei weiterhin x ∈ X ein fester Punkt. Sei I_{x} die durch den Hilfssatz gegebene Untermenge der Indexmenge. Wir können annehmen, daß x ∈ A_{i} für alle i ∈ I_{x} (denn die A_{i} × B_{i} mit x ∉ A_{i} tragen zur Überdeckung von {x} × Y ja gar nichts bei; wir könnten sie notfalls einfach weglassen). Es ist dann

x ∈ A_{x} : = ⋂_{i∈I_{x}} A_{i} ,

und A_{x} ist als endlicher Durchschnitt von offenen Mengen wieder offen in X .

Andererseits ist Y ⊂ ⋃_{i∈I_{x}} B_{i} . Denn aus {x} × Y ⊂ ⋃_{i∈I_{x}} A_{i} × B_{i} folgt ja

{x} × Y ⊂ {x} × ⋃_{i∈I_{x}} B_{i} .

Da weiterhin A_{x} in jedem der A_{i} , i ∈ I_{x} , enthalten ist, folgt somit, daß der gesamte “Streifen” A_{x} × Y von endlich vielen der Mengen A_{i} × B_{i} schon überdeckt wird: es ist

A_{x} × Y ⊂ ⋃_{i∈I_{x}} A_{i} × B_{i} .

Wir brauchen nun nur noch die Quasi–Kompaktheit von X auszunutzen: Die offene Überdeckung {A_{x}}_{x∈X} von X hat eine endliche Teilüberdeckung {A_{x}}_{x∈K} . Damit ist nun

{A_{i} × B_{i}}_{i∈I_{x} , x∈K}

endliche Überdeckung von X × Y . Es ist dies eine Teilüberdeckung der vorgegebenen Überdeckung {A_{i} × B_{i}}_{i∈I} bis allenfalls auf die Tatsache, daß möglicherweise einige Mengen davon nun mehrfach gezählt worden sind (bedingt durch die andere Indizierung). Solche Mehrfachnennungen können wir gegebenenfalls einfach weglassen, wir erhalten dann eine Teilüberdeckung. Der Satz ist bewiesen. □

Als Anwendung des Satzes (oder des Korollars) wollen wir die kompakten Teilmengen des ℝ^{n} behandeln (Satz von Heine–Borel).

Bezeichne ein Quader das Produkt von endlich vielen abgeschlossenen Intervallen,

[a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] × … × [a_{n}, b_{n}] .

Behauptung. Dieser Raum ist topologisch äquivalent zu dem entsprechenden Unterraum des ℝ^{n} ,

{ (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | a_{i} ≤ x_{i} ≤ b_{i} } .

Zusatz zu S. 40-42 ( eine etwas andere Formulierung des Beweises von: )

Satz. Sind X, Y quasi-kompakt, dann auch ihr Produkt X × Y .

Beweis. Sei {O_{i}}_{i∈I} offene Überdeckung von X × Y . Wir wollen zeigen, es gibt eine endliche Teilmenge J ⊂ I mit ⋃_{i∈J} O_{i} = X × Y .

Wir verschaffen uns eine neue Überdeckung {O_{z}}_{z∈X×Y} dadurch, daß wir zu jedem Punkt z ∈ X × Y eine der Mengen O_{i} auswählen, die z wirklich enthält (so eine Menge gibt es!) und diese Menge dann mit O_{z} bezeichnen. Es wird nun genügen zu zeigen, daß diese Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat. Denn es könnte letztlich allenfalls passieren, daß unter den schließlich erhaltenen endlich vielen O_{z} irgendwelche der O_{i} vielleicht mehrfach vorkommen; solche Mehrfachnennungen können wir gegebenenfalls natürlich einfach weglassen.

Zu jedem Punkt z ∈ X × Y verschaffen wir uns nun offene Mengen A_{z} ⊂ X und B_{z} ⊂ Y , so daß

A_{z} × B_{z} ⊂ O_{z} und z ∈ A_{z}×B_{z}

(das geht, da ja die Kästchen-Mengen eine Basis der Produkttopologie bilden). Es wird nun genügen zu zeigen, daß die Überdeckung {A_{z}×B_{z}}_{z∈X×Y} eine endliche Teilüberdeckung hat. Denn wenn ⋃_{z∈J} A_{z}×B_{z} schon ganz X × Y ist, dann natürlich auch ⋃_{z∈J} O_{z} , da ja A_{z}×B_{z} ⊂ O_{z} für alle z .

Beweis. Die offensichtliche Abbildung (nämlich das i− te Intervall wird mit seinem Bild im i− ten Faktor von ℝ^{n} identifiziert) ist bijektiv. Wir überlegen uns, daß die Abbildung eine topologische Äquivalenz ist.

1. Beweis. Der Quader als Produktraum, bzw. der Quader als Unterraum von ℝ^{n} haben dieselbe topologische Struktur. Denn in beiden Fällen ist eine Basis der Topologie gegeben durch Kästchen–Mengen, wo der i− te Faktor des Kästchens ein relativ–offenes Intervall im i− ten Faktor des Quaders ist.

2. Beweis. Die Abbildung vom Quader in den ℝ^{n} ist stetig nach dem Kriterium dafür, wann eine Abbildung in einen Produktraum stetig ist; denn jede der Komponenten– Abbildungen ist stetig: die i− te Komponentenabbildung ist die Komposition der Projektion des Quaders auf seinen i− ten Intervall–Faktor mit der Inklusion dieses Faktors in die i− te Koordinate von ℝ^{n} . Die resultierende stetige bijektive Abbildung vom Quader auf seinen Bildraum in ℝ^{n} ist eine topologische Äquivalenz nach dem fundamentalen Kriterium, das wir hergeleitet haben; denn der Zielraum ist Hausdorff–Raum (als Unterraum des ℝ^{n} ), und der Quellenraum ist kompakt (als endliches Produkt von kompakten Räumen, nämlich von Intervallen). □

Von jetzt an werden wir gelegentlich einen Quader auch stillschweigend identifizieren mit dem entsprechenden Unterraum eines ℝ^{n} .

Satz. (Satz von Heine–Borel). Eine Teilmenge des ℝ^{n} ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Beweis. Wenn X ⊂ ℝ^{n} beschränkt ist, dann existiert ein Quader in ℝ^{n} , der X enthält. Wenn X in ℝ^{n} abgeschlossen ist, dann ist X auch abgeschlossen in diesem Quader. Wir haben erhalten, daß X abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes (des Quaders) ist. Wie wir wissen, impliziert dies, daß X selbst kompakt ist.

Sei umgekehrt X als kompakt vorausgesetzt. Da ℝ^{n} Hausdorff–Raum ist, folgt, wie wir wissen, daß X abgeschlossen in ℝ^{n} ist. Um weiter die Beschränktheit von X einzusehen, argumentieren wir explizit mit einer Überdeckung. Nämlich wir überdecken ℝ^{n} durch Einheitsquader (Würfel der Kantenlänge 1 , deren Eckpunkte ganz–zahlige Koordinaten haben). Wäre dies eine offene Überdeckung, so könnten wir die induzierte Überdeckung von X betrachten; aus der (Quasi–)Kompaktheit von X würde dann folgen, daß X schon in (der Vereinigung von) endlich vielen der Einheitsquader enthalten sein muß, also beschränkt ist. Nun bilden die Einheitsquader natürlich keine offene Überdeckung, da ja ein Quader nicht offene (sondern abgeschlossene) Teilmenge von ℝ^{n} ist. Wir müssen das Argument also modifizieren. Eine ganz kleine Modifikation ist ausreichend: wir ersetzen jeden der Quader durch eine ein wenig größere offene Menge, die ihn enthält (z.B. einen offenen Quader der Kantenlänge 2 ). Aus der Kompaktheit von X folgt tatsächlich nun, daß X in der Vereinigung von endlich vielen der modifizierten Quader enthalten ist; also beschränkt ist. □

Beispiele von Produkten.

Beispiel (a) S^{1} × S^{1} . Die Abbildung f : [0, 2π] ⟶ ℝ^{2} , f(t) = ( cos t, sin t) , induziert eine topologische Äquivalenz

g : [0, 2π] / 0∼2π ⟶^{≈} Bild (f) = S^{1} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} = 1 }

(das folgt z.B. aus dem Satz: “ X → Y surjektiv, X kompakt, Y Hausdorff ” impliziert “ Y trägt die Quotiententopologie”). Es folgt hieraus, per Produktbildung, daß S^{1} × S^{1} topologisch äquivalent ist zu

( [0, 2π] / 0∼2π) × ( [0, 2π] / 0∼2π) .

Andererseits gibt es auch eine surjektive Abbildung (Produkt der Projektionen)

[0, 2π] × [0, 2π] ⟶ ( [0, 2π] / 0∼2π) × ( [0, 2π] / 0∼2π) .

Anwendung desselben Satzes wie oben liefert nun: ( [0, 2π] / 0∼2π) × ( [0, 2π] / 0∼2π) (und damit auch S^{1} × S^{1}) ist topologisch äquivalent zu dem Quotientenraum

( [0, 2π] × [0, 2π] ) / (s, 0)∼(s, 2π) , (0, t)∼(2π, t) ;

mit anderen Worten: S^{1} × S^{1} ist topologisch äquivalent zu dem Raum, den man aus dem Quadrat erhält durch “Verkleben” von je zwei gegenüberliegenden Seiten.

Für eine weitere Beschreibung von S^{1} × S^{1} definieren wir eine Abbildung

h : [0, 2π] × [0, 2π] ⟶ ℝ^{3} , (s, t) ⟼ ( (cos s)(2 + cos t) , (sin s)(2 + cos t) , sin t )

diese Abbildung hat die Eigenschaft:

h(s, t) = h(s′, t′) ⟺ \{ \begin{matrix}(s, t) = (s′, t′) oder \\ s = 0 , s′ = 2π (oder umgekehrt) , t beliebig oder \\ t = 0 , t′ = 2π (oder umgekehrt) , s beliebig . \end{matrix}

Mit Hilfe des oben zitierten Satzes erhalten wir: der Raum

( [0, 2π] × [0, 2π] ) / (s, 0)∼(s, 2π) , (0, t)∼(2π, t) ;

ist topologisch äquivalent zu dem Raum Bild (h) . Anschaulich gesprochen, erhält man diesen Raum Bild (h) , indem man den Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt (2, 0, 0) um die z –Achse rotiert (“S^{1} × S^{1} ist ein Torus”).

Beispiel (b) “Abgeschlossener Kreisring”. Sei 0 < a < b . Die Abbildung

\{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | a ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ b \} ⟶ S^{1} × [a, b]
(x, y) ⟼ ( ( \frac{x}{r} , \frac{y}{r} ) , r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} )

ist eine topologische Äquivalenz (denn sie ist eine stetige bijektive Abbildung mit kompaktem Definitionsbereich und Hausdorff–Raum als Wertebereich).

Beispiel (c) “Offener Kreisring”. Sei wieder 0 < a < b . Die Abbildung

\{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | a < \sqrt{x^{2} + y^{2}} < b \} ⟶ S^{1} × (a, b)

definiert wie oben ist auch eine topologische Äquivalenz; denn sie ist bijektiv und sie ist die Einschränkung einer topologischen Äquivalenz (nämlich der vorigen).

Beispiel (d) “Punktierte Ebene”. Die Abbildung

ℝ^{2} − 0 ⟶ S^{1} × (0, ∞) , (x, y) ⟼ ( ( \frac{x}{r} , \frac{y}{r} ) , r )

ist ebenfalls eine topologische Äquivalenz. Denn einmal ist die Abbildung bijektiv, zum andern ist die Stetigkeit der Abbildung bzw. ihrer Umkehrabbildung eine lokale Eigenschaft; sie folgt daher aus der Stetigkeit im vorigen Beispiel. Im Detail:

Sei (x, y) ≠ (0, 0) . Wähle a, b so daß 0 < a < r < b . Dann ist S^{1} × (a, b) offene Umgebung von Bild (x, y) . Nach dem vorigen Beispiel ist die Umkehrabbildung stetig in dieser Umgebung von Bild (x, y) , deshalb insbesondere auch stetig im Punkt Bild (x, y) . Ähnlich erhält man die Stetigkeit der Abbildung selbst.

Beispiel (e) S^{1} × ℝ . Weil ℝ topologisch äquivalent ist zu (0, ∞) , folgt auch

S^{1} × ℝ ≈ S^{1} × (0, ∞) ≈ ℝ^{2} − 0 .

Allgemeine Versionen dieser topologischen Äquivalenzen.

Für x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} bezeichne ∥x∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} die euklidische Norm. Die n–dimensionale Sphäre S^{n} ist definiert durch

S^{n} = { x ∈ ℝ^{n+1} | ∥x∥ = 1 }

(b′) Sei 0 < a . Die Abbildung

\{ x ∈ ℝ^{n} | a ≤ ∥x∥ ≤ b \} ⟶ S^{n−1} × [a, b] , x ⟼ ( \frac{x}{∥x∥} , ∥x∥ )

ist stetig und bijektiv. Sie hat kompakten Definitionsbereich und Hausdorffschen Zielbereich, sie ist also eine topologische Äquivalenz.

(c′) Sei 0 < a . Die Abbildung

{ x ∈ ℝ^{n} | a < ∥x∥ < b } ⟶ S^{n−1} × (a, b)

ist definiert wie die vorige. Sie ist bijektiv und ist als Einschränkung einer topologischen Äquivalenz ebenfalls wieder eine topologische Äquivalenz.

(d′) Sei 0 ≤ a < b ≤ ∞ . Die Abbildung

{ x ∈ ℝ^{n} | a < ∥x∥ < b } ⟶ S^{n−1} × (a, b)

ist bijektiv, und sie stimmt “lokal” mit der vorigen Abbildung überein; damit ist auch sie eine topologische Äquivalenz.

(e′) Mit ℝ ≈ (0, ∞) folgt schließlich noch:

S^{n−1} × ℝ ≈ S^{n−1} × (0, ∞) ≈ ℝ^{n} − 0

Verklebe–Konstruktionen

Die disjunkte Vereinigung topologischer Räume wurde früher schon angesprochen. Wir nehmen sie hier in allgemeiner Form zur Kenntnis.

Wenn i ⟼ X_{i} , i ∈ I , eine indizierte Familie von Mengen ist, dann bezeichnet die disjunkte Vereinigung die Menge der Paare

⨿_{i∈I} X_{i} = { (i, x) | i ∈ I , x ∈ X_{i} } .

Für jedes j ∈ I enthält diese Menge eine Kopie der Menge X_{j} ; nämlich die Untermenge

{ (j, x) | x ∈ X_{j} } ,

die ja zu X_{j} kanonisch ( = in ganz bestimmter, ausgezeichneter Weise ) isomorph ist.

Definition. Wenn die X_{i} topologische Räume sind, dann sei die disjunkte Vereinigung auf die folgende Weise mit einer topologischen Struktur versehen: eine Teilmenge A ⊂ ⨿_{i∈I} X_{i} ist offen dann und nur dann, wenn für jedes j ∈ I die Menge

A ∩ X_{j}

offen in X_{j} ist ( dabei haben wir X_{j} identifiziert mit { (j, x) | x ∈ X_{j} }) .

Aus der Definition folgt auch: Für jedes j ist die Untermenge { (j, x) | x ∈ X_{j} } von ⨿_{i∈I} X_{i} eine offene Untermenge, und sie ist (als Unterraum) kanonisch isomorph zu X_{j} ; die Abbildung x ↦ (j, x) definiert eine topologische Äquivalenz von X_{j} zu diesem Unterraum,

X_{j} ⟶ { (j, x) | x ∈ X_{j} } .

Solange das nicht zu Mißverständnissen führt, können (und wollen wir gelegentlich auch) so tun, als sei X_{j} dasselbe wie der angesprochene Unterraum.

Ein nicht sonderlich interessantes Beispiel für die Konstruktion ist das, wo jeder der Räume X_{i} nur aus einem einzigen Punkt besteht. In diesem Falle ist ⨿_{i∈I} X_{i} dasselbe (oder, wenn man es ganz genau nehmen will, “dasselbe bis auf kanonische Isomorphie”) wie die Menge I mit der diskreten Topologie.

Einer der interessantesten Fälle für die Konstruktion ist der auch früher schon angesprochene Fall, wo die Indexmenge gerade zwei Elemente hat, etwa I = {1, 2} . Wir wollen für diesen Fall eine andere Notation einführen; nämlich statt ⨿_{i∈{1,2}} X_{i} werden wir auch schreiben X_{1} ∪^{.} X_{2} (oder sogar einfach nur X_{1} ∪ X_{2} ; was allerdings zu Mißverständnissen führen kann, wenn man nicht aufpaßt).

Satz. X sei topologischer Raum. Es sind äquivalent:

• X ist nicht zusammenhängend

• X ist topologisch äquivalent zu einer (nicht–trivialen) disjunkten Vereinigung.

Beweis. Wir schauen nach, was die Definitionen bedeuten. Die Aussage “X ist nicht zusammenhängend” heißt, daß es nicht–leere offene Mengen A_{1}, A_{2} ⊂ X gibt, mit A_{1} ∪ A_{2} = X , A_{1} ∩ A_{2} = ∅ . Es folgt, daß die Abbildung

A_{1} ∪^{.} A_{2} ⟶ A_{1} ∪ A_{2} = X , (i, x) ⟼ x ,

bijektiv ist, stetig, und auch offen ( weil ja A_{1} und A_{2} offen in X sind ). Die Abbildung ist also eine topologische Äquivalenz.

Sei umgekehrt X = ⨿_{i∈I}X_{i} und sei j ∈ I . Dann sind X_{j} und ⨿_{i∈I, i≠j} X_{i} offen in X , und disjunkt. □

Bemerkung. Wenn X ein topologischer Raum ist, und x ∈ X ein Punkt darin, so kann man einen Raum X_{x} definieren, die sogenannte Zusammenhangskomponente von x in X . Nach Definition ist dies der größte zusammenhängende Unterraum von X , der x enthält (es ist übrigens gar nicht selbstverständlich, daß ein solcher Unterraum überhaupt existiert, der Beweis für die Existenz ist auch nicht trivial). Man muß sich nun hüten vor der Annahme, daß etwa jeder topologische Raum so etwas wäre, wie die disjunkte Vereinigung seiner Zusammenhangskomponenten; Gegenbeispiel: der Raum ℚ der rationalen Zahlen (mit Unterraumtopologie als Unterraum von ℝ) ist total unzusammenhängend in dem Sinn, daß je zwei Punkte in verschiedenen Zusammenhangskomponenten liegen (denn zwischen je zwei rationalen Zahlen x_{1} und x_{2} liegt ja immer noch eine irrationale Zahl x_{3}) . Die Zusammenhangskomponenten sind also schlicht einpunktige Mengen in dem Fall. Andererseits ist die Unterraumtopologie auf den rationalen Zahlen selbstverständlich nicht die diskrete Topologie; anders ausgedrückt: es gibt sicherlich auch Funktionen auf ℚ , die nicht stetig sind !

Ein noch einfacheres Beispiel dieses Typs ist die Menge \{0\} ∪ \{\frac{1}{n} | n ∈ ℕ\} , versehen mit der Unterraumtopologie als Unterraum des Intervalls. □

Wir wollen untersuchen, wann eine disjunkte Vereinigung kompakterRäume wieder kompakt ist. Sei also {X_{i}}_{i∈I} , eine Familie kompakter Räume. Aus der Definition der Topologie von ⨿_{i∈I} X_{i} und aus der Hausdorff–Eigenschaft der X_{i} erhält man sofort, daß ⨿_{i∈I} X_{i} auch ein Hausdorff–Raum ist.

Nun zur Überdeckungs–Eigenschaft: Wenn I nicht endlich ist, und wenn X_{i} ≠ ∅ für alle i , dann ist ⨿_{i∈I} X_{i} sicherlich nicht quasi–kompakt. Denn z.B. {X_{i}}_{i∈I} ist eine offene Überdeckung, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wir haben aber:

Satz. Sei {X_{i}}_{i∈I} eine Familie von Räumen. Die Indexmenge I sei endlich, und für jedes i ∈ I sei X_{i} ein kompakter Raum. Dann ist die disjunkte Vereinigung ⨿_{i∈I}X_{i} ebenfalls kompakt.

Beweis. Sei {A_{k}}_{k∈K} eine vorgegebene offene Überdeckung von ⨿_{i∈I}X_{i} . Wir wollen zeigen, daß diese Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Da X_{i} offen in ⨿_{i∈I}X_{i} (Definition der disjunkten Vereinigung), ist

{X_{i} ∩ A_{k}}_{i∈I, k∈K}

ebenfalls offene Überdeckung. Wegen der Kompaktheit von X_{i} existiert eine endliche Teilmenge K_{i} ⊂ K mit

X_{i} ⊂ ⋃_{k∈K_{j}} X_{i} ∩ A_{k} .

Es folgt, daß {X_{i} ∩ A_{k}}_{i∈I, k∈K_{i}} endliche Überdeckung von ⨿_{i∈I}X_{i} ist. Durch Ersetzen der {X_{i} ∩ A_{k}} durch die entsprechenden {A_{k}} erhält man hieraus die gesuchte endliche Teilüberdeckung von {A_{k}}_{k∈K} . □

Interessanter als der doch sehr spezielle Fall einer Vereinigung ohne Durchschnitt ist der allgemeinere Fall einer Vereinigung mit Durchschnitt,

X = X_{1} ∪ X_{2} , X_{1} ∩ X_{2} = X_{0} ,

wo eben, möglicherweise, X_{0} ≠ ∅ .

Beispiel. Die 2–Sphäre ist die Vereinigung ihrer nördlichen und südlichen Halbkugeln; der Durchschnitt der beiden ist die gemeinsame Randkurve, der Äquator. Bis auf topologische Äquivalenz kann man das auch so formulieren, daß die 2-Sphäre die Vereinigung von zwei Kreisscheiben ist, deren Durchschnitt wiederum eine 1-Sphäre ist. □

Beispiele wie dieses suggerieren die folgende Frage.

Frage. Ist die topologische Struktur von X vollständig bestimmt durch

• X_{1}, X_{2} und

• die Weise, wie X_{0} = X_{1} ∩ X_{2} in X_{1} und X_{2} enthalten ist ?

Anders gefragt: Wie sinnvoll ist es, in einer solchen Situation zu sagen, “ X entsteht aus X_{1} und X_{2} durch Verkleben entlang X_{0} ” ?

Zunächst müssen wir diskutieren, was hier mit Verklebung gemeint sein soll. Dazu seien X_{1}, X_{0}, X_{2} irgendwelche topologischen Räume und

X_{1} ⟵^{f_{1}} X_{0} ⟶^{f_{2}} X_{2}

irgendwelche stetigen Abbildungen. Wir definieren einen neuen Raum (einen Quotientenraum der disjunkten Vereinigung),

X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} : = X_{1} ∪^{.} X_{2} /_{f_{1}(x) ∼f_{2}(x) ; x∈X_{0}} .

Wir möchten diese Konstruktion interpretieren können als “ Verkleben von X_{1} und X_{2} entlang X_{0} ”. Das sollte die Konsequenz haben, daß der Raum X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} die Räume X_{1}, X_{0}, X_{2} als Unterräume enthält. Wir betrachten Bedingungen, die das sicherstellen.

Für die Identifikation von X_{1} mit einem Unterraum gibt es einen Kandidaten, nämlich die zusammengesetzte Abbildung

X_{1} ⟶ X_{1} ∪^{.} X_{2} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2}

(d.h., die Inklusion von X_{1} in die disjunkte Vereinigung, gefolgt von der Quotientenraumprojektion). Dies ist offenbar auch die einzig vernünftige Möglichkeit, X_{1} mit X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} in Beziehung zu bringen.

Wir wollen Bedingungen über die “Verklebe–Abbildungen” f_{1} und f_{2} formulieren, die garantieren, daß diese Abbildung X_{1} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} und die analoge Abbildung X_{2} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} die Eigenschaften haben, die sie haben sollen.

• die Abbildung f_{2} : X_{0} ⟶ X_{2} sei injektiv. Die Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung, f_{1}(x) ∼ f_{2}(x) für x ∈ X_{0} , sagt dann vielleicht noch alles mögliche, aber sicher sind keine zwei verschiedenen Punkte aus X_{1} jetzt äquivalent, also ist die Abbildung X_{1} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} injektiv.

• die Abbildung f_{1} : X_{0} ⟶ X_{1} sei injektiv. Wie gerade eben impliziert dies, daß X_{2} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} injektiv ist.

• Die bijektive Abbildung f_{2} : X_{0} ⟶ Bild (f_{2}) (Unterraum von X_{2}) sei eine topologische Äquivalenz.

Behauptung. Die bijektive Abbildung

X_{1} ⟶ Bild(X_{1}) (Unterraum von X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2})

ist dann auch eine topologische Äquivalenz.

Beweis. Zu zeigen ist, daß die Abbildung offen ist: wenn A offene Teilmenge von X_{1} ist, dann gibt es eine offene Teilmenge B in X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} mit

B ∩ Bild (X_{1}) = Bild (A) .

Nun ist f_{1}^{−1}(A) offen in X_{0} (Stetigkeit von f_{1}) , deshalb ist f_{2} ( f_{1}^{−1}(A) ) offen in Bild (f_{2}) (wegen der über f_{2} gemachten Voraussetzung); das heißt also, es gibt eine offene Teilmenge B′ ⊂ X_{2} mit B′ ∩ Bild (f_{2}) = f_{2} (f_{1}^{−1}(A)) . Damit erhalten wir

B ∩ Bild (X_{1}) = Bild (A) ,

wobei B := B′ ∪ A (aufgefaßt als Vereinigung von Mengen in X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2}) . Daß die Menge B nun offen in X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ist, wie gewünscht, folgt sofort aus der Definition der Quotiententopologie, denn das Urbild von B in X_{1} ∪^{.} X_{2} ist die Menge A ∪^{.} B′ , und diese ist offen in X_{1} ∪^{.} X_{2} , da B′ offen in X_{2} ist, und A offen in X_{1} . □

• Die bijektive Abbildung f_{1} : X_{0} ⟶ Bild (f_{1}) sei eine topologische Äquivalenz. Ähnlich wie gerade eben impliziert dies, daß auch die Abbildung

X_{2} ⟶ Bild (X_{2}) (Unterraum von X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2})

eine topologische Äquivalenz ist.

Zusatz zu S. 50

Zur Verklebe–Konstruktion

X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} : = X_{1} ∪^{.} X_{2} /_{f_{1}(x) ∼f_{2}(x) ; x∈X_{0}}

ist dort angemerkt:

• die Abbildung f_{2} : X_{0} ⟶ X_{2} sei injektiv. Die Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung, f_{1}(x) ∼ f_{2}(x) für x ∈ X_{0} , sagt dann vielleicht noch alles mögliche, aber sicher sind keine zwei verschiedenen Punkte aus X_{1} jetzt äquivalent, also ist die Abbildung X_{1} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} injektiv.

Hier ist eine etwas detailliertere Begründung dafür.

Die von “ f_{1}(x) ∼ f_{2}(x) für x ∈ X_{0} ” erzeugte Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung läßt sich für die Punkte aus X_{1} so beschreiben:

x, y ∈ X_{1} sind äquivalent genau dann, wenn es eine Kette von Punkten gibt,

x = x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, …, x_{4k+1} = y

mit

x_{1} = f_{1}(x_{2}) , f_{2}(x_{2}) = x_{3} = f_{2}(x_{4}) , f_{1}(x_{4}) = x_{5} ….

In der vorliegenden Situation ( f_{2} injektiv ) schließen wir, daß in einer solchen Kette notwendigerweise die beiden Punkte

x_{2} , x_{4} ∈ X_{0}

zueinander gleich sind, da sie ja dasselbe Bild x_{3} ∈ X_{2} haben. Also muß auch

x_{1} = x_{5}

sein. — Usw.

Über den Raum X_{0} notieren wir noch folgendes. Die beiden zusammengesetzten Abbildungen in dem Diagramm

X_{0} ⟶^{f_{1}}  X_{1}
f_{2}↓  ↓
X_{2} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2}

sind identisch und induzieren eine bijektive Abbildung X_{0} ⟶ Bild (X_{0}) ; auch diese Abbildung ist eine topologische Äquivalenz (denn weil X_{0} Unterraum von X_{1} und X_{1} Unterraum von X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} , folgt, daß auch X_{0} Unterraum von X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ist). Schließlich ist noch

Bild (X_{0}) = Bild (X_{1}) ∩ Bild (X_{2})

(als Unterräume von X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ). Unter den angegebenen Bedingungen führt unsere Konstruktion mithin tatsächlich auf das, was wir von dem Verklebeprozeß erwarten.

Wir kommen zu unserer Frage von vorhin zurück, die wir jetzt etwas anders formulieren wollen. Sei X topologischer Raum. Seien X_{1} und X_{2} Unterräume von X , so daß X_{1} ∪ X_{2} = X . Wir setzen X_{0} = X_{1} ∩ X_{2} . Die beiden Inklusions–Abbildungen j_{1} : X_{1} ⟶ X und j_{2} : X_{2} ⟶ X induzieren dann eine surjektive stetige Abbildung

g : X_{1} ∪^{.} X_{2} ⟶ X .

Wir bilden den “zusammengeklebten” Raum X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} , wobei die Abbildungen

X_{1} ⟵^{f_{1}} X_{0} ⟶^{f_{2}} X_{2}

durch die Inklusionen gegeben seien. Für x ∈ X_{0} gilt dann g(f_{1}(x)) = g(f_{2}(x)) , die Abbildung g faktorisiert deshalb über eine stetige Abbildung

f : X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ⟶ X ,

und diese Abbildung ist bijektiv. Unsere obige Frage läßt sich jetzt so präzisieren:

Frage: Wann ist die Abbildung f eine topologische Äquivalenz ?

