Kapitel 10

Formen auf Vektorräumen

10.1 Definitionen : Sei V ein K-Vektorraum und α ein Automorphismus von K. Eine α-Sesquilinearform auf V ist eine Abbildung f : V ×V ⟶ 𝕂 mit folgenden Eigenschaften:

f(x_{1} + x_{2}, y) = f(x_{1}, y) + f(x_{2}, y) , f(x, y_{1} + y_{2}) = f(x, y_{1}) + f(x, y_{2}) , f(λx, y) = λf(x, y) , f(x, λy) = f(x, y)λ^{α} für alle x_{i}, y_{i}, x, y ∈ V und alle λ ∈ 𝕂. x heißt orthogonal zu y, geschrieben x⊥y, wenn f(x, y) = 0 gilt. (Wir betrachten nur Formen, für die x⊥y ⟷ y⊥x gilt, sogenannte reflexive Formen.) f heißt nichtausgeartet, wenn f(a, V) = 0 stets a = 0 impliziert. f heißt ε-hermitesch , wenn f(x, y) = εf(y, x)^{α} ∀x, y ∈ V gilt (ε = +1 oder −1).

Charles Hermite (1822 - 1901)

1

Gilt f(x, x) = 0∀x ∈ V, so heißt f alternierend. Gilt f(x, y) = f(y, x), so heißt f symmetrische Bilinearform ; gilt f(x, y) = −f(y, x) ∀x, y ∈ V, so heißt f schiefsymmetrisch. Wenn B = {b_{1}, …, b_{n}} eine Basis von V ist, so heißt M_{B}(f) := f(b_{i}, b_{j}) ∈ M_{n,n}(𝕂) die Matrix der Form. f heißt positiv definit, wenn f(x, x) > 0∀x ∈ V \{0} gilt, und positiv semidefinit , wenn f(x, x) ≥ 0 gilt; wenn dagegen f positive und negative Werte Formenwerte annimmt, so indefinit . (Entsprechend werden die Begriffe negativ definit , … definiert.)

1Benannt nach dem Pariser Mathematiker Charles Hermite, der bedeutende Arbeiten in den Gebieten Analysis, Algebra und Zahlentheorie vorlegte. Er bewies auch die Transzendenz von e.

Positiv definite hermitesche Formen (ε = 1) nennen wir ein Skalarprodukt auf V. V heißt dann auch ein Prä-Hilbert-Raum oder genauer: für 𝕂 = ℝ ein euklidischer Vektorraum bzw. für 𝕂 = ℂ ein unitärer Vektorraum (In Prä-Hilbert-Räumen wird f(x, y) oft als ⟨x, y⟩ geschrieben).

David Hilbert (1863 - 1943)

Slogan: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn der Formenwert für sie Null ist. Nichtausgeartetsein bedeutet: Nur der Nullvektor steht auf allen Vektoren senkrecht.

10.2 Bemerkungen :

(i) Sesquilinear bedeutet eineinhalbfach-linear (lat.), nämlich linear in der ersten und semilinear (halblinear) in der zweiten Komponente.

Die qualitative Klassifikation der Sesquilinearformen geht zurück auf Birkhoff-v.Neumann. Es läßt sich für nichtausgeartete Sesquilinearformen f auf Vektorräumen der Dimension ≥ 2 zeigen:

f ist genau dann reflexiv, wenn f eine alternierende Form mit α = id ist oder wenn es ein λ ∈ K \{0} so gibt, daß g := fλ^{−1} eine hermitesche α-Sesquilinearform mit α^{2} = id ist.

Diese Aussage läßt sich auch über Schiefkörpern beweisen, wobei α ein Antiautomorphismus von K sei. Dieses Resultat erklärt erst, warum in der Geometrie der Formen und ihrer Isometriegruppen ausgerechnet die drei Fälle der orthogonalen, der unitären und der symplektischen Gruppen betrachtet werden.

