Kapitel 13

Funktionenfolgen, Potenzreihen

13.1 Definitionen : Seien (V, || ||) und (V′, || ||′) normierte Räume (Das Folgende läßt sich auch allgemeiner für sogenannte metrische Räume definieren, aber wir kommen für unsere Zwecke ganz gut mit dem Spezialfall der normierten Räume aus!). Seien M ⊂ V und f_{ν} : V → V′ Funktionen für ν = 1, 2, . . ..

(i) Die Folge (f_{ν}) heißt konvergent in x ∈ V [bzw. auf M], wenn die Folge (f_{ν}(x)) in V′ [bzw. für jedes x ∈ M] konvergiert.

(ii) Wenn (f_{ν}) auf M konvergent ist, so definieren wir durch f(x) := lim_{ν→∞}f_{ν}(x) eine Funktion f : M → V′ und sagen: (f_{ν}) konvergiert gegen f (punktweise), geschrieben lim_{ν→∞}f_{ν} = f.

(iii) Wenn darüber hinaus ⋀_{ε>0} ⋁_{N>0} ⋀_{x∈M}[ν ≥ N → ||f(x) − f_{ν}(x)||′ < ε] gilt,

so sagen wir, (f_{ν}) konvergiert gleichmäßig gegen f auf M.

13.2 Bemerkungen :

(i) Wir wissen doch: e^{x} = lim_{ν→∞} ∑_{i=0}^{ν} \frac{x^{i}}{i!} . Also konvergiert die Folge der Parti-

alsummen S_{ν}(x) gegen e^{x}.

Mithin läßt sich |e^{x} − S_{ν}(x)| < ε erreichen für alle ν ≥ N. Es könnte aber sein, daß das zu wählende N nicht nur von ε, sondern auch von dem jeweils betrachteten Argument x abhängt. Genau von diesem Aspekt hängt es ab, ob nur punktweise Konvergenz oder eben sogar gleichmäßige Konvergenz vorliegt.

Anschaulich gesprochen bedeutet gleichmäßige Konvergenz: Fast alle f_{ν} liegen in einem ε-Schlauch um f.

(ii) Natürlich impliziert gleichmäßige Konvergenz die (punktweise) Konvergenz. Die Umkehrung gilt nicht, wie das folgende Beispiel zeigt:

Sei f_{ν} : [0, 1] → ℝ definiert mittels x ↦ max\{ν − ν^{2}|x − \frac{1}{ν}|, 0\}. Es gilt f_{ν}(0) = 0 für alle ν, f_{ν}(\frac{1}{ν}) = ν, f_{ν}(x) = 0 für x ≥ \frac{2}{ν}.

Ferner: lim_{ν→∞}f_{ν}(x) = 0 für alle x ∈ [0, 1], also konvergiert (f_{ν}) punktweise gegen die Nullfunktion. Denn: Für x = 0 ist der Sachverhalt klar. Für x > 0 wähle N so, daß \frac{2}{N} ≤ x ist. Dann gilt für ν ≥ N auch \frac{2}{ν} ≤ x, also f_{ν}(x) = 0.

Andererseits gilt aber |f_{ν}(\frac{1}{ν}) − 0| = ν und somit konvergiert (f_{ν}) nicht gleichmäßig.

(iii) Wenn V′ Cauchy-vollständig ist, so gilt: (f_{ν}) ist genau dann gleichmäßig

konvergent auf M, wenn ⋀_{ε>0} ⋁_{N∈ℕ} ⋀_{x∈M}[μ, ν ≥ N → ||f_{μ}(x)−f_{ν}(x)||′ < ε].

Der Beweis sei als Aufgabe gelassen.