Das ist sicherlich nicht der Fall ohne zusätzliche Bedingungen, wie man an folgendem Sachverhalt sehen kann. Sei X zusammenhängender Raum, sei X_{1} Unterraum von X , ∅ ≠ X_{1} ≠ X , sei X_{2} das Komplement von X_{1} in X . Wenn wieder X_{0} den Durchschnitt von X_{1} und X_{2} bezeichnet, so ist im gegenwärtigen Fall X_{0} = ∅ , also X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ≈ X_{1} ∪^{.} X_{2} . Die Abbildung X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ⟶ X kann also in diesem Fall keine topologische Äquivalenz sein, da X als zusammenhängend vorausgesetzt war und deshalb nicht disjunkte Vereinigung in nicht–trivialer Weise sein kann.

Satz. Hinreichend dafür, daß f topologische Äquivalenz ist, ist, daß X_{1} und X_{2} beide abgeschlossen in X sind. — Ebenfalls hinreichend ist, daß sie beide offen sind.

Beweis. Eine stetige bijektive Abbildung ist genau dann eine topologische Äquivalenz, wenn sie zusätzlich noch die Eigenschaft hat, eine offene Abbildung zu sein (oder, was in diesem Fall dasselbe bedeutet, eine abgeschlossene Abbildung). Wir behandeln den einen der beiden Fälle. Das Argument im andern Fall ist wörtlich dasselbe — abgesehen davon, natürlich, daß in dem Argument das Wort “abgeschlossen” zu ersetzen ist durch das Wort “offen”.

Wir setzen also jetzt voraus, daß X_{1} und X_{2} abgeschlossene Unterräume in X sind. Wir werden zeigen, daß dann f eine abgeschlossene Abbildung ist; d.h., daß folgendes gilt:

Sei A ⊂ X , f^{−1}(A) abgeschlossen in X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} . Dann ist A abgeschlossen in X .

Dazu sei A_{1} = A ∩ X_{1} und A_{2} = A ∩ X_{2} , also A = A_{1} ∪ A_{2} . Daß f^{−1}(A) abgeschlossen in X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ist, heißt (nach Definition der Quotiententopologie), daß q^{−1}( f^{−1}(A) ) abgeschlossen in X_{1} ∪^{.} X_{2} ist, wobei q : X_{1} ∪^{.} X_{2} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} die Quotientenraumprojektion bezeichnet. Nun ist

q^{−1} (f^{−1}(A)) = A_{1} ∪^{.} A_{2} .

Wir schließen, daß A_{1} ∪^{.} A_{2} abgeschlossen in X_{1} ∪^{.} X_{2} ist. Nach Definition der Topologie der disjunkten Vereinigung heißt dies, daß erstens A_{1} abgeschlossen in X_{1} ist und zweitens auch A_{2} abgeschlossen in X_{2} . Nach Voraussetzung nun waren X_{1} und X_{2} abgeschlossene Unterräume von X . Es folgt, daß auch A_{1} und A_{2} in X abgeschlossen sind (denn ein abgeschlossener Unterraum in einem abgeschlossenen Unterraum ist auch in dem Gesamtraum abgeschlossen). Also ist auch die Vereinigungsmenge A = A_{1} ∪ A_{2} abgeschlossen in X . Der Beweis ist fertig. □

Bemerkung. Die Notation X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ist sehr bequem und sie ist auch ganz üblich. Man sollte aber nicht vergessen, daß sie auch ein wenig ungenau ist, da die Verklebeabbildungen

X_{1} ⟵^{f_{1}} X_{0} ⟶^{f_{2}} X_{2}

ja ausdrücklich nicht spezifiziert werden.

So kann man etwa sehr viele Räume angeben, die sich in der Form D^{n}∪_{D^{n}}D^{n} darstellen lassen, wo D^{n} den n− dimensionalen Ball bezeichnet, D^{n} = { x ∈ ℝ^{n} | ∥x∥ ≤ 1 } .

Zum Beispiel D^{1} ∪_{D^{1}} D^{1} kann bedeuten:

• eine Strecke (die zu verklebenden 1− Bälle werden in ihrer ganzen Länge identifiziert)

• eine “Ypsilon”–artige Figur (von den zu verklebenden Intervallen werden nur die unteren Hälften identifiziert).

Oder D^{2} ∪_{D^{2}} D^{2} kann bedeuten:

• eine Scheibe (die zu verklebenden 2− Bälle werden insgesamt identifiziert)

• eine “Jojo”–artige Figur (die beiden zu verklebenden Scheiben werden nur entlang einer kleineren konzentrischen Scheibe identifiziert).

Für ein weiteres Beispiel erinnern wir uns daran, daß die S^{2} in der Form D^{2} ∪_{S^{1}} D^{2} dargestellt werden kann; dabei werden die beiden Verklebe–Abbildungen

D^{2} ⟵^{f_{1}} S^{1} ⟶^{f_{2}} D^{2}

benutzt, die jeweils die S^{1} mit der Randkurve der einen oder der anderen Scheibe identifizieren. Wir nehmen jetzt dieselben Räume, aber andere Verklebe–Abbildungen; nämlich f_{1} sei wie zuvor, aber f_{2} möge die S^{1} mit einem konzentrischen Kreis in D^{2} identifizieren. Der durch diese Verklebung entstehende Raum ist nicht wieder die 2− Sphäre; er ist vielmehr so etwas wie die Oberfläche des Saturn mit aufgesetztem Ring. □

Wir wollen noch kurz diskutieren, was geschieht, wenn man beim Verklebe–Prozeß die beteiligten Räume durch topologisch äquivalente Räume ersetzt. Wir erwarten, daß dann auch das Resultat des Verklebeprozesses wieder dasselbe sein wird — jedenfalls bis auf topologische Äquivalenz. Sei also

X_{1} ⟵^{f_{0}} X_{0} ⟶^{f_{2}} X_{2}

ein Diagramm derart, wie wir es beim Verkleben benutzt haben. Wir wollen X_{1}, X_{0}, X_{2} durch topologisch äquivalente Räume X′_{1}, X′_{0}, X′_{2} ersetzen; wir möchten schließen, daß X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} topologisch äquivalent ist zu X′_{1} ∪_{X′_{0}} X′_{2} . Dabei müssen wir aufpassen, was die Verklebeabbildungen

X′_{1} ⟵^{f′_{1}} X′_{0} ⟶^{f′_{2}} X′_{2}

angeht: die obigen Beispiele zeigen, daß sonst wohl nur wenig Chance dafür bestünde, daß X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} topologisch äquivalent zu X′_{1} ∪_{X′_{0}} X′_{2} sein wird.

Am besten wird es wohl sein, wenn wir uns die f′_{1} auf geeignete Weise aus den anderen Daten verschaffen.

Seien also zusätzlich zu den Verklebeabbildungen f_{1} und f_{2} noch topologische Äquivalenzen h_{i} : X_{i} ⟶ X′_{i} fixiert. Wir können diese Daten zusammenfassen in einem Diagramm

X_{1} ⟵^{f_{1}} X_{0} ⟶^{f_{2}} X_{2}
↓^{h_{1}}  ↓^{h_{0}}  ↓^{h_{2}}
X′_{1}  X′_{0}  X′_{2}

Dieses Diagramm wiederum können wir ergänzen zu einem kommutativen Diagramm

X_{1} ⟵^{f_{1}} X_{0} ⟶^{f_{2}} X_{2}
↓^{h_{1}}  ↓^{h_{0}}  ↓^{h_{2}}
X′_{1} ⟵^{f′_{1}} X′_{0} ⟶^{f′_{2}} X′_{2}

indem wir einfach definieren

f′_{1} : = h_{1} ∘ f_{1} ∘ h_{0}^{−1} , f′_{2} : = h_{2} ∘ f_{2} ∘ f_{0}^{−1}

(wobei wir benutzen, das h_{0} topologische Äquivalenz ist; daß also die stetige Umkehrabbildung h_{0}^{−1} existiert). Die Kommutativität des Diagramms besagt hier natürlich nichts anderes als die Gleichheit der Abbildungen:

h_{1}∘f_{1} = f′_{1}∘h_{0} : X_{0} ⟶ X′_{1} , h_{2}∘f_{2} = f′_{2}∘h_{0} : X_{0} ⟶ X′_{2} .

Wir können eine ganz bestimmte “kanonische” Abbildung definieren

h : X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ⟶ X′_{1} ∪_{X′_{0}} X′_{2} ,

nämlich

h(x) = \{ \begin{matrix}h_{1}(x) & wenn x ∈ X_{1} \\ h_{0}(x) & wenn x ∈ X_{0} \\ h_{2}(x) & wenn x ∈ X_{2} \end{matrix} .

Diese Abbildung ist wohldefiniert (wegen der Kommutativität des obigen Diagramms). Sie ist stetig, weil die zusammengesetzte Abbildung

X_{1} ∪^{.} X_{2} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ⟶ X′_{1} ∪_{X′_{0}} X′_{2}

stetig ist (Stetigkeit von h_{1} und h_{2}) und wegen der Definition von X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} als Quotientenraum von X_{1} ∪^{.} X_{2} .

Wir wollen zeigen, daß h eine topologische Äquivalenz ist, also eine Umkehrabbildung hat. Dies erfordert keine neuen Argumente: weil h_{1}, h_{0}, h_{2} topologische Äquivalenzen sind, können wir das obige Diagramm “rückwärts” lesen, d.h. wir haben ein Diagramm

X′_{1} ⟵^{f′_{1}} X′_{0} ⟶^{f′_{2}} X′_{2}
↓^{h_{1}^{−1}}  ↓^{h_{0}^{−1}}  ↓^{h_{2}^{−1}}
X_{1} ⟵^{f_{1}} X_{0} ⟶^{f_{2}} X_{2}

Dieses Diagramm nun kommutiert ebenfalls (das folgt aus der Kommutativität des obigen Diagramms), und wie vorher erhalten wir deshalb eine ganz bestimmte Abbildung

h′ : X′_{1} ∪_{X′_{0}} X′_{2} ⟶ X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} ,

die wiederum stetig ist. Wir brauchen nun nur noch die nicht sehr überraschende Tatsache nachzuprüfen, daß h′ zu h invers ist; z.B., wenn x ∈ X_{1} , dann ist

h′(h(x)) = h′ (h_{1}(x)) = h_{1}^{−1} (h_{1}(x)) = x ,

und wenn x ∈ X′_{1} dann ist

h(h′(x)) = h (h_{1}^{−1}(x)) = h_{1} (h_{1}^{−1}(x)) = x .

Die konstruierte Abbildung h ist also eine topologische Äquivalenz von X_{1} ∪_{X_{0}} X_{2} zu X′_{1} ∪_{X′_{0}} X′_{2} .

Deformationsklassen von Schlingen

Im Rahmen der Einführung hatten wir seinerzeit skizzenhaft zur Kenntnis genommen, daß man in einigen interessanten Fällen topologische Räume dadurch als verschieden erkennen kann (genauer: als nicht topologisch äquivalent), daß man “Schlingen” in diesen Räumen betrachtet, oder vielmehr Deformationsklassen von solchen (vgl. Seiten 11–12). Nachdem wir die hierfür benötigten Hilfsmittel uns nunmehr verschafft haben, wollen wir diese Dinge jetzt näher anschauen.

Definition. Bezeichne S^{1} den Kreis. Eine Schlinge in einem topologischen Raum X ist eine stetige Abbildung f : S^{1} → X .

Wie angedeutet (vgl. S. 12), sollen zwei Schlingen f_{0} und f_{1} als “deformations– äquivalent” (oder “homotop”) bezeichnet werden, wenn eine “Deformation” von der einen Schlinge in die andere existiert. Das präzisieren wir jetzt wie folgt:

Definition. Seien f_{0}, f_{1} Schlingen in X . Eine Deformation von f_{0} zu f_{1} ist eine stetige Abbildung

F : S^{1} × [0, 1] ⟶ X ,

mit

F | S^{1}×0 = f_{0} , F | S^{1}×1 = f_{1} .

Definition. Seien f und f′ Schlingen in X . f und f′ heißen homotop, wenn eine Deformation von f zu f′ existiert.

Satz. Homotopie von Schlingen ist eine Äquivalenz–Relation.

Beweis. Die Behauptung ist, daß die Relation homotop schon die Eigenschaften hat, die eine Äquivalenzrelation ausmachen: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität. Der Beweis dafür läuft auf die Angabe geeigneter Homotopien hinaus.

— Reflexivität. Ist f : S^{1} → X eine Schlinge, dann ist die konstante Deformation, d.h. die Abbildung

S^{1}× [0, 1] ⟶^{pr} S^{1} ⟶^{f} X , (x, t) ↦ x ↦ f(x)

eine Deformation von f zu sich selbst.

— Symmetrie. Seien f_{0}, f_{1} Schlingen derart, daß eine Deformation von f_{0} zu f_{1} existiert; sei F : S^{1} × [0, 1] → X eine solche Deformation. Durch das “Umflippen” von F erhält man dann auch eine Deformation F′ von f_{1} zu f_{0} . Im Detail: F′ ist die zusammengesetzte Abbildung

S^{1}× [0, 1] ⟶^{id_{S^{1}} ×τ} S^{1}× [0, 1] ⟶^{F} X

wobei der “Flip” gegeben ist durch

τ : [0, 1] ⟶ [0, 1] , τ(t) = 1−t .

— Transitivität. Sei F eine Deformation von f_{0} zu f_{1} , und G eine Deformation von f_{1} zu f_{2} . Man erhält eine Deformation H von f_{0} zu f_{2} durch Zusammensetzen von F und G . Im Detail: für s ∈ S^{1} und t ∈ [0, 1] definiert man

H(s, t) = \{ \begin{matrix}F (s, 2t) & für 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2} \\ G(s, 2t−1) & für \frac{1}{2} ≤ t ≤ 1 \end{matrix} .

Definition. Sei X topologischer Raum. Es bezeichnet 𝒮(X) die Menge der Homotopieklassen von Schlingen in X , d.h. die Menge der Schlingen in X modulo der soeben eingeführten Äquivalenz–Relation “homotop”.

Beispiel. 𝒮(ℝ^{n}) hat nur ein Element. — Denn sind f_{0}, f_{1} : S^{1} → ℝ^{n} zwei Schlingen, dann ist

F (s, t) = (1−t)f_{0}(s) + t f_{1}(s)

eine Deformation von f_{0} zu f_{1} ; je zwei Schlingen sind also homotop.

Wie schon erwähnt, ist unser Ziel, zumindest in einigen Fällen Räume dadurch als verschieden (als nicht topologisch äquivalent) zu erkennen, daß wir die Mengen 𝒮(…) wirklich ausrechnen (und feststellen, daß sie verschieden sind). Das beruht auf dem folgenden Sachverhalt.

Satz: Wenn X und X′ topologisch äquivalente Räume sind, dann sind 𝒮(X) und 𝒮(X′) äquivalente Mengen.

Dies ist ein Aspekt der sogenannten Funktorialität der Zuordnung X ↦ 𝒮(X) . Was das bedeutet, ist schon in der Einführung (S. 8 – 11) anhand der Konstruktion X ↦ π_{0}X (Menge der Weg–Zusammenhangs–Komponenten von X ) beschrieben worden. Der wesentliche Punkt ist der, daß eine Konstruktion nicht nur für Objekte vorliegt (hier: jedem Raum ist eine Menge zugeordnet), sondern gleichzeitig auch für Abbildungen zwischen diesen (hier: jeder Abbildung von Räumen (stetige Abbildung!) ist auch eine Abbildung von Mengen zugeordnet); und daß schließlich diese Zuordnung noch die vernünftigen Eigenschaften hat, die man erwarten kann. Wir gehen die Dinge noch einmal durch.

— Eine Abbildung φ: X → Y induziert eine Abbildung φ_{∗}: 𝒮(X) → 𝒮(Y) . Diese ist definiert durch

φ_{∗}([f]) := [φ ∘ f] .

Mit anderen Worten, φ_{∗} ist in der offensichtlichen Weise für Repräsentanten definiert, (f : S^{1} → X) ⟼ (φ∘f : S^{1} → Y ) . Und damit dies die gewünschte Abbildung auf den Homotopieklassen gibt, prüft man nach, daß die Zuordnung die Äquivalenz–Relation “homotop” respektiert. Das ist aber klar, denn ist F : S^{1}×[0, 1] → X eine Deformation von f_{0} zu f_{1} , dann ist φ∘F : S^{1}×[0, 1] → Y eine Deformation von φ∘f_{0} zu φ∘f_{1} .

— Die Zuordnung φ ↦ φ_{∗} ist mit der Komposition von Abbildungen verträglich. Das heißt, wenn φ und ψ zusammensetzbare Abbildungen von Räumen sind,

X ⟶^{φ} Y ⟶^{ψ} Z ,

so gilt (ψ∘φ)_{∗} = ψ_{∗} ∘ φ_{∗} (Gleichheit von Abbildungen 𝒮(X) → 𝒮(Z) ). Daß dies richtig ist, folgt aber unmittelbar aus den Definitionen von (ψ∘φ)_{∗} , ψ_{∗} und φ_{∗} ,

(ψ∘φ)_{∗}( [f] ) = [ (ψ ∘ φ) ∘ f ] = ψ_{∗}( [φ ∘ f] ) = ψ_{∗}(φ_{∗}( [f] )) .

— Die Zuordnung φ ↦ φ_{∗} respektiert identische Abbildungen. Das heißt, für jeden Raum X ist (klar ! )

(Id_{X})_{∗} = Id_{𝒮(X)} .

Beweis des Satzes. Sei φ : X → X′ topologische Äquivalenz; ψ : X′ → X sei zu φ inverse Abbildung. Dann ist

Id_{𝒮(X)} = (Id_{X})_{∗} = (ψ ∘ φ)_{∗} = ψ_{∗} ∘ φ_{∗} .

Ähnlich auch Id_{𝒮(X′)} = φ_{∗} ∘ ψ_{∗} . Das heißt aber nichts anderes, als daß φ_{∗} und ψ_{∗} zueinander inverse Abbildungen zwischen 𝒮(X) und 𝒮(X′) sind. □

Der folgende Satz beinhaltet eine weitere nützliche Tatsache geringen Tiefgangs.

Satz. Seien X, Y topologische Räume und X×Y ihr Produkt. Es ist

𝒮(X×Y) ≈ 𝒮(X) × 𝒮(Y) .

Beweis. Eine Schlinge in X×Y ist, nach Definition, eine Abbildung

h: S^{1} ⟶ X × Y .

Per Übergang zu den Komponentenabbildungen entspricht sie einem Paar

f : S^{1} → X , g: S^{1} → Y ; f = pr_{1} ∘ h , g = pr_{2} ∘ h

und, wie wir wissen (S. 34), gilt auch: h stetig ⟺ f stetig und g stetig. Die resultierende Bijektion

(Schlingen in X×Y) ⟶^{≈} (Schlingen in X) × (Schlingen in Y)

respektiert zudem die Äquivalenz–Relation, denn eine Deformation von h_{0} zu h_{1} ist ja, wieder nach Definition, eine Abbildung

H : S^{1}× [0, 1] ⟶ X × Y

mit H | S^{1}×0 = h_{0} , H | S^{1}×1 = h_{1} . Sie entspricht damit, wie oben, einem Paar von Abbildungen

F : S^{1}×[0, 1] ⟶ X , G: S^{1}×[0, 1] ⟶ Y

mit F | S^{1}×0 = f_{0} , F | S^{1}×1 = f_{1} und G | S^{1}×0 = g_{0} , G | S^{1}×1 = g_{1} ; d.h. sie entspricht einem Paar von Deformationen von f_{0} zu f_{1} und von g_{0} zu g_{1} . □ Weil 𝒮 (ℝ^{n}) nur ein Element hat (s. oben) erhalten wir Korollar. Für jeden topologischen Raum X gilt

𝒮 (X×ℝ^{n}) ⟶^{≈} 𝒮(X) × 𝒮 (ℝ^{n}) ⟶^{≈} 𝒮(X) .

Beispiel. Wir wissen, ℝ^{n} − 0 ist topologisch äquivalent zu S^{n−1} × ℝ^{1} . Es folgt 𝒮 (ℝ^{n} − 0) ≈ 𝒮 (S^{n−1} × ℝ^{1}) ≈ 𝒮 (S^{n−1}) .

Unser Programm für die nächste Zukunft ist es, folgendes zu zeigen:

• 𝒮(S^{n}) , für n ≥ 2 , hat nur ein Element.

• 𝒮(S^{1}) hat (abzählbar) unendlich viele Elemente. Als Folgerung hiervon werden wir die folgenden Klassifikationssätze haben. Satz. S^{1} ist nicht topologisch äquivalent zu S^{n} wenn n ≥ 2 . Denn sonst würde ja folgen

𝒮(S^{1}) ≈ 𝒮(S^{n}) ( ?? )

was aber der angegebenen Berechnung widerspricht. Satz. ℝ^{2} ist nicht topologisch äquivalent zu ℝ^{n} wenn n ≥ 3 . Denn andernfalls wäre auch ℝ^{2} − 0 topologisch äquivalent zu ℝ^{n} − 0 und das hätte zur Folge

𝒮(S^{1}) ≈ 𝒮(ℝ^{2} − 0) ≈ 𝒮(ℝ^{n} − 0) ≈ 𝒮(S^{n−1}) ( ?? )

was wiederum der Berechnung widerspricht. Satz. S^{2} ist nicht topologisch äquivalent zum Torus. Denn da der Torus topologisch äquivalent ist zu S^{1} × S^{1} , würde andernfalls folgen

𝒮(S^{2}) ≈ 𝒮(S^{1} × S^{1}) ≈ 𝒮(S^{1}) × 𝒮(S^{1}) ( ?? )

was aber auch nicht sein kann.

Wir wollen jetzt mit dem Beweis des Satzes beginnen, daß 𝒮 (S^{n}) , für n ≥ 2 , nur ein einziges Element hat; daß, mit anderen Worten, je zwei Schlingen in S^{n} ineinander deformiert werden können, wenn n ≥ 2 . Das Argument geht in mehreren Schritten, wobei zunächst nur Schlingen spezieller Art betrachtet werden, und wobei jeweils der folgende Fall dann auf den vorherigen zurückgeführt wird.

1. Fall. Bezeichne eine triviale Schlinge eine solche, die durch eine konstante Abbildung f : S^{1} → X gegeben ist, d.h. wo das Bild f(S^{1}) nur aus einem einzigen Punkt besteht. Da S^{n} wegzusammenhängend ist (wenn n ≥ 1) sind je zwei triviale Schlingen in S^{n} homotop. ( Denn sei w : [0, 1] → S^{n} ein Weg, dann ist die Abbildung

S^{1} × [0, 1] ⟶^{pr_{2}} [0, 1] ⟶^{w} S^{n}

eine Deformation zwischen den trivialen Schlingen mit Werten w(0) und w(1) ). Es wird also genügen zu zeigen, daß jede Schlinge in S^{n} in eine triviale Schlinge deformiert werden kann, wenn n ≥ 2 . Damit befassen sich die beiden folgenden Fälle.

2. Fall. Es sei f : S^{1} → S^{n} eine Schlinge mit der Eigenschaft, daß f(S^{1}) ≠ S^{n} ( d.h., die Abbildung f ist nicht surjektiv). Es wird gezeigt, daß f in eine triviale Schlinge deformiert werden kann. (Hierbei ist der Fall n = 1 zugelassen). Das Argument beruht auf dem folgenden Sachverhalt.

Satz. Sei z ∈ S^{n} . Es gibt eine topologische Äquivalenz ϕ: S^{n}−{z} ⟶ ℝ^{n} .

Beweis. Es ist nicht immer so, daß man eine topologische Äquivalenz tatsächlich auch explizit hinschreiben kann, aber es ist so im vorliegenden Fall. Die Abbildung ϕ ist gegeben durch die sogenannte stereographische Projektion, die folgendermaßen definiert ist. Wir fassen S^{n} auf als die Einheits–Sphäre im ℝ^{n+1} , und ℝ^{n} als den zu dem Vektor z orthogonalen Unterraum. Zu einem Punkt x ∈ S^{n} , x ≠ z , wird nun der Bildpunkt y = ϕ(x) so bestimmt, daß

— y auf der Geraden durch z und x liegt, also y = z + a (x − z)

— y zu z orthogonal ist, also y · z = 0 (Skalarprodukt von Vektoren). Die Zahl a bestimmt sich dann durch die Gleichung

0 = y · z = z · z + a (x − z) · z

( sowie z · z = 1 ). Es ergibt sich a = \frac{−1}{(x−z)·z} und

y = z − \frac{1}{(x − z) · z} (x − z) .

Die Umkehrabbildung ψ läßt sich ähnlich explizit angeben. Sei nämlich y ein Punkt in dem zu z orthogonalen Unterraum. Der Punkt x = ψ(y) ist dann gegeben als der (andere) Schnittpunkt der Einheits–Sphäre mit der Geraden durch y und z . Um ihn explizit anzugeben, bemerken wir, daß der Punkt in der Mitte zwischen x und z derjenige Punkt auf der Geraden ist, der dem Ursprung am nächsten liegt. Wenn wir also den Ansatz machen

x = z + 2b (y − z) ,

so bestimmt sich die Zahl b durch die Gleichung

( z + b (y − z) ) · (y − z) = 0

( sowie z · (y−z) = −1 ). Es ergibt sich b = \frac{1}{(y−z)·(y−z)} und

x = z + \frac{2}{(y − z) · (y − z)} (y − z) .

Daß die Abbildungen ϕ und ψ stetig sind, ist klar. Daß sie zueinander invers sind, ergibt sich aus ihrer Herleitung; mit ein wenig Geduld könnte man es auch durch Einsetzen nachprüfen (dabei benutzt man, daß (x−z) · (x+z) = 0 ). □

Zurück nun zu der Situation des 2. Falles. Wir wollen uns davon überzeugen, daß eine vorgegebene Schlinge f : S^{1} → S^{n} in eine triviale Schlinge deformiert werden kann, wenn wir noch zusätzlich voraussetzen, daß es einen Punkt z ∈ S^{n} gibt, der nicht im Bild von f liegt.

Der wesentliche Punkt hierbei ist, daß wir f auch auffassen können als Abbildung in den Unterraum S^{n}−{z} ; oder, um es genau zu nehmen, wir schreiben f jetzt als Komposition

f = j ∘ f′ ,

wo j: S^{n}−{z} → S^{n} die Inklusion des Unterraumes bezeichnet, und f′: S^{1} → S^{n}−{z} eine Schlinge in diesem Unterraum.

Es wird genügen, eine Homotopie

F′ : S^{1}× [0, 1] ⟶ S^{n}−{z}

von der Abbildung f′ zu einer trivialen Schlinge anzugeben; denn die zusammengesetzte Abbildung j ∘ F′ ist dann die gewünschte Homotopie für die Schlinge f selbst. Die Homotopie F′ verschaffen wir uns über die topologische Äquivalenz von S^{n}−{z} zu ℝ^{n} . Wir benutzen die oben beschriebenen Abbildungen ϕ und ψ (die stereographische Projektion und ihre Inverse). Zunächst ist ϕ ∘ f′ eine Schlinge in ℝ^{n} . Diese ist deformierbar in eine triviale Schlinge (etwa mit Wert 0 ); eine Homotopie, die das leistet, ist gegeben durch

F : S^{1}× [0, 1] ⟶ ℝ^{n} , F (s, t) = (1 − t) ϕ(f′(s)) .

Die zusammengesetzte Abbildung ψ ∘ F ist dann die gewünschte Homotopie F′ .

3. Fall (der allgemeine Fall). Unser Ziel ist, diesen Fall auf den vorigen zurückzuführen. Dazu werden wir folgendes zeigen. Sei f : S^{1} → S^{n} eine Schlinge. Wenn n ≥ 2 , dann gibt es eine Deformation von f zu einer Schlinge f′ mit der Eigenschaft f′(S^{1}) ≠ S^{n} . Der Beweis ist eine Variante des Arguments aus dem vorigen Fall. Es wird nämlich in einem ersten Schritt gezeigt, daß sich S^{1} durch endlich viele Teilbögen überdecken läßt

S^{1} = B_{1} ∪ B_{2} ∪ ⋯ ∪ B_{m}

mit der Eigenschaft, daß jede einzelne der eingeschränkten Abbildungen f|B_{j} : B_{j} → S^{n} nicht surjektiv ist. Im zweiten Schritt werden dann die Abbildungen f|B_{j} einzeln auf geeignete Weise deformiert.

Der erste Schritt beruht auf einem ganz allgemeinen Sachverhalt. Dies ist ein wichtiger Satz, den wir später auch in anderem Zusammenhang noch oft benötigen werden.

Satz (Lebesgue’scher Überdeckungssatz). Sei M kompakter metrischer Raum. Sei {O_{i}}_{i∈I} offene Überdeckung von M . Dann existiert ein ε > 0 mit der folgenden Eigenschaft. Für jeden Punkt x ∈ M existiert ein i ∈ I , so daß die ε –Kugel um x ganz enthalten ist in der offenen Menge O_{i} .

Beweis. Bezeichne (x, y) ↦ d(x, y) die Distanzfunktion auf dem metrischen Raum M . Ist A ⊂ M nicht–leere Teilmenge, so definiert man eine Funktion d_{A}: M → ℝ_{+} (“Distanz zu A ”) durch

d_{A}(x) = inf_{z∈A}d(x, z) .

