Kapitel 11

Eigenwerte, Normalformen von Matrizen

Bei linearen Transformationen interessieren oft diejenigen Vektoren, die unter der Abbildung ihre Richtung nicht ändern oder allenfalls die entgegengesetzte Richtung annehmen, also 0 und die sogenannten Eigenvektoren:

11.1 Definitionen : Sei l ∈ Hom_{K} (V, V) =: End_{K}V. λ ∈ K heißt ein Eigenwert von l, wenn x ∈ V \ {0} so existiert, daß l(x) = λx gilt. x heißt dann ein Eigenvektor von l. E(l; λ) := {x ∈ V : l(x) = λx} heißt der Eigenraum von l zum Eigenwert λ.

11.2 Bemerkungen :

(i) Wenn λ ein Eigenwert von l ist, so ist l − λ id ∈ End_{K}V und E(l; λ) = Kern(l − λ id).

(ii) Wenn Dim V < ∞ ist, so gilt: λ Eigenwert von l ⟷ Det(l − λ id) = 0. Denn: Seien A, B Basen von V. Dann gilt Det M_{B,B}(l) = Det(T M_{A,A}(l)T^{−1}) = (Det T)^{−1} Det M_{A,A}(l) Det T = Det M_{A,A}(l). Also macht es Sinn, von der Determinante einer linearen Transformation zu sprechen.

Nun hat l genau dann einen Eigenvektor (mit Eigenwert λ), wenn (M_{B,B}(l) − λE)x = 0 nichttrivial lösbar ist, d.h. genau dann, wenn Det(l − λ id) = 0 ist.

(iii) Beispiel einer Drehung um den Ursprung von ℝ^{2} mit Drehwinkel α:

M = [ \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ] . Ermittlung der Eigenwerte:

Det [ \begin{matrix}cos α − λ & − sin α \\ sin α & cos α − λ \end{matrix} ] = λ^{2} − 2λ cos α + 1 = 0, also λ = e^{±iα}.

Also sind mit Ausnahme von α = 0 oder π keine reellen Eigenwerte vorhanden. Das deckt sich natürlich auch mit der geometrischen Anschauung. In den beiden Ausnahmefällen ist jeder Vektor von ℝ^{2} \ {0} ein Eigenvektor.

11.3 Definitionen : Es sei Dim_{K} V = n < ∞.

f_{l}(λ) := Det(l − λ id) = (−1)^{n}λ^{n} + ∑_{j=1}^{n} (−1)^{n−j}β_{n−j}λ^{n−j} ∈ K[λ] heißt das

charakteristische Polynom von l. β_{n−1} heißt die Spur von l. Entsprechend werden diese Begriffe für Matrizen gebraucht. Wenn R, S, T ∈ M_{n,n}(K) mit R = T ST^{−1} gilt, so heißt R ein Konjugiertes von S oder zu S ähnlich, geschrieben R ∼ S.

11.4 Bemerkungen :

(i) Wenn A, B Basen des endlich-dimensionalen Vektorraumes V sind, so gilt M_{A,A}(l) ∼ M_{B,B}(l) (Satz 6.14).

(ii) Wenn M = (α_{ij}), M^{∗} = (α_{ij}^{∗}) und M ∼ M^{∗} gilt, so gilt Spur M = Spur M^{∗} = ∑ α_{ij} = ∑ α_{ij}^{∗}.

(iii) Eigenwerte eines linearen Endomorphismus endlicher Dimension sind genau die Nullstellen seines charakteristischen Polynoms (vgl. 11.2 (ii)).

(iv) Wenn l ∈ End_{K}V und Dim_{K} V = n gilt, so hat l höchstens n verschiedene Eigenwerte. Denn: Der Grad von f_{l}(x) ist n. Die Aussage folgt nun aus 11.5 (ii).

11.5 Satz : Für jedes f(x) ∈ K[x] gelten folgende Aussagen:

(i) f(λ) = 0 ⟷ ∃g(x) ∈ K[x] : f(x) = (x − λ)g(x),

(ii) Grad f = n ⟶ f hat höchstens n Nullstellen (Vielfachheiten mitgerechnet!) Beweis: Da K[x] ein euklidischer Ring ist, gilt der Divisionsalgorithmus f(x) = (x − λ)g(x) + r mit r = 0 oder Nr = 0. Daher ist l genau dann Nullstelle von f, wenn r = 0 ist. Also gilt (i) und somit auch (ii).

