D. Garbe: Mathematik III für Naturwissenschaftliche Informatik Abgabe: 16. 1. 2003

Übungsblatt 36

Aufgabe 176: Löse die Integralgleichung ∫_{−∞}^{∞} \frac{y(u)}{(x − u)^{2} + a^{2}} du = \frac{1}{x^{2} + b^{2}}

(0 < a < b) . Hinweis: Erkenne die linke Seite als Faltungsprodukt, unterwerfe die Gleichung der Fouriertransformation, isoliere F(y) und gewinne y durch Rücktransformation.

Aufgabe 177: Berechne die Fouriertransformierte ( in Dimension 1 ) für

a) f(x) = \frac{1}{(x^{2} + 1)^{5}} b) f(x) = \frac{1}{cosh x}

mit Hilfe des Residuensatzes.

Aufgabe 178: Berechne die Fouriertransformierte ( in Dimension 1 ) für

a) f(x) = e^{−αx^{2}}, α > 0 b) f(x) = \{ \begin{matrix}sin x & für |x| ≤ π \\ 0 & für |x| > π \end{matrix}

c) f(x) = \{ \begin{matrix}x + 1 & für − 1 ≤ x ≤ 0 \\ −x + 1 & für 0 ≤ x ≤ 1 \\ 0 & für |x| > 1 \end{matrix} d) f(x) = e^{−α|x|}, Re α > 0.

Aufgabe 179: Berechne ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(x^{4} + a^{4})^{2}} für a > 0

und beweise ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(1 + x^{2})^{n+1}} = \frac{π}{2^{2n}} \frac{(2n)!}{(n!)^{2}} (n ∈ ℕ) .

Aufgabe 180: Es soll der von −1 nach 0 geradlinig aufgeschnittene Einheitskreis konform auf den vollen Einheitskreis abgebildet werden. Dabei sollen die Punkte \frac{1}{2} und 1 fest bleiben.