D. Garbe: Mathematik III für Naturwissenschaftliche Informatik Abgabe: 23. 1. 2003

Übungsblatt 37

Aufgabe 181: Bestätige für x > 0 das sogenannte Laplace-Integral

∫_{0}^{∞} \frac{ω sin ωx}{a^{2} + ω^{2}} dω = \frac{π}{2} e^{−ax} .

Aufgabe 182: Ein Zeitsignal f(t) hat die Spektralfunktion F (ω) = e^{−α|ω|+iω} mit α > 0.

Berechne in Abhängigkeit von α die Gesamtenergie ∫_{−∞}^{∞} |f(t)|^{2}dt.

Aufgabe 183: Berechne die Laplacetransformierte (Dimension 1) für

a) e^{−2t} cos 3t ,  b) t sin 3t ,  c) \frac{e^{−t} − e^{−2t}}{t} .

Aufgabe 184: Beweise: L{f(t − α)}(s) = e^{−αs}L{f(t)} für α > 0 mit f(t) = 0 für t < 0.

Berechne damit die Laplacetransformierte von f(t) = \{ \begin{matrix}sin t & für 0 ≤ t ≤ 2π \\ 0 & für t > 2π \end{matrix} .

Aufgabe 185: Berechne die inverse Laplacetransformierte (Dimension 1) von

a) \frac{5s − 8}{s(s − 4)} ,  b) \frac{s^{2} + 3s − 7}{(s − 1)(s^{2} + 2)} ,  c) \frac{s^{2} − 3s − 4}{(s − 3)(s − 1)^{2}} .