(ii) In einer endlichen Basis B läßt sich f ausdrücken als f(x, y) = ϕ_{B}(x)^{t}M_{B}(f)ϕ_{B}(y)^{α}, z.B. im Spezialfall M_{B}(f) = E erhalten wir das Standardskalarpro-

dukt ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}η_{i}^{α}.

Denn: f(x, y) = f(∑ ξ_{i}b_{i}, ∑ η_{j}b_{j}) = ∑_{i,j} ξ_{i}f(b_{i}, b_{j})η_{j}^{α} mit B = {b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{n}}.

(iii)

Ein anderes wichtiges Beispiel ist die Minkowski-Form, Lorentz-Form , die das Raum-Zeit-Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie prägt: ξ_{1}η_{1}+ξ_{2}η_{2}+ξ_{3}η_{3}−ξ_{4}η_{4} (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3} sind die räumlichen Koordinaten, ξ_{4} ist die Zeitkoordinate).

Hermann Minkowski (1864 - 1909)

(iv) Jeder Prä-Hilbert-Raum wird vermittels ∥x∥ := \sqrt{⟨x, x⟩} zu einem normierten Vektorraum. Die Gültigkeit der Dreiecksungleichung folgt zum Beispiel mit 10.4(iii); denn es gilt ∥x + y∥^{2} ≤ ⟨x + y⟩ = ⟨x, x⟩ + ⟨x, y⟩ + ⟨y, x⟩ + ⟨y, y⟩ = ⟨x, x⟩ + ⟨y, y⟩ + 2Re⟨x, y⟩ ≤ ⟨x, x⟩ + ⟨y, y⟩ + 2|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} + 2∥x∥∥y∥ = (∥x∥ + ∥y∥)^{2} .

Die Standardbilinearform liefert die in 5.2 (ii) eingeführte euklidische Norm.

Die Standardbilinearform wird auch bisweilen als Produkt geschrieben: ⟨x, y⟩ = x · y, sog. Skalarprodukt oder inneres Produkt . Erinnere 7.26, 7.27 (i): x · y = ∥x∥∥y∥ cos (x, y). Anwendung in der Physik: Bei konstanter Kraft 𝔎 wird die Arbeit längs des geradlinigen Weges 𝔖 zu 𝔄 = ⟨𝔎, 𝔖⟩.

(v) Jetzt geben wir das Beispiel eines Prä-Hilbert-Raumes an, wo die Form nicht die Standardbilinearform ist: Sei V der Raum der komplexwertigen, auf [0, 2π] stetigen Funktionen.

⟨f, g⟩ := (2π)^{−1}∫_{0}^{2π}f\overline{g} dx macht V zu einem unitären Raum, da

⟨f, f⟩ = (2π)^{−1} ∫ ∥f∥^{2} dx > 0 für f ≠ 0 gilt. Für k ≠ l gilt e^{ikx}⊥e^{ilx},

da (2π)^{−1}∫_{0}^{2π}e^{ikx}e^{−ilx} dx = \{ \begin{matrix}1 & für k = 1 \\ 0 & für k ≠ 1 \end{matrix} ist.

(vi) Im Endlichdimensionalen gilt für die Matrix M_{B}(f) einer hermiteschen Form: M_{B}(f) = \overline{M_{B}(f)^{t}}. Daher heißen Matrizen A mit A = \overline{A^{t}} hermitesch , solche mit A = A^{t} symmetrisch , mit A = −A^{t} schiefsymmetrisch , mit A = −\overline{A^{t}} schiefhermitesch . Denn: Wegen f(x, y) = \overline{f(x, y)} gilt φ_{B}(x)^{t}M_{B}(f)\overline{φ_{B}(y)} = \overline{φ_{B}(y)^{t}M_{B}(f)\overline{φ_{B}(x)}} = \overline{(φ_{B}(y)^{t}M_{B}(f)\overline{φ_{B}(x)^{t}}} = \overline{\overline{φ_{B}(x)^{t}}M_{B}(f)^{t}φ_{B}(y)} = φ_{B}(x)^{t}\overline{M_{B}(f)}^{t}\overline{φ_{B}(y)}.