11.6 Satz ( Fundamentalsatz der Algebra ) : ^{1} In ℂ hat jedes Polynom vom Grad n (n > 0) wenigstens eine Nullstelle (und damit genau n Nullstellen - Vielfachheiten mitgerechnet!). Beweis: Siehe den funktionentheoretischen Beweis in Teil 3 mit Hilfe des Satzes von Liouville.

1Nach unvollständigen Versuchen durch Newton, d’Alembert , Euler und Lagrange gab C. F. Gauß in seiner Dissertation 1799 an der Universität Helmstedt den ersten richtigen Beweis dieses Theorems. Gauß lieferte später noch drei weitere Beweise dieses Theorems!!

11.7 Bemerkungen :

(i) Es sei jeweils x_{j} ∈ E(l; λ_{j}) für j = 1, …, m und paarweise verschiedene λ_{1}, …, λ_{m}. Dann sind x_{1}, …, x_{m} linear unabhängig. Denn: Sei ∑_{i=1}^{m} μ_{i}x_{i} = 0. Wir zeigen durch vollständige Induktion, daß dann μ_{i} = 0 ∀i = 1, …, m gilt: Es ist 0 = l(0) = l(∑_{i=1}^{m} μ_{i}x_{i}) = ∑_{i=1}^{m} μ_{i}λ_{i}x_{i} und andererseits 0 = λ_{m}0 = ∑_{i=1}^{m} μ_{i}λ_{m}x_{i}, also 0 = ∑_{i=1}^{m−1} μ_{i}(λ_{i} − λ_{m})x_{i}. Nach Induktionsannahme gilt also μ_{i}(λ_{i} − λ_{m}) = 0 ∀i = 1, …, m − 1 und mithin μ_{i} = 0 ∀i = 1, …, m.

(ii) Es sei l ∈ End_{K}V und S := {λ_{1}, …, λ_{m}} die Menge aller (paarweise verschiedenen) Eigenwerte von l, das sogenannte Spektrum von l.

Dann gilt ∑_{j=1}^{m} E(l; λ_{j}) = ⨁_{j=1}^{m} E(l; λ_{j}).

Denn: Nach (i) ist jedes r-tupel x_{1}, …, x_{r} mit x_{i} ∈ E(l; λ_{i}) \ 0 linear unabhängig, also gilt E(l; λ_{i}) ∩ ∑_{κ≠i} E(l; λ_{κ}) = 0, und somit gilt nach 10.3 die Behauptung.

11.8 Definitionen : Eine Matrix M = (α_{ij}) ∈ M_{n,n}(K) heißt Diagonalmatrix , wenn α_{ij} = 0 für alle i ≠ j gilt, geschrieben auch als M = Diag[α_{11}, …, α_{nn}]. M heißt untere Dreiecksmatrix, wenn α_{ij} = 0 für alle i < j ist. Analog: obere Dreiecksmatrix . l ∈ End_{K}V heißt diagonalisierbar , wenn V eine Basis B besitzt, so daß M_{B,B}(l) eine Diagonalmatrix ist. Analog: trigonalisierbar .

11.9 Bemerkungen : Sei durchgehend l ∈ End_{K}V, Dim_{K} V = n < ∞.

(i) l ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis B aus Eigenvektoren von l gibt. In diesem Fall gilt: M_{B}(l) = Diag[λ_{1}, …, λ_{n}] mit λ_{j} ∈ S ∀j = 1, …, n.

(ii) l ist diagonalisierbar, wenn es n paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt.

(iii) l ist genau dann diagonalisierbar, wenn V = ⨁_{λ∈S} E(l; λ) gilt.

(iv) Es sei V = U_{1}⊕U_{2} mit lU_{1} ⊂ U_{1} und einer Basis B = {b_{1}, …, b_{r}, …, b_{n}} von V so, daß b_{1}, …, b_{r} ∈ U_{1} und b_{r+1}, …, b_{n} ∈ U_{2} sind. Dann ist M_{B}(l) = [ \begin{matrix}∗ & ∗ \\ 0 & ∗ \end{matrix} ]. Wenn überdies lU_{2} ⊂ U_{2} gilt, so ist sogar M_{B}(l) =

[ \begin{matrix}∗ & 0 \\ 0 & ∗ \end{matrix} ].