13.3 Satz : Sei (f_{ν}) gleichmäßig konvergent auf einer Kugel K_{ρ}(a) ⊂ (V, ||a||), und sei jede Funktion f_{ν} stetig in a. Dann ist die Limesfunktion f stetig in a. Beweis:

13.4 Bemerkungen :

(i) Bei nichtgleichmäßiger Konvergenz können auch nichtstetige Limesfunktionen auftreten:

Betrachte z. B. f_{ν}(x) = x^{ν} auf [0, 1]. Es ist lim_{ν→∞} x^{ν} =

\{ \begin{matrix}0 für & x ∈ [0, 1[ \\ 1 für & x = 1 \end{matrix} \} =: f, also

ist f bei 1 nicht stetig.

(ii) Jedoch ist die Grenzfunktion machmal stetig, obwohl keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt ( siehe 13.2(ii) ).

Der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz spielt eine große Rolle für das Problem der Vertauschung von Limes-Operationen:

(iii) Wenn (f_{ν}) gleichmäßig konvergiert und die f_{ν} stetig sind, so gilt

lim_{x→a}( lim_{ν→∞} f_{ν})(x) = ( lim_{ν→∞} f_{ν})(a) = lim_{ν→∞} f_{ν}(a) = lim_{ν→∞} lim_{x→a} f_{ν}(x) .

(iv) Für das Beispiel 13.2(ii) gilt hingegen:

lim_{x→ \frac{1}{ν}} lim_{ν→∞} f_{ν}(x) = lim_{x→ \frac{1}{ν}} 0 = 0 , aber

lim_{ν→∞} lim_{x→ \frac{1}{ν}} f_{ν}(x) = lim_{ν→∞} f_{ν}(\frac{1}{ν}) = lim_{ν→∞} ν = ∞ .

Auch die Integration der Limesfunktion ist \underline{nicht} mittels Vertauschung von Integration und Limesoperation möglich:

1 = lim_{ν→∞} ∫_{0}^{1} f_{ν}(x)dx ≠ ∫_{0}^{1} lim_{ν→∞} f_{ν}(x)dx = ∫_{0}^{1} 0dx = 0 !

Jedoch gilt:

13.5 Satz : Seien die f_{ν} : [a, b] → ℝ stetig und sei (f_{ν}) gleichmäßig konvergent auf [a,b]. Dann gilt:

∫_{a}^{b} lim_{ν→∞} f_{ν}(x)dx = lim_{ν→∞} ∫_{a}^{b} f_{ν}(x)dx .

Beweis: Sei f := lim_{ν→∞} f_{ν}. Nach 13.3 ist f stetig und daher integrierbar. Bei vorgegebenem ε > 0 folgt für genügend großes ν mittels 8.15

| ∫_{a}^{b} f(x)dx − ∫_{a}^{b} f_{ν}(x)dx| ≤ ∫_{a}^{b} |f(x) − f_{ν}(x)|dx ≤ (b − a)||f − f_{ν}|| < ε .

13.6 Satz : Es seien I ein offenes Intervall in ℝ, f_{ν} : I → ℝ C^{1}- Funktionen, (fν^{′}(x)) gleichmäßig konvergent auf I und (f_{ν}(a)) konvergent für ein a ∈ I. Dann existiert lim_{ν→∞}f_{ν}(x) auf I, und es gilt dort lim_{ν→∞}fν^{′} = (lim_{ν→∞}f_{ν})′. Beweis: f(x) := lim_{ν→∞} f_{ν}(x) existiert für jedes x ∈ I; denn für x, x_{0} ∈ I gilt

lim_{ν→∞}(f_{ν}(x) − f_{ν}(x_{0})) = lim_{ν→∞} ∫_{x_{0}}^{x} fν^{′}(t)dt = ∫_{x_{0}}^{x} lim_{ν→∞} fν^{′}(t)dt ,

existiert also, und nach Voraussetzung existiert lim_{ν→∞} f_{ν}(x_{0}). Sei g := lim_{ν→∞} fν^{′}. Dann gilt

∫_{x_{0}}^{x} g(t)dt = lim_{ν→∞} ∫_{x_{0}}^{x} fν^{′}(t)dt = lim_{ν→∞} f_{ν}(x) − lim_{ν→∞} f_{ν}(x_{0}) = f(x) − f(x_{0}) = ∫_{x_{0}}^{x} f′(t)dt .

