D. Garbe: Mathematik III für Naturwissenschaftliche Informatik Abgabe: 30. 1. 2003

Übungsblatt 38

Aufgabe 186: Löse mittels Laplace-Transformation das folgende System

2ξ̇ + 3η̇ + 7ξ = 14t + 7 ,
5ξ̇ − 3η̇ + 4ξ + 6η = 14t − 14 , (t = 0, ξ = η = 0)

.

Aufgabe 187: Eine Saite der Länge l sei an beiden Enden fest eingespannt und habe keine Anfangsauslenkung, aber eine Anfangsgeschwindigkeit von sin \frac{πξ}{l}. Löse das zugehörige Rand-Anfangswert-Problem mittels Laplace-Transformation.

Aufgabe 188: Löse die folgende Integrodifferentialgleichung für ξ(t):

\frac{1}{50}ξ̇(t) + 16ξ(t) + 3200 ∫_{0}^{t} ξ(τ)dτ = 100 , ξ(0) = 0 .

Aufgabe 189: Beweise: Die Faltung genügt folgenden Rechenregeln:

a) f ∗ (αg + βh) = α(f ∗ g) + β(f ∗ h) für Konstanten α , β ,

b) f ∗ g = g ∗ f ,

c) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h .

d) Wenn f differenzierbar ist und die Faltungen f ∗ g und f′ ∗ g existieren, so ist f ∗ g differenzierbar, und es gilt (f ∗ g)′ = f′ ∗ g .

Aufgabe 190: Beweise die folgenden Aussagen über konvexe Mengen in ℝ^{n}:

(i) M konvex ⟷ [x, y ∈ M ⟶ λx + μy ∈ M ∀λ, μ ≥ 0 mit λ + μ = 1]. (ii) M_{i} konvex ∀i ∈ I ⟶ ⋂_{i∈I} M_{i} konvex. (iii) Konv(M) ist konvex.

(iv) Für M ≠ ∅ gilt: Konv(M) ist die kleinste konvexe Menge in ℝ^{n}, die M enthält.

(v) Jeder abgeschlossene Halbraum H(a, β) = {x ∈ ℝ^{n} : a^{t}x ≤ β} ist konvex. Jedes Polyeder, d. i. ein Durchschnitt endlich vieler abgeschlossener Halbräume, ist konvex. (vi) Jede affine Hyperebene a^{t}x = β , a ≠ 0, ist konvex. (vii) Der erste Orthant {(ξ_{1}, …, ξ_{n})^{t} : ξ_{i} ≥ 0 ∀i = 1 … n} ist konvex.