(v) Ein Beispiel dafür, daß f_{l}(λ) in K[λ] nicht immer vollständig zerfällt. Es kann aber auch sein, daß f_{l}(λ) über K[λ] in Linearfaktoren zerfällt und l dennoch nicht diagonalisierbar ist, weil die Eigenräume ”zu klein“sind. Werden statt ihrer die sogenannten iterierten Kerne Kern(l − λ id)^{ν} genommen, so läßt sich beweisen:

11.10 Satz ( Jordansche Normalform ) : Sei l ∈ End_{K}V, und es zerfalle f_{l}(λ) über K vollständig. Dann existiert eine Basis B von V derart, daß M_{B}(l) = Diag[J_{1}, …, J_{r}] ist, wobei die J_{i} sogenannte Jordanblöcke

vom Typ J_{i} = [ \begin{matrix}λ & & & 0 \\ 1 & . \\ & . & . \\ 0 & & 1 & λ \end{matrix} ] sind (λ Eigenwert von l). Jeder Eigenwert von

l tritt in wenigstens einem Block auf. Die Blöcke können auch die triviale Form J_{i} = [λ] haben. Die Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Blöcke eindeutig.

11.11 Definitionen : Sei f eine Sesquilinearform auf V. l ∈ End_{K}V heißt ein metrischer Endomorphismus , wenn f ∘ l = f ist. Ist überdies l ∈ GL(n, K), so heißt l eine Isometrie.

Wenn f symmetrische Bilinearform ist, so heißen die Isometrien orthogonale Abbildungen.

Wenn f hermitesch ist, so heißen die Isometrien unitäre Abbildungen. Wenn f alternierend ist, so heißen die Isometrien symplektische Abbil-

dungen.

Entsprechend bildet die Menge der Isometrien die orthogonale Gruppe O_{n}(V, f) bzw. die unitäre Gruppe U_{n}(V, f) bzw. die symplektische Gruppe?indexsymplektische Gruppe Sp_{n}(V, f) .

Die Isometriegruppen bezüglich der Standardformen (hermitesch in ℂ^{n}, bilinear in ℝ^{n}) werden einfach mit U_{n} oder U(n) bzw. O_{n} oder O(n) bezeichnet.

SO(n) := {A ∈ O(n) : Det A = 1} bzw. SU(n) heißen die spezielle orthogonale bzw. spezielle unitäre Gruppe. A ∈ M_{n,n}(ℂ) (bzw. M_{n,n}(ℝ)) heißt eine unitäre (bzw. orthogonale) Matrix, wenn \overline{A}^{t}A = E ( bzw. A^{t}A = E ) gilt.

11.12 Bemerkungen :

Eigenwerte, Normalformen von Matrizen 165

(i) O(n) = \{A ∈ M_{n,n}(ℝ) : A^{t}A = E\}, U(n) = \{A ∈ M_{n,n}(ℂ) : \overline{A}^{t}A = E\}

(ii) A ∈ O(n) ⟶ Det A = ±1

(iii) A ∈ SO(3) ⟶ A bewirkt eine Drehung um eine feste Achse durch (0, 0, 0).

(iv) A ∈ O(2) ⟶ A bewirkt eine Drehung um (0, 0) oder eine Drehspiegelung, je nachdem, ob Det A = 1 oder Det A = −1 ist.

11.13 Satz : Es sei G eine endliche Untergruppe von SO(3). Dann ist G isomorph zu einer der folgenden Gruppen: C_{n}, das ist eine zyklische Gruppe der Ordnung n , D_{n}, das ist eine Diedergruppe der Ordnung n , T, der Tetraedergruppe, d. i. die Drehgruppe eines regulären Tetraeders , O ≃ S_{4}, der Oktaedergruppe, Drehgruppe eines regulären Oktaeders , I ≃ A_{5}, der Ikosaedergruppe, Drehgruppe eines regulären Ikosaeders .^{2} ^{3}

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2Dieses Resultat hat natürlich für Symmetriebetrachtungen im E^{3} große Bedeutung. So ist es nicht verwunderlich, daß der Satz 1885 von dem Physiker Pierre Curie ( Gatte von Madame Curie ) bewiesen wurde ( Sur les repetitions et la symmetrie. Comptes rendues \underline{100}, 1393-1396 ). In der klassischen Kristallographie kommt die Ikosaedergruppe nicht vor, da 5-zählige Symmetrie ausgeschlossen ist. Jedoch ist das in der Welt des Lebendigen als auch bei den Quasikristallen der Fall.