(vii) Für jede nichtausgeartete (endl.-dim.) Sesquilinearform f gilt Det M_{B}(f) ≠ 0. Denn: Jede Lösung von x^{t}M_{B}(f) = 0 erfüllt x^{t}M_{B}(f)V = 0, also x⊥V. Wegen der Nichtausgeartetheit von f ist notwendig x = 0, also n = RgM_{B}(f).

10.3 Definitionen : Sei {U_{1}, …, U_{m}} eine Menge von Untervektorräumen des K-Vektorraumes V. V heißt direkte Summe von U_{1}, …, U_{m}, ge-

schrieben V = ⨁_{i=1}^{m} U_{i}, wenn V = ∑_{i=1}^{m} U_{i} und U_{i}∩(∑_{j=1}^{i−1} U_{j}+ ∑_{j=i+1}^{m} U_{j}) = {0} ∀i =

1, …, m gilt.

Ein Vektorraum V mit Sesquilinearform f heißt orthogonale direkte Summe von U_{1}, …, U_{m}, geschrieben ⊥_{i=1}^{m}U_{i} , wenn er direkte Summe der U_{i} ist und überdies für alle u_{i} ∈ U_{i}, u_{j} ∈ U_{j} mit i ≠ j stets u_{i}⊥u_{j} gilt. Eine Menge M = {m_{i} : i ∈ I} heißt eine Orthogonalmenge (OG-Menge) , wenn f(m_{i}, m_{j}) = 0 für alle i, j ∈ I, i ≠ j ist, und sie heißt Orthonormalmenge (ON-Menge) , wenn sogar f(m_{i}, m_{j}) = δ_{ij} ^{2} ist.

Ist die Menge M überdies eine Basis, so sprechen wir von einer Orthogonalbzw. Orthonormalbasis . Wenn M ⊂ V, so heißt M^{⊥} := {x ∈ V : ⋀_{m∈M} x⊥m} der zu M orthogonale Raum. Wenn x ∈ {x}^{⊥}, so heißt der

Vektor x isotrop.

Wenn {b_{1}, …, b_{m}} eine OG-Basis eines linearen Teilraumes U ist mit

b_{1}, …, b_{m} nicht isotrop und v ∈ V, so heißt π_{U}v := ∑_{i=1}^{m} \frac{f(v,b_{i})}{f(b_{i},b_{i})}b_{i} die Ortho-

gonalprojektion von v auf U.

2Kronecker-Delta : δ_{kl} := \{ \begin{matrix}1 & für k = l \\ 0 & für k ≠ l \end{matrix}

10.4 Bemerkungen :

(i) M^{⊥} ist linearer Teilraum von V.

(ii)

v−π_{U}v ∈ U^{⊥}, daher ist der Name Orthogonalprojektion gerechtfertigt. Denn: Es gilt f(v − π_{U}v, b_{j}) =

f(v, b_{j}) − ∑_{i=1}^{m} \frac{f(v,b_{i})}{f(b_{i},b_{i})}f(b_{i}, b_{j}) =

f(v, b_{j}) − f(v, b_{j}) = 0.

(iii) In Prä-Hilbert-Räumen gilt die CSB-Ungleichung : |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥ . Denn: Es gilt 0 ≤ ⟨x − π_{Ky}x, x − π_{Ky}x⟩ = ⟨x, x⟩ − ⟨π_{Ky}x, x⟩ − ⟨x − π_{Ky}x, π_{Ky}x⟩ . Da nach (ii) x − π_{Ky}x ⊥ y und π_{Ky}x ∈ Ky gilt, ist der dritte Summand der letzten Gleichung 0 , und wir erhalten: 0 ≤ ⟨x, x⟩ − \frac{⟨x,y⟩⟨y,x⟩}{⟨y,y⟩}. Mithin gilt |⟨x, y⟩|^{2} ≤ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩ .

(iv) Isotrope Vektoren existieren z. B. im Minkowski-Raum ( , d. h., im R^{4} mit Minkowski-Form ). In der Relativitätstheorie werden diese Vektoren lichtartige Vektoren genannt.

10.5 Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt : ^{3} Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V aus nichtisotropen Vektoren. Dann bilden b_{1}^{∗} := b_{1}, …, b_{i}^{∗} := b_{i} − π_{⟨b_{1}^{∗},...,b_{i−1}^{∗}⟩}b_{i}, …, b_{n}^{∗} eine Orthogonalbasis für V.

10.6 Bemerkungen :

(i) Es ist genau dann V = ⨁_{i=1}^{m} U_{i}, wenn

∀v ∈ V ∃_{1}(u_{1}, …, u_{m}) ∈ U_{1} × … × U_{m} : v = ∑_{i=1}^{m} u_{i}.

Denn: Wenn jedes v ∈ V wie beschrieben eindeutig darstellbar ist, so

gilt natürlich v = ∑_{i=1}^{m} U_{i}. Wenn 0 ≠ v ∈ U_{i} ∩ (∑_{j=1}^{i−1} U_{j} + ∑_{j=i+1}^{m} U_{j}) wäre,

so gälte nach Voraussetzung v = u_{i} = ∑_{j≠i} u_{j}, also ergäbe sich ein Widerspruch zur vorausgesetzten Eindeutigkeit. Mithin gilt also U_{i} ∩

3Jorgen Pedersen Gram (1850 - 1916), Erhard Schmidt (1876 -1959)

(∑_{j=1}^{i−1} + ∑_{j=i+1}^{m}) = {0}, also V = ⨁_{i=1}^{m} U_{i}.

Sei umgekehrt V = ⨁_{i=1}^{m} U_{i} vorausgesetzt. Wegen V = ∑_{i} U_{i} ist v als

∑_{i=1}^{m} u_{i} mit u_{i} ∈ U_{i} darstellbar. Angenommen es gälte v = ∑_{i=1}^{m} u_{i} = ∑_{i=1}^{m} ui^{′}

mit u_{i}, ui^{′} ∈ U_{i}. Dann wäre u_{i} − ui^{′} = − ∑_{j≠i}(u_{j} − uj^{′}) ∈ U_{i} ∩ ∑_{j≠i} U_{j} = {0},

also u_{i} = ui^{′}, und zwar für jedes i = 1, …, m. □

(ii) Wenn b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V ist, so gilt V = ⨁_{i=1}^{n} Kb_{i}.

Wenn b_{1}, …, b_{n} eine Orthogonalbasis von V ist, so gilt V = ⊥_{i=1}^{n}Kb_{i}.

(iii) Es gilt ⟨M⟩ < M^{⊥⊥}. In endlich-dimensionalen Vektorräumen gilt sogar Gleichheit (vgl. (xi)). Denn: Wenn m ∈ M und m′ ∈ M^{⊥} ist, so gilt m⊥m′ und mithin m ∈ (M^{⊥})^{⊥}, also ⟨M⟩ ⊂ M^{⊥⊥}. Da M^{⊥} und ebenso M^{⊥⊥} ein Vektorraum ist, gilt ⟨M⟩ < M^{⊥⊥}.

(iv) Es gilt Dim ⨁_{i=1}^{m} U_{i} = ∑_{i=1}^{m} Dim U_{i}.

Denn: Wähle für i = 1, …, m jeweils eine Basis B_{i} von U_{i}. Überlege,

daß dann ⋃_{i=1}^{m} B_{i} eine Basis von ⨁_{i=1}^{m} U_{i} ist.

(v) Koordinatentransformation einer Basis b_{1}, …, b_{n} in eine vorgegebene Orthonormalbasis b1^{′}, …, bn^{′}: Wenn x = ∑ ξ_{i}b_{i} = ∑ ξi^{′}bi^{′} ist, so gilt ξk^{′} = ∑ ξ_{i}f(b_{i}, bk^{′}), wobei im Falle der Standardbilinearform die f(b_{i}, bk^{′}) die sogenannten Richtungscosinus sind.