Die Gleichung d_{A}(x) = 0 charakterisiert dann diejenigen Punkte x aus M , die Adhärenzpunkte von A sind; wenn speziell A eine abgeschlossene Menge in M ist, so charakterisiert diese Gleichung die Punkte von A selbst. Die Distanzfunktion d_{A}: M → ℝ_{+} ist eine stetige Funktion. Denn für x, y ∈ M und für alle z ∈ A ist ja d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) . Hieraus folgt

d_{A}(x) ≤ d(x, y) + d_{A}(y) .

Die Ungleichungen d_{A}(x) ≤ d_{A}(y) + d(x, y) und (analog) d_{A}(y) ≤ d_{A}(x) + d(x, y) zusammen besagen dann, daß | d_{A}(x) − d_{A}(y) | ≤ d(x, y) .

Die vorgegebene Überdeckung {O_{i}}_{i∈I} hat eine endliche Teilüberdeckung {O_{i}}_{i∈J} (weil M kompakt ist). Es wird genügen, die vorgegebene Überdeckung durch die Teilüberdeckung zu ersetzen und die Behauptung des Satzes für diese zu beweisen. Dazu betrachten wir die Funktionen d_{i} := d_{CO_{i}} ,

d_{i}(x) = Abstand von x zum Komplement von O_{i} .

Weil das Komplement CO_{i} abgeschlossene Menge ist, sind die Punkte aus O_{i} charakterisiert durch die Tatsache

d_{i}(x) > 0 .

Nun ist jeder Punkt aus M enthalten in einer der Mengen O_{i} (die Mengen bilden ja eine Überdeckung), also ist auch mindestens eine der Funktionen d_{i} dort > 0 . Es folgt, daß das Supremum dieser Funktionen

s(x) = sup_{i∈J} d_{i}(x)

überall einen Wert > 0 hat. Andererseits ist s als Supremum endlich vieler stetiger Funktionen auch wieder eine stetige Funktion, und als stetige Funktion auf einem Kompaktum (nämlich M ) nimmt die Funktion s ihr Infimum wirklich an. Wenn wir also die Zahl α definieren als

α = inf_{x∈M} s(x) ,

so ist α > 0 ( denn α ist Funktionswert von s ), und es ist s(x) ≥ α für alle x . Nach Definition von s(x) als Supremum heißt dies: für jedes x ∈ M gibt es ein i , so daß d_{i}(x) ≥ α ; mit anderen Worten: es gibt ein i , so daß die Kugel mit Mittelpunkt x und Radius α ganz enthalten ist in der offenen Menge O_{i} . Mit ε = α ist die Behauptung des Satzes jetzt bewiesen. □

Zurück nun zur Situation des 3. Falles. Sei f : S^{1} → S^{n} eine vorgegebene Schlinge. Wir wählen zwei verschiedene Punkte z_{1} und z_{2} in S^{n} und setzen

A_{1} = S^{n}−{z_{1}} , A_{2} = S^{n}−{z_{2}} .

Wir definieren nun

O_{1} = f^{−1} (A_{1}) , O_{2} = f^{−1} (A_{2}) .

Diese beiden sind offene Teilmengen in S^{1} (weil f stetige Abbildung ist), und das System {O_{1}, O_{2}} ist Überdeckung von S^{1} ( weil {A_{1}, A_{2}} eine Überdeckung von S^{n} ist ). Um den Lebesgueschen Überdeckungssatz anwenden zu können, notieren wir, daß S^{1} nicht nur kompakt ist, sondern natürlich auch ein metrischer Raum (die Unterraumtopologie von S^{1} in ℝ^{2} ist dieselbe wie die von der Distanzfunktion auf ℝ^{2} per Einschränkung gegebene Topologie). Nach dem Lebesgueschen Satz existiert also ein ε > 0 , so daß ….

Wir wählen eine Unterteilung von S^{1} in m gleichlange Bögen B_{1}, …, B_{m} . Wenn m groß genug ist ( z.B. wenn m ≥ \frac{2}{ε} ), dann ist jeder dieser Bögen enthalten in einer ε –Kugel in S^{1} ( = Durchschnitt von S^{1} mit einer ε –Kugel in ℝ^{2} mit Mittelpunkt auf S^{1} ). Nach der Konstruktion von ε über den Lebesgueschen Satz folgt deshalb, daß jeder der Bögen B_{j} auch ganz in O_{1} oder ganz in O_{2} enthalten ist (oder in beiden). Wegen O_{1} = f^{−1} (A_{1}) , O_{2} = f^{−1} (A_{2}) besagt dies, daß für jeden der Bögen B_{1}, …, B_{m} die eingeschränkte Abbildung f|B_{j} ihr Bild ganz in A_{1} ( = S^{n}−{z_{1}}) oder ganz in A_{2} ( = S^{n}−{z_{2}}) hat.

Die Abbildung f wollen wir nun dadurch verbessern, daß wir die eingeschränkten Abbildungen f|B_{j} einzeln deformieren. Dabei müssen wir darauf achten, daß die zu konstruierenden Deformationen an den Endpunkten der Bögen auch zusammenpassen.

Dies läßt sich am bequemsten dadurch erreichen, daß die Deformationen an den Endpunkten als konstant gewählt werden (m.a.W., die Endpunkte selbst werden gar nicht deformiert). Diese Dinge sollen zunächst jetzt genauer formuliert werden.

Bezeichne ein Bogen einen topologischen Raum, der topologisch äquivalent ist zu [0, 1] ( z.B. die obigen Bögen B_{j} ). Sei B ein Bogen. Ein Weg in einem topologischen Raum X ist eine stetige Abbildung

w : B ⟶ X .

Eine Deformation, relativ zu den Endpunkten, von dem Weg w_{0} zu dem Weg w_{1} ist eine stetige Abbildung

W : B × [0, 1] ⟶ X ,

die zum einen eine Deformation von w_{0} zu w_{1} ist, d.h., es ist

W | B×0 = w_{0} , W | B×1 = w_{1} ,

und die zum andern die Eigenschaft hat, daß für den Anfangspunkt a von B und den Endpunkt e von B , und für alle t ∈ [0, 1] , gilt

W (a, 0) = W (a, 1) = W (a, t) , W (e, 0) = W (e, 1) = W (e, t) .

Mit anderen Worten, alle Wege in der parametrisierten Familie

t ⟼ w_{t} = W |B×t

haben denselben Anfangspunkt und denselben Endpunkt. ( Damit eine solche Deformation existieren kann, müssen insbesondere natürlich auch die beiden Wege w_{0} und w_{1} denselben Anfangs- und Endpunkt haben. )

Definition. Zwei Wege sind homotop relativ zu den Endpunkten, wenn es eine solche Deformation gibt.

Satz. Wenn zwei Wege in ℝ^{n} denselben Anfangs- und Endpunkt haben, dann sind sie homotop relativ zu den Endpunkten.

Beweis. Seien w_{0}, w_{1} : B → ℝ^{n} solche Wege. Die verlangte Deformation ist gegeben durch

W (s, t) = (1−t) w_{0}(s) + t w_{1}(s) ,

(wobei s ∈ B , t ∈ [0, 1] ). Für den Anfangspunkt a gilt

W (a, t) = (1−t) w_{0}(a) + t w_{1}(a)
= (1−t) w_{0}(a) + t w_{0}(a) = w_{0}(a)

und analog auch für den Endpunkt. □

Korollar. Y sei topologisch äquivalent zu ℝ^{n} . Je zwei Wege in Y mit demselben Anfangs- und Endpunkt sind homotop relativ zu den Endpunkten.

Beweis. Seien v_{0}, v_{1} : B → Y solche Wege. Seien ϕ: Y → ℝ^{n} und ψ: ℝ^{n} → Y zueinander inverse topologische Äquivalenzen. Eine Deformation von v_{0} zu v_{1} ist gegeben durch V (s, t) = ψ( (1−t) ϕ(v_{0}(s)) + t ϕ(v_{1}(s)) ) . □

Wir werden das Korollar in Kürze anwenden auf die Abbildungen von Bögen, die wir oben aus unserer vorgegebenen Schlinge durch Einschränkung bekommen haben. Dazu notieren wir noch (der folgende Satz), daß wir tatsächlich eine Deformation der vorgegebenen Schlinge f erhalten können, indem wir die Bögen B_{1}, …, B_{m} einzeln hernehmen und die eingeschränkten Abbildungen f|B_{j} deformieren.

Satz. Seien f_{0}, f_{1} : S^{1} → X zwei Schlingen. S^{1} sei unterteilt in Bögen B_{1}, …, B_{m} . Es gelte für jedes j , daß die beiden Wege

f_{0}|B_{j} , f_{1}|B_{j} : B_{j} ⟶ X

homotop sind relativ zu den Endpunkten. Dann ist f_{0} homotop zu f_{1} .

Beweis. Die Deformation, relativ zu den Endpunkten, des j –ten Wegepaares sei gegeben durch

W_{j} : B_{j} × [0, 1] ⟶ X .

Die Deformation von f_{0} zu f_{1} ist dann gegeben durch die Abbildung S^{1}× [0, 1] → X ,

F (s, t) = \{ \begin{matrix}W_{1}(s, t) , & s ∈ B_{1} \\ W_{2}(s, t) , & s ∈ B_{2} \\ ⋮ & & . \end{matrix}

Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn s ∈ B_{1}∩B_{2} z.B. heißt ja, daß s der Endpunkt von B_{1} und der Anfangspunkt von B_{2} ist, deshalb ist in dem Fall

W_{1}(s, t) = W_{1}(s, 0) = f_{0}(s) = W_{2}(s, 0) = W_{2}(s, t)

( für alle t ∈ [0, 1] ). F ist auch eine stetige Abbildung. Denn es ist zusammengebaut aus stetigen Abbildungen ( den W_{i} ) auf Unterräumen ( den B_{j} × [0, 1] ), die sämtlich abgeschlossene Unterräume sind. (s. Übungszettel 7, Aufgabe 1). □

Zurück nun zu unserer vorgegebenen Schlinge f : S^{1} → S^{n} . Nach dem Lebesgueschen Überdeckungssatz konnten wir S^{1} unterteilen in Bögen B_{1}, …, B_{m} , so daß jede der eingeschränkten Abbildungen f|B_{j} mindestens einen Punkt der S^{n} freiläßt, also aufgefaßt werden kann als Abbildung zu S^{n}−{Punkt} ; oder, um es ganz genau zu sagen, diese eingeschränkte Abbildung kann als Komposition geschrieben werden von einer Abbildung B_{j} → S^{n}−{Punkt} einerseits und der Inklusion S^{n}−{Punkt} → S^{n} andererseits.

Nun ist S^{n}−{Punkt} topologisch äquivalent zu ℝ^{n} , daher wissen wir, wie oben diskutiert, daß f|B_{j} homotop ist, relativ zu den Endpunkten, zu einem beliebig vorgegebenen Weg in S^{n}−{Punkt} , sofern dieser andere Weg nur wieder denselben Anfangspunkt und denselben Endpunkt hat wie der Weg f|B_{j} ; z.B. können wir eine Abbildung von B_{j} auf den Bogen eines Großkreises zwischen eben diesen Punkten nehmen (ein Großkreis in der S^{n} ist, nach Definition, der Durchschnitt von S^{n} mit einem zwei– dimensionalen Untervektorraum in ℝ^{n+1} ). Die Homotopien für all diese eingeschränkten Abbildungen setzen sich schließlich zusammen, wie auch schon oben diskutiert, zu einer Homotopie der gesamten Abbildung f ; also zu einer Deformation der vorgegebenen Schlinge. Wir fassen zusammen:

Sei f : S^{1} → S^{n} eine Schlinge. Es gibt eine zu f homotope Schlinge f′ mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine Unterteilung von S^{1} in Bögen B_{1}, …, B_{m} und jede der Abbildungen f′|B_{j} hat als Bild einen Kreisbogen (Stück eines Großkreises) in S^{n} .

Abschluß des Beweises ( dafür, daß 𝒮(S^{n}) für n ≥ 2 nur 1 Element hat ) :

Wie gerade notiert, gibt es zu einer vorgegebenen Schlinge f : S^{1} → S^{n} eine homotope Schlinge f′ , so daß das Bild f′(S^{1}) eine Vereinigung von endlich vielen Kreisbögen ist. Wenn n ≥ 2 (diese Voraussetzung wird hier wirklich benötigt!) dann kann eine Vereinigung von endlich vielen Kreisbögen nicht die ganze S^{n} sein. Wir wissen aber bereits (der 2. Fall und der 1. Fall), daß eine Abbildung f′ : S^{1} → S^{n} , die nicht surjektiv ist, in eine triviale Schlinge deformiert werden kann, und daß je zwei triviale Schlingen in S^{n} homotop sind. □

Nachdem wir uns davon überzeugt haben, daß die Menge 𝒮(S^{n}) für n ≥ 2 nur ein einziges Element hat, wollen wir uns nun der Bestimmung von 𝒮(S^{1}) zuwenden. Der Satz, den wir beweisen wollen, sagt, daß 𝒮(S^{1}) abzählbar unendlich viele Elemente hat. Beim Beweis dieses Satzes werden wir auch eine ganz bestimmte Aufzählung der Elemente von 𝒮(S^{1}) kennenlernen. Wir werden nämlich jeder Schlinge eine ganze Zahl zuordnen (ihre sogenannte Windungszahl). Wir werden zeigen, daß die Windungszahl bereits die Homotopieklasse der Schlinge charakterisiert (d.h. wenn zwei Schlingen die gleiche Windungszahl haben, dann sind sie homotop), und schließlich werden wir auch zeigen, daß die Windungszahl umgekehrt nur von der Homotopieklasse der Schlinge abhängt (oder anders gesagt: wenn zwei Schlingen verschiedene Windungszahlen haben, dann sind sie auch nicht homotop). Insgesamt werden wir also eine 1–1 Beziehung herstellen zwischen den Elementen von 𝒮(S^{1}) und den ganzen Zahlen, eben über die Windungszahl.

Nach Definition nun sind Schlingen in S^{1} nichts anderes als stetige Abbildungen von S^{1} zu sich selbst. Wir geben zunächst eine Auflistung besonders schöner solcher Abbildungen. Dazu identifizieren wir S^{1} mit den komplexen Zahlen vom Betrag 1 ,

S^{1} = { z ∈ ℂ | |z| = 1 } .

Für jede ganze Zahl k haben wir die Abbildung S^{1} → S^{1} ,

z ⟼ z^{k} ,

die wir uns vorstellen wollen als die k–te Standard–Abbildung. Wie wir später sehen werden, handelt es sich hierbei tatsächlich auch um eine Abbildung mit der Windungszahl k .

Wir wollen diese Standard–Abbildungen noch anders beschreiben. Für die andere Beschreibung benötigen wir die Exponentialfunktion einerseits und eine Identifizierung von S^{1} mit einem Quotientenraum vom Intervall [0, 1] bzw. von der ganzen Geraden ℝ andererseits.

Satz. Es bezeichne exp(x) = e^{2πix} . Die Abbildungen

[0, 1] ⟶^{Inklusion} ℝ ⟶^{exp} S^{1}

induzieren topologische Äquivalenzen

[0, 1] / 0∼1 ⟶ ℝ / x ∼ x+1 ⟶ S^{1} .

Beweis. Da [0, 1] / 0∼1 quasi–kompakt ist und S^{1} Hausdorff–Raum, folgt, daß die bijektive stetige Abbildung [0, 1] / 0∼1 → S^{1} eine topologische Äquivalenz ist (vgl. S. 32). Da ℝ / x∼ x+1 → S^{1} ebenfalls bijektive stetige Abbildung ist, folgt aus der Hausdorff– Eigenschaft von S^{1} nun auch die Hausdorff–Eigenschaft von ℝ / x∼ x+1 . Aus der (Quasi–) Kompaktheit von [0, 1] / 0∼1 schließlich folgt dann wieder, daß die bijektive stetige Abbildung [0, 1] / 0∼1 → ℝ / x∼ x+1 auch eine topologische Äquivalenz ist. Es ist klar (oder?), daß aus diesen Dingen insgesamt folgt, daß die letzte der Abbildungen

ℝ / x ∼ x+1 ⟶ S^{1}

ebenfalls eine topologische Äquivalenz ist. □

Es sei nun k eine ganze Zahl. Die Abbildung “ Multiplikation mit k ”

[0, 1] ⟶ ℝ , s ⟼ k · s

induziert eine Abbildung

[0, 1] / 0∼1 ⟶ ℝ / x∼ x+1

denn es ist [ k · 0 ] = [ k · 1 ] in ℝ / x∼ x+1 , weil ja k eine ganze Zahl ist.

Behauptung. Unter den oben definierten topologischen Äquivalenzen

[0, 1] / 0∼1 ⟶ S^{1} und ℝ / x ∼ x+1 ⟶ S^{1}

geht diese Abbildung über in die k –te Standard Abbildung. — Klar, weil das Diagramm

[0, 1] ⟶^{s ⟼ k·s} ℝ
↓ ^{exp}  ↓ ^{exp}
S^{1} ⟶^{z ⟼ z^{k}} S^{1}

kommutiert: es ist

( exp(s) )^{k} = ( e^{2πis} )^{k} = e^{2πisk} = exp( k · s) .

Wir wollen uns jetzt überlegen, daß das soeben benutzte Diagramm nicht nur dazu taugt, neues über Standard–Abbildungen zu lernen, sondern daß es uns auch gestattet, Abbildungen allgemein zu studieren. Dazu benötigen wir eine später zu rechtfertigende Hypothese der Art, daß zu einer Abbildung f : S^{1} → S^{1} ein solches Diagramm überhaupt existiert.

Hypothese. Es gibt eine Abbildung g : [0, 1] → ℝ , so daß das Diagramm

[0, 1] ⟶^{g} ℝ
↓^{exp}  ↓^{exp}
S^{1} ⟶^{f} S^{1}

kommutiert.

Satz. Sei f : S^{1} → S^{1} eine Abbildung, die diese Hypothese erfüllt. Dann gilt

(i) k = g(1) − g(0) ist eine ganze Zahl (ii) f ist homotop zur k –ten Standard–Abbildung.

Beweis. (i) Die Kommutativität des Diagramms besagt, daß exp( g(s) ) = f( exp(s) ) für alle s ∈ [0, 1] . Weil exp(1) = 1 = exp(0) , folgt exp( g(1) ) = exp( g(0) ) , d.h.

1 = exp(g(1)) · exp(g(0))^{−1} = e^{2πi( g(1)−g(0) )} .

Daher ist g(1) − g(0) eine ganze Zahl.

(ii) Wir wissen, daß zwei Wege in ℝ mit gleichen Anfangs– und Endpunkten zueinander homotop sind relativ zu den Endpunkten. Insbesondere ist deshalb die Abbildung g homotop, relativ zu den Endpunkten, zu der Abbildung g_{1} : [0, 1] ⟶ ℝ ,

g_{1}(s) = g(0) + k · s .

Die Homotopie von g zu g_{1} ist eine Abbildung G: [0, 1]×[0, 1] ⟶ ℝ mit G(0, t) = G(0, 0) und G(1, t) = G(1, 0) für alle t . Sei

H: [0, 1] × [0, 1] ⟶ S^{1}

definiert als die zusammengesetzte Abbildung H = exp ∘ G . Dann ist

H(1, t) = H(1, 0) = f( exp(1) ) = f( exp(0) ) = H(0, 0) = H(0, t)

für alle t , also faktorisiert H über eine Abbildung H′ des Quotientenraumes

( [0, 1] × [0, 1] ) / (0, t) ∼ (1, t) ≈ ( [0, 1] / 0∼1 ) × [0, 1] ≈ S^{1} × [0, 1] .

Die so konstruierte Abbildung

H′: S^{1} × [0, 1] ⟶ S^{1}

ist eine Homotopie von Abbildungen S^{1} → S^{1} ; und zwar ist dies eine Homotopie von der Abbildung f zu der Abbildung f_{1} , wobei ( wegen exp(g(0)) = f(exp(0)) = f(1) )

f_{1}(s) =_{(def)} exp( g_{1}(s) ) = exp(g(0)) · exp( k · s) = f(1) · exp( k · s) .

Wenn f(1) = 1 ∈ S^{1} , dann ist f_{1} schon die k –te Standard–Abbildung. Im allgemeinen Fall kann man es durch eine weitere Homotopie ( eine starre Drehung der S^{1} ) in die Standard–Abbildung überführen. □

Um die oben formulierte Hypothese zu diskutieren, werden wir eine bemerkenswerte Eigenschaft der Exponentialfunktion benutzen. Nämlich, die Abbildung exp : ℝ → S^{1} ist zwar keine topologische Äquivalenz, sie besitzt aber lokale (!) Umkehrfunktionen in folgendem Sinne:

Satz. Zu jedem Punkt x ∈ ℝ existieren Umgebungen V von x und W von exp(x) , so daß die Einschränkung von exp eine topologische Äquivalenz von V zu W ist.

Beweis. Sei V ein offenes Intervall der Länge < 1 , das den Punkt x enthält. Dann hat V die behaupteten Eigenschaften. Denn sei V′ der Abschluß von V . Da die Intervall–Länge als < 1 vorausgesetzt war, ist die auf V′ eingeschränkte Abbildung injektiv. Sie definiert daher eine bijektive stetige Abbildung von V′ auf den Bildraum. Nun ist V′ kompakt, und der Bildraum ist Hausdorff–Raum ( als Unterraum von S^{1} ). Also ist die eingeschränkte Abbildung eine topologische Äquivalenz. □

Zusatz. Zu jedem Punkt y in S^{1} gibt es eine Umgebung U , so daß für jeden Punkt aus exp^{−1}(y) die lokale Umkehrfunktion des Satzes auf ganz U definiert ist.

Beweis. Im Beweis des vorstehenden Satzes nimmt man für V ein offenes Intervall der Länge \frac{1}{2} , mit x als Mittelpunkt. Das Bild W ist in dem Fall ein offener Halbkreis mit y als mittlerem Punkt. Das so erhaltene W hängt nur von y ab, es ist dasselbe für alle x ∈ exp^{−1}(y) . □

Bemerkung. Es ist plausibel, daß es sich bei diesen lokalen Umkehrfunktionen um vertraute Funktionen handeln sollte. Das ist auch der Fall: es handelt sich dabei ( bis auf den Faktor \frac{1}{2πi} ) um die Logarithmus–Funktion. Sei a eine komplexe Zahl ≠ 0 . Es ist

log x = log ( a − (a−x) ) = log a + log ( 1 − (1−\frac{x}{a}) )

= log a − ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ( 1−\frac{x}{a} )^{n} .

Dies ist eine Potenzreihe, die für diejenigen x konvergiert, welche im Innern des Kreises mit Radius |a| um den Punkt a liegen. Die additive Konstante log a ist wohldefiniert nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2πi . Was die Werte der additiven Konstante log a angeht, so ist log 1 = 0 (bis auf …), und wenn z.B. | 1−a | < 1 , dann kann log a ausgerechnet werden mit Hilfe der obigen Potenzreihe als log ( 1 − (1−a) ) . Wie schon betont wurde, so ist die additive Konstante log a nur wohldefiniert bis auf ganzzahlige Vielfache von 2πi . Das heißt konkret einfach dieses: wenn man etwa versucht, unter den möglichen Werten für die additive Konstante ein für alle mal eine Auswahl zu treffen, so kommt man in Schwierigkeiten, sobald man z.B. den Punkt a entlang dem Einheitskreis variieren läßt — die Funktion exp : ℝ → S^{1} hat nun einmal keine globale Umkehrfunktion. □

Wir prüfen jetzt nach, daß die oben als Hypothese formulierte Eigenschaft tatsächlich immer erfüllt ist.

Satz. Sei f : S^{1} → S^{1} eine Abbildung. Es existiert eine Abbildung g: [0, 1] → ℝ , so daß das Diagramm

[0, 1] − − − − − →^{g} ℝ
↓ ^{exp}  ↓ ^{exp}
S^{1}  ⟶^{f} S^{1}

kommutativ ist.

Beweis. Zu jedem Punkt in S^{1} gibt es eine offene Umgebung U , auf der die lokalen Umkehrfunktionen von exp definiert sind (der vorige Satz und Zusatz). Sei {U_{i}}_{i∈I} eine Überdeckung von S^{1} durch solche offenen Mengen. Mit Hilfe der zusammengesetzten Abbildung

f ∘ exp : [0, 1] ⟶ S^{1}

können wir diese Überdeckung zurückziehen zu einer Überdeckung von [0, 1] , nämlich { (f ∘ exp)^{−1} (U_{i}) }_{i∈I} . Auf diese Überdeckung wenden wir nun den Lebesgue’schen Überdeckungssatz an. Wir schließen, daß es eine Unterteilung von [0, 1] in Bögen B_{1}, …, B_{m} gibt, so daß für jedes j das Bild f ( exp (B_{j}) ) ganz enthalten ist in einem von den U_{i} ; wir bezeichnen es mit U_{i (j)} .

Die Abbildung g wird jetzt induktiv für die Bögen B_{1}, …, B_{m} definiert.

• Definition von g auf B_{1} . Die zusammengesetzte Abbildung B_{1} ⟶^{exp} S^{1} ⟶^{f} S^{1} hat ihr Bild in dem Bereich U_{i (1)} . In diesem Bereich existieren lokale Umkehrfunktionen für exp . Wir wählen irgendeine von diesen lokalen Umkehrfunktionen; etwa die Funktion u_{1} : U_{i (1)} → ℝ . Die gesuchte Funktion g | B_{1} wird nun definiert als die Zusammensetzung von f ∘ exp mit der Funktion u_{1} . Es ist klar, daß dann

exp ∘ g | B_{1} ( = exp ∘ u_{1} ∘ f ∘ exp | B_{1} ) = f ∘ exp | B_{1} .

• Definition von g auf B_{2} . Die zusammengesetzte Abbildung B_{2} ⟶^{exp} S^{1} ⟶^{f} S^{1} hat ihr Bild in dem Bereich U_{i (2)} . Auch hier existieren lokale Umkehrfunktionen für exp . Wir wählen nun eine ganz bestimmte unter diesen lokalen Umkehrfunktionen aus; es wird in Kürze präzisiert werden, welche. Die gesuchte Funktion g | B_{2} wird wieder definiert als die Zusammensetzung von f ∘ exp mit der lokalen Umkehrfunktion u_{2} , und es ist wieder klar, daß

exp ∘ g | B_{2} = f ∘ exp | B_{2} .

Es ist aber zunächst gar nicht klar, daß diese Definition von g | B_{2} überhaupt verträglich ist mit der vorher erfolgten Definition von g | B_{1} . Denn die Bögen B_{1} und B_{2} haben ja einen gemeinsamen Punkt: der Endpunkt von B_{1} ist gleich dem Anfangspunkt von B_{2} . Wir müssen also darauf achten, daß wir an dieser Stelle nicht aus Versehen die Funktion auf zwei verschiedene Weisen definieren. Dazu müssen wir aber nur darauf achten, daß die lokale Umkehrfunktion u_{2} : U_{i (2)} → ℝ in der folgenden Weise gewählt wird: Sei x der gemeinsame Punkt von B_{1} und B_{2} , sei y = f( exp(x) ) sein Bildpunkt. Dann ist y enthalten sowohl in U_{i (1)} als auch in U_{i (2)} , und wir werden jetzt darauf bestehen, daß u_{2} diejenige lokale Umkehrfunktion ist, die die Bedingung

u_{2}(y) = u_{1}(y)

erfüllt.

• Definition von g auf B_{3}, …, B_{m} . Diese Definitionen gehen analog zu der Definition von g auf B_{2} . □

Mit Hilfe dieses Satzes (früher als “Hypothese” formuliert) hatten wir uns eine gewisse ganze Zahl k ( nämlich k = g(1) − g(0) ) verschafft, und wir hatten uns überlegt, daß diese Zahl k die Homotopieklasse von f bereits charakterisiert.

Wir wollen uns nun überlegen, daß umgekehrt die Homotopieklasse von f auch die Zahl k schon eindeutig festlegt. Dazu benötigen wir den folgenden Sachverhalt.

Satz. Sei F : S^{1}× [0, 1] → S^{1} eine Abbildung (mit anderen Worten, eine Homotopie von Schlingen in S^{1} ). Es existiert eine Abbildung G: [0, 1]×[0, 1] → ℝ , so daß das Diagramm

[0, 1] × [0, 1] − − − − − →^{G} ℝ
↓ ^{exp × id}  ↓ ^{exp}
S^{1}× [0, 1] ⟶^{F} S^{1}

kommutativ ist.

Beweis: Das Argument ist ganz analog zu dem im Beweis des vorigen Satzes. Wir fixieren wieder eine Überdeckung von S^{1} durch offene Mengen, auf denen lokale Umkehrfunktionen für exp existieren, {U_{i}}_{i∈I} . Mit Hilfe der Abbildung F ∘ (exp × id) ziehen wir diese Überdeckung zu einer Überdeckung { ( F ∘ (exp × id) )^{−1}(U_{i}) }_{i∈I} von [0, 1]×[0, 1] zurück. Auf letztere Überdeckung wenden wir den Lebesgueschen Überdeckungssatz an. Das liefert ein ε , so daß …. Wir schließen, daß folgendes gilt: Sei [0, 1]×[0, 1] unterteilt in m · m Quadrate der Kantenlänge \frac{1}{m} . Wenn m hinreichend groß ist, dann ist jedes dieser Quadrate ganz enthalten in einer ε –Kugel; folglich ist sein Bild unter der Abbildung F ∘ (exp × id) schon ganz enthalten in einer der offenen Mengen U_{i} .

