D. Garbe: Mathematik III für Naturwissenschaftliche Informatik Abgabe: 31. 10. 2002

Übungsblatt 28

Aufgabe 136: Es seien ω_{1} ∈ Λ^{k_{1}}(V), …, ω_{m} ∈ Λ^{k_{m}}(V). Zeige:

a) ω_{1} ∧ … ∧ ω_{m} = \frac{1}{k_{1}! … k_{m}!} ∑_{P ∈S_{k_{1}+...+km}} sgn P · P (S_{1} ⊗ … ⊗ S_{m})

b) ω_{1} ∧ … ∧ ω_{m}(v_{1}, … v_{m}) = Det(ω_{i}(v_{j})) für v_{1}, … v_{m} ∈ V und ω_{1}, …, ω_{m} ∈ Λ^{1}(V)

c) ω_{P 1} ∧…∧ω_{P m} = sgn P ·ω_{1} ∧…∧ω_{m} für P ∈ S_{m} und ω_{1}, …, ω_{m} ∈ Λ^{1}(V)

Aufgabe 137: Zeige, dass sgn P statt wie in 9.13(v) auch äquivalent definiert werden kann durch: sgn P = (−1)^{I(P)}, wobei I(P) die Anzahl aller Inversionen von P ist und eine Inversion durch das gleichzeitige Auftreten von i < j , P (i) > P (j) gekennzeichnet ist.

Aufgabe 138: Es seien S ∈ L^{k}(V), T ∈ L^{m}(V). Zeige: Alt(S ⊗ T) = (−1)^{km} Alt(T ⊗ S). Hinweis: Überlege zunächst, dass für die durch

P (i) = \{ \begin{matrix}m + i & für i = 1, …, k \\ i − k & für i = k + 1, …, k + m \end{matrix}

definierte Permutation P ∈ S_{k+m} gilt : sgn P = (−1)^{km}.

Aufgabe 139: Beweise - ausgehend von der Definition des Kreuzproduktes in 21.4(iv) - die folgenden Eigenschaften des Kreuzproduktes in ℝ^{3}: e_{1} × e_{2} = e_{3} ; a × a = 0 ; a × b = −b × a ; |a × b| = |a| · |b| · sin ∢(a, b) = \sqrt{< a, a >< b, b > − < a, b >^{2}} ; a × (b × c) =< a, c > b+ < a, b > c ; a × b = (α_{2}β_{3} − β_{2}α_{3})e_{1} + (α_{3}β_{1} − α_{1}β_{3})e_{2} + (α_{1}β_{2} − α_{2}β_{1})e_{3} .

Aufgabe 140: Sei ω ∈ Λ^{n}(V) das für das innere Produkt < , > definierte Volumenelement des orientierten euklidischen Vektorraumes V der Dimension n. Zeige, dass |ω(x_{1}, …, x_{n})| = \sqrt{Det(< x_{i}, x_{j} >)} gilt, wenn x_{1}, …, x_{n} ∈ V sind.