(vi) Jede Orthogonalmenge aus nichtisotropen Vektoren ist linear unabhängig.

Denn: Sei {b_{1}, …, b_{m}} eine Orthogonalmenge, und sei ∑_{i=1}^{m} α_{i}b_{i} = 0.

Dann gilt α_{j}f(b_{j}, b_{j}) = f(0, b_{j}) = 0, also α_{j} = 0 ∀j.

(vii) Wenn b_{1}, …, b_{m} eine Orthogonalmenge aus nichtisotropen Vektoren ist, so läßt sich jedes x ∈ ⨁ 𝕂b_{i} eindeutig als Linearkombination x = ∑ λ_{i}b_{i} schreiben, wobei die λ_{i} = \frac{f(x,b_{i})}{f(b_{i},b_{i})} sind und verallgemeinerte Fourierkoeffizienten heißen.

(viii) Es seien U < V, b_{1}, …, b_{m} eine Orthogonalbasis von U aus nichtisotropen Vektoren, f|_{U} nicht ausgeartet. Dann hat jedes x ∈ V eine eindeutige Darstellung x = x_{U} + x_{U^{⊥}} mit x_{U} ∈ U, x_{U^{⊥}} ∈ U^{⊥}. Es gilt also V = U⊥U^{⊥}. Denn: Setze x_{U} := π_{U}x, x_{U^{⊥}} := x − π_{U}x und erhalte eine solche Darstellung ( der zweite Vektor ist nach 10.4(ii) ∈ U^{⊥} ). Sei nun

x = x_{U} + x_{U^{⊥}} = xU^{′} + xU^{⊥}^{′} , also U ∋ x_{U} − xU^{′} = xU^{⊥}^{′} − x_{U^{⊥}} ∈ U^{⊥}. Da

f |_{U} nichtausgeartet ist, ist x_{U^{⊥}} = xU^{⊥}^{′} und somit auch x_{U} = xU^{′}.

(ix) Die Voraussetzungen seien wie in (viii). Dann gilt: Die eindeutig bestimmte U-Komponente von x in der Zerlegung V = U⊥U^{⊥} ist die Orthogonalprojektion π_{U}x.

(x) Sei f eine reflexive Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V und sei U < V. Dann gelten die folgenden Äquivalenzen: f|_{U} nichtausgeartet ⟷ U ∩ U^{⊥} = {0} ⟷ U⊥U^{⊥} = V ⟷ ∃_{1}W < V : V = U⊥W. Im letzten Fall heißt W ein orthogonales Komplement von U in V. Denn:

(I) Genau wenn f |_{U} ausgeartet ist, existiert v ∈ U \ {0} so, daß

v ∈ U^{⊥}. Das beweist den ersten Doppelpfeil. (II) Wir führen hier den Beweis für den zweiten Doppelpfeil nur für

den Spezialfall eines Prä-Hilbertraumes V: Für nichtausgeartetes f |_{U} gilt nach (viii) V = U⊥U^{⊥}. Umgekehrt impliziert V = U⊥U^{⊥} natürlich U ∩U^{⊥} = {0}. Zu zeigen bleibt die Eindeutigkeit von U^{⊥} ( Aufgabe ). Beachte: Direkte Komplemente linearer Teilräume sind nicht eindeutig!!

(xi) Es seien f|_{U} nichtausgeartet und U < V, M ⊂ V. Dann gelten die Beziehungen Dim U + Dim U^{⊥} = Dim V, U = U^{⊥⊥} sowie ⟨M⟩ = M^{⊥⊥}. Denn: Nach (x) und (iv) gilt Dim U + Dim U^{⊥} = Dim V = Dim U^{⊥} + Dim U^{⊥⊥} und somit Dim U = Dim U^{⊥⊥}, also wegen (iii) U = U^{⊥⊥}. Mithin gilt auch ⟨M⟩ = M^{⊥⊥}.

