D. Garbe: Mathematik III für Naturwissenschaftliche Informatik Abgabe: 6. 1. 2003

Übungsblatt 35

Aufgabe 171: Sei ℂ̄ die Riemannsche Zahlenkugel ξ_{1}^{2}+ξ_{2}^{2}+(ξ_{3}− \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} und z = ξ +iη = φ(ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) die Zentralprojektion der Kugelpunkte aus dem Zentrum N = (0, 0, 1) heraus auf die ξ_{1} − ξ_{2}-Ebene. Leite Formeln für φ und φ^{−1} her und beweise die Kreisverwandtschaft dieser Abbildungen.

Aufgabe 172: Gegeben sei ein rechtwinkliges Kreisbogendreieck, nämlich ⋂_{i=1}^{3} K_{i} mit K_{1} = K_{1}(0), K_{2} = K_{2}(−2 + i), K_{3} = K_{1}(−1 − i). Bilde es konform auf den Einheitskreis ab.

Aufgabe 173: Bestimme diejenigen Möbiustransformationen, welche den Einheitskreis in sich überführen und a) einen gegebenen Punkt c ( |c| ≠ 1 ) festlassen bzw. b) einen gegebenen Punkt c ( |c| ≠ 1 ) in einen gegebenen Punkt d ( |d| ≠ 1 ) überführen.

Aufgabe 174: Für die folgenden Funktionen ist die Art der Singularität in den angegebenen Stellen festzustellen; soweit es sich um isolierte Singularitäten handelt, sind die Residuen zu ermitteln:

a) [(z − a)(z − b)]^{\frac{1}{2}} in z = a, b, ∞ ,

b) (sin z − cos z)^{−1} in z = \frac{π}{4} ,

c) sin \frac{1}{1−z} in z = 1, ∞ ,

d) z(z − 1)^{−1}(z − 2)^{−2} in z = 1, 2 ,

e) (1 − e^{z})(1 + e^{z})^{−1} in z = (2k + 1)πi, ∞ .

Aufgabe 175: Löse das Dirichlet-Problem für die obere Halbebene mit stetiger Randfunktion g(t). (Die Lösung des Dirichlet-Problems für den Einheitskreis , Satz 24.22, kann vorausgesetzt werden.) Zeige, dass in nicht beschränkten Gebieten Lösungen des Dirichletschen Problems nicht eindeutig bestimmt sein müssen.