Es bleibt nun nur noch, für jedes einzelne der Quadrate die darauf eingeschränkte Abbildung zu liften. Dabei ist, ebenso wie im vorigen Beweis, darauf zu achten, welche der lokalen Umkehrfunktionen jeweils verwendet wird.

Für die Zwecke der Buchführung führen wir Namen ein: Die Teilquadrate seien bezeichnet mit Q_{p,q} , wobei die Indizes p und q jeweils von 1 bis m variieren, und wobei wir uns vorstellen wollen, daß der Index p die horizontale Indizierung bezeichnet (wachsend von links nach rechts) und der Index q die vertikale Indizierung (wachsend von oben nach unten).

Für das Quadrat Q_{p,q} seien folgende Auswahlen getroffen:

• von den offenen Mengen U_{i} , die das Bild von Q_{p,q} unter der zusammengesetzten Abbildung

F ∘ (exp × id)

enthalten, wird eine ausgewählt und hinfort mit U_{i(p,q)} bezeichnet. (Die Konstruktion der kleinen Quadrate über den Lebesgueschen Satz ist gerade so, daß es mindestens eine solche offene Menge gibt. Wenn es mehrere geben sollte, stellt es sich als irrelevant heraus, welche Auswahl an dieser Stelle getroffen wird; dieser Punkt braucht im folgenden nicht einmal diskutiert zu werden.)

• von den lokalen Umkehrfunktionen für exp wird eine ausgewählt (diese Auswahl wird noch zu diskutieren sein),

u_{i(p,q)} : U_{i(p,q)} ⟶ ℝ .

Mit Hilfe der so ausgewählten lokalen Umkehrfunktionen wird dann die Einschränkung der gesuchten Abbildung G ,

G_{p,q} ( = G | Q_{p,q} ) ,

definiert als die zusammengesetzte Abbildung

G_{p,q} = u_{i(p,q)} ∘ F ∘ (exp × id) | Q_{p,q} .

Mit dieser Definition wird das in der Formulierung des Satzes genannte Diagramm kommutativ sein zumindest insofern als nun gilt

exp ∘ G_{p,q} = exp ∘ u_{i(p,q)} ∘ F ∘ (exp × id) | Q_{p,q} = F ∘ (exp × id) | Q_{p,q} .

Es bleibt zu diskutieren, wie die konstruierten Abbildungen G_{p,q} zusammengefaßt werden können zu der gewünschten Abbildung G auf dem ganzen Quadrat [0, 1]×[0, 1] .

Dazu werden wir das Quadrat nun aus seinen Stücken Q_{p,q} aufbauen, indem wir diese Stücke einzeln hernehmen und zu den vorher behandelten dann dazutun. Wir betrachten die Stücke in einer bestimmten Reihenfolge.

• Wir beginnen mit dem Teilquadrat Q_{1,1} . Dabei brauchen wir noch nicht auf irgendetwas zu achten: jede Auswahl ist so gut wie jede andere.

• Q_{1,2} wird dazugenommen. Da Q_{1,2} nicht–leeren Durchschnitt mit Q_{1,1} hat, müssen wir darauf achten, daß die Abbildungen G_{1,1} und G_{1,2} auf dem Durchschnitt übereinstimmen. Nun ist

Q_{1,1} ∩ Q_{1,2}

ein Intervall, und sein Bild unter der Abbildung F ∘ (exp × id) ist enthalten in

U_{1,1} ∩ U_{1,2} .

Durch geeignete Auswahl können wir zumindest erreichen, daß die Abbildungen G_{1,1} und G_{1,2} an einem einzigen Punkt des Durchschnitts übereinstimmen (z.B. an dem linken Endpunkt des Intervalls). Denn hierfür wird es genügen, die lokale Umkehrfunktion u_{1,2} so zu wählen, daß die beiden lokalen Umkehrfunktionen u_{1,1} und u_{1,2} an eben dem Bildpunkt dieses Punktes unter der Abbildung F ∘(exp × id) denselben Wert haben.

Wir kommen nun zum wesentlichen Punkt des Arguments: Wenn die Abbildungen G_{1,1} und G_{1,2} auch nur an einem einzigen Punkt des Intervalls Q_{1,1} ∩Q_{1,2} denselben Wert haben, dann stimmen sie schon auf dem ganzen Intervall überein. Der Grund ist der: Auf dem Intervall Q_{1,1} ∩ Q_{1,2} können wir die Differenz der beiden reellwertigen Funktionen G_{1,1} und G_{1,2} betrachten. Diese Differenzfunktion nimmt nur ganzzahlige Werte an (denn die Kompositionen von G_{1,1} und G_{1,2} mit exp geben ja dieselbe Abbildung F ∘ (exp × id) ). Andererseits ist die Funktion auch stetig (als Differenz zweier stetiger Funktionen). Wir haben also eine stetige Funktion auf einem Intervall, die nur ganzzahlige Werte annimmt. Eine solche Funktion ist notwendigerweise konstant.

Nachdem die Abbildungen G_{1,1} und G_{1,2} auf dem Durchschnitt Q_{1,1} ∩ Q_{1,2} übereinstimmen, ergeben sie eine wohldefinierte Abbildung auf der Vereinigung Q_{1,1} ∪Q_{1,2} . Diese Abbildung ist wieder stetig (da sie ja entsteht durch Zusammenbauen von stetigen Abbildungen auf abgeschlossenen Unterräumen).

• Das Hinzunehmen der anderen Teilquadrate geht analog. Das ist klar im Fall von Q_{1,3} , …, Q_{1,m} . Es ist auch klar im Fall von Q_{2,1} (denn Q_{2,1} trifft die vorher genannten Teilquadrate nur in seinem Durchschnitt mit G_{1,1} ). Im Falle von Q_{2,2} gibt es ein geringfügig neues Phänomen, denn Q_{2,2} trifft sowohl Q_{1,2} als auch Q_{2,1} jeweils in einem Intervall. Es genügt aber zu bemerken, daß diese beiden Intervalle einen Punkt gemeinsam haben (den linken oberen Eckpunkt von Q_{2,2} ): sobald die Abbildung G_{2,2} an diesem Punkt den richtigen Wert annimmt, wird das nach dem genannten Argument auch der Fall sein für alle anderen Punkte des Durchschnitts von Q_{2,2} mit der Vereinigung der vorher behandelten Teilquadrate. Die restlichen Teilquadrate schließlich gehen analog zu diesem. □

Korollar. Die “Windungszahl” k einer Schlinge f : S^{1} → S^{1} hängt nur von der Homotopieklasse von f ab.

Beweis. Die Windungszahl k war definiert über eine Liftung

[0, 1] ⟶^{g} ℝ
↓ ^{exp}  ↓ ^{exp}
S^{1} ⟶^{f} S^{1}

als die Differenz der Funktionswerte, k = g(1) − g(0) . Es sei nun F : S^{1}× [0, 1] → S^{1} eine Homotopie von f zu f′ . Nach dem eben bewiesenen Satz existiert eine Liftung

[0, 1] × [0, 1] ⟶^{G} ℝ
↓ ^{exp × id}  ↓ ^{exp}
S^{1}× [0, 1] ⟶^{F} S^{1}

Für jedes t ∈ [0, 1] sei die Zahl k_{t} jetzt definiert als k_{t} = G(1, t) − G(0, t) . Dann ist

t ⟼ k_{t}

eine stetige Funktion auf [0, 1] . Andererseits nimmt diese Funktion nur ganzzahlige Werte an, weil

exp( G(1, t) ) = F (1, t) = exp( G(0, t) ) .

Es folgt, daß die Funktion konstant sein muß. Das heißt, k_{t} hängt in Wirklichkeit gar nicht vom Parameter t ab. Insbesondere ist deshalb

k_{0} = k_{1} ,

und die Behauptung ist bewiesen. □

Bemerkung. Die vorstehenden Sätze werden wir später erkennen als Spezialfälle eines allgemeinen Liftungssatzes im Rahmen der Theorie der Überlagerungen.

Fundamentalgruppe

Die “Invariante” X ⟼ 𝒮(X) taugt dazu, S^{1} von S^{2} zu unterscheiden (denn, wie wir gesehen haben, sind 𝒮(S^{1}) und 𝒮(S^{2}) nicht–isomorphe Mengen; oder, was dasselbe bedeutet, sie haben nicht gleich viele Elemente).

Die Invariante taugt aber nicht ohne weiteres dazu, S^{1} von S^{1}× S^{1} zu unterscheiden. Denn wegen

𝒮(S^{1}× S^{1}) ≈ 𝒮(S^{1}) × 𝒮(S^{1})

hat zwar 𝒮(S^{1}× S^{1}) auf den ersten Blick mehr Elemente als 𝒮(S^{1}) ; das ist aber eine Illusion: das Produkt von zwei abzählbar unendlichen Mengen ist wieder eine abzählbar unendliche Menge — die Mengen 𝒮(S^{1}× S^{1}) und 𝒮(S^{1}) sind isomorph.

Nun ist 𝒮(S^{1}) möglicherweise nicht eine vollkommen unstrukturierte Menge: unsere Ausrechnung ging ja über eine ganz bestimmte Beziehung (die “Windungszahl”) zu einer höchst strukturierten Menge, nämlich zu der Menge der ganzen Zahlen. Ist das ein Indiz dafür, daß man die Konstruktion X ⟼ 𝒮(X) ein wenig modifizieren kann, so daß das Resultat der Modifikation eine eingebaute algebraische Struktur hat? Vielleicht eine Gruppenstruktur?

Im genannten Beispiel würde eine solche Modifikation einen Unterschied machen. Denn für eine Gruppe mit abzählbar vielen Elementen (im Gegensatz zu einer Menge mit abzählbar vielen Elementen) werden wir im allgemeinen nicht die Existenz eines Isomorphismus

G ≈^{?} G × G

erwarten können; z.B. gibt es einen solchen Isomorphismus nicht, wenn G die Gruppe der ganzen Zahlen ist (mit der Addition als Gruppenoperation).

Die angestrebte Modifikation nun existiert. Dies beruht auf der Tatsache, daß man das “Hintereinander–Durchlaufen” von Wegen ausnutzen kann, um ein Kompositionsgesetz für Wege zu definieren.

Natürlich kann man zwei Wege nur dann hintereinander durchlaufen, wenn der Anfangspunkt des zweiten Weges übereinstimmt mit dem Endpunkt des ersten Weges. Und damit Wege immer zusammensetzbar sind, braucht man, daß sie alle denselben Anfangs– und Endpunkt haben.

Aus dieser Not macht man sogleich eine Tugend. In dem betrachteten Raum zeichnet man nämlich einen Punkt aus als den sogenannten Basispunkt, und man betrachtet hinfort nur solche Wege, die in dem Basispunkt sowohl anfangen als auch aufhören. Einen solchen Weg werden wir auch als eine Schleife bezeichnen.

Definition. Sei X topologischer Raum und x ein Punkt in X (der Basispunkt). Eine Schleife in X zum Basispunkt x ( oder kurz, eine Schleife in (X, x) ) ist eine Abbildung von Paaren

v: ( [0, 1] , {0, 1}) ⟶ ( X, x)

d.h., eine stetige Abbildung v: [0, 1] → X mit der Eigenschaft v(0) = x = v(1) . Homotopie von Schleifen bezeichnet die Homotopie von Wegen relativ zu Anfangs– und Endpunkt.

π_{1}(X, x)

ist definiert als die Menge der Homotopieklassen von Schleifen in (X, x) .

Bemerkung. Es gibt eine 1–1 Beziehung von π_{1}(X, x) zu der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von Paaren

w : (S^{1}, 1) ⟶ (X, x) .

Das geht im einzelnen so. Wir fassen S^{1} auf als Quotientenraum von [0, 1] vermöge der Abbildung exp : [0, 1] → S^{1} . Wir fixieren den Punkt 1 ∈ S^{1} als Basispunkt. Die Bedingung v(0) = v(1) = x für eine Schleife v sagt dann gerade, daß die Abbildung

v: ( [0, 1] , {0, 1}) ⟶ ( X, x)

aufgefaßt werden kann als die Komposition der Abbildung (von Paaren)

exp : ( [0, 1] , {0, 1}) ⟶ ( S^{1}, 1 )

mit einer Abbildung auf dem Quotientenraum (wieder eine Abbildung von Paaren)

w : (S^{1}, 1) ⟶ (X, x) .

Dies ist eine 1–1 Beziehung, denn die Abbildung v (re–)konstruiert sich als die zusammengesetzte Abbildung w ∘ exp . Schließlich ist diese 1–1 Beziehung auch verträglich mit dem Übergang zu Homotopieklassen von Abbildungen: Einer Homotopie von Abbildungen w: (S^{1}, 1) → (X, x) , die auf dem Basispunkt konstant ist, entspricht eine Homotopie von Wegen v: ( [0, 1] , {0, 1}) → (X, x) , die auf den Endpunkten konstant ist; und umgekehrt. □

Definition und Satz. Die Menge π_{1}(X, x) hat eine (natürliche) Gruppenstruktur. π_{1}(X, x) zusammen mit dieser Gruppenstruktur heißt die Fundamentalgruppe (oder Wegegruppe) des topologischen Raumes X am Basispunkt x .

Dazu. Seien v und v′ zwei Schleifen (Wege mit Anfangspunkt und Endpunkt jeweils am Basispunkt). Man definiert den zusammengesetzten Weg v v′ so, wie es der Name suggeriert: erst wird v durchlaufen, dann v′ . Wenn man dies mit Hilfe einer Formel ausdrückt, so ist das Resultat ein wenig technischer als man es aufgrund der einfachen Idee erwarten sollte. Der Grund liegt darin, daß man sich ja schon darauf festgelegt hat, daß eine Schleife eine Abbildung ist, die als ihren Definitionsbereich das Einheits–Intervall hat; daß man also sozusagen für das Durchlaufen der Schleife genau eine Zeiteinheit zur Verfügung hat. Beim Hinschreiben des zusammengesetzten Weges muß man sich deshalb insbesondere nun darauf festlegen, wieviel von der zur Verfügung stehenden Zeiteinheit auf die jeweiligen Teilwege entfallen soll. Wenn man, bei zwei Wegen, sich entschließt, daß jeder der Teilwege die Hälfte der zur Verfügung stehenden Zeit bekommen soll, und daß er im übrigen auch “mit gleichförmiger Geschwindigkeit” durchlaufen werden soll, so bekommt man für den zusammengesetzten Weg die Formel,

v v′ (s) = \{ \begin{matrix}v (2s) & 0 ≤ s ≤ \frac{1}{2} \\ v′(2s−1) & \frac{1}{2} ≤ s ≤ 1 . \end{matrix}

Die erforderte Festlegung hat auch noch andere unerwünschte Konsequenzen. So ist die Komposition von Schleifen nicht assoziativ (denn wenn man zwei Wege zusammensetzt und das Resultat wieder mit einem dritten, so bekommen die ersten beiden Wege von der Gesamtzeit jeweils ein Viertel ab und der dritte Weg die Hälfte; bei anderer Klammerung wäre die Aufteilung anders).

Es bezeichne nun [v] das von v repräsentierte Element in π_{1}(X, x) . Das Produkt in π_{1}(X, x) ist definiert als

[v] [v′] = [v v′] .

Oder, um es deutlicher zu machen: wenn a und b Elemente von π_{1}(X, x) sind, so ist ihr Produkt a b in π_{1}(X, x) wie folgt gegeben. Seien v und v′ Repräsentanten für a und b , d.h., Schleifen mit [v] = a und [v′] = b , dann ist das Produkt a b repräsentiert durch die zusammengesetzte Schleife, a b = [v v′] . Selbstverständlich ist hier nachzuweisen, daß das Produkt in Wirklichkeit nicht abhängt von der Auswahl der benutzten Repräsentanten. Das ist eine Übungsaufgabe (s. Übungszettel 9, Aufgabe 5).

Das Produkt hat die folgenden Eigenschaften (der Beweis besteht jeweils in der Angabe geeigneter Homotopien; s. Übungszettel 9, Aufgabe 5):

• Komposition von Schleifen ist assoziativ nach Übergang zur Homotopieklasse.

• Der triviale Weg tr : [0, 1] → X , tr(s) = x für alle s , ist neutrales Element für das Produkt, d.h. es ist [tr] [v] = [v] = [v] [tr] für alle v .

• Der Weg \overline{v} , \overline{v}(s) := v(1−s) , ist invers zu v , d.h. [\overline{v}] [v] = [v] [\overline{v}] = [tr] .

Die Menge π_{1}(X, x) ist also eine Gruppe unter dem angegebenen Kompositionsgesetz.

Ähnlich wie wir es von anderen Konstruktionen schon gewöhnt sind, so ist auch die Konstruktion von π_{1}(X, x) funktoriell. Nämlich, wenn f : X → Y eine stetige Abbildung ist und wenn zudem f noch den Basispunkt x von X auf den Basispunkt y von Y abbildet oder, wie wir dafür auch sagen wollen, wenn f eine Abbildung von punktierten Räumen ist,

f : (X, x) ⟶ (Y, y) ,

dann gibt es eine induzierte Abbildung

f_{∗} : π_{1}(X, x) ⟶ π_{1}(Y, y) ,

die definiert ist durch f_{∗}( [v] ) := [ f∘v] ( wie üblich, so ist hier implizit die Unabhängigkeit von der Auswahl des Repräsentanten v von [v] behauptet ). Diese induzierte Abbildung nun ist mit der Gruppenstruktur verträglich oder, was dasselbe bedeutet, f_{∗} ist ein Gruppenhomomorphismus,

f_{∗}( [v] [v′] ) = f_{∗}( [v] ) f_{∗}( [v′] ) .

Um dies einzusehen, braucht man nicht einmal Homotopien; eine entsprechende Gleichung gilt schon für geeignete Repräsentanten. Denn wenn v und v′ Schleifen in (X, x) sind, so kann man einerseits diese beiden als Schleifen in (X, x) zusammensetzen und das Resultat nach (Y, y) transportieren; das gibt f ∘ (v v′) . Zum andern kann man auch zuerst transportieren, das gibt die Schleifen (f∘v) und (f∘v′) ; diese kann man dann zusammensetzen zu (f∘v) (f∘v′) . Man hat aber nun

f ∘ (v v′) = (f∘v) (f∘v′) ,

denn beide Seiten dieser behaupteten Gleichung beschreiben in Wirklichkeit dieselbe Abbildung (Nachprüfen der Definitionen!). □

Wir schauen einige Beispiele an.

Beispiel. Für n ≥ 2 und für jedes x ∈ S^{n} ist π_{1}(S^{n}, x) die triviale Gruppe; d.h. die Gruppe, die nur ein einziges Element, nämlich das Eins–Element oder neutrale Element hat (das von der trivialen Schleife S^{1} ⟶ {x} repräsentiert wird).

Der Beweis ist im wesentlichen derselbe wie der Beweis dafür, daß die Menge 𝒮(S^{n}) für n ≥ 2 nur ein einziges Element hat. Wir beschreiben Schleifen mit Hilfe von punktierten Abbildungen der S^{1} . Den Basispunkt von S^{n} stellen wir uns als den Südpol vor. Für eine vorgegebenen Schleife w: (S^{1}, 1) → (S^{n}, x) konstruieren wir, wie früher, eine Homotopie (relative Version!) von w zu einer Abbildung w′ , wo w′(S^{1}) den Nordpol in S^{n} nicht trifft. Über die topologische Äquivalenz von S^{n} –Nordpol zu ℝ^{n} bekommen wir dann die gewünschte Nullhomotopie ( = Homotopie zur trivialen Schleife).

Beispiel. Für jeden Basispunkt x in S^{1} ist π_{1}(S^{1}, x) isomorph zu ℤ , der Gruppe der ganzen Zahlen unter der Addition.

Auch dies haben wir eigentlich schon gezeigt. Bezeichne Z_{x} das Urbild von x ∈ S^{1} unter der Abbildung exp (wenn z.B. x = 1 dann ist Z_{x} die Menge der ganzen Zahlen). Wie früher bei der Bestimmung von 𝒮(S^{1}) argumentieren wir, daß wir für jede Abbildung w: (S^{1}, 1) → (S^{1}, x) ein Diagramm bekommen können,

( [0, 1] , \{0, 1\}) \underrightarrow{ṽ} (ℝ, ℤ_{x})
↓^{exp}  ↓^{exp}
(S^{1}, 1)  ⟶^{w} (S^{1}, x)

und wie dort hängt die Zahl k = ṽ(1) − ṽ(0) nur von der Homotopieklasse von w ab; umgekehrt ist durch k auch die Abbildung w bis auf Homotopie relativ zu {0, 1} schon festlegt. Wir haben also, wie dort, eine Bijektion

π_{1} (S^{1}, x) ⟶^{≈} ℤ .

Es bleibt zu zeigen, daß diese Bijektion ein Gruppenisomorphismus ist. Dazu wird es genügen, den Fall zu betrachten, wo die Schleife

v = w ∘ exp : ( [0, 1] , {0, 1}) ⟶ (S^{1}, x)

die Zusammensetzung von zwei Schleifen v_{1} und v_{2} ist,

v = v_{1} v_{2} .

In diesem Falle ist aber die Liftung ṽ ebenfalls eine Zusammensetzung

ṽ(s) = ṽ_{1} ṽ_{2}(s) = \{ \begin{matrix}ṽ_{1} (2s) & 0 ≤ s ≤ \frac{1}{2} \\ ṽ_{2}(2s−1) & \frac{1}{2} ≤ s ≤ 1 . \end{matrix}

Für die Windungszahl k von w folgt deshalb

k = ṽ(1) − ṽ(0) = ( ṽ(\frac{1}{2}) − ṽ(0) ) + ( ṽ(1) − ṽ(\frac{1}{2}) ) = k_{1} + k_{2} ,

wo k_{1} = ṽ_{1}(1) − ṽ_{1}(0) die Windungszahl von w_{1} bezeichnet ( v_{1} = w_{1} ∘ exp ); und k_{2} die Windungszahl von w_{2} . □

In diesen beiden Beispielen hängt die Fundamentalgruppe nicht von der Wahl des Basispunktes ab. Das ist kein Zufall:

Satz. Seien x und x′ zwei Punkte in derselben Weg–Zusammenhangs–Komponente von X . Dann ist π_{1}(X, x) isomorph zu π_{1}(X, x′) .

Bemerkung. Auf den Wegzusammenhang kann man hier nicht verzichten. Sei z.B. X die disjunkte Vereinigung S^{1} ∪^{.} S^{2} . Es ist dann

π_{1}( S^{1} ∪^{.} S^{2}, x) = \{ \begin{matrix}π_{1}( S^{1}, x) & wenn x ∈ S^{1} \\ π_{1}( S^{2}, x) & wenn x ∈ S^{2} \end{matrix}

( denn ein in S^{1} in S^{1} ∪^{.} S^{2} beginnender Weg kann nicht aus S^{1} heraus; ebenso kann ein in S^{2} beginnender Weg nicht aus S^{2} heraus ).

Beweis des Satzes. Nach Voraussetzung existiert ein Weg

w : [0, 1] ⟶ X , mit w(0) = x , w(1) = x′ .

Man definiert eine Abbildung

w_{∗} : π_{1}(X, x) ⟶ π_{1}(X, x′)

unter Benutzung dieses Weges, wie folgt. Sei

v : ( [0, 1] , {0, 1}) ⟶ (X, x)

eine Schleife in X zum Basispunkt x . Dann ist eine Schleife in X zum Basispunkt x′ gegeben durch

v′(s) = \{ \begin{matrix}w(1−3s) & 0 ≤ s ≤ \frac{1}{3} \\ v(3s−1) & \frac{1}{3} ≤ s ≤ \frac{2}{3} \\ w(3s−2) & \frac{2}{3} ≤ s ≤ 1 . \end{matrix}

Analog induziert der Weg \overline{w} von x′ zu x eine Abbildung

\overline{w}_{∗} : π_{1}(X, x′) ⟶ π_{1}(X, x) .

Die zusammengesetzte Abbildung \overline{w}_{∗} ∘ w_{∗}

π_{1}(X, x) ⟶^{w_{∗}} π_{1}(X, x′) ⟶^{\overline{w}_{∗}} π_{1}(X, x)

ist die Identität, denn sie ist gegeben durch Vor– und Nachschalten je einer nullhomotopen Schleife, nämlich von w \overline{w} bzw. \overline{w} w . Ähnlich gilt, daß die zusammengesetzte Abbildung w_{∗} ∘ \overline{w}_{∗} die Identität ist.

Es ist klar (oder?), daß der konstruierte Isomorphismus w_{∗}: π_{1}(X, x) → π_{1}(X, x′) mit der Gruppenstruktur verträglich ist; d.h., daß die Konstruktion (nach Übergang zu Homotopieklassen) mit der Komposition von Wegen verträglich ist.

Die Notation “ w_{∗} ” deutet an, daß für die Konstruktion ein ganz bestimmter Weg, nämlich eben w , benutzt worden ist. Diese Präzisierung in der Notation ist notwendig, weil der resultierende Isomorphismus i.a. wirklich von der Wahl des Weges abhängt. Dies wird besonders deutlich, wenn man den Spezialfall betrachtet, wo x = x′ ist; wo in anderen Worten w ein geschlossener Weg mit Anfangspunkt und Endpunkt x ist. In diesem Falle wird der Isomorphismus w_{∗} im allgemeinen nicht die identische Abbildung sein. Man kann ihn angeben. Nämlich, wenn [w] das von w repräsentierte Element in π_{1}(X, x) bezeichnet, dann ist die Abbildung w_{∗} dasselbe wie der durch dies Element gegebene innere Isomorphismus: die Abbildung von π_{1}(X, x′) auf sich, die gegeben ist durch

α ⟼ [w]^{−1} α [w] .

Überlagerungen

Definition. Sei X topologischer Raum. Eine Überlagerung von X bezeichnet einen topologischen Raum E zusammen mit einer Abbildung

p : E ⟶ X ,

die der folgenden Bedingung genügt:

Für jeden Punkt x ∈ X existiert eine Umgebung U von x in X , eine diskrete Menge F_{x} (d.h. eine Menge, die aufgefaßt wird als topologischer Raum mit der diskreten Topologie) und eine topologische Äquivalenz u von dem Unterraum p^{−1}(U) in E zu dem Produktraum U × F_{x} ; dabei soll u eine “ Abbildung über U ” sein, d.h., das Diagramm

p^{−1}(U) ⟶^{u} U × F_{x}
↓^{p}  ↓^{pr_{1}}
U ⟶^{id_{U}} U

ist kommutativ.

Der Produktraum U ×F_{x} könnte ebenso gut auch beschrieben werden als eine disjunkte Vereinigung von Kopien von U , nämlich je eine solche Kopie für jeden Punkt y in F_{x} . Da

U × {y} ⟶ U

eine topologische Äquivalenz ist, gibt die Definition insbesondere deshalb eine Formulierung der Art, daß die Abbildung p: E → X “lokal” eine topologische Äquivalenz ist. Dies ist eine starke Formulierung insofern als lokal sich hier auf X bezieht, also eine gleichzeitige Aussage für sämtliche Urbilder macht.

Etwas technischer kann man es auch so ausdrücken: Für jedes y ∈ p^{−1}(x) gibt es eine lokale Umkehrabbildung, definiert auf der Umgebung U , die x auf y abbildet. Dies ist eine Abbildung

u_{y} : U ⟶ E

mit der Eigenschaft, daß p ∘ u_{y} = id_{U} und daß eben u_{y}(x) = y . Es ist

u_{y} : U → Bild (u_{y})

eine topologische Äquivalenz. Das Urbild p^{−1}(U) ist, insgesamt, die disjunkte Vereinigung

p^{−1}(U) ≈ ⋃^{.}_{y∈p^{−1}(x)} Bild (u_{y}) .

Hier sind noch einige Vokabeln. Die Abbildung p heißt die Überlagerungs–Projektion. Die in der Definition vorkommende Umgebung U wird als eine Elementarumgebung ( des Punktes x ) bezeichnet. F_{x} heißt die Faser über x (es folgt aus der Definition der Überlagerungen, daß F_{x} zu dem Urbild p^{−1}(x) isomorph ist; sogar als topologischer Raum — mit anderen Worten, p^{−1}(x) trägt als Unterraum von E die diskrete Topologie). Die Anzahl der Punkte in F_{x} , insbesondere wenn diese Anzahl endlich ist, wird manchmal als die Blätterzahl der Überlagerung bezeichnet. (Genau genommen sollten wir hier von der Blätterzahl am Punkte x reden. Wir werden später sehen, daß bei weg–zusammenhängendem X die Blätterzahl nicht von dem Punkt x abhängt; im allgemeinen kann das aber durchaus der Fall sein).

Bevor wir zu interessanten Beispielen für Überlagerungen kommen, wollen wir einige eher uninteressante Dinge vorweg abhaken. Zunächst gibt es die banalen Beispiele für Überlagerungen: Jede topologische Äquivalenz ist eine Überlagerung; und die Abbildung der leeren Menge in irgendeinen Raum X ist auch eine Überlagerung.

Als nächstes nehmen wir zur Kenntnis, daß man aus gegebenen Überlagerungen über die disjunkte Vereinigung neue produzieren kann. Zunächst, wenn E_{1} → X_{1} und E_{2} → X_{2} Überlagerungen sind, dann ist auch die Abbildung der disjunkten Vereinigungen,

E_{1} ∪^{.} E_{2} ⟶ X_{1} ∪^{.} X_{2} ,

eine Überlagerung (denn für den Überlagerungstest an einem Punkt x ∈ X_{1} ∪^{.} X_{2} braucht man nur folgendes zu bemerken: wenn x ∈ X_{1} , dann macht man den Überlagerungstest für E_{1} → X_{1} ; ähnlich, wenn x ∈ X_{2} ). — Ein wenig interessanter ist der folgende Sachverhalt.