(xii) Für x ∈ V = U⊥U^{⊥} gilt in Prä-Hilberträumen der Satz des Pythagoras: ∥x∥^{2} = ∥x_{U}∥^{2} + ∥x_{U^{⊥}}∥^{2}. Denn: Es gilt ∥x∥^{2} = ⟨x, x⟩ = ⟨x_{U} + x_{U^{⊥}}, x_{U} + x_{U^{⊥}}⟩ = ⟨x_{U}, x_{U}⟩ + ⟨x_{U^{⊥}}, x_{U^{⊥}}⟩ = ∥x_{U}∥^{2} + ∥x_{U^{⊥}}∥^{2} .

10.7 Definiton : Sei U linearer Teilraum eines normierten Vektorraumes V und es sei x ∈ V. u ∈ U mit ∥x−u∥ = inf_{y∈U} ∥x − y∥ heißt ein Proximum von x in U.

10.8 Satz (Approximation in Prä-Hilberträumen) : Sei V endlichdimensionaler Prä-Hilbertraum, und sei U < V sowie x ∈ V. Dann existiert genau ein Proximum von x in U, nämlich π_{U}x. Beweis: Existenz eines Proximums: Seien x ∈ V, y ∈ U. Dann gilt nach 10.6(viii),(xii) ∥x − y∥^{2} = ∥π_{U}x + x_{U^{⊥}} − y∥^{2} = ∥π_{U}x − y∥^{2} + ∥x_{U^{⊥}}∥^{2} = ∥π_{U}x − y∥^{2} + ∥x − π_{U}x∥^{2} ≥ ∥x − π_{U}x∥^{2}. Also ist π_{U}x ein Proximum von x in U. Eindeutigkeit des Proximums: Für y ∈ U mit y ≠ π_{U}x gilt π_{U}x − y ≠ 0, also ∥π_{U}x − y∥^{2} > 0, also wegen der obigen Ungleichung ∥x − y∥^{2} > ∥x − π_{U}x∥^{2}. □.

Im Falle der Standardbilinearform firmiert dies auch unter der Bezeichnung Methode der kleinsten Quadrate , da ∑ ∥ξ_{j} − η_{j}∥^{2} = ∥x − y∥^{2} minimiert wird. Diese Methode wurde von Gauß schon in jungen Jahren entwickelt, und brachte dem 23-Jährigen Weltruhm, als er aufgrund von Beobachtungsdaten des neuentdeckten Planetoiden Ceres, die sein Entdecker Guiseppe Piazzi zu Beginn des Jahres 1801 einen Monat lang gesammelt hatte, die genaue Bahn der Ceres berechnete. Das ermöglichte nämlich den Astronomen Zach und Olbers, den Kleinplaneten, den man inzwischen verloren hatte und den man vergeblich wiederaufzufinden gesucht hatte, genau ein Jahr nach seiner Entdeckung, in der Sylvesternacht 1801, an der Stelle zu beobachten, die Gauß vorhergesagt hatte.

C. F. Gauß (1777 - 1855)

10.9 Satz : In Prä-Hilberträumen gilt: Für jedes b ∈ 𝕂^{m} hat Ax = π_{𝕂A^{(1)}+...+𝕂A^{(n)}} b genau eine Lösung x_{0} kleinster Norm.

Notwendig und hinreichend für solche Lösung sind

(i) Ax_{0} = π_{𝕂A^{(1)}+...+𝕂A^{(n)}} x_{0} und

(ii) x_{0} ∈ 𝕂A_{(1)} + … + 𝕂A_{(n)}.

10.10 Definitionen : Eine Lösung von Ax = π_{KA^{(1)}+...+KA^{(n)}}b heißt eine approximative Lösung von Ax = b. Sei A^{−} : ℝ^{m} ⟶ ℝ diejenige Abbildung, die y jeweils auf die kürzeste approximative Lösung von Ax = y (entsprechend 9.9) abbildet. A^{−} heißt Pseudoinverse zu A.

160 D. Garbe: Mathematik I für Naturwissenschaftliche Informatik