Differentiation nach der oberen Integralgrenze ergibt gemäß 8.18 g(x) = f′(x) für alle x ∈ I.

Die Kommutativität der Limesoperationen von 13.5 und 13.6 gilt auch im Komplexen!

13.7 Satz (Weierstraßsches Konvergenzkriterium) : Es seien f_{ν} :

M → ℂ (ν = 0, 1, …) Funktionen mit ∑_{ν=0}^{∞}||f_{ν}||_{M} < ∞, wobei || ||_{M} die

Supremumsnorm bezeichne. Dann konvergiert ∑_{ν=0}^{∞}f_{ν} absolut und gleichmäßig

auf M.

Funktionenfolgen, Potenzreihen 183 Beweis: Für x ∈ M gilt ∑_{ν=0}^{∞}|f_{ν}(x)| ≤ ∑_{ν=0}^{∞}||f_{ν}||_{M} < ∞, also konvergiert ∑ |f_{ν}(x)|, und es existiert die Grenzfunktion F (x) := ∑_{ν=0}^{∞}f_{ν}(x). Die n-ten Partialsummen F_{n}(x) := ∑_{ν=0}^{n}f_{ν}(x) konvergieren gleichmäßig auf M gegen

F (x), da ⋀_{ε>0} ⋁_{N∈ℕ} ⋀_{n≥N} ∑_{ν=n+1}^{∞}||f_{ν}||_{M} < ε gilt und somit für n ≥ N auch |F (x) −

F_{n}(x)| = | ∑_{ν=n+1}^{∞}f_{ν}(x)| ≤ ∑_{ν=n+1}^{∞}||f_{ν}||_{M} < ε gilt.

13.8 Satz : Die Potenzreihe f(z) = ∑_{ν=0}^{∞}c_{ν}(z − z_{0})^{ν}, c_{ν}, z_{0}, z ∈ ℂ, konvergiere für z_{1} ∈ ℂ, z_{1} ≠ z_{0}. Dann konvergiert f(z) absolut und gleichmäßig in dem abgeschlossenen Kreis \overline{K}_{ρ}(z_{0}) um z_{0} vom Radius ρ, wenn 0 < ρ < |z_{1}−z_{0}| gilt. Die Potenzreihe g(z) = ∑_{ν=1}^{∞}νc_{ν}(z −z_{0})^{ν−1} konvergiert dort ebenfalls absolut und gleichmäßig und ist dort gleich f′(z). Beweis: Wir setzen a_{ν}(z) := c_{ν}(z − z_{0})^{ν}. Nach Voraussetzung ist ∑_{ν=0}^{∞}a_{ν}(z_{1}) konvergent, also existiert c ∈ ℝ^{+}, so daß |a_{ν}(z_{1})| < c für alle ν gilt.

Daher gilt für z ∈ \overline{K}_{ρ}(z_{0}): |a_{ν}(z)| = |c_{ν}(z − z_{0})^{ν}|\frac{|z_{1}−z_{0}|^{ν}}{|z_{1}−z_{0}|^{ν}} < cϑ^{ν} mit ϑ := \frac{ρ}{|z_{1}−z_{0}|}. Also gilt ||a_{ν}||_{\overline{K}_{ρ}(z_{0})} < cϑ^{ν}.

Da aber 0 < ϑ < 1 gilt, ist ∑_{ν=0}^{∞}||a_{ν}||\overline{K_{ρ}(z_{0})} konvergent. Nach 13.7 ist also ∑_{ν=0}^{∞}a_{ν}(z) auf \overline{K}_{ρ}(z_{0}) absolut und gleichmäßig konvergent.

Setze nun b_{ν}(z) := νc_{ν}(z − z_{0})^{ν−1} und führe den Beweis für die absolute und gleichmäßige Konvergenz von ∑ b_{ν} analog. (Es gilt ||b_{ν}||_{\overline{K}_{ρ}(z_{0})} < νcϑ^{ν−1} und ∑ νcϑ^{ν−1} ist nach dem Quotientenkriterium konvergent.) 13.6 zeigt nun, daß g = f′ gilt.