Satz. Wenn p_{1} : E_{1} → X und p_{2} : E_{2} → X Überlagerungen sind, dann auch

p_{1} ∪^{.} p_{2} : E_{1} ∪^{.} E_{2} ⟶ X .

Beweis. Sei x ∈ X . Der Überlagerungstest für p_{1} : E_{1} → X gibt eine Umgebung U_{1} von x und eine topologische Äquivalenz ( über U_{1} )

u_{1} : p_{1}^{−1}(U_{1}) ⟶ U_{1} × F_{x}^{1} .

Ähnlich gibt der Überlagerungstest für p_{2} : E_{2} → X eine Umgebung U_{2} von x und eine topologische Äquivalenz ( über U_{2} )

u_{2} : p_{2}^{−1}(U_{2}) ⟶ U_{2} × F_{x}^{2} .

Durch Zusammenbauen dieser beiden bekommt man eine topologische Äquivalenz ( über U_{1} ∩ U_{2} )

u_{1}|_{(U_{1}∩U_{2})} ∪^{.} u_{2}|_{(U_{1}∩U_{2})} : (p_{1}∪^{.}p_{2})^{−1}(U_{1}∩U_{2}) ⟶ (U_{1}∩U_{2}) × (F_{x}^{1}∪^{.}F_{x}^{2}) .

Dies ist der erfolgreiche Überlagerungstest für die Abbildung p_{1} ∪^{.} p_{2} über der Umgebung U_{1} ∩ U_{2} von x . □

Beispiele. (a) Sei die 1-Sphäre gegeben als der Raum der komplexen Zahlen vom Betrag 1 , S^{1} = { z ∈ ℂ | |z| = 1 } . Die Abbildung S^{1} → S^{1} ,

z ⟼ z^{k}

( k eine ganze Zahl ), kann interpretiert werden als “ k –faches Aufwickeln”. Vorausgesetzt, daß k ≠ 0 , so ist die Abbildung eine Überlagerung. Die Blätterzahl ist |k| , die lokalen (!) Umkehrfunktionen sind gegeben durch

x ⟼ \sqrt[k]{x} .

Ähnlich wie früher im Zusammenhang mit der Exponentialfunktion angesprochen, so ist auch die Funktion “ k -te Wurzel” für k ≥ 2 im komplexen Bereich nur lokal als Funktion eindeutig definierbar (beim Versuch, eine globale Definition zu bekommen, ergeben sich Mehrdeutigkeiten). Technisch zeigt sich das wieder darin: wenn man die Funktion um einen Punkt a ∈ ℂ , a ≠ 0 , in eine Potenzreihe entwickelt, so wird diese Potenzreihe nur in einem Kreis um den Punkt a mit Radius |a| konvergieren; die Potenzreihe konvergiert sicherlich nicht für alle Punkte auf dem Einheitskreis gleichzeitig.

(b) Die Abbildung ℝ → S^{1} ,

x ⟼ exp(x) = e^{2πix} ,

ist eine unendlich–blättrige Überlagerung (vgl. S. 68). Daß die lokalen Umkehrfunktionen (der Logarithmus) nur lokal eindeutig definierbar sind, wurde auch früher schon angesprochen.

(c) Die in (a) und (b) beschriebenen Überlagerungen des Kreises kann man zu weiteren Überlagerungen kombinieren (über die disjunkte Vereinigung — der vorstehende Satz).

(d) Bezeichne ℝP^{2} den Quotienten–Raum von S^{2} , der durch die Identifizierung von Antipodenpunkten entsteht. Die Quotientenraum–Projektion

p : S^{2} ⟶ ℝP^{2}

ist eine Überlagerung ( mit Blätterzahl 2 ). Denn sei z.B. x ∈ ℝP^{2} der Bildpunkt des Nordpols. Sei die Umgebung U ⊂ ℝP^{2} definiert als das Bild der nördlichen Polkappe. Dann ist

p^{−1}(U) ≈ (nördl. Polkappe) ∪^{.} (südl. Polkappe) .

(e) Das letzte Beispiel, das wir hier betrachten, ist keine Überlagerung, obwohl es bei einem ersten flüchtigen Blick so aussehen mag. Sei (a, b) ⊂ ℝ ein offenes Intervall. Die (Überlagerungs–) Abbildung exp : ℝ → S^{1} liefert per Einschränkung eine Abbildung, die (a, b) auf den Kreis aufwickelt,

q : (a, b) ⟶ S^{1} , y ⟼ exp(y) .

Die Abbildung ist “lokal eine topologische Äquivalenz” in dem Sinne, daß zu jedem Punkt z ∈ (a, b) eine Umgebung V von z existiert, so daß die eingeschränkte Abbildung q|_{V} : V → q(V) eine topologische Äquivalenz von V auf eine Umgebung des Bildpunktes q(z) ist.

Andererseits ist die Abbildung nicht eine Überlagerung. Der Überlagerungs–Test funktioniert nämlich nicht für die beiden Punkte in S^{1} , die unter den Endpunkten von (a, b) liegen. Denn am Punkt exp(a) zum Beipiel müßte es einerseits eine lokale Umkehrfunktion geben, deren Bild die Punkte in (a, b) in der Nähe von a enthielte, andererseits aber könnte das Bild nicht den Punkt a selbst enthalten. Das ist offenbar widersprüchlich. □

Wir wenden uns jetzt den Überlagerungen allgemein zu. Wir benötigen zwei Sätze technischen Charakters, die wir als nächstes herleiten wollen, den Wege–Liftungs–Satz und den Homotopie–Liftungs–Satz. Im Grunde kennen wir diese Sätze schon. Wir haben sie nämlich verwendet bei der Berechnung von π_{1}(S^{1}, x) bzw. 𝒮(S^{1}) (Seite 69 und Seite 70), wo wir diese Sätze für den speziellen Fall der Überlagerungs–Projektion exp : ℝ → S^{1} formuliert hatten.

Abgesehen von der größeren Allgemeinheit gibt es bei der gegenwärtigen Behandlung noch einen weiteren Unterschied. Wir werden bei unseren Liftungs–Problemen nämlich grundsätzlich voraussetzen, daß eine Liftung eines Anfangs–Punktes schon vorgegeben ist (oder schon vorher gewählt worden war). Dem Anschein nach ist dies eine irrelevante Kleinigkeit. Es hat aber einen dramatischen Effekt; es erzwingt nämlich die Eindeutigkeit(!) der Liftung.

Satz (Wege–Liftungs–Satz). Sei p: E → X eine Überlagerung. Sei w: [0, 1] → X ein Weg mit Anfangspunkt w(0) = x_{0} . Sei y_{0} eine Liftung von x_{0} ( d.h. y_{0} ∈ p^{−1}(x_{0}) ). Es existiert eine Liftung von w zum Anfangspunkt y_{0} ; d.h. es existiert ein Weg

w̃ : [0, 1] → E ,

so daß w̃(0) = y_{0} und so daß das Diagramm

[0, 1] \underrightarrow{w̃} E
↓^{id|_{[0,1]}}  ↓^{p}
[0, 1] ⟶^{w} X

kommutiert. Der geliftete Weg w̃ ist (bei Vorgabe des Anfangspunktes) eindeutig bestimmt.

Beweis. Für jedes x ∈ X sei eine Elementar–Umgebung U_{x} von x gewählt; solche existieren nach Definition der Überlagerungen. Es ist also

p^{−1}(U_{x}) ≈ U_{x} × p^{−1}(x)

in einer mit der Projektion verträglichen Weise, und auf U_{x} haben wir lokale Umkehr– Abbildungen zur Verfügung; diese sind indiziert durch die Punkte von p^{−1}(x) .

Da wir notfalls U_{x} auch durch seinen offenen Kern ersetzen können, dürfen wir annehmen, daß U_{x} selbst eine offene Umgebung von x ist. Damit haben wir dann insgesamt eine offene Überdeckung von X , nämlich {U_{x}}_{x∈X} . Die zurückgezogene Überdeckung {w^{−1}(U_{x})}_{x∈X} ist nun eine offene Überdeckung des kompakten, metrischen Raumes [0, 1] , auf die wir den Lebesgue’schen Überdeckungs–Satz anwenden können. Folglich existiert ein ε > 0 , so daß ….

Wir wählen eine Unterteilung von [0, 1] in Bögen B_{1}, …, B_{m} , von denen jeder eine Länge < ε hat. Nach Herleitung gilt dann für jedes j = 1, …, m , daß das Bild w(B_{j}) ganz enthalten ist in einer (oder mehreren) der Elementar–Umgebungen U_{x} ; sei ein solches x ausgewählt und mit x_{j} bezeichnet. Statt U_{x_{j}} schreiben wir kürzer auch U_{j} ; also

w(B_{j}) ⊂ U_{x_{j}} = U_{j} .

Auf der Elementar–Umgebung U_{j} sind nun die lokalen Umkehr–Abbildungen

u_{z} : U_{j} ⟶ E ( für z ∈ p^{−1}(x_{j}) )

definiert. In einer Weise, die noch zu beschreiben sein wird, wählen wir unter diesen lokalen Umkehr–Abbildungen eine ganz bestimmte aus, die wir mit u_{j} bezeichnen. Damit wird dann die eingeschränkte Abbildung w̃|_{B_{j}} definiert als die zusammengesetzte Abbildung

B_{j} ⟶^{w|_{B_{j}}} U_{x_{j}} ⟶^{u_{j}} E .

Die Auswahl der lokalen Umkehr–Abbildungen ist natürlich so zu treffen, daß die eingeschränkten Abbildungen auch zusammenpassen; das geht am besten durch Induktion.

1. Schritt ( Definition von w̃|_{B_{1}} ). Der Anfangspunkt w(0) = x_{0} ist enthalten in U_{1} , und

p^{−1}(U_{1}) = ⋃^{.}_{z∈p^{−1}(x_{1})} Bild(u_{z}) .

Da der vorgegebene Anfangspunkt y_{0} enthalten ist in p^{−1}(x_{0}) , und damit auch in p^{−1}(U_{1}) , existiert somit ein z_{1} (und zwar genau eins) so daß y_{0} ∈ Bild(u_{z_{1}}) . Wir setzen u_{1} = u_{z_{1}} , also

w̃|_{B_{1}} = u_{z_{1}} ∘ (w|_{B_{1}}) .

2. Schritt ( Definition von w̃|_{B_{2}} ). Da der Anfangspunkt von B_{2} gleich dem Endpunkt von B_{1} ist, ist die zu definierende Abbildung w̃|_{B_{2}} auf dem Anfangspunkt a_{2} von B_{2} bereits definiert, nämlich als w̃|_{B_{1}}(a_{2}) . Der Bildpunkt nun ist enthalten in

p^{−1}(U_{2}) = ⋃^{.}_{y∈p^{−1}(x_{2})} Bild(u_{y})

und damit in Bild(u_{z_{2}}) für genau ein z_{2} ∈ p^{−1}(x_{2}) . Wir setzen

w̃|_{B_{2}} = u_{z_{2}} ∘ (w|_{B_{2}}) .

Nach Konstruktion gilt dann

(w̃|_{B_{2}}) (Anfangspunkt von B_{2}) = (w̃|_{B_{1}}) (Endpunkt von B_{1}) .

3.Schritt ( Definition von w̃|_{B_{3}}, …, w̃|_{B_{m}} ). Das geht analog.

Bei der vorstehenden Konstruktion ist schlechterdings nicht zu sehen, was man hätte anders machen können. Insofern ist die Eindeutigkeit der Konstruktion zumindest plausibel. Trotzdem scheint es nicht unangebracht, für die Eindeutigkeit auch noch ein Argument anzugeben.

Sei also w′ eine weitere Liftung von w mit

w′(0) = w̃(0) = y_{0} .

Sei ε die durch die obige Anwendung des Lebesgue’schen Satzes gegebene Zahl. Es genügt sicherlich, zu zeigen: wenn w̃ und w′ an einer Stelle s ∈ [0, 1] übereinstimmen, dann auch noch in dem in s beginnenden Bogen B der Länge ε/_{2} .

Sei also s eine Stelle, an der w̃ und w′ übereinstimmen. Sei B der dort beginnende Bogen der Länge ε/_{2} . Dann ist B in einer ε –Kugel enthalten. Nach der Konstruktion von ε über den Lebesgueschen Satz existiert deshalb eine Elementar–Umgebung U_{x} in X mit

w(B) ⊂ U_{x} .

Das Urbild p^{−1}(U_{x}) ist eine disjunkte Vereinigung,

p^{−1}(U_{x}) = ⋃^{.}_{z∈p^{−1}(x)} Bild(u_{z}) .

Andererseits kann der zusammenhängende Raum B nur auf solche Weise in eine disjunkte Vereinigung abbilden, daß der ganze Raum in eine einzige Komponente davon abbildet (das Bild eines zusammenhängenden Raumes ist wieder zusammenhängend!). Jeder der beiden Wege w̃ und w′ ist folglich in jeweils einer einzigen Komponente von ⋃^{.}_{z∈p^{−1}(x)} Bild(u_{z}) enthalten. Schließlich haben diese beiden Komponenten auch noch einen Punkt gemeinsam, nämlich den Punkt w̃(s) = w′(s) . Es folgt, daß sie identisch sind; etwa beide gleich Bild(u_{z_{0}}) .

Nun sind aber die lokale Umkehr–Abbildung u_{z_{0}} einerseits und die Einschränkung der Überlagerungs–Projektion p andererseits zueinander inverse topologische Äquivalenzen zwischen den Räumen Bild (u_{z_{0}}) und U_{x} . Es folgt, daß für alle s′ ∈ B gilt

w′(s′) = u_{z_{0}}(p(w′(s′))) = u_{z_{0}}(w(s′)) = u_{z_{0}}(p(w̃(s′))) = w̃(s′) .

Die Existenz und Eindeutigkeit des gelifteten Weges sind damit nachgewiesen. □

Satz (Homotopie–Liftungs–Satz). Sei p : E → X Überlagerung. Seien

w̃_{0} , w̃_{1} : [0, 1] ⟶ E

zwei Wege mit demselben Anfangspunkt w̃_{0}(0) = w̃_{1}(0) (aber nicht notwendigerweise mit demselben Endpunkt). Seien w_{0} und w_{1} die projizierten Wege

w_{0} = p ∘ w̃_{0} , w_{1} = p ∘ w̃_{1} ,

und sei

W : [0, 1] × [0, 1] ⟶ X

eine Homotopie von w_{0} zu w_{1} , relativ zum Anfangspunkt

( W |_{[0,1]×0} = w_{0} , W |_{[0,1]×1} = w_{1} , W (0, t) = W (0, 0) für alle t ) .

Es existiert eine Liftung von W zu einer Homotopie

W̃ : [0, 1] × [0, 1] ⟶ E

( d.h. p ∘ W̃ = W ), und W̃ ist Homotopie von w̃_{0} zu w̃_{1} , relativ zum Anfangspunkt. Wenn die Homotopie W auf dem Endpunkt konstant ist, so ist auch die Homotopie W̃ auf dem Endpunkt konstant.

Beweis. Mit dem mittlerweile schon zur Routine gewordenen Trick der Anwendung des Lebesgue’schen Überdeckungssatzes werden wir uns überlegen, daß irgendeine Liftung W̃ von W existiert mit der Eigenschaft

W̃(0, 0) = w̃_{0}(0) .

Diese Liftung stellt sich als eindeutig heraus, und sie hat auch die verlangten Eigenschaften; von diesen Dingen werden wir uns zunächst überzeugen.

— Eindeutigkeit von W̃ . Sei W̃′ eine weitere Liftung von W mit W̃′(0, 0) = w̃_{0}(0) . Zu (s, t) ∈ [0, 1] × [0, 1] gibt es einen Weg

v : [0, 1] ⟶ [0, 1] × [0, 1]

mit v(0) = (0, 0) , v(1) = (s, t) . Es sind dann W̃ ∘ v und W̃′ ∘ v Wege in E , und beide sind Liftungen des Weges W ∘ v in X , mit dem gemeinsamen Anfangspunkt W̃(v(0)) = w̃_{0}(0) . Der vorige Satz ist nun anwendbar. Nach der Eindeutigklausel dieses Satzes folgt, daß die Wege W̃ ∘ v und W̃′ ∘ v identisch sind, insbesondere ist deshalb auch

W̃(s, t) = (W̃ ∘ v)(1) = (W̃′ ∘ v)(1) = W̃′(s, t) .

— Behauptete Eigenschaften. (i) Weil p ∘ W̃ = W , ist W̃|_{[0,1]×0} eine Liftung des Weges w_{0} = W |_{[0,1]×0} . Aber w̃_{0} ist auch eine Liftung von w_{0} , und zwar zum selben Anfangspunkt w̃_{0}(0) = W̃(0, 0) . Nach der Eindeutigkeitsklausel des vorigen Satzes folgt wieder, daß die Wege W̃|_{[0,1]×0} und w̃_{0} identisch sind.

(ii) Die eingeschränkte Homotopie W̃|_{0×[0,1]} und der triviale Weg 0× [0, 1] → w̃_{0}(0) sind beides Liftungen des trivialen Weges W |_{0×[0,1]} : 0 × [0, 1] → w_{0}(0) in X , und zwar zum selben Anfangspunkt; sie sind deshalb identisch.

(iii) Wegen (ii) haben die beiden Liftungen W̃|_{[0,1]×1} und w̃_{1} von w_{1} denselben Anfangspunkt; sie sind deshalb identisch.

(iv) Wenn die Homotopie W auf dem Endpunkt konstant ist, dann sind sowohl die eingeschränkte Homotopie W̃|_{1×[0,1]} als auch die triviale Abbildung 1× [0, 1] → w̃_{0}(1) Liftungen des trivialen Weges mit Wert w_{0}(1) ; diese beiden Liftungen sind dann identisch, d.h. die Homotopie W̃ ist konstant auf dem Endpunkt von w̃_{0} .

— Existenz von W̃ . Wie im vorigen Satz sei {U_{x}}_{x∈X} eine offene Überdeckung von X durch Elementar–Umgebungen. Dann ist {W^{−1} (U_{x})}_{x∈X} eine offene Überdeckung des kompakten, metrischen Raumes [0, 1] × [0, 1] . Also existiert nach dem Lebesgue’schen Satz ein ε > 0 , so daß …. Wir wählen eine Unterteilung von [0, 1]×[0, 1] in Quadrate gleicher Größe

[0, 1] × [0, 1] = ⋃_{\begin{matrix}1≤k≤m \\ 1≤l≤m \end{matrix}} Q_{k,l} ,

deren jedes in einer ε –Kugel in [0, 1]×[0, 1] liegt. Nach Konstruktion von ε gilt dann für jedes (k, l) , daß das Bild W (Q_{k,l}) schon ganz enthalten ist in einer Elementar– Umgebung U_{x_{k,l}} , die wir abkürzend auch mit U_{k,l} bezeichnen werden. Nun ist

p^{−1} (U_{k,l}) = ⋃^{.}_{y∈p^{−1}(x_{k,l})} Bild (u_{y}) ,

wobei die u_{y} , y ∈ p^{−1}(x_{k,l}) , die lokalen Umkehrabbildungen auf U_{k,l} bezeichnen. In einer noch zu beschreibenden Weise wird eine dieser lokalen Umkehr–Abbildungen nun ausgewählt, die wir mit u_{k,l} bezeichnen. Wir definieren dann eine Abbildung W̃_{k,l} : Q_{k,l} → E als

W̃_{k,l} = u_{k,l} ∘ W |_{Q_{k,l}} .

Die Auswahl der u_{k,l} kann so erfolgen, daß W̃_{k,l} | Q_{k,l} ∩Q_{k′,l′} = W̃_{k′,l′} | Q_{k,l} ∩Q_{k′,l′} . Um das einzusehen, geht man induktiv vor: erst (k, l) = (1, 1) , dann (1, 2) , dann (1, 3), …, (1, m) ; weiter mit (2, 1) , dann (2, 2) , etc. Die Details sind identisch mit denen in einem schon früher betrachteten Fall (s. Seite 72). Wir werden die Details deshalb hier weglassen. Wir können also schließlich definieren

W̃ |_{Q_{k,l}} : = W̃_{k,l} .
□

Liftungs–Satz

Als Anwendung der vorstehenden Resultate erhalten wir den nunmehr zu diskutierenden allgemeinen Liftungs–Satz. Das bemerkenswerte an diesem Satz ist, daß er eine Beziehung herstellt zwischen Dingen ganz verschiedener Art, nämlich

— einer geometrischen Aussage auf der einen Seite (Existenz einer Liftung) und

— einer algebraischen Aussage auf der anderen (daß nämlich eine gewisse Untergruppe der Fundamentalgruppe eine gewisse andere Untergruppe enthält).

Zur Formulierung des Satzes benötigen wir eine neue Vokabel. Ein Raum wird nämlich als lokal weg–zusammenhängend bezeichnet, wenn jeder Punkt darin beliebig kleine weg–zusammenhängende Umgebungen hat. Oder, etwas genauer:

Definition. Ein Raum X heißt lokal weg–zusammenhängend, wenn für jeden Punkt x ∈ X und für jede Umgebung U von x eine weg–zusammenhängende Umgebung V von x existiert, die in U enthalten ist.

Für solche Räume notieren wir:

Satz. Sei X lokal weg–zusammenhängend. Dann gilt:

• Jede Weg–Zusammenhangs–Komponente von X ist offen.

• X ist die disjunkte Vereinigung seiner Weg–Zusammenhangs–Komponenten.

• Es gibt in X keinen Unterschied zwischen Zusammenhangs–Komponenten einerseits und Weg–Zusammenhangs–Komponenten andererseits.

Beweis. Die Definition von “lokal weg–zusammenhängend” sagt insbesondere, daß eine Weg–Zusammenhangs–Komponente in X zu jedem ihrer Punkte noch eine ganze Umgebung dieses Punktes enthält; sie ist also offen. Das Komplement einer Weg–Zusammenhangs–Komponente ist Vereinigung der anderen Weg–Zusammenhangs–Komponenten und deshalb ebenfalls offen. Es folgt, daß jede Weg–Zusammenhangs–Komponente sowohl offen als auch abgeschlossen ist; der Raum X ist daher die disjunkte Vereinigung seiner Weg–Zusammenhangs–Komponenten. Schließlich ist jede Weg–Zusammenhangs– Komponente einerseits zusammenhängend, andererseits nach dem gerade gesagten aber nicht enthalten in irgendeiner größeren zusammenhängenden Teilmenge von X ; folglich ist sie auch eine Zusammenhangskomponente. □

Für später notieren wir an dieser Stelle noch den folgenden Sachverhalt.

Satz. Sei X lokal weg–zusammenhängend. Sei p : E → X Überlagerung. Dann gilt:

• E ist lokal weg–zusammenhängend.

• Wenn E′ Zusammenhangs–Komponente von E ist (oder, allgemeiner, eine Vereinigung von Zusammenhangs–Komponenten), dann ist p|_{E′} : E′ → X ebenfalls eine Überlagerung.

Beweis; Sei e ∈ E und sei V Umgebung von e . Wir wollen zeigen, daß V eine wegzusammenhängende Umgebung von e enthält. Sei U eine Elementarumgebung des Bildpunktes p(e) , so daß also eine topologische Äquivalenz ( über U ) besteht,

p^{−1}(U) ≈ U × p^{−1}( p(e) ) .

Es ist p|_{(U×e)} : (U×e) → U eine topologische Äquivalenz, und V ∩ (U×e) ist Umgebung von e . Es folgt, daß p( V ∩ (U×e) ) eine Umgebung von p(e) in U ist; und deshalb auch in X . Nach Voraussetzung über X nun enthält diese Umgebung noch eine wegzusammenhängende Umgebung U′ von p(e) . Damit ist dann

U′ × e ⊂ U × p^{−1}( p(e) )

eine wegzusammenhängende Umgebung von e , die in V ∩ (U×e) enthalten ist und deshalb auch in V . Die erste Behauptung ist somit geklärt.

Da wir nun wissen, daß E lokal wegzusammenhängend ist, wissen wir auch (nach dem vorigen Satz), daß E die disjunkte Vereinigung seiner Weg–Zusammenhangskomponenten ist (und daß Zusammenhangskomponenten einerseits und Weg–Zusammenhangskomponenten andererseits in E dasselbe bedeuten).

Sei E′ eine Zusammenhangskomponente in E (oder eine Vereinigung von solchen), sei E′′ das Komplement. E ist dann die disjunkte Vereinigung von E′ und E′′ . Um zu zeigen, daß die eingeschränkte Abbildung p|_{E′} : E′ → X eine Überlagerung ist, werden wir zeigen, daß wir für jeden Punkt x ∈ X eine Elementarumgebung finden können.

Sei also x ∈ X . Sei U eine Elementarumgebung von x ( für die Überlagerungsprojektion p: E → X ). Die Umgebung U enthält (nach Voraussetzung über X ) eine wegzusammenhängende Umgebung U′ von x . Die topologische Äquivalenz ( über U)

p^{−1}(U) ≈ U × p^{−1}(x)

induziert eine topologische Äquivalenz ( über U′ )

p^{−1}(U′) ≈ U′ × p^{−1}(x) .

Mit anderen Worten, U′ ist auch eine Elementarumgebung. Darüberhinaus ist aber mit U′ nun auch für jedes y ∈ p^{−1}(x) der Raum U′ × {y} wegzusammenhängend und deshalb entweder ganz in E′ enthalten oder ganz in E′′ . Es folgt, daß die vorstehende topologische Äquivalenz als Einschränkung die folgende hat,

(p|_{E′})^{−1}(U′) = E′ ∩ p^{−1}(U′) ≈ U′ × ( E′ ∩ p^{−1}(x) ) = U′ × (p|_{E′})^{−1}(x)

(eine topologische Äquivalenz über U′ ). Der Überlagerungstest war erfolgreich. □

Nach diesen Vorbemerkungen über den lokalen Wegzusammenhang kommen wir nun schließlich zu dem allgemeinen Liftungs–Satz.

Satz (Liftungs–Satz). Sei p : E → X eine Überlagerung. Sei x_{0} ∈ X und e_{0} ∈ p^{−1}(x_{0}) . Der Raum Y sei zusammenhängend und lokal weg–zusammenhängend. Sei y_{0} ∈ Y und sei

f : (Y, y_{0}) ⟶ (X, x_{0})

eine Abbildung von punktierten Räumen. Die folgenden zwei Aussagen sind äquivalent:

• f hat eine Liftung zu einer Abbildung f̃: (Y, y_{0}) ⟶ (E, e_{0}) (d.h., p∘f̃ = f ) .

• f_{∗}( π_{1}(Y, y_{0}) ) ⊂ p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) .

Weiterhin gilt, daß eine Liftung von f ( mit der Bedingung f̃(y_{0}) = e_{0} ) schon eindeutig bestimmt ist (falls sie existiert).

Beweis. Die eine der behaupteten Implikationen ist eine unmittelbare Folge aus der Natürlichkeit der Konstruktion der Fundamentalgruppe. Nämlich wenn die Liftung f̃ von f existiert, so folgt für die Bild–Gruppen ( Untergruppen von π_{1}(X, x_{0}) )

f_{∗}( π_{1}(Y, y_{0}) ) = (p ∘f̃)_{∗}( π_{1}(Y, y_{0}) ) = p_{∗}( f̃_{∗}( π_{1}(Y, y_{0}) ) ) ⊂ p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) .

Umgekehrt wollen wir, wenn wir diese Inklusion voraussetzen dürfen, für die gegebene Abbildung f eine Liftung f̃ konstruieren.

Diese Konstruktion geht über den Wege–Liftungs–Satz. Da Y wegzusammenhängend ist (denn es ist ja, nach Voraussetzung, zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend), können wir einen vorgegebenen Punkt y in Y durch einen Weg mit dem Basispunkt verbinden: wir wählen irgendeinen Weg w_{y} : [0, 1] → Y mit

w_{y}(0) = y_{0} , w_{y}(1) = y .

Die zusammengesetzte Abbildung f ∘ w_{y} ,

[0, 1] ⟶^{w_{y}} Y ⟶^{f} X ,

ist dann ein Weg in X . Auf diesen Weg wenden wir den Wege–Liftungs–Satz an. Das Resultat ist ein Weg { \atop f∘w_{y}} : [0, 1] → E mit { \atop f∘w_{y}}(0) = e_{0} . Wir definieren nun

f̃(y) : = { \atop f∘w_{y}}(1) .

Es bleibt zu zeigen:

• die Abbildung f̃ ist wohldefiniert

• die Abbildung ist stetig.

Zur Frage der Wohldefiniertheit merken wir zunächst an, daß nach dem Wege–Liftungs– Satz das Liften von Wegen zu vorgegebenem Anfangspunkt eindeutig ist. Die Definition von f̃(y) hängt deshalb allenfalls von der getroffenen Wahl des Weges w_{y} ab.

Wir wollen zeigen, daß sie von dieser Wahl tatsächlich aber nicht abhängt. Dazu sei w′_{y} : [0, 1] → Y ein anderer Weg, den wir hätten wählen können,

w′_{y}(0) = y_{0} , w′_{y}(1) = y .

Wir betrachten zuerst den Spezialfall, wo w′_{y} homotop ist zu w_{y} relativ zu Anfangsund Endpunkt. In diesem Fall sind auch die Wege f∘w′_{y} und f∘w_{y} homotop relativ zu Anfangs- und Endpunkt. Die Anwendung des Homotopie–Liftungs–Satzes zeigt nun, daß auch die gelifteten Wege { \atop f∘w′_{y}} und { \atop f∘w_{y}} homotop sind relativ zu Anfangs- und Endpunkt; insbesondere haben wir deshalb { \atop f∘w′_{y}}(1) = { \atop f∘w_{y}}(1) .

