D. Garbe: Mathematik III für Naturwissenschaftliche Informatik Abgabe: 21. 11. 2002

Übungsblatt 31

Aufgabe 151: Beweise die Relationen

grad < v, w >=< w, ∇ > v+ < v, ∇ > w + w × rot v + v × rot w

sowie

< v, ∇ >= rot v × v + \frac{1}{2} grad < v, v > .

Dabei ist < a, ∇ > v := α^{1} \frac{∂v}{∂ξ^{1}} + α^{2} \frac{∂v}{∂ξ^{2}} + α^{3} \frac{∂v}{∂ξ^{3}} der sog. Vektorgradient, wobei \frac{∂v}{∂ξ^{i}} := (\frac{∂v^{1}}{∂ξ^{i}} , \frac{∂v^{2}}{∂ξ^{i}} , \frac{∂v^{3}}{∂ξ^{i}})^{t} ist.

Aufgabe 152: Es seien A eine kompakte Teilmenge einer orientierten 2-dimensinalen C^{(1)}-Untermannigfaltigkeit von ℝ^{3} mit glattem Rand ∂A und f, g reellwertige Feldfunktionen. Beweise mit Hilfe des Stokesschen Satzes, dass dann

∫_{A} < grad f × grad g, d𝔉 >= ∫_{∂A} fdg

gilt.

Aufgabe 153: Gegeben sei das Vektorfeld v(ξ, η, ζ) = (ξ^{3}, ξ^{2}η, ξ^{2}ζ)^{t}. Berechne das Integral ∫ ∫ < v, n > dF über die Oberfläche der Kugel ξ^{2} + η^{2} + ζ^{2} = α^{2}.

Aufgabe 154: Berechne längs γ : z = ρe^{it} , 0 ≤ t ≤ 2π

a) ∫_{γ} |z − 1|^{2}|dz| , b) ∫_{γ , ρ=1} |z − 1||dz| (Was ist für ρ ≠ 1?) c) lim_{ρ→∞} ∫_{γ} \frac{e^{iz}}{z} dz.

Aufgabe 155: γ sei ein beliebiger doppelpunktfreier Weg von −1 nach

+1, der weder +i noch −i durchläuft. Welcher Werte ist ∫_{γ} \frac{dz}{z^{2} + 1} fähig?