3Beachte, daß Oktaeder- und Hexaedergruppe (Würfelgruppe) zueinander isomorph sind, ebenso Ikosaeder- und Dodekaedergruppe !

4Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind die sogenannten Platonischen Körper. Plato (427 - 347 v.u.Z.) läßt in seinem Dialog ‘Timaios ‘ den Pythagoreer gleichen Namens die Lehre vortragen, wie den regulären Polyedern die Elemente Feuer, Wasser, Erde, Luft (des Empedokles) zugeordnet werden können, und legt zum ersten Mal eine konsequent mathematisierte Kosmologie vor. Die Klassifikation der 5 regulären Polyeder erfolgte in der Platonischen Akademie durch Theaetet so, wie im Buch XIII des Euklid erhalten. Die Polyeder tragen daher Platons Namen.

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Castel del Monte  Radiolarie

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11.14 Lemma : Es seien V, V′ endlich-dimensionale (Prä-)Hilberträume über 𝕂, und sei l ∈ Hom_{𝕂} (V, V′). Dann gilt:

(i) l ist genau dann unitär (bzw. orthogonal), wenn es jede ON-Basis von V in eine ON-Basis von V′ überführt.

(ii) l ist genau dann ein unitärer (bzw. orthogonaler) Automorphismus,

5Jagdschloß des letzten Stauferkaisers Friedrich II in Apulien mit D_{8}-Symmetriegruppe. Baubeginn 1240.

6Von Ernst Haeckel entdeckte Art Circogonia icosahedra . Schon während seines Studiums in Würzburg entwickelte sich bei Haeckel, angeregt durch eine Vorlesung ‘Vergleichende Anatomie ‘von Albert v. Koelliker 1853, das Interesse an Meeresbiologie im mikroskopischen Bereich, das durch Johannes Peter Müller in Berlin verstärkt wurde. Auf Expeditionen in Italien, insbesondere in Messina 1859, entdeckte Haeckel zu den etwa 50 Einzellern, die J. Müller beschrieben und unter dem Namen ‘Radiolarien‘zusammengefaßt hatte, weitere 120 neue Radiolarienarten. Die Ergenisse wurden von ihm in der Monographie ’Die Radiolarien. Berlin 1862’ publiziert. 1872 bis 1876 sammelte die britische Tiefsee-Expedition ‘Challenger ‘an 354 Stellen der Weltmeere Proben des Grundschlammes ( Radiolarienschlamm). Haeckel wurde die Auswertung der Radiolarienfunde übertragen. Die Ergebnisse wurden sowohl separat publiziert als auch als zweiter Teil der Radiolarienmonographie ( Berlin 1887 , 340 erstmalig beschriebene Arten ). Ernst Haeckel wurde über seine Disziplin hinaus bekannt durch seinen Kampf für Darwins Evolutionstheorie gegen den mainstream im reaktionären Deutschland sowie durch seine monistische Philosophie ( Populärdarstellung: ’Die Welträtsel’ ).

wenn M_{B}(l) bezüglich jeder ON-Basis B eine unitäre (bzw. orthogonale) Matrix ist.

11.15 Satz : Es sei V ein endlich-dimensionaler komplexer (Prä-)Hilbert-raum, und l sei ein unitärer Endomorphismus von V. Dann existiert eine ON-Basis aus Eigenvektoren von l und V ist orthogonale Summe der Eigenräume von l.

Genauer: Zu A ∈ U_{n}(C, f) existiert T ∈ U_{n}(C, f) mit T^{−1}AT = \overline{T}^{t}AT = Diag[λ_{1}, …, λ_{n}], wobei {λ_{1}, …, λ_{n}} ⊂ Spektrum l und |λ_{j}| = 1 ∀j = 1, …, n gilt.

11.16 Satz : Zu A ∈ O_{n}(ℝ, f) existiert T ∈ O_{n}(ℝ, f) mit T^{−1}AT = Diag[R_{1}, …, R_{r}, 1, …, 1, −1, …, −1], wobei die R_{j} 2 × 2-Blöcke vom Typ

[ \begin{matrix}cos ϕ_{j} & − sin ϕ_{j} \\ sin ϕ_{j} & cos ϕ_{j} \end{matrix} ] sind.

11.17 Definitionen : Ein Endomorphismus l eines Prä-Hilbertraumes heißt selbstadjungiert, wenn ⟨lx, y⟩ = ⟨x, ly⟩ ∀x, y ∈ V gilt.