Den allgemeinen Fall wollen wir auf diesen Spezialfall zurückführen (sowie auf ein Argument mit der Fundamentalgruppe). Dazu betrachten wir den zusammengesetzten Weg w′_{y} w_{y}^{−1} ( “ zuerst w′_{y} , dann den zu w_{y} inversen Weg ” ) oder, als Formel,

w′_{y} w_{y}^{−1}(s) = \{ \begin{matrix}w′_{y}(2s) & 0 ≤ s ≤ \frac{1}{2} \\ w_{y}(2−2s) & \frac{1}{2} ≤ s ≤ 1 . \end{matrix}

Wenn wir diesen Weg wiederum mit w_{y} zusammensetzen, so erhalten wir einen Weg w′_{y} w_{y}^{−1} w_{y} oder, wieder als Formel,

w′_{y} w_{y}^{−1} w_{y} (s) = \{ \begin{matrix}w′_{y}(4s) & 0 ≤ s ≤ \frac{1}{4} \\ w_{y}(2−4s) & \frac{1}{4} ≤ s ≤ \frac{1}{2} \\ w_{y}(2s−1) & \frac{1}{2} ≤ s ≤ 1 . \end{matrix}

Dies ist ein Weg von y_{0} zu y , und es ist klar (oder?), daß dieser Weg zu w′_{y} homotop ist, relativ zu Anfangs- und Endpunkt.

Wenn wir abkürzend schreiben v_{y} = w′_{y} w_{y}^{−1} w_{y} , so folgt also nach dem obigen Spezialfall, daß die Liftungen der beiden Wege f ∘v_{y} und f ∘w′_{y} dieselben Endpunkte haben,

({ \atop f∘v_{y}})(1) = ({ \atop f∘w′_{y}})(1) .

Um nun weiter ({ \atop f∘v_{y}})(1) mit ({ \atop f∘w_{y}})(1) zu vergleichen, verwenden wir den

Hilfssatz. Wenn f_{∗}( π_{1}(Y, y_{0}) ) ⊂ p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) , dann ist die Liftung { \atop f∘(w′_{y} w_{y}^{−1})} von f∘(w′_{y} w_{y}^{−1}) ein geschlossener Weg in E mit Anfangs- und Endpunkt e_{0} .

Mit dem Hilfssatz können wir den gewünschten Vergleich auf die folgende Weise bewerkstelligen. Die Komposition mit der Abbildung f ist verträglich mit dem Zusammensetzen von Wegen, also

( f ∘ v_{y} = ) f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1} w_{y}) = (f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1}) ) (f ∘ w_{y}) .

Die Liftung von f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1} w_{y}) zum vorgegebenen Anfangspunkt e_{0} kann daher in zwei Schritten konstruiert werden:

— zu dem Anfangspunkt e_{0} wird zunächst der erste Teilweg f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1}) geliftet,

— mit dem dabei resultierenden Endpunkt als neuem Anfangspunkt wird danach der zweite Teilweg f ∘ w_{y} geliftet.

Nach dem Hilfssatz ist nun aber der neue Anfangspunkt derselbe wie der alte: die zweite Liftung ist ebenfalls zum Anfangspunkt e_{0} vorzunehmen. Es folgt, daß die Liftung des zweiten Teilweges in Wirklichkeit eine Reinkarnation der ursprünglichen Liftung des Weges f∘w_{y} ist; sie hat insbesondere deshalb auch denselben Endpunkt.

Beweis des Hilfssatzes. Der Weg w′_{y} w_{y}^{−1} ist Schleife in Y zum Basispunkt y_{0} und repräsentiert ein Element [ w′_{y} w_{y}^{−1} ] in π_{1}(Y, y_{0}) . Die Schleife f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1}) repräsentiert das Bildelement

f_{∗}[ w′_{y} w_{y}^{−1} ] ∈ f_{∗}( π_{1}(Y, y_{0}) ) .

Nach der Voraussetzung des Hilfssatzes ist dieses Element nun auch enthalten in der Bildgruppe p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) . Das bedeutet, daß eine Schleife ũ in E zum Basispunkt e_{0} existiert mit

[ f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1}) ] = [ p ∘ ũ] ;

was wiederum bedeutet, daß f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1}) homotop ist, relativ zu Anfangs- und Endpunkt, zu p ∘ ũ . Wir wählen irgendeine solche Homotopie von f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1}) zu p ∘ ũ . Nach dem Homotopie–Liftungs–Satz hat diese Homotopie eine Liftung zu einer Homotopie von Wegen in E , wobei die Homotopie auf dem Anfangspunkt konstant ist. Zusätzlich war aber die Homotopie in X auch auf dem Endpunkt konstant, und der Homotopie–Liftungs–Satz sagt, daß in dieser Situation auch die geliftete Homotopie auf dem Endpunkt konstant ist. Es folgt insbesondere, daß die Liftung von f ∘ (w′_{y} w_{y}^{−1}) denselben Endpunkt hat wie diejenige von p ∘ ũ . Die Liftung von p ∘ ũ ist aber ũ , und dessen Endpunkt ist e_{0} . Der Hilfssatz ist damit bewiesen.

Wir kommen nun zum Nachweis dessen, daß die (geliftete) Abbildung f̃ eine stetige Abbildung ist; es ist dieser Teil des Arguments, bei dem die ominöse Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang benötigt wird. Wir werden die Stetigkeit in der folgenden Form nachweisen. Wir zeigen: Zu jedem Punkt y ∈ Y und zu jeder Umgebung V des Bildpunktes f̃(y) existiert eine Umgebung W von y mit f̃(W) ⊂ V .

Sei U eine Elementarumgebung des Punktes x = f(y) in X , so daß also eine topologische Äquivalenz ( über U ) besteht,

p^{−1}(U) ⟶^{u} U × p^{−1}(x) .

Sei V′ definiert als der Durchschnitt

V′ : = V ∩ u^{−1}( U × f̃(y) ) .

Dann ist V′ Umgebung von f̃(y) , die eingeschränkte Abbildung p|_{V′} : V′ → p(V′) ist eine topologische Äquivalenz, und p(V′) ist Umgebung von f(y) = p( f̃(y) ) .

Wegen der Stetigkeit von f ist das Urbild f^{−1}( p(V′) ) eine Umgebung von y in Y . Wir nutzen nun die Voraussetzung des lokalen Wegzusammenhangs aus. Es folgt, daß die Umgebung f^{−1}( p(V′) ) noch eine wegzusammenhängende Umgebung W von y enthält. Mit der folgenden Behauptung wird schließlich alles bewiesen sein:

Behauptung. Das Bild f̃(W) ist enthalten in V′ ( und damit auch in V ).

Beweis der Behauptung. Sei y′ ∈ W . Dann können wir y′ durch einen ganz in W verlaufenden Weg w mit y verbinden. Sei w_{y} irgendein Weg von y_{0} zu y . Nach dem vorher bewiesenen Teil (daß nämlich die Definition von f̃(y′) nicht abhängt von der Wahl des Weges von y_{0} zu y′ ), können wir ebenso gut nun auch das folgende Rezept als die Definition von f̃(y′) nehmen:

Zuerst liften wir den Teilweg f ∘ w_{y} zum Anfangspunkt e_{0} = f̃(y_{0}) ; der geliftete Teilweg wird den Endpunkt f̃(y) haben. Danach liften wir den Teilweg f ∘ w zum Anfangspunkt f̃(y) . Der Endpunkt der Liftung des zusammengesetzten Weges, und damit auch der Endpunkt der Liftung des zweiten Teilweges, wird dann der Punkt f̃(y′) sein.

Nach Konstruktion nun ist der Weg f ∘w ganz enthalten in der Umgebung p(V′) von f(y) . Die eingeschränkte Abbildung p|_{V′} : V′ → p(V′) ist eine topologische Äquivalenz, und die Liftung von f ∘w hat ihren Anfangspunkt in V′ . Nach der Eindeutigkeit der Wegeliftung zu gegebenem Anfangspunkt folgt, daß die Liftung des zweiten Teilwegs ganz enthalten ist in V′ , insbesondere ist deshalb der Endpunkt f̃(y′) ebenfalls in V′ enthalten. Der Beweis ist fertig. □

Wir kommen nun zu Anwendungen des Liftungs–Satzes.

Eine erste, hier etwas ferner liegende, Anwendung hat Beispiel–Charakter; sie gibt eine “zu–Fuß–Formulierung” der Tatsache, daß die sogenannten höheren Homotopiegruppen der 1-Sphäre sämtlich trivial sind.

Satz. Sei n ≥ 2 . Sei eine Abbildung f : (S^{n}, s_{0}) → (S^{1}, x_{0}) gegeben (eine Abbildung der n -Sphäre in die 1 -Sphäre, die den Basispunkt s_{0} in den Basispunkt x_{0} abbildet). Es gibt eine Homotopie, relativ zum Basispunkt, von dieser Abbildung zu der trivialen Abbildung (triviale Abbildung in den Basispunkt).

Beweis. Wir wollen den Liftungs–Satz anwenden auf die Überlagerung von S^{1} , die durch exp : ℝ → S^{1} gegeben ist. Wir wählen irgendeinen Punkt e_{0} ∈ (exp)^{−1}(x_{0}) als Basispunkt. Wir wollen eine Liftung von f zu f̃: S^{n} → ℝ angeben, mit f̃(s_{0}) = e_{0} . Sobald wir das geschafft haben, sind wir schon fertig. Denn für Abbildungen nach ℝ haben wir lineare Homotopien zur Verfügung; in unserem Fall die Homotopie von f̃ zur trivialen Abbildung nach e_{0} ,

F : S^{n}× [0, 1] ⟶ ℝ , F (s, t) = (1−t) f̃(s) + t e_{0} .

Die zusammengesetzte Abbildung exp ∘F : S^{n}× [0, 1] → S^{1} ist dann die Homotopie, deren Existenz der Satz behauptet.

Um den Liftungs–Satz in der genannten Weise anzuwenden, müssen wir einige Dinge nachprüfen. Zunächst müssen wir wissen, daß der Raum S^{n} lokal wegweise zusammenhängend ist; das ist aber klar (oder?). Zum andern müssen wir wissen, daß die Bildgruppe f_{∗}( π_{1}(S^{n}, s_{0}) ) enthalten ist in einer gewissen andern Gruppe (nämlich in der Bildgruppe exp_{∗}( π_{1}(ℝ) ) . Nun wissen wir aber schon, daß die Fundamentalgruppe π_{1}(S^{n}, s_{0}) die triviale Gruppe ist. Deshalb ist auch die Bildgruppe f_{∗}( π_{1}(S^{n}, s_{0}) ) die triviale Gruppe — und die ist schließlich in jeder Gruppe enthalten. □

Unsere nächste Anwendung liefert die erstaunliche Aussage, daß bei “vernünftigen” Räumen die Überlagerungen vollkommen charakterisiert werden können durch algebraische Daten.

Dazu notieren wir zunächst, daß der von einer Überlagerungsprojektion induzierte Homomorphismus der Fundamentalgruppe immer injektiv ist.

Satz. Sei p : E → X eine Überlagerung. Sei x_{0} ∈ X und sei e_{0} ∈ p^{−1}(x_{0}) . Die Abbildung p_{∗} : π_{1}(E, e_{0}) ⟶ π_{1}(X, x_{0}) ist injektiv.

Beweis. Sei v eine Schleife in E . Wenn das von v repräsentierte Element von π_{1}(E, e_{0}) im Kern der Abbildung p_{∗} liegt, so bedeutet dies, daß die Schleife p ∘ v das triviale Element in π_{1}(X, x_{0}) repräsentiert; d.h., daß die Schleife p ∘ v homotop ist, relativ zu Anfangs- und Endpunkt, zur trivialen Schleife. Sei F eine Homotopie, die das leistet. Auf diese Homotopie können wir den Homotopie–Liftungs–Satz anwenden. Der Punkt ist nun (Inspektion der Formulierung des Satzes!), daß die geliftete Homotopie ebenfalls relativ ist zu Anfangs- und Endpunkt, und zwar ist sie eine Homotopie von der Schleife v zu der trivialen Schleife am Basispunkt e_{0} von E . Daher ist v ein Repräsentant des trivialen Elements in π_{1}(E, e_{0}) . □

Unser erster Klassifikations–Satz nun sagt, daß die so resultierende Untergruppe (die Bildgruppe) die Überlagerung schon vollkommen charakterisiert; zumindest, wenn es sich um “vernünftige” Räume handelt, die zudem noch als (weg–)zusammenhängend vorausgesetzt werden.

Satz. Sei X ein Raum, der zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend ist; sei x_{0} ∈ X ein Basispunkt. Seien p_{1} : E_{1} → X und p_{2} : E_{2} → X Überlagerungen, wobei E_{1} und E_{2} als zusammenhängend vorausgesetzt sind. Seien e_{1} und e_{2} über x_{0} liegende Basispunkte in E_{1} bzw. E_{2} . Wenn p_{1∗}( π_{1}(E_{1}, e_{1}) ) = p_{2∗}( π_{1}(E_{2}, e_{2}) ) ( Gleichheit von Untergruppen von π_{1}(X, x_{0}) ), dann gibt es eine topologische Äquivalenz ( über X )

E_{1} ⟶^{≈} E_{2} .

Die topologische Äquivalenz kann so gewählt werden, daß e_{1} auf e_{2} abgebildet wird; sie ist dann eindeutig bestimmt.

Beweis. Wir wollen die Abbildung p_{1} : E_{1} → X zu einer Abbildung

f_{1} : E_{1} ⟶ E_{2} , f_{1}(e_{1}) = e_{2} ,

liften. Der Liftungs–Satz sagt, daß dies unter gewissen Bedingungen möglich ist; der Satz sagt auch, daß eine solche Liftung eindeutig ist, falls sie existiert. Die Bedingungen für die Existenz der Liftung sind:

— der Raum E_{1} soll zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend sein; das ist aber klar: E_{1} ist zusammenhängend nach Voraussetzung, und E_{1} ist Überlagerung des lokal wegzusammenhängenden Raumes X , daher ebenfalls lokal wegzusammenhängend (nach einem früheren Satz),

— es soll eine Inklusion von Untergruppen p_{1∗}( π_{1}(E_{1}, e_{1}) ) ⊂ p_{2∗}( π_{1}(E_{2}, e_{2}) ) bestehen; das ist aber auch klar: diese Untergruppen sind sogar gleich (nach Voraussetzung).

Der Liftungs–Satz ist also anwendbar: f_{1} existiert. Aus ähnlichen Gründen existiert auch eine Abbildung

f_{2} : E_{2} ⟶ E_{1} , f_{2}(e_{2}) = e_{1} .

Wir behaupten jetzt, daß die Abbildungen f_{1} und f_{2} zueinander invers sind. Auch das ist, wie sich herausstellt, eine unmittelbare Anwendung des Liftungs–Satzes. Das Argument ist allerdings verblüffend: Die zusammengesetzte Abbildung f_{2} ∘ f_{1} ,

E_{1} ⟶^{f_{1}} E_{2} ⟶^{f_{2}} E_{1} ,

kann aufgefaßt werden als eine Liftung der Abbildung p_{1} : E_{1} → X zu einer Abbildung E_{1} → E_{1} , die e_{1} auf e_{1} abbildet. Es gibt noch eine andere solche Liftung, nämlich die identische Abbildung auf E_{1} . Es kann aber nur eine geben (nach der Eindeutigkeitsklausel beim Liftungs–Satz). Also ist

f_{2} ∘ f_{1} = id|_{E_{1}} .

Ähnlich ist auch f_{1} ∘ f_{2} = id|_{E_{2}} . □

Beispiel. Wir betrachten die Überlagerung der 1− Sphäre auf sich, die gegeben ist durch “ k− faches Aufwickeln ”, k ≥ 1 ; m.a.W., wenn S^{1} = { z ∈ ℂ | |z| = 1 } , dann die Abbildung

p_{k} : S^{1} ⟶ S^{1} , z ⟼ z^{k} .

Bezeichne w : ( [0, 1] , {0, 1}) → (S^{1}, 1) den Repräsentanten eines Elements von π_{1}(S^{1}, 1) ; wie wir wissen, ist jedes Element von π_{1}(S^{1}, 1) repräsentierbar in der Form w(s) = exp( l · s) . Es folgt, daß die Bildgruppe p_{k∗}( π_{1}(S^{1}, 1) ) die Untergruppe derjenigen Elemente ist, die einen Repräsentanten der Art

w(s) = exp( l · k · s)

haben. Unter dem Isomorphismus π_{1}(S^{1}, 1) ≈ ℤ entspricht diese Untergruppe der additiven Gruppe derjenigen ganzen Zahlen, die Vielfache von k sind. Nach dem Satz nun ist die Überlagerung (bis auf Isomorphie) durch diese zugeordnete Untergruppe schon charakterisiert. □

Konstruktion von Überlagerungen

Zunächst einige Vokabeln. Ein Raum Y heißt einfach–zusammenhängend, wenn folgendes gilt: Sind y_{1} und y_{2} Punkte in Y , so gibt es einen Weg, der y_{1} und y_{2} verbindet, und dieser Weg ist eindeutig bis auf Homotopie (Homotopie relativ zu Anfangs- und Endpunkt).

Das läßt sich auch anders formulieren. Nämlich, wenn Y einfach–zusammenhängend ist, dann ist es wegzusammenhängend und hat triviale Fundamentalgruppe (für jeden Basispunkt; das ist der Spezialfall der Definition wo y_{1} = y_{2} ). Umgekehrt, wenn Y wegzusammenhängend ist und π_{1}(Y, y_{0}) = 0 für irgendeinen Basispunkt y_{0} in Y , dann ist, wie wir wissen, auch π_{1}(Y, y_{1}) = 0 für jeden anderen Basispunkt in Y (wenn Y wegzusammenhängend ist, so sind die Fundamentalgruppen für alle Basispunkte zueinander isomorph). Speziell gilt das für den gemeinsamen Anfangspunkt von v und w . Der geschlossene Weg v w^{−1} (erst v durchlaufen, dann w rückwärts) ist also nullhomotop. Es folgt, daß der Weg v w^{−1} w homotop ist, relativ zu Anfangs- und Endpunkt, zu w . Andererseits ist er aber auch zu v homotop. Y ist also einfach– zusammenhängend im obigen Sinne.

Definition. Eine Überlagerung p : E → X heißt universelle Überlagerung von X , wenn der Raum E einfach–zusammenhängend ist.

Die Wortwahl “universell” für diesen Sachverhalt ist nicht so weit hergeholt, wie das hier scheinen mag. Dies wird später deutlich werden.

Wie wir gesehen haben, sind, bei einem “vernünftigen” Raum, die Überlagerungen charakterisierbar durch (gewisse) Untergruppen der Fundamentalgruppe. Unser gegenwärtiges Ziel ist es, zu zeigen, daß umgekehrt auch alle Untergruppen auf diese Weise vorkommen; mit anderen Worten, daß jede Untergruppe von π_{1}(X, x_{0}) vorkommt als p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) , das Bild der Fundamentalgruppe eines geeigneten Überlagerungsraumes E von X . Um das zu zeigen, benötigen wir eine weitere Eigenschaft, die “vernünftige” Räume haben.

Definition. Ein Raum X heißt semi–lokal einfach–zusammenhängend, wenn er lokal wegzusammenhängend ist und wenn darüberhinaus gilt: Für jeden Punkt x ∈ X existiert eine wegzusammenhängende Umgebung U von x , so daß die Abbildung der Fundamentalgruppen am Basispunkt x ,

π_{1}(U, x) ⟶ π_{1}(X, x) ,

die triviale Abbildung ist. Eine Umgebung U , die diese Eigenschaft hat, wird auch als eine Spezialumgebung von x bezeichnen.

Das Bestehen dieser Eigenschaft ist in der Tat eine notwendige Bedingung, wie die folgende Bemerkung zeigt.

Bemerkung. Sei X ein lokal–wegzusammenhängender Raum. Wenn eine universelle Überlagerung von X existiert, dann ist X semi–lokal einfach–zusammenhängend.

Denn sei x ∈ X . Sei U eine Elementarumgebung von x . Es ist keine Einschränkung der Allgemeinheit, anzunehmen, daß U wegzusammenhängend ist (denn, da X nach Voraussetzung lokal wegzusammenhängend ist, könnten wir notfalls U ersetzen durch eine kleinere wegzusammenhängende Umgebung; die wäre automatisch ebenfalls eine Elementarumgebung). Sei nun V eine Wegzusammenhangskomponente von p^{−1}(U) . Unter der topologischen Äquivalenz von p^{−1}(U) zu U × p^{−1}(x) (Definition von Elementarumgebung) entspricht V einem Unterraum der Art U × {y} , wo y ∈ p^{−1}(x) ; insbesondere ist die durch Einschränkung von p gegebene Abbildung q : V → U eine topologische Äquivalenz. Wir haben nun das folgende kommutative Diagramm von Fundamentalgruppen

π_{1}(V, y) ⟶ π_{1}(E, y)
↓ ^{q_{∗}}  ↓ ^{p_{∗}}
π_{1}(U, x) ⟶ π_{1}(X, x)

In diesem Diagramm ist die zusammengesetzte Abbildung π_{1}(V, y) → π_{1}(X, x) die triviale Abbildung (weil sie über die Gruppe π_{1}(E, y) faktorisiert, die ja nach Voraussetzung trivial ist). Andererseits ist die Abbildung q_{∗} ein Isomorphismus (sie ist ja induziert von der Abbildung q , die eine topologische Äquivalenz ist). Es folgt, daß π_{1}(U, x) → π_{1}(X, x) die triviale Abbildung ist. □

Der zu beweisende Satz wird sagen, daß die beschriebene notwendige Bedingung tatsächlich auch hinreichend ist. Bevor wir dazu kommen, machen wir noch eine Notiz über Spezialumgebungen.

Bemerkung. Sei U Spezialumgebung von x . Wenn x′ ∈ U dann ist auch

π_{1}(U, x′) ⟶ π_{1}(X, x′) ,

die triviale Abbildung. Wenn w und w′ Wege in U sind mit demselben Anfangspunkt und demselben Endpunkt, dann sind w und w′ , als Wege in X betrachtet, homotop relativ zu Anfangs- und Endpunkt.

Denn zunächst, wenn v ein Weg in U von x zu x′ ist, so induziert v einen Isomorphismus v_{∗} der Fundamentalgruppen. Dies ist sowohl in U als auch in X richtig, und zwar in kompatibler Weise. Mit anderen Worten, es gibt ein kommutatives Diagramm

π_{1}(U, x) ⟶^{v_{∗}} π_{1}(U, x′)
↓  ↓
π_{1}(X, x) ⟶^{v_{∗}} π_{1}(X, x′)

in dem die horizontalen Abbildungen Isomorphismen sind. Es folgt: wenn der linke vertikale Pfeil die triviale Abbildung ist, dann auch der rechte.

Zu den Wegen w und w′ nun bezeichne x′ den gemeinsamen Anfangspunkt dieser beiden Wege. Es ist dann der zusammengesetzte Weg w′ w^{−1} ein geschlossener Weg mit Anfangs- und Endpunkt x′ . Der Weg repräsentiert das triviale Element in π_{1}(X, x′) , ist also homotop in X , relativ zu Anfangs- und Endpunkt, zum trivialen Weg. Es folgt, daß der zusammengesetzte Weg w′ w^{−1} w homotop in X ist, relativ zu Anfangs- und Endpunkt, zu dem Weg w . Andererseits ist er auch homotop (sogar in U ) zu dem Weg w′ . □

Die Existenz von Überlagerungen werden wir zuerst in dem speziellen Fall einer universellen Überlagerung diskutieren, den allgemeinen Fall werden wir danach dann daraus ableiten.

Satz. Der Raum X sei zusammenhängend und semi–lokal einfach–zusammenhängend. Es existiert eine universelle Überlagerung von X .

Beweis. Die Behauptung ist, daß eine Überlagerung p : E → X existiert, wo eben der Raum E einfach–zusammenhängend ist. Der Beweis dieser Behauptung geht über eine zwar abstrakte, aber sehr direkte Konstruktion für die Existenz. Um diese Konstruktion zu verstehen, gehen wir zunächst den umgekehrten Weg. Wir setzen nämlich voraus, daß wir p : E → X schon hätten. Mit einigen kleinen Tricks werden wir die Daten von E übersetzen in Dinge, die nur mit dem Raum X zu tun haben. Mit ein wenig Glück werden wir anschließend in der Lage sein, diese Übersetzung rückwärts zu lesen, und das wird dann die Konstruktion sein.

Die Übersetzung geht über Wege–Liftung. Die Wege–Liftung funktioniert gut für Wege, die an einem Ende fixiert sind, am andern Ende aber nicht. Wir werden also solche Wege nun systematisch betrachten. Dazu wählen wir in X einen Basispunkt x_{0} und in E einen Basispunkt e_{0} über x_{0} .

Es soll ein basierter Weg in E nun einen Weg bezeichnen, dessen Anfangspunkt der gewählte Basispunkt e_{0} in E ist. Die Menge der basierten Wege in E wird mit BE bezeichnet.

Ähnlich soll ein basierter Weg in X ein Weg sein, dessen Anfangspunkt der gewählte Basispunkt x_{0} in X ist. Die Menge der basierten Wege in X wird mit BX bezeichnet.

Mit der Abbildung p : E → X bekommt man aus jedem Weg in E einen Weg in X . Da der (Anfangs–) Punkt e_{0} über dem Punkt x_{0} liegt, bekommt man speziell so auch eine Abbildung BE → BX . Andererseits sagt der Wege–Liftungs–Satz, daß ein Weg in X mit Anfangspunkt x_{0} eine eindeutige Liftung hat zu einem Weg in E mit Anfangspunkt e_{0} . Folglich,

• Die Abbildung BE → BX ist bijektiv.

Als nächstes führen wir auf diesen Mengen von Wegen eine Äquivalenzrelation ein, nämlich die Homotopie relativ zu Anfangs- und Endpunkt. Die Menge der Äquivalenzklassen in BE wird mit Ẽ bezeichnet. Ein Element aus Ẽ läßt sich so beschreiben: es besteht aus einem Punkt e in E (dem Endpunkt) zusammen mit einer Homotopieklasse von Wegen von e_{0} zu e .

Ähnlich bezeichnet X̃ die Menge der Äquivalenzklassen in BX ; ein Element aus X̃ besteht aus einem Punkt x in X zusammen mit einer Homotopieklasse von Wegen von x_{0} zu x .

Die obige Abbildung, die einem Weg v in E den projizierten Weg p ∘ v zuordnet, ist mit Homotopie verträglich, induziert also eine Abbildung Ẽ → X̃ . Andererseits ist auch die Wege–Liftung mit Homotopie verträglich; das sagt der Homotopie–Liftungs– Satz. Folglich,

• Die Abbildung Ẽ → X̃ ist bijektiv.

Die Tatsache, daß man einem Weg seinen Endpunkt zuordnen kann, kann man interpretieren als eine Abbildung BE → E ; und auch als eine Abbildung Ẽ → E . Nun ist nach Voraussetzung der Raum E aber einfach–zusammenhängend: zu je zwei Punkten in E gibt es einen und, bis auf Homotopie, auch nur einen Weg, der sie verbindet. Folglich,

• Die Abbildung Ẽ → E ist bijektiv.

Mit den letzten beiden Bijektionen haben wir es nunmehr geschafft, für die unterliegende Menge des Raumes E eine Übersetzung zu finden in etwas, das vollständig mit Hilfe von X beschrieben werden kann und tatsächlich auch so beschrieben worden ist, nämlich X̃ .

Der nächste Schritt wird sein, in diese Übersetzung auch die topologische Struktur mit einzubauen. Von jetzt ab werden wir die Voraussetzung benötigen, daß der Raum X semi–lokal einfach–zusammenhängend ist.

Wegen dieser Voraussetzung hat jeder Punkt x in X eine Spezialumgebung U ; was nach Definition ja bedeutet, daß U eine weg–zusammenhängende Umgebung von x ist, die die Bedingung erfüllt, daß der (von der Inklusion induzierte) Homomorphismus π_{1}(U, x) → π_{1}(X, x) die triviale Abbildung ist. Es folgt hieraus noch ein wenig mehr: wenn U′ eine vorgegebene Umgebung von x ist, so existiert innerhalb der Umgebung U ∩ U′ noch eine wegzusammenhängende Umgebung U′′ von x (wegen der ebenfalls gemachten Voraussetzung, daß X lokal wegzusammenhängend ist); die Umgebung U′′ erfüllt nun automatisch auch die Bedingung über die Fundamentalgruppe (denn die Abbildung π_{1}(U′′, x) → π_{1}(X, x) faktorisiert über die (triviale) Abbildung π_{1}(U, x) → π_{1}(X, x) , sie ist daher selbst trivial). Wir haben also innerhalb der vorgegebenen Umgebung U′ noch eine Spezialumgebung, nämlich U′′ , gefunden. Das kann man auch so ausdrücken: eine Teilmenge von X ist eine Umgebung von x genau dann, wenn sie eine Spezialumgebung enthält; oder, wie man für diesen Sachverhalt auch sagt,

• Die Spezialumgebungen bilden eine Umgebungsbasis von x .