13.9 Definition : r := sup{|z − z_{0}| : ∑_{ν=0}^{∞}c_{ν}(z − z_{0})^{ν}konvergent} heißt der

Konvergenzradius der Potenzreihe, und K_{r}(z_{0}) heißt der Konvergenzkreis.

13.10 Bemerkungen :

(i) Sei r der Konvergenzradius von ∑_{ν=0}^{∞}c_{ν}(z − z_{0})^{ν}. Dann konvergiert diese

Potenzreihe für alle z ∈ K_{r}(z_{0}). Sie konvergiert gleichmäßig und absolut auf \overline{K}_{ρ}(z_{0}), wenn ρ ≤ r gilt.

(ii) Also ist f(z) := ∑_{ν=0}^{∞}c_{ν}(z − z_{0})^{ν} im (offenen) Konvergenzkreis stetig,

(beliebig oft) gliedweise differenzierbar und integrierbar. Der Konvergenzradius der abgeleiteten Reihe ist ebenfalls r.

(iii) Außerhalb von \overline{K}_{ρ}(z_{0}) divergiert die Potenzreihe. Auf dem Rand von K_{ρ}(z_{0}) kann sie konvergieren oder divergieren.

(iv) Beispiele

a) ∑_{ν=1}^{∞} \frac{z^{ν}}{ν}

Es gilt |\frac{a_{ν+1}}{a_{ν}} | = |z||\frac{ν}{ν+1}| < |z|, also lim_{ν→∞}|\frac{a_{ν+1}}{a_{ν}} | ≤ |z| < 1 für |z| < 1.

Also ist der Konvergenzradius r ≥ 1. Da für z = 1 Divergenz vorliegt (harmonische Reihe), ist r = 1. Für z = −1 liegt Konvergenz vor (Leibnizkriterium), also auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es Punkte der Konvergenz und auch solche der Divergenz.

b) ∑_{ν=0}^{∞}z^{ν} hat den Konvergenzradius r = 1. Auf dem gesamten Rand

herrscht Divergenz, da das allgemeine Glied der Summe nicht gegen Null strebt!

c) ∑_{ν=1}^{∞} \frac{z^{ν}}{ν^{2}} zeigt Konvergenz für z = 1. Sei x ∈ ℝ, x > 1, also x = 1 + ε.

Wir erhalten \frac{x^{ν}}{ν^{2}} = \frac{(1+ε)^{ν}}{ν^{2}} = \frac{1}{ν^{2}} [1 + \binom{ν}{1}ε + \binom{ν}{2}ε^{2} + \binom{ν}{3}ε^{3} + …] >

\frac{1}{ν^{2}} \binom{ν}{3}ε^{3} = \frac{nu(ν−1)(ν−2)}{6ν^{2}}ε^{3} →_{ν→∞}∞, also Divergenz für x > 1. Daher ist

r = 1.

(v) Die Logarithmusreihe Die geometrische Reihe mit q = −x liefert für |x| < 1: 1 − x + x^{2} − x^{3} + − … = \frac{1}{1+x}. Da bei x = −1 Divergenz vorliegt, ist der Konvergenzradius 1. Integration der Reihe liefert nach 13.5

ln(1 + x) = ∑_{ν=1}^{∞}(−1)^{ν+1} \frac{x^{ν}}{ν}

Diese Reihe ist jedoch wegen ziemlich schlechten Konvergenzverhaltens zur Berechnung von Logarithmen nicht besonders geeignet. Dafür nimmt man besser

ln \frac{1 + x}{1 − x} = 2(x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} + …)

(was man aus der Reihe für ln(1+x) und ln(1−x) = −x− \frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{3}}{3} −… erhält!).