11.18 Bemerkungen :

(i) Sei B eine ON-Basis des Prä-Hilbertraumes V. Dann ist ein Endomorphismus l genau dann selbstadjungiert, wenn M_{B}(l) symmetrisch bzw. hermitesch ist.

(ii) Wenn A ∈ M_{n,n}(ℂ) hermitesch ist, so sind die Eigenwerte von A reell.

11.19 Satz : Die folgenden Aussagen (i), (ii), (iii) gelten und sind verschiedene Formulierungen des gleichen Sachverhalts (sind also logisch äquivalent):

(i) Spektrums-Satz: Sei V ein endlich-dimensionaler (Prä-)Hilbertraum und l ein selbstadjungierter Endomorphismus von V. Dann sind die Eigenwerte von l reell, und es existiert eine ON-Basis aus Eigenvektoren von l.

(ii) Diagonalisierung symmetrischer oder hermitescher Matrizen: Sei A ∈ M_{n,n}(𝕂) reell symmetrisch oder komplex hermitesch. Dann ist S_{A} ⊂ ℝ, und es existiert eine orthogonale bzw. unitäre Matrix T so, daß T^{−1}AT = Diag[λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}] mit λ_{i} ∈ S ∀i gilt.

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(iii) Hauptachsentransformation: Seien q(x) = ∑_{i,j}^{1...n} α_{ij}ξ_{i}ξ_{j} bzw. q(x) =

∑_{i,j}^{1...n} α_{ij}\overline{ξ_{i}}ξ_{j} eine reelle quadratische Form bzw. eine komplexe her-

mitesche Form mit symmetrischer bzw. hermitescher Koeffizientenmatrix. Dann gibt es eine Koordinatentransformation x = T x′ mit T ∈ O bzw. T ∈ U derart, daß sich q auf Diagonalgestalt ∑ λ_{i}ξ_{i}^{2} bzw. ∑ λ_{i}ξ_{i}\overline{ξ_{i}} transformiert. Dabei sind die λ_{i} reell und sind die Eigenwerte von A = (α_{ij}).

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7Im Spätwerk ’Harmonices Mundi’ von 1619 zeigt sich das ganze Genie des Johannes Kepler (1571 - 1630) - eine Synthese von tiefgründigem, philosophischem Denken in der Tradition der Pythagoreer, des Plato und der Neuplatoniker mit sachlicher, unvoreingenommener mathematisch-physikalischer Betrachtungsweise: Im 3. Kapitel des 5. Buches formuliert er das berühmte Gesetz über die Umlaufzeiten der Planeten unseres Sonnensystems, das nun drittes Keplersches Gesetz heißt. Im 2. Buch referiert er die platonische Kosmologie des Timaios: ’Das sind jene 5 Körper, die die Pythagoreer, Plato und Proklus, der Kommentator des Euklid, die Weltfiguren zu nennen pflegen … Wenn jedoch auch die Analogie im allgemeinen plausibel ist, so ist sie doch in dieser speziellen Form keineswegs

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notwendig bedingt und läßt andere Auffassungen zu … Nun ist es eine wesentliche Eigenschaft jener 5 Figuren, daß sie mit ihren Ecken in eine Kugelfläche umbeschrieben und mit den Mittelpunkten ihrer Seitenflächen um ein solche umbeschrieben werden können . . . Was konnte daher plausibler erscheinen, als daß der Schöpfer die 5 Abstände zwischen jenen 6 himmlischen Sphären den 5 Figuren entnommen hat, und zwar in der Reihenfolge, daß zwischen den Spären von Saturn und Jupiter der Würfel zu denken, zwischen Jupiter und Mars das Tetraeder, zwischen Mars und Erde das Dodekaeder, zwischen Erde und Venus das Ikosaeder und zwischen Venus und Merkur das Oktaeder! ‘ Kepler nimmt damit einen Gedanken wieder auf, den er bereits 23 Jahre zuvor im ’Mysterium Cosmographicum’ geäußert hatte. Die Pythagoreer, Platon und Kepler hatten also ein feines Gespür für die Tatsache, daß die regulären Polyeder Grundstrukturen unserer Welt repräsentieren, was seit den v.Laueschen Beugungsversuchen mit Röntgenstrahlen an Festkörpern klar ist. Die Abbildungen sind jeweils der Holzschnitt der Originalausgabe von 1619 bzw. ein Kupferstich von 1597.

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