Es sei nun y ein Punkt in E , der über x liegt. Sei U′ eine wegzusammenhängende Elementarumgebung von x , und sei V′ die (Weg–)Zusammenhangskomponente des Urbilds p^{−1}(U′) , die den Punkt y enthält. Dann ist V′ Umgebung von y , und die (von der Überlagerungsprojektion induzierte) Abbildung V′ → U′ ist eine topologische Äquivalenz. Die in U′ enthaltenen Spezialumgebungen bilden eine Umgebungsbasis von x . Unter der genannten topologischen Äquivalenz entsprechen ihnen Teilmengen von V′ , die wir als geliftete Spezialumgebungen bezeichnen wollen. Es resultiert,

• Die gelifteten Spezialumgebungen bilden eine Umgebungsbasis von y in E .

Sei insbesondere nun U′′ eine Spezialumgebung, die in U′ enthalten ist. Sei V′′ die entsprechende geliftete Spezialumgebung in V′ . Unter der bijektiven Abbildung von E zu X̃ entspricht dem V′′ dann eine Teilmenge von X̃ . Es ist nun sehr wichtig, daß wir in der Lage sein werden, diese Teilmenge von X̃ auch direkt zu beschreiben (ohne uns auf E zu beziehen).

Es sei dazu v ein Weg vom Basispunkt e_{0} zu dem Punkt y (bis auf Homotopie relativ zu Anfangs- und Endpunkt gibt es genau einen solchen Weg). Wenn y′ ein anderer Punkt in V′′ ist, so können wir e_{0} mit y′ verbinden durch einen Weg v′ der folgenden Art: zunächst verbinden wir e_{0} mit y durch den gerade genannten Weg v , dann setzen wir diesen zusammen mit einem Weg von y zu y′ , der ganz in V′′ verläuft. Bezeichne nun w den projizierten Weg w = p ∘ v , und w′ = p ∘ v′ . Der Weg w′ kann auch beschrieben werden als zusammengesetzter Weg: zunächst wird der Basispunkt x_{0} verbunden mit dem Punkt y durch den genannten Weg w , dieser Weg wird dann zusammengesetzt mit einem ganz in U′′ verlaufenden Weg von x zu x′ . Umgekehrt ist durch diese Beschreibung der Weg w′ (bis auf Homotopie) schon eindeutig festgelegt (denn je zwei in der Spezialumgebung U′′ verlaufende Wege von x zu x′ sind als Wege in X homotop relativ zu Anfangs- und Endpunkt). Es folgt,

• Das Bild von V′′ in X̃ ist die Spezialmenge M( x, [w], U′′) (im folgenden Sinne:)

Definition. Sei ( x, [w] ) ∈ X̃ ; also x ∈ X , und [w] eine Homotopieklasse (relativ zu Anfangs- und Endpunkt) von Wegen mit Anfangspunkt x_{0} und Endpunkt x . Sei U eine Spezialumgebung von x . Die zu ( x, [w] ) und U gehörende Spezialmenge M(x, [w], U) ist definiert als die Menge der Paare ( x′, [w′] ) , wo x′ ∈ U und wo die Homotopieklasse [w′] repräsentierbar ist durch einen Weg w′ der folgenden Art: w′ ist zusammengesetzt aus zwei Wegen; zunächst ist der Basispunkt x_{0} mit dem Punkt x verbunden durch den Weg w , der Punkt x ist dann weiter mit dem Punkt x′ verbunden durch einen Weg, der ganz innerhalb von U verläuft.

Wir definieren nun eine topologische Struktur auf X̃ durch die folgende Vorschrift.

Definition. Eine Umgebungsbasis am Punkt ( x, [w] ) ist gegeben durch die Spezialmengen

M( x, [w], U ) ,

wo U die Spezialumgebungen von x durchläuft.

Die Definition verpflichtet uns, folgendes nachzuprüfen: zu je zwei Mengen der genannten Art enthält ihr Durchschnitt noch eine weitere — das ist aber klar auf Grund der Tatsache, daß die Spezialumgebungen eine Umgebungsbasis von x in X bilden.

Die gegebene Übersetzung zeigt einerseits, daß der Raum X̃ topologisch äquivalent zu dem Raum E ist, wenn wir annehmen, daß eine universelle Überlagerung p : E → X existiert. Andererseits ist aber die Hypothese der Existenz von E ganz und gar unnötig für die Beschreibung von X̃ ; die gegebene Beschreibung können (und wollen) wir daher als die Konstruktion eines gewissen Raumes X̃ ansehen. Auf Grund der Herleitung vermuten wir, daß wir eine Abbildung q : X̃ → X angeben können; daß wir zeigen können, die Abbildung q ist eine Überlagerungsprojektion; und daß wir schließlich auch noch zeigen können, der Raum X̃ ist einfach–zusammenhängend. Diese Vermutungen wollen wir jetzt beweisen.

Die gewünschte Abbildung q : X̃ → X ist sehr leicht zu beschreiben: sie ist gegeben durch ( x, [w] ) ↦ x .

Um zu zeigen, daß die Abbildung q eine Überlagerungsprojektion ist, notieren wir zunächst, daß jede Spezialumgebung U von x ∈ X noch eine Spezialumgebung U′ von x enthält, die eine offene Menge in X ist. Denn sei U′ definiert als diejenige Wegzusammenhangskomponente von U^{0} , dem offenen Kern von U , die den Punkt x enthält. Dann ist U′ eine offene Menge in X (wegen der Voraussetzung, daß X , und damit auch U^{0} , lokal–wegzusammenhängend ist), wegzusammenhängend ist U′ nach Definition, und schließlich erfüllt es auch die Fundamentalgruppenbedingung, da es in der Spezialumgebung U enthalten ist.

Es sei nun x ein Punkt in X . Sei U eine Spezialumgebung von x . Nach dem gerade Gesagten dürfen wir annehmen, daß U eine offene Menge in X ist. Wir werden zeigen, daß U eine Elementarumgebung von x für die Abbildung q ist.

Das Urbild q^{−1}(U) ist, nach Definition, die Menge der Paare ( x′, [w′] ) wo x′ ∈ U und wo [w′] eine Homotopieklasse ist (relativ Anfangs- und Endpunkt) von Wegen vom Basispunkt x_{0} zum Punkt x′ . Es gilt, wie wir wissen, folgendes (da U Spezialumgebung ist): wenn man zwei Punkte in U durch einen ganz in U verlaufenden Weg verbindet, so ist dieser als Weg in X eindeutig bis auf Homotopie relativ zu Anfangsund Endpunkt. Durch Zusammensetzen mit einem solchen Weg können wir dem w′ nun einen Weg w von x_{0} zu x zuordnen; die Homotopieklasse [w] ist dann eindeutig bestimmt durch die Homotopieklasse [w′] , und umgekehrt ist auch die Homotopieklasse [w′] eindeutig bestimmt durch die Homotopieklasse [w] . Dies zeigt, daß die Menge q^{−1}(U) eine disjunkte Vereinigung ist

q^{−1}(U) = ⋃^{.}_{(x,[w]) ∈ q^{−1}(x)} V_{[w]}

wo V_{[w]} die Menge derjenigen ( x′, [w′] ) bezeichnet, wo [w′] und [w] in der beschriebenen Beziehung zueinander stehen.

Nun war U eine offene Menge in X . Das bedeutet, daß die Menge V_{[w]} im Sinne der obigen Terminologie eine “Spezialmenge” für jeden ihrer Punkte ist. Nach Definition der Topologie von X̃ heißt dies, daß V_{[w]} eine Umgebung von jedem seiner Punkte ist; V_{[w]} ist also offen in X̃ . Es resultiert, daß q^{−1}(U) auch als topologischer Raum die disjunkte Vereinigung der V_{[w]} ist. Wir müssen also nur noch nachprüfen, daß die bijektive Abbildung V_{[w]} → U eine topologische Äquivalenz ist. Das ist aber auch klar:

Die Topologie von U bestimmt sich durch die in U enthaltenen Spezialumgebungen ( U ist Umgebung von jedem seiner Punkte, und jeder Punkt in U hat eine Umgebungsbasis von in U enthaltenen Spezialumgebungen), die Topologie von V_{[w]} bestimmt sich ebenfalls durch die in U enthaltenen Spezialumgebungen (diese Spezialumgebungen entsprechen ein–eindeutig den durch sie bestimmten Spezialmengen in V_{[w]} ). Unter der Bijektion V_{[w]} → U gehen diese Umgebungsbasen ineinander über, die Bijektion ist also eine topologische Äquivalenz.

Schließlich ist der Raum X̃ auch einfach–zusammenhängend. Das folgt aus den folgenden drei Dingen.

• Die Abbildung π_{1}(X̃, e_{0}) → π_{1}(X, x_{0}) ist injektiv.

• Sei w geschlossener Weg. Wenn [w] ≠ 0 , dann gibt es eine Liftung von w zu einem Weg in X̃ mit Anfangspunkt e_{0} , der nicht ein geschlossener Weg ist.

• Es ist [w] ∈ q_{∗}( π_{1}(X̃, e_{0}) ) genau dann, wenn w zu einem geschlossenen Weg liftet.

Das erste davon wissen wir schon (der von einer Überlagerungsprojektion induzierte Homomorphismus ist immer injektiv). Das zweite geht durch explizites Hinschreiben: Dem Weg w : [0, 1] → X mit w(0) = w(1) = x_{0} wird der folgende Weg in X̃ zugeordnet,

t ⟼ ( w(t) , w_{t}) ,

wo w_{t} den Weg von x_{0} zu w(t) bezeichnet, der gegeben ist durch

s ⟼ w_{t}(s) = w(s · t) .

Der angegebene Weg in X̃ ist nicht geschlossen. Denn sein Endpunkt ist der Punkt ( w(1) , w_{1} ) . Obwohl w(1) = w(0) , ist dieser Punkt nicht derselbe wie der Anfangspunkt ( w(0) , w_{0} ) , da ja, nach Voraussetzung, der Weg w_{1} = w nicht homotop ist (relativ zu Anfangs- und Endpunkt) zum trivialen Weg w_{0} .

Was die dritte Aussage angeht, so ist die eine Richtung offensichtlich (wenn v geschlossene Liftung von w ist, so ist q_{∗}( [v] ) = [w] ) und die andere Richtung folgt aus dem Homotopie–Liftungs–Satz. Sei nämlich [w] = q_{∗}( [v′] ) . Dies heißt, daß eine Homotopie (relativ Anfangs- und Endpunkt) existiert von w zu q ∘ v′ . Die geliftete Homotopie wird dann ebenfalls relativ zu Anfangs- und Endpunkt sein. Der geliftete Weg zu q ∘ v′ nun ist v′ , welches ein geschlossener Weg ist. Es folgt, daß der geliftete Weg von w ebenfalls ein geschlossener Weg ist.

Alle Teile des Satzes sind nun bewiesen. □

Nun der allgemeine Fall:

Satz (Existenz–Satz). Der Raum X sei zusammenhängend und semi–lokal einfach– zusammenhängend, x_{0} ∈ X . Sei H ⊂ π_{1}(X, x_{0}) eine Untergruppe. Es existiert eine Überlagerung p : E → X und e_{0} ∈ E , so daß die Bildgruppe p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) die vorgegebene Untergruppe H ist.

Beweis. Es sei zunächst angemerkt, daß man den allgemeinen Fall des Satzes auf recht einfache Weise aus dem schon behandelten speziellen Fall der universellen Überlagerung herleiten kann. Davon werden wir uns später überzeugen (man braucht allerdings für die Herleitung noch anderes, was aber ohnehin gemacht werden soll).

Hier soll eine andere Methode beschrieben werden. Dazu wird die gegebene Konstruktion der universellen Überlagerung in geeigneter Weise modifiziert.

Wir gehen wieder so vor, daß wir zunächst annehmen, wir hätten schon die Überlagerung p : E → X . Wir übersetzen die Daten davon in Dinge, die allein durch X ausgedrückt werden können, und zum Schluß überzeugen wir uns wieder, daß die erhaltene Beschreibung schon die Konstruktion liefert.

Es sei an die Bezeichnungen BE , BX , Ẽ , X̃ erinnert. BE ist die Menge der Wege in E , deren Anfangspunkt der Basispunkt e_{0} ist, und Ẽ ist die Menge der Homotopieklassen (relativ Anfangs- und Endpunkt) von solchen Wegen. Ähnlich bezeichnen BX und X̃ die Menge der Wege in X mit Anfangspunkt x_{0} , bzw. die Menge der Homotopieklassen davon.

Wie im vorigen Beweis, so ist es auch hier richtig (aus denselben Gründen), daß die Abbildungen BE → BX und Ẽ → X̃ bijektiv sind.

Es ist aber nicht richtig, daß die Abbildung Ẽ → E bijektiv ist (dies würde nur gelten, wenn E einfach–zusammenhängend wäre). Aus dem Grund brauchen wir eine weitere Konstruktion; sie besteht darin, daß wir auf BE eine noch gröbere Äquivalenzrelation einführen. Diese hat die folgende Beschreibung.

Ist v ein Weg in BE , so darf v auf zwei Weisen modifiziert werden:

— Homotopie (relativ Anfangs- und Endpunkt)

— Vorschalten eines geschlossenen Weges (Ersetzen von v durch den zusammengesetzten Weg \overline{v} v , wo \overline{v} einen geschlossenen Weg mit Anfangs- und Endpunkt e_{0} bezeichnet).

Die von v repräsentierte Äquivalenzklasse wird mit [[v]] bezeichnet. Die Menge der Äquivalenzklassen soll Ẽ′ heißen. Ẽ′ kann alternativ aufgefaßt werden als eine Menge von Äquivalenzklassen in Ẽ ; eine Homotopieklasse [v] darf nämlich ersetzt werden durch das Produkt [\overline{v}] [v] , wo [\overline{v}] die Homotopieklasse eines geschlossenen Weges zum Basispunkt e_{0} ist.

Ähnlich führen wir auch eine gröbere Äquivalenzrelation auf BX ein. Ist w ein Weg in BX , so darf w auf zwei Weisen modifiziert werden:

— Homotopie (relativ Anfangs- und Endpunkt)

— Vorschalten spezieller geschlossener Wege; nämlich w darf ersetzt werden durch einen zusammengesetzten Weg \overline{w} w , wo \overline{w} einen geschlossenen Weg (mit Anfangs- und Endpunkt x_{0} ) bezeichnet, der ein Element aus der Untergruppe H = p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) repräsentiert.

Die von w repräsentierte Äquivalenzklasse wird mit [[w]] bezeichnet. Die Menge der Äquivalenzklassen soll X̃′ heißen. X̃′ kann alternativ aufgefaßt werden als eine Menge von Äquivalenzklassen in X̃ ; nämlich eine Homotopieklasse [w] darf ersetzt werden durch das Produkt [\overline{w}] [w] , wo [\overline{w}] aus der Untergruppe H = p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) ist.

Die Äquivalenzrelation auf Ẽ ist verträglich mit der Abbildung Ẽ → X̃ ; denn wenn [v] ersetzt wird durch [\overline{v}] [v] , so bedeutet das ja, daß das Bild [p ∘ v] zu ersetzen ist durch das (äquivalente) Bild [p ∘ \overline{v}] [p ∘ v] . Es gibt also eine induzierte Abbildung Ẽ′ → X̃′ . Umgekehrt ist das Liften von Wegen ebenfalls verträglich mit der Äquivalenzrelation; denn wenn \overline{w} ein geschlossener Weg am Basispunkt x_{0} ist, so ist, wie wir wissen (z.B. Schluß des vorigen Beweises) die Voraussetzung [\overline{w}] ∈ p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) ja gleichbedeutend dazu, daß die Liftung von \overline{w} zum Anfangspunkt e_{0} ebenfalls ein geschlossener Weg ist. Es resultiert:

• Die Abbildung Ẽ′ → X̃′ ist bijektiv.

Wenn nun v und v′ Wege in E mit gemeinsamem Anfangspunkt e_{0} und gemeinsamem Endpunkt y sind, so ist einerseits v′ homotop, relativ zu Anfangs- und Endpunkt, zu dem zusammengesetzten Weg v′ v^{−1} v , andererseits unterscheidet sich dieser von dem Weg w aber nur durch das Vorschalten des geschlossenen Weges v′ v^{−1} . Das bedeutet, das die Wege–Daten in einem Element von Ẽ′ in Wirklichkeit gar keine zusätzliche Information beinhalten; mit anderen Worten:

• Die Abbildung Ẽ′ → E ist bijektiv.

Die beiden Bijektionen ergeben eine Übersetzung von E in etwas, nämlich X̃′ , das allein durch den Raum X und die Gruppe H (die spezifizierte Untergruppe in der Fundamentalgruppe π_{1}(X, x_{0}) ), beschrieben werden kann.

Auf X̃′ definieren wir nun eine topologische Struktur durch die folgende Vorschrift. Die Vorschrift ist eine fast wörtliche Wiederholung derjenigen, die im vorigen Beweis gegeben wurde für die Beschreibung der Topologie des Raumes Ẽ ; der einzige Unterschied ist, daß (wie die Doppelklammer “ [[w]] ” andeutet) hier eine andere (gröbere) Äquivalenzrelation für Wege benutzt wird.

Definition. Eine Umgebungsbasis am Punkt ( x, [[w]] ) ist gegeben durch die Spezialmengen

M( x, [[w]], U ) ,

wo U die Spezialumgebungen von x durchläuft.

Es ist klar (oder?), daß die topologische Struktur auf Ẽ′ ebenso gut auch hätte definiert werden können mit Hilfe der früher definierten Topologie von Ẽ als die Quotientenraumtopologie bezüglich der Abbildung Ẽ → Ẽ′ .

Schließlich zeigen wir, daß die Abbildung q : Ẽ′ → X , ( x, [[w]] ) ↦ x , eine Überlagerungsprojektion ist. Die Details dazu sind ganz ähnlich zu denen im vorigen Beweis, deshalb sollen sie hier nur angedeutet werden. Wir prüfen wieder nach: wenn U eine offene Spezialumgebung von x ist, dann ist U auch eine Elementarumgebung für die Abbildung q . Ähnlich wie im vorigen Beweis stellen wir hierzu fest, daß das Urbild q^{−1}(U) eine disjunkte Vereinigung ist,

q^{−1}(U) = ⋃^{.}_{(x,[[w]]) ∈ q^{−1}(x)} V_{[[w]]} ,

wo V_{[[w]]} die Menge derjenigen ( x′, [[w′]] ) bezeichnet, wo x′ ∈ U , und wo [[w′]] und [[w]] in der Beziehung zueinander stehen, daß [[w]] und [[w′]] Repräsentanten w und w′ haben, so daß w′ die Zusammensetzung von w mit einem ganz in U verlaufenden Weg ist. Wie im vorigen Beweis, so ist diese Vereinigung nun auch hier eine disjunkte Vereinigung offener Mengen; und jede von diesen wird per topologischer Äquivalenz auf U abgebildet. □

Als Nebenprodukt der vorstehenden Resultate haben wir den folgenden Satz.

Satz. Der Raum X sei zusammenhängend und semi–lokal einfach–zusammenhängend. Sei {p_{i} : E_{i} → X}_{i∈I} eine Familie von Überlagerungen. Die disjunkte Vereinigung

⋃^{.}_{i∈I} p_{i} : ⋃^{.}_{i∈I} E_{i} ⟶ X

ist ebenfalls eine Überlagerung.

Beweis. Das ist nicht eine Trivialität. Das Problem ist dies. Die Behauptung des Satzes ist, daß für jedes x ∈ X eine Elementarumgebung U existiert, die für die disjunkte Vereinigung der p_{i} funktioniert; oder, was dasselbe bedeutet, daß eine solche Elementarumgebung U existiert, die für alle p_{i} gleichzeitig funktioniert. Man muß also mehr oder weniger folgendes wissen: Zu dem Punkt x ∈ X gibt es eine Umgebung, die tatsächlich für jede Überlagerung von X als Elementarumgebung verwendbar ist.

Die Klassifikation der Überlagerungen ergibt das. Nach dem Klassifikations–Satz ist jede zusammenhängende Überlagerung von X isomorph zu einer solchen, wie sie im vorstehenden Existenzsatz behandelt wurde. Im Beweis dort wurde gezeigt, daß eine offene Spezialumgebung immer auch als Elementarumgebung funktioniert; jedenfalls für die dort behandelten Überlagerungen, d.h., die zusammenhängenden. Es ist aber klar (oder?), daß das an dieser Stelle ausreicht. □

Bemerkung. Alternativ kann man den vorstehenden Satz auch über den allgemeinen Liftungs-Satz erhalten: die Aussage “Zu dem Punkt x ∈ X gibt es eine Umgebung, die tatsächlich für jede Überlagerung von X als Elementarumgebung verwendbar ist” kann man nämlich auch dadurch rechtfertigen, daß man den allgemeinen Liftungs-Satz anwendet auf die Inklusions-Abbildung U → X , wo U eine Spezialumgebung von x in X bezeichnet.

Überlagerungen und G–Mengen

Das Studium der Überlagerungen hat bisher folgendes Bild ergeben. Sei X ein “vernünftiger” Raum und x_{0} ∈ X . Die Fundamentalgruppe π_{1}(X, x_{0}) klassifiziert die zusammenhängenden Überlagerungen von X auf die folgende Weise: zu einer Überlagerung p : E → X gehört, sobald ein Punkt e_{0} ∈ p^{−1}(x_{0}) ausgewählt worden ist, eine Untergruppe von π_{1}(X, x_{0}) , nämlich die Bildgruppe p_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) . Die Untergruppe charakterisiert das Paar (E, e_{0}) . Umgekehrt kommt auch jede Untergruppe her von einer geeigneten Überlagerung.

Das Ziel der nun folgenden Betrachtungen ist es, dieses Bild in einem wesentlichen Detail zu modifizieren. Es soll nämlich erreicht werden, daß auf die Auswahl des Punktes e_{0} in p^{−1}(x_{0}) verzichtet werden kann. Diese Modifikation ist notwendig, um die Gruppe der Automorphismen einer Überlagerung (die sogenannte Decktransformationengruppe) studieren zu können.

Das wesentliche Hilfsmittel wird das systematische Heranziehen einer einfachen Art von algebraischer Struktur sein, die, wie sich herausstellt, auf der Menge p^{−1}(x_{0}) vorhanden ist. Die Menge p^{−1}(x_{0}) ist nämlich eine sogenannte G –Menge, wo G die Fundamentalgruppe π_{1}(X, x_{0}) bezeichnet. Es bedeutet dasselbe, zu sagen, daß die Gruppe G auf der Menge p^{−1}(x_{0}) operiert. Bevor wir die Operation näher anschauen (sie kommt her von der Wege–Liftung), sollen zunächst die benötigten Begriffe und Resultate über G –Mengen zusammengestellt werden.

Definition. Sei G eine Gruppe. Eine (rechte) G –Operation auf einer Menge M ist eine Abbildung

M × G ⟶ M , ( m , g) ⟼ m · g ,

(oder, was auf dasselbe hinausläuft, jedem Element g ist eine Abbildung M → M , m ↦ m · g , zugeordnet); dabei sollen einige naheliegende Bedingungen erfüllt sein. Nämlich einmal soll das Einselement der Gruppe auch als die identische Abbildung operieren,

m · 1 = m ,

und zweitens soll die Komposition der Abbildungen kompatibel sein mit der Komposition in der Gruppe,

m · (g g′) = ( m · g) · g′ .

Definition. Die Menge M zusammen mit der Operation der Gruppe G wird als eine (rechte) G –Menge bezeichnet.

Bemerkung. Es gibt auch linke G –Operationen und linke G –Mengen (wir werden später eine treffen—der wesentliche Unterschied ist in dem gerade formulierten Assoziativitätsgesetz: die Reihenfolge ist da anders). Mit den G –Mengen verhält es sich ähnlich wie mit dem Straßenverkehr. Obwohl es eigentlich irrelevant ist, ob man nun rechts fährt oder links, so braucht man doch eine Regelung.

Definition und Konstruktion. Sei H eine Untergruppe von G . Eine linke Nebenklasse von H in G ist eine Untermenge in G von der Art

Hg_{1} = { h g_{1} | h ∈ H }

wo g_{1} ein (festes) Element aus G ist. Ist g ebenfalls ein Element aus G , so kann man die linke Nebenklasse Hg_{1} von rechts mit dem Element g multiplizieren. Das Resultat ist wieder eine linke Nebenklasse (im allgemeinen eine andere),

(Hg_{1}) · g = { h (g_{1}g) | h ∈ H } .

Die Menge der linken Nebenklassen von H in G wird mit H\G bezeichnet. Durch die beschriebene Operation wird H\G zu einer rechten G –Menge.

Bemerkung. Die Notation H\G deutet an, daß diese Menge auch interpretiert werden kann als eine Menge von Äquivalenzklassen, die man aus G durch eine Äquivalenzrelation erhält; nämlich zwei Elemente von G werden als äquivalent angesehen, wenn sie durch linke Multiplikation mit einem Element aus H auseinander hervorgehen.

Definition. Sei M eine G –Menge, sei m ∈ M . Die Standgruppe (oder Isotropiegruppe) von m ist die Untergruppe G_{m} derjenigen Elemente in G , die das Element m festlassen,

G_{m} = { g ∈ G | m · g = m } .

Beispiel. In der G –Menge H\G hat das Element H1 als Standgruppe die Untergruppe H . Auch die Standgruppe irgendeines anderen Elements Hg kann man sofort angeben: die Standgruppe G_{Hg} ist die ( zu H ) konjugierte Untergruppe

G_{Hg} = g^{−1}Hg =_{(Def)} { g^{−1}hg ∈ G | h ∈ H } .

Definition. Eine G –Menge N heißt transitiv, wenn je zwei Elemente aus N durch die G –Operation ineinander übergeführt werden können; d.h., wenn zu vorgegebenen n_{1} und n_{2} in N immer ein g in G existiert mit n_{1} · g = n_{2} .

Beispiel. Sei H Untergruppe von G . Die G –Menge H\G ist transitiv.

Satz und Definition. Sei M eine G –Menge. M zerfällt in eindeutiger Weise in eine (disjunkte) Vereinigung transitiver G –Mengen, der sogenannten Bahnen (oder Orbiten).

Beweis. Wir betrachten die Relation auf M ,

m_{1} ∼ m_{2} ⟺ ∃ g ∈ G , m_{1} · g = m_{2} .

Es ist klar (oder?), daß dies eine Äquivalenzrelation auf M ist. Die Äquivalenzklassen zu der Relation ergeben die behauptete Zerlegung. □

Sind M und N zwei G –Mengen, so soll eine G –Abbildung zwischen diesen beiden (oder auch eine Abbildung von G –Mengen) eine Abbildung bezeichnen, die mit den jeweiligen Operationen verträglich ist; also eine Abbildung φ : M → N , so daß, für alle g ∈ G ,

φ(m · g) = φ(m) · g .

Wenn die M_{i} , i ∈ I , die Bahnen in M bezeichnen, so induziert φ , per Einschränkung, G –Abbildungen φ_{i} : M_{i} → N . Umgekehrt werden solche G –Abbildungen φ′_{i} : M_{i} → N sich auch zusammensetzen zu einer G –Abbildung φ′ : M → N (die nachzuprüfende Bedingung φ(m · g) = φ(m) · g bereitet keine Probleme, weil eben m · g und m immer in ein- und derselben Bahn liegen). Schließlich gilt auch noch: wenn M′ eine transitive G –Menge in M ist (also eine Bahn), dann ist das Bild φ(M′) schon ganz enthalten in einer transitiven G –Menge in N . Wegen dieser Dinge wird es genügen, daß wir in erster Linie die Abbildungen transitiver G –Mengen betrachten.

Satz. Sei M eine transitive G –Menge. Sei m ∈ M , mit Standgruppe G_{m} . Es gibt eine G –Abbildung

φ_{M,m} : G_{m}\G ⟶ M ,

welche die linke Nebenklasse G_{m} 1 auf das Element m abbildet. Die Abbildung ist eindeutig bestimmt. Die Abbildung ist ein Isomorphismus.

Beweis. Die Abbildung φ_{M,m} : G_{m}\G → M ist definiert als φ_{M,m}( G_{m} g) : = m·g . Die Definition ist unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten g ∈ G_{m} g . Denn ist g′ ein anderer Repräsentant, so ist g′ = h g , wo h ∈ G_{m} , deshalb

m · g′ = m · (h g) = (m · h) · g = m · g .

Die Abbildung φ_{M,m} ist eine G –Abbildung, denn es ist

φ_{M,m}( (G_{m} g) · g′) = φ_{M,m}( G_{m} gg′) = m · gg′ = (m · g) · g′ = φ_{M,m}(G_{m} g) · g′ .

Die Abbildung ist surjektiv, da M transitive G –Menge ist. Die Abbildung ist injektiv, denn wenn G_{m} g_{1} und G_{m} g_{2} dasselbe Bild haben, so haben auch G_{m} g_{1} g_{1}^{−1} und G_{m} g_{2} g_{1}^{−1} dasselbe Bild; das bedeutet, daß

m · g_{2} g_{1}^{−1} = φ_{M,m}( G_{m} g_{2} g_{1}^{−1} ) = φ_{M,m}( G_{m} g_{1} g_{1}^{−1} ) = m ,

also ist g_{2} g_{1}^{−1} ∈ G_{m} und daher G_{m} g_{1} = G_{m} g_{2} . Als G –Abbildung ist die Abbildung eindeutig bestimmt wegen

φ_{M,m}( G_{m} g) = φ_{M,m}( (G_{m} 1) · g) = φ_{M,m}( G_{m} 1 ) · g .

