D. Garbe: Mathematik III für Naturwissenschaftliche Informatik Abgabe: 7. 11. 2002

Übungsblatt 29

Aufgabe 141: Ein räumliches Zentralfeld ist gegeben durch v = f(ρ)r ( ρ = |r|, r ∈ ℝ^{3}, f : ℝ^{+} ∪ {0} → ℝ ). Bestimme f(ρ) so, dass das Feld quellen- und wirbelfrei wird.

Aufgabe 142: Bei einer ebenen Flüssigkeitsbewegung seien die Kreise um den Ursprung die Bahnkurven und die Größe der Geschwindigkeit v sei |v| = \frac{γ}{ρ}. Berechne div v und rot v.

Aufgabe 143: Es seien ω, ω_{1}, ω_{2} ∈ Ω^{k}(D), η ∈ Ω^{m}(D) differenzierbar und λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ. Zeige: a) λ_{1}ω_{1} + λ_{2}ω_{2} ist differenzierbar und es gilt d(λ_{1}ω_{1} + λ_{2}ω_{2}) = λ_{1}dω_{1} + λ_{2}dω_{2},

b) ω ∧ η ist differenzierbar und es gilt d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)^{k}ω ∧ dη.

Aufgabe 144: Es seien D ⊂ ∘ ℝ^{n}, D̃ ⊂ ∘ ℝ^{m}, f : D → D̃ zweimal differenzierbar und ω ∈ Ω^{0}(D̃). Zeige,dass dann f^{∗}ω differenzierbar ist und dass d(f^{∗}ω) = f^{∗}dω gilt.

Aufgabe 145: Es seien D = {(ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) ∈ ℝ^{3} : ξ_{3} > 0}, h : D → ℝ eine C^{(1)}-Funktion und ω ∈ Ω^{2}(D) durch ω = h(ξ_{1}dξ_{2} ∧ dξ_{3} − ξ_{2}dξ_{1} ∧ dξ_{3} + ξ_{3}dξ_{1} ∧ dξ_{2}) gegeben. Zeige, dass dω = 0 genau dann gilt, wenn eine C^{(1)}-Funktion g : ℝ^{2} → ℝ so existiert, dass h(ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) = \frac{1}{ξ_{3}^{3}} g(\frac{ξ_{1}}{ξ_{3}} , \frac{ξ_{2}}{ξ_{3}} ) für alle (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) ∈ D ist. Hinweis: Aus dω = 0 folgt h(λξ_{1}, λξ_{2}, λξ_{3}) = \frac{1}{λ^{3}} h(ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}).