D. Garbe: Mathematik III für Naturwissenschaftliche Informatik Abgabe: 28. 11. 2002

Übungsblatt 32

Aufgabe 156: Gibt es holomorphe Funktionen f mit

a) Re f = (Re z)^{2} − (Im z)^{2} bzw. b) Re f = \frac{cos 2argz}{|z|^{2}} ? Wenn ja, welche ?

Aufgabe 157: Zeige, dass die durch f(ξ) := exp(−\frac{1}{ξ^{2}} ) definierte reellwertige Funktion bei ξ = 0 stetig erklärt werden kann und dass f′(0) im Reellen existiert. Zeige jedoch, dass die durch f(z) := exp(−\frac{1}{z^{2}} ) erklärte komplexwertige Funktion bei z = 0 nicht holomorph ist. Ist f(z) im Gebiet aller endlichen z ≠ 0 holomorph ?

Aufgabe 158: Berechne ∫_{γ} \frac{5z+1}{z^{2}+z−2} dz längs folgender Wege γ :

a) z = −1 + 3e^{it}, 0 ≤ t ≤ 2π b) z = −1 + e^{it}, 0 ≤ t ≤ 2π

c) z = 1 + 2e^{it}, 0 ≤ t ≤ 2π d) z = cos t − i sin t, \frac{π}{2} ≤ t ≤ \frac{3}{2}π

e) z = 2(cos t + i sin t), −\frac{π}{2} ≤ \frac{π}{2}.

Aufgabe 159: Berechne längs γ : z = 2(cos t − i sin t) , 0 ≤ t ≤ \frac{π}{2} a) ∫_{γ} cos z dz , b) ∫_{γ} \frac{dz}{e^{2z}} , c) ∫_{γ} e^{2z} cos 3z dz , d) ∫_{γ} sinh z cosh z dz.

Aufgabe 160: Entwickle die Potenzreihe ∑_{ν=0}^{∞} z^{ν} um die Punkte i, −i,

−1 bzw \frac{1}{2}. Welche Konvergenzradien haben die neuen Reihen ?