Schließlich ist die Abbildung ein Isomorphismus. Denn da φ_{M,m} eine bijektive Abbildung ist, gibt es zumindest eine Umkehrabbildung auf dem Mengen–Niveau (ohne Berücksichtigung der Bedingung, die eine G –Abbildung nach Definition zu erfüllen hat). Es ist aber klar (oder?), daß diese Bedingung automatisch erfüllt sein wird. □

Satz. Seien M und N transitive G –Mengen. Seien m ∈ M und n ∈ N , mit Standgruppen G_{m} und G_{n} . Es existiert eine G –Abbildung φ : M → N mit m ↦ n genau dann, wenn die Standgruppe G_{m} enthalten ist in der Standgruppe G_{n} . Die Abbildung ist eindeutig bestimmt (wenn sie existiert), und sie ist surjektiv.

Beweis. Wenn φ : M → N existiert, so ist G_{m} ⊂ G_{n} . Denn wenn g ∈ G_{m} , dann ist

n · g = φ(m) · g = φ( m · g) = φ(m) = n ,

also auch g ∈ G_{n} . Umgekehrt sei jetzt angenommen, daß G_{m} ⊂ G_{n} . Man kann jeder linken Nebenklasse von G_{m} diejenige linke Nebenklasse von G_{n} zuordnen, worin sie enthalten ist. Dies definiert eine Abbildung q : G_{m}\G → G_{n}\G , und zwar eine G – Abbildung. Mit Hilfe der Isomorphismen aus dem vorigen Satz wird die gewünschte Abbildung φ definiert als die zusammengesetzte Abbildung

M ⟶^{φ_{M,m}^{−1}} G_{m}\G ⟶^{q} G_{n}\G ⟶^{φ_{N,n}} N .

Die Abbildung ist eindeutig bestimmt durch ihren Wert auf m ∈ M , da M transitive G –Menge ist. Die Abbildung ist surjektiv, da N transitive G –Menge ist (und da die Abbildung nicht–leeres Bild in N hat). □

Korollar. Sei M eine transitive G –Menge. Seien m und n Elemente aus M . Es gibt einen Isomorphismus M → M mit m ↦ n genau dann, wenn m und n dieselbe Standgruppe haben. Der Isomorphismus ist eindeutig bestimmt (wenn er existiert).

Beweis. Wenn der Isomorphismus existiert, so liefert der Satz (angewandt auf den Isomorphismus, sowie auf seine Umkehrung), daß G_{m} ⊂ G_{n} und G_{n} ⊂ G_{m} ; also G_{m} = G_{n} . Wenn diese Gleichheit umgekehrt nun angenommen wird, so liefert der Satz G –Abbildungen φ : M → M und ψ : M → M mit φ(m) = n und ψ(n) = m . Die zusammengesetzte Abbildung ψ ∘ φ ,

M ⟶^{φ} M ⟶^{ψ} M ,

ist dann eine G –Abbildung von M auf sich, die m auf m abbildet. Nach der Eindeutigkeitsklausel des Satzes folgt, daß ψ ∘ φ gleich der identischen Abbildung auf M ist. Ähnlich folgt, daß auch φ ∘ ψ gleich der identischen Abbildung ist. Also sind φ und ψ zueinander inverse Isomorphismen von M auf sich. □

Es bezeichne 𝒜_{G}(M) die Menge der G –Automorphismen von M (Isomorphismen von M auf sich, die G –Abbildungen sind). Unter der Komposition von Abbildungen ist dies eine Gruppe. Es stellt sich heraus, daß diese Gruppe vollständig beschrieben werden kann. Das notieren wir in den folgenden Sätzen. In einem (besonders wichtigen) speziellen Fall ist die Antwort besonders einfach:

Bezeichne \overline{G} die Menge der linken Nebenklassen der trivialen Untergruppe in G . Mit anderen Worten, es handelt sich bei \overline{G} um die unterliegende Menge von G , aufgefaßt als rechte G –Menge.

Satz. Die Gruppe 𝒜_{G}( \overline{G}) ist isomorph zu G selbst. Ein Isomorphismus ist gegeben durch die Abbildung

G ⟶ 𝒜_{G}( \overline{G}) , g ⟼ α_{g} ,

wo α_{g} : \overline{G} → \overline{G} derjenige Isomorphismus ist (er ist eindeutig bestimmt), der das Element 1 ∈ \overline{G} abbildet auf das Element g ∈ \overline{G} .

Beweis. Nach dem vorstehenden Korollar ist die Abbildung g ↦ α_{g} eine Bijektion zwischen den Elementen von G einerseits und den Elementen von 𝒜_{G}( \overline{G}) andererseits. Es ist noch nachzuprüfen, daß die Abbildung mit Komposition verträglich ist, daß also gilt

α_{g_{1} g_{2}} = α_{g_{1}} ∘ α_{g_{2}} .

Die Rechnung

(α_{g_{1}} ∘ α_{g_{2}}) (1) = α_{g_{1}}( α_{g_{2}}(1) ) = α_{g_{1}}( g_{2} ) = α_{g_{1}}(1) · g_{2} = g_{1} · g_{2} = g_{1} g_{2}

zeigt, daß diese beiden Isomorphismen auf 1 ∈ \overline{G} denselben Wert annehmen. Es folgt, daß sie gleich sind. □

Was transitive G –Mengen angeht, so ist es keine wesentliche Einschränkung der Allgemeinheit, sich auf solche der Art H\G zu beschränken.

Es bezeichne N(H) die Menge derjenigen Elemente g ∈ G , welche die Eigenschaft haben, daß die zu H konjugierte Untergruppe

g^{−1}Hg =_{(Def)} { g^{−1}hg ∈ G | h ∈ H }

in Wirklichkeit dasselbe ist wie die Gruppe H selbst. Es ist klar (oder?), daß die Menge N(H) selbst eine Gruppe ist, der sogenannte Normalisator von H in G . Die Gruppe H ist als Untergruppe in N(H) enthalten, und zwar als normale Untergruppe (alias Normalteiler); es existiert also die Quotientengruppe N(H)/H .

Satz. Die Gruppe 𝒜_{G}(H\G) ist isomorph zu N(H)/H . Ein Isomorphismus ist induziert durch die Abbildung

N(H) ⟶ 𝒜_{G}(H\G) , g ⟼ α_{g} ,

wo α_{g} : H\G → H\G derjenige Isomorphismus ist (er ist eindeutig bestimmt), der das Element H1 von H\G auf das Element Hg abbildet.

Beweis. Da g^{−1}Hg die Standgruppe von Hg ist, ist die Bedingung “ g ∈ N(H) ” gleichbedeutend damit, daß H1 und Hg dieselbe Standgruppe haben; daß also ein G – Isomorphismus von H\G auf sich existiert mit H1 ↦ Hg . Dies ist, nach Definition, α_{g} . Es ist klar (oder?), daß α_{g} nur von der Restklasse von g in N(H)/H abhängt. Daß die Abbildung N(H)/H → 𝒜_{G}(H\G) mit der Komposition verträglich ist, wird durch die im vorigen Beweis gegebene Rechnung gezeigt. □

Wir kommen jetzt zu der Übersetzung von Überlagerungen einerseits in G –Mengen andererseits. Die Übersetzung beruht auf der Wege–Liftung, die wir hier in der folgenden Form zitieren.

Satz. Sei p : E → X eine Überlagerung. Sei w : [0, 1] → X ein Weg mit Anfangspunkt x_{0} und Endpunkt x_{1} . Es gilt:

• w induziert eine Abbildung w_{∗} : p^{−1}(x_{0}) → p^{−1}(x_{1}) ; diese Abbildung hängt nur von der Homotopieklasse (relativ zu Anfangs- und Endpunkt) von w ab.

• Die Zuordnung w ⟼ w_{∗} ist verträglich mit der Komposition von Wegen; d.h. ist w′ ein Weg von x_{1} zu x_{2} , so ist die zusammengesetzte Abbildung “ zuerst w_{∗} , dann w′_{∗} ” dasselbe wie die Abbildung (ww′)_{∗} , die von dem zusammengesetzten Weg ww′ induziert ist.

• Die Abbildung w_{∗} ist eine Bijektion, und die zu w_{∗} inverse Abbildung ist induziert von dem zu w inversen Weg \overline{w} .

Beweis. Die Abbildung w_{∗} ist auf die folgende Weise definiert. Nach dem Wege– Liftungs–Satz existiert zu einem Punkt y ∈ p^{−1}(x_{0}) ein (eindeutig bestimmter) gelifteter Weg w̃ mit Anfangspunkt w̃(0) = y ; der Endpunkt w̃(1) dieses Weges ist, nach Definition, der Punkt w_{∗}(y) . Der Homotopie–Liftungs–Satz sagt, daß eine Homotopie (relativ zu Anfangs- und Endpunkt) von Wegen in X liftet zu einer ebensolchen Homotopie in E ; insbesondere wird die Liftung des deformierten Weges denselben Endpunkt haben wie w̃ auch.

Die Verträglichkeit mit der Komposition von Wegen liegt schlicht daran, daß man einen zusammengesetzten Weg in seinen Einzelteilen liften kann: zuerst wird der erste Teilweg zum vorgegebenen Anfangspunkt geliftet; danach dann der zweite Teilweg zu dem neuen Anfangspunkt (dem Endpunkt der Liftung des ersten Teilweges).

Der Weg w \overline{w} ist null-homotop (= homotop, relativ Basispunkt, zum trivialen Weg). Nach den obigen Dingen gilt deshalb

\overline{w}_{∗} ∘ w_{∗} = (w \overline{w})_{∗} = Id_{p^{−1}(x_{0})} .

Ähnlich ist auch w_{∗} ∘ \overline{w}_{∗} = Id_{p^{−1}(x_{1})} . □

Bemerkung. Der Satz sagt insbesondere, daß bei weg–zusammenhängendem X die Blätterzahl von p : E → X über allen Punkten von X dieselbe ist. Man ist somit berechtigt, von der Blätterzahl der Überlagerung zu reden. □

Für den nächsten Satz wird die folgende Begriffsbildung benötigt. Seien p_{1} : E_{1} → X und p_{2} : E_{2} → X Überlagerungen. Eine Abbildung von Überlagerungen

(p_{1} : E_{1} → X) ⟶ (p_{2} : E_{2} → X)

ist, nach Definition, eine Abbildung f : E_{1} → E_{2} , wo f eine Abbildung über X ist; d.h. wo p_{2} ∘ f = p_{1} .

Satz. Sei X ein wegzusammenhängender Raum, x_{0} ∈ X . Bezeichne G die Fundamentalgruppe, G : = π_{1}(X, x_{0}) . Sei p : E → X eine Überlagerung.

• Das Urbild p^{−1}(x_{0}) hat die Struktur einer rechten G –Menge.

• Die Weg–Zusammenhangskomponenten von E entsprechen den Bahnen dieser G – Menge; die Standgruppe von y ∈ p^{−1}(x_{0}) ist gleich der Bildgruppe p_{∗}( π_{1}(E, y) ) .

• Eine Abbildung von Überlagerungen ( p_{1} : E_{1} → X) → ( p_{2} : E_{2} → X) induziert eine Abbildung von G –Mengen p_{1}^{−1}(x_{0}) → p_{2}^{−1}(x_{0}) .

Beweis. Für den Spezialfall geschlossener Wege w mit Anfangs- und Endpunkt x_{0} sagt der vorige Satz, daß w eine Abbildung w_{∗} von p^{−1}(x_{0}) auf sich induziert, die nur von der Klasse [w] ∈ π_{1}(X, x_{0}) abhängt. Dies definiert eine G –Operation, da, wie der Satz auch sagt, die von einer solchen Operation verlangten formalen Eigenschaften erfüllt sind.

Seien y_{1}, y_{2} ∈ p^{−1}(x_{0}) . Wenn y_{1} und y_{2} durch die Operation auseinander hervorgehen, so heißt dies insbesondere, daß sie durch einen Weg verbindbar sind. Wenn umgekehrt v ein Weg von y_{1} zu y_{2} ist, so folgt (wieder aus der Definition der Operation), daß y_{2} aus y_{1} hervorgeht durch die Operation des von dem geschlossenen Weg p ∘ v repräsentierten Gruppenelements. Die weitere Behauptung, daß die Standgruppe von y ∈ p^{−1}(x_{0}) dasselbe ist wie die Bildgruppe p_{∗}( π_{1}(E, y) ) , ist eine Umformulierung der uns schon bekannten Tatsache, daß ein geschlossener Weg an x_{0} genau dann zu einem geschlossenen Weg mit Anfangspunkt y liftet, wenn das von ihm repräsentierte Element in der genannten Bildgruppe liegt.

Sei f : E_{1} → E_{2} eine Abbildung über X . Sei w ein geschlossener Weg in X (am Basispunkt). Sei y ∈ p_{1}^{−1}(x_{0}) . Eine Liftung w̃ von w zum Anfangspunkt y ergibt, nach Definition, als ihren Endpunkt das Ergebnis der Operation von w_{∗} auf y . Dies w̃ nun war eine Liftung nach E_{1} ; es ist dann f ∘w̃ eine Liftung von w nach E_{2} , zum Anfangspunkt f(y) . Nach Definition der Operation von w_{∗} auf f(y) ist das Ergebnis (dieser Operation) gegeben durch den Endpunkt der Liftung f ∘ w̃ . Andererseits ist besagter Endpunkt aber auch das Bild von w_{∗}(y) unter der Abbildung f . □

Wir betrachten speziell jetzt “vernünftige” Räume. Es sei daran erinnert, daß ein semi–lokal einfach–zusammenhängender Raum insbesondere auch lokal wegzusammenhängend ist. Ist er zusammenhängend, so ist er folglich auch weg–zusammenhängend.

Satz. X sei ein zusammenhängender und semi–lokal einfach–zusammenhängender Raum. Sei x_{0} ∈ X und G = π_{1}(X, x_{0}) . Seien p_{1} : E_{1} → X und p_{2} : E_{2} → X zwei Überlagerungen. Die Zuordnung

( ( p_{1} : E_{1} → X) ⟶^{f} ( p_{2} : E_{2} → X) ) ⟼ ( p_{1}^{−1}(x_{0}) ⟶^{f|p_{1}^{−1}(x_{0})} p_{2}^{−1}(x_{0}) )

gibt eine 1 : 1 Beziehung zwischen

• Abbildungen von Überlagerungen ( von p_{1} : E_{1} → X zu p_{2} : E_{2} → X ) ,

• Abbildungen von G –Mengen ( von p_{1}^{−1}(x_{0}) zu p_{2}^{−1}(x_{0}) ) .

Beweis. Das wird eine Konsequenz aus dem allgemeinen Liftungs–Satz sein. Wir müssen uns nur klar machen, daß wir uns auf ein Argument mit zusammenhängenden Räumen zurückziehen können.

Da E_{1} lokal weg–zusammenhängend ist (weil ja X diese Eigenschaft, nach Voraussetzung, hat), ist E_{1} die disjunkte Vereinigung seiner (Weg–)Zusammenhangskomponenten. Sei E eine Zusammenhangskomponente von E_{1} . Der Durchschnitt E ∩ p^{−1}(x_{0}) ist nicht leer. Denn ist e irgendein Punkt in E , so kann man den Bildpunkt p(e) durch einen Weg mit dem Basispunkt x_{0} verbinden. Eine Liftung dieses Weges zum Anfangspunkt e produziert als ihren Endpunkt dann einen Punkt in E ∩ p^{−1}(x_{0}) .

Es ist nun klar, daß die Abbildung f : E_{1} → E_{2} , als Abbildung über X , durch ihren Effekt auf p^{−1}(x_{0}) schon festgelegt ist. Denn sei E eine Zusammenhangskomponente von E_{1} , sei y ∈ E ∩ p^{−1}(x_{0}) (wir haben uns soeben von der Existenz eines solchen y überzeugt), dann sagt die Eindeutigkeitsklausel im Liftungs–Satz, daß die eingeschränkte Abbildung f | E schon durch ihren Effekt auf dem Punkt y bestimmt ist.

Auch für die Frage der Existenz von f zu vorgegebenem Verhalten auf p^{−1}(x_{0}) wird es genügen, eine einzelne Zusammenhangskomponente zu betrachten (denn um eine Abbildung auf einer disjunkten Vereinigung zu definieren, darf man die Abbildungen auf den einzelnen Komponenten beliebig vorgeben). Sei also E eine Zusammenhangskomponente von E_{1} , sei y ∈ (p_{1}|E)^{−1}(x_{0}) . Nun ist f auf p^{−1}(x_{0}) nicht schlicht als Abbildung vorgegeben, sondern vielmehr als Abbildung von G –Mengen. Das impliziert, wie wir wissen, eine Relation zwischen Standgruppen; es impliziert nämlich, daß die Standgruppe am Punkt y enthalten ist in der Standgruppe am Punkt f(y) . Wir können andererseits, wie wir wissen, die Standgruppen über die Fundamentalgruppe ausdrücken: die Standgruppe an y ist die Bildgruppe (p_{1}|E)_{∗}( π_{1}(E, y) ) , die Standgruppe an f(y) ist die Bildgruppe (p_{2})_{∗}( π_{1}(E_{2}, f(y) ) ) . Unsere Voraussetzung ergibt somit die Relation

(p_{1}|E)_{∗}( π_{1}(E, y) ) ⊂ (p_{2})_{∗}( π_{1}(E_{2}, f(y) ) ) .

Das ist aber gerade die Voraussetzung, die der Liftungs–Satz akzeptiert, um zu garantieren, daß eine Abbildung E → E_{2} ( über X ) existiert, mit y ↦ f(y) . Diese Abbildung nun können wir nehmen. Denn ihre Einschränkung auf (p_{1}|E)^{−1}(x_{0}) hat das vorgegebene Verhalten. Das liegt daran, daß die konstruierte Abbildung E → E_{2} als Abbildung von Überlagerungen ja ihrerseits auch eine Abbildung von G –Mengen (p_{1}|E)^{−1}(x_{0}) → (p_{2})^{−1}(x_{0}) induziert. Wir haben also nun zwei Abbildungen von G – Mengen, die auf einer transitiven G –Menge definiert sind und die an einem Punkt übereinstimmen; solche zwei Abbildungen sind aber gleich. □

Zusatz zum Satz. Die Abbildung von Überlagerungen f : E_{1} → E_{2} ( über X ) ist genau dann ein Isomorphismus, wenn die zugeordnete Abbildung von G –Mengen p_{1}^{−1}(x_{0}) → p_{2}^{−1}(x_{0}) ein Isomorphismus ist.

Beweis. Die eine Richtung ist klar: die Zuordnung f ↦ f | p_{1}^{−1}(x_{0}) ist funktoriell in dem Sinne, daß sie mit Komposition von Abbildungen verträglich ist und daß sie Identitäten respektiert; sie respektiert deshalb auch Isomorphismen.

Für die Umkehrung nehmen wir an, daß f eine Abbildung ist, so daß die zugeordnete Abbildung g von G –Mengen ein Isomorphismus ist. Die Behauptung ist, daß in dieser Situation die Abbildung f selbst auch schon ein Isomorphismus ist. Nun hat der Isomorphismus g eine inverse Abbildung g′ . Die Abbildung g′ ist nach dem vorigen Satz ebenfalls von einer Abbildung von Überlagerungen existiert, diese heiße f′ . Wir zeigen jetzt, daß die Abbildung f′ tatsächlich invers zur Abbildung f ist.

Die zusammengesetzte Abbildung f′∘f induziert die Abbildung von G –Mengen g′∘g , die eine identische Abbildung ist (nach Voraussetzung). Das bedeutet, im Klartext, daß f′∘f eine Abbildung von Überlagerungen ist, die das Urbild des Basispunktes x_{0} ∈ X festläßt. Eine solche Abbildung ist aber notwendigerweise eine identische Abbildung (nach der Eindeutigkeitsklausel des allgemeinen Liftungs–Satzes, angewandt auf die Zusammenhangskomponenten). — Auf ähnliche Weise folgt, daß auch die zusammengesetzte Abbildung f ∘ f′ eine identische Abbildung ist. □

Als die Decktransformationengruppe einer Überlagerung p : E → X bezeichnet man die Gruppe der Isomorphismen E → E ( über X ).

Satz. Der Raum X sei zusammenhängend und semi–lokal einfach–zusammenhängend. Sei x_{0} ∈ X ein Basispunkt. Sei p : X̃ → X eine universelle Überlagerung. Die Decktransformationengruppe der universellen Überlagerung p : X̃ → X ist isomorph zur Fundamentalgruppe π_{1}(X, x_{0}) .

Beweis. Nach den vorigen beiden Sätzen ist diese Decktransformationengruppe isomorph zur G –Automorphismengruppe der G –Menge p^{−1}(x_{0}) ( wo G = π_{1}(X, x_{0}) ). Bei dieser G –Menge handelt es sich um die freie transitive G –Menge; wo “ frei ” bedeutet, daß die Standgruppe jedes Punktes die triviale Gruppe ist — daß dies so ist, folgt aus der Identifikation der Standgruppe von y ∈ p^{−1}(x_{0}) mit der Bildgruppe p_{∗}( π_{1}(X̃, y) ) . Von dieser speziellen Automorphismengruppe haben wir aber oben ausgerechnet, daß sie zu G selbst isomorph ist. □

Bemerkung. Der Isomorphismus im vorangegangenen Satz ist nicht kanonisch; er ist nur kanonisch bis auf innere Automorphismen. Wir haben zwar oben einen Isomorphismus explizit angegeben; die Angabe dieses Isomorphismus benutzte aber zusätzliche Information (nämlich die Auswahl eines ausgezeichneten Punktes in der G -Menge).

Wir haben oben andererseits aber auch ein ganz bestimmtes Modell für die universelle Überlagerung kennengelernt (s. S. 98-99). Nämlich, wenn X ein “vernünftiger” Raum ist, dann ist ein Modell für die universelle Überlagerung X̃ wie folgt beschreibbar: ein Punkt in X̃ ist repräsentiert von einem Paar (x, v) , wo x ein Punkt aus X ist und v ein Weg, der den Basispunkt x_{0} mit dem Punkt x verbindet ( x_{0} ist der Anfangspunkt von v , und x ist der Endpunkt). Die Punkte in X̃ sind dann die Äquivalenzklassen bezüglich der Relation, wo (x, v) und (x, v′) als äquivalent angesehen werden, wenn v homotop ist, relativ zu Anfangs- und Endpunkt, zu v′ . Kurz gesagt, ein Punkt in X̃ besteht aus einem Punkt x in X zusammen mit einer Homotopieklasse von Wegen vom Basispunkt zu x . Die Abbildung X̃ → X für dieses Modell ist schlicht die “vergeßliche” Abbildung, die den Weg v vergißt. Ferner gibt es in diesem Modell einen ganz kanonischen Punkt über dem Basispunkt x_{0} , nämlich den Punkt in X̃ , der gegeben ist durch das Paar (x_{0}, x_{0}) (das zweite “ x_{0} ” hier bezeichnet einen trivialen Weg). Und schließlich gibt es in diesem Modell auch eine ganz explizite Beschreibung der Operation der Fundamentalgruppe π_{1}(X, x_{0}) auf der universellen Überlagerung X̃ . Nämlich, wenn [w] ∈ π_{1}(X, x_{0}) , dann ist das Resultat der Operation von [w] auf dem Punkt (x, v) gegeben durch den Punkt [w]_{∗}(x, v) : = (x, wv) (wo wv den zusammengesetzten Weg “ erst w , dann v ” bezeichnet; dieser zusammengesetzte Weg existiert, da der Endpunkt von w , nämlich der Basispunkt x_{0} , ja auch der Anfangspunkt von v ist).

Auch die Beziehung zu den rechten G -Mengen ist ganz explizit angebbar. Nämlich in X̃ haben wir die Menge p^{−1}(x_{0}) , die eine rechte G -Menge ist. Konkret besteht diese Menge aus denjenigen Punkten (x_{0}, w) in X̃ , bei denen w ein geschlossener Weg ist (also nicht nur der Anfangspunkt, sondern auch der Endpunkt von w ist gleich dem Basispunkt x_{0} ). Durch Ignorieren von “ x_{0} ” kann man diese Menge mit der unterliegenden Menge der Gruppe G identifizieren; wie früher wollen wir diese mit \overline{G} bezeichnen. Wenn nun g ∈ G und wenn β_{g} die zugehörige Decktransformation bezeichnet, so ist die Einschränkung von β_{g} auf p^{−1}(x_{0}) ein Isomorphismus von rechten G -Mengen. Es ist klar (oder?), daß unter der Identifikation von p^{−1}(x_{0}) mit \overline{G} dieser Isomorphismus dann demjenigen Isomorphismus von \overline{G} auf sich entspricht, der früher mit α_{g} bezeichnet worden ist (S. 110). □

Bemerkung. Eine Überlagerung p : E → X wird als regulär bezeichnet, wenn sie “maximale Symmetrie” besitzt; d.h. wenn zu je zwei Punkten über x_{0} ∈ X eine Decktransformation existiert, welche diese beiden Punkte aufeinander abbildet. Bezeichne wie vorher G = π_{1}(X, x_{0}) ; sei y ∈ E ein Punkt über x_{0} und H = p_{∗}( π_{1}(E, y) ) . Die Regularität der Überlagerung bedeutet, nach der durch die obigen Sätze gegebenen Übersetzung, daß je zwei Punkte der G -Menge p^{−1}(x_{0}) dieselbe Standgruppe haben. Es kommen aber sämtliche Konjugierten von H tatsächlich als Standgruppen vor. Die Regularität bedeutet also, daß die Konjugierten von H alle zueinander gleich sind; das heißt, daß H eine normale Untergruppe in G ist (oder daß der Normalisator von H die ganze Gruppe G ist). Als Variante des vorangehenden Satzes bekommt man, daß die Decktransformationengruppe der regulären Überlagerung p : E → X isomorph ist zur Quotientengruppe G/H .

Bemerkung. Unter Verwendung der Decktransformationengruppe kann man die anderen Überlagerungen eines (vernünftigen) Raumes X direkt aus der universellen Überlagerung p : X̃ → X konstruieren. Sei x_{0} ∈ X und sei ein Punkt x̃_{0} ∈ p^{−1}(x_{0}) gewählt, so daß man also in der beschriebenen Weise die Decktransformationengruppe mit der Fundamentalgruppe G = π_{1}(X, x_{0}) identifizieren kann. Sei H ⊂ G eine Untergruppe. Dann operiert auch H auf X̃ , und man kann somit einen Raum E definieren als den Quotienten bezüglich dieser Aktion (zwei Punkte aus X̃ werden identifiziert, wenn sie durch die Operation eines Elements h ∈ H auseinander hervorgehen; der entstehende Raum wird mit der Quotiententopologie versehen).

Es ist nun klar, daß die resultierenden Abbildungen X̃ → E und q : E → X Überlagerungsprojektionen sind; denn sei U ⊂ X eine Spezialumgebung in dem früher definierten Sinn (S. 96), die auch noch offen sei (S. 101). Das Urbild p^{−1}(U) ist dann eine disjunkte Vereinigung von Mengen U_{i} , i ∈ I , deren jede zu U topologisch äquivalent ist (vermöge der Abbildung p ). Die Indexmenge I ist isomorph zu der unterliegenden Menge von G (allerdings nicht in kanonischer Weise; um einen bestimmten solchen Isomorphismus auszuwählen, müßte man z.B. einen Weg von x_{0} zu U zu wählen). Die Gruppe H operiert auf der Vereinigung der U_{i} indem sie die U_{i} schlicht permutiert. Der Quotientenraum nach der Operation von H ist wieder eine disjunkte Vereinigung von Kopien von U ; die Indexmenge ist gegeben durch die Menge der Äquivalenzklassen in I bezüglich der Operation von H .

Um schließlich zu sagen, um welche Überlagerung es sich bei q : E → X denn nun handelt, genügt die folgende Bemerkung: Das Urbild p^{−1}(x_{0}) ist in bestimmter Weise mit der unterliegenden Menge von G identifiziert (wegen der Wahl des Punktes x̃_{0} ∈ p^{−1}(x_{0}) ). Bezüglich dieser Identifizierung operiert ein Element h ∈ H auf G durch die linke Multiplikation mit h (vgl. die explizite Beschreibung auf S. 110). Es folgt, daß p^{−1}(x_{0}) die G –Menge H\G ist. Oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn e_{0} ∈ E das Bild von x̃_{0} bezeichnet, so ist die Bildgruppe q_{∗}( π_{1}(E, e_{0}) ) gerade die Gruppe H selbst. □

Wie wir zum Schluß noch anmerken wollen, so hat die Theorie der Überlagerungen auch einen “numerischen” Aspekt. Sie taugt nämlich dazu, Fundamentalgruppen in einigen Fällen wirklich auszurechnen. Das liegt daran, daß es bei einer Decktransformationengruppe durchaus offensichtlich(!) sein kann, um welche Gruppe es sich denn nun handelt.

Beispiel. Die 1–Sphäre S^{1} hat als Überlagerung die Gerade ℝ . Da ℝ einfach– zusammenhängend ist, handelt es sich hier um die universelle Überlagerung. Die Decktransformationengruppe ist ℤ , die Gruppe der ganzen Zahlen (mit der Addition als Verknüpfung). Über den Isomorphismus von “Decktransformationengruppe der universellen Überlagerung” einerseits und “Fundamentalgruppe” andererseits erhalten wir somit einen anderen Beweis für die uns schon bekannte Tatsache, daß π_{1}(S^{1}, s_{0}) ≈ ℤ .

Beispiel. Die projektive Ebene RP^{2} hat als Überlagerung die 2–Sphäre S^{2} . Da S^{2} einfach–zusammenhängend ist, handelt es sich hier um die universelle Überlagerung. Die Decktransformationengruppe ist die (zyklische) Gruppe der Ordnung 2 (das nicht– triviale Element ist die Antipoden-Abbildung). Die Fundamentalgruppe von RP^{2} ist also die Gruppe der Ordnung 2 .