(vi) Ein kleiner Scherz: Wie rechnen Techniker 2·2 aus? Es ist bekannt, daß Techniker gern Reihenentwicklungen benutzen, die etwa nach dem 2. Glied abgebrochen werden. Besonders oft wird natürlich die geometrische Reihe genutzt, also: 2 · 2 = 2 · \frac{1}{1− \frac{1}{2}} = 2(1 + \frac{1}{2} + …) ≈ 2(1 + \frac{1}{2}) = 3.

Oder, noch spektakulärer: 2 · 2 = 2 · \frac{−1}{1− \frac{3}{2}} = −2(1 + \frac{3}{2} + …) ≈ −5.

(vii) Sei f(z) = ∑_{ν=0}^{∞}c_{ν}(z − z_{0})^{ν} mit Konvergenzradius > 0. Dann ist c_{n} =

\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!} für jedes n ∈ ℕ.

Diese Aussage gilt auch für das Komplexe. Jedoch wird der Begriff der Ableitung einer Funktion f : D → ℂ, D ⊂ ∘ ℂ erst in Mathematik III eingeführt werden. Denn: Wir wenden 13.8 n-mal hintereinander an und erhalten: f^{(n)}(z) =

∑_{ν=k}^{∞}ν(ν − 1) ⋯ (ν − n + 1)c_{ν}(z − z_{0})^{ν−n}, also f^{(n)}(z_{0}) = n!c_{n}.

13.11 Satz Taylorformel für eine reelle Variable) : Seien I =]a, b[ und f : I → ℝ eine C^{(n+1)}-Funktion. Dann gilt für x_{0}, x ∈ I:

f(x) = ∑_{ν=0}^{n} \frac{f^{(ν)}(x_{0})}{ν!}(x−x_{0})^{ν}+R_{n+1}(x), wobei R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!}∫_{x_{0}}^{x}(x−t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt

ist (R(n + 1) heißt Restglied).

Beweis: Durch Induktion nach n. Für n = 0 ist die Behauptung klar:

f(x) = f(x_{0}) + ∫_{x_{0}}^{x}f′(t) dt. Sei nun die Richtigkeit der Behauptung für n − 1

vorausgesetzt, also gilt

f(x) = ∑_{ν=0}^{n−1} \frac{f^{(ν)}(x_{0})}{ν!}(x − x_{0})^{ν} + \frac{1}{(n − 1)!}∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n−1}f^{(n)}(t) dt

und weiter mit partieller Integration

f(x) = ∑_{ν=0}^{n−1} \frac{f^{(ν)}(x_{0})}{ν!}(x − x_{0})^{ν} + \frac{1}{(n − 1)!} \frac{−(x − t)^{n}}{n} f^{(n)}(t)|_{x_{0}}^{x} + \frac{1}{(n − 1)!n}∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt

, was zu beweisen war.

13.12 Satz (Lagrangesche Form des Restgliedes) : Die Voraussetzungen seien wie in 13.11 gewählt. Dann gilt: R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x − x_{0})^{n+1} mit ξ ∈ [x_{0}, x] bzw. [x, x_{0}].

Beweis: R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!}∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt = f^{(n+1)}(ξ)∫_{x_{0}}^{x} \frac{(x−t)^{n}}{n!} dt =

−f^{(n+1)}(ξ)\frac{(x−t)^{n+1}}{(n+1)!} |_{x_{0}}^{x} = f^{(n+1)}(ξ)\frac{(x−x_{0})^{n+1}}{(n+1)!} (nach 8.14).

13.13 Definition : Sei f : I → ℝ eine

C^{(∞)}-Funktion und sei x_{0} ∈ I. Dann heißt

∑_{ν=0}^{∞} \frac{f^{(ν)}(x_{0})}{ν!}(x − x_{0})^{ν} die Taylor-Reihe von

f mit Entwicklungspunkt x_{0}. Speziell für

x_{0} = 0 wird sie Mac-Laurin-Reihe ge-

nannt.

13.14 Bemerkungen :

(i) Wenn f(x) durch eine Potenzreihe dargestellt wird, so ist es nach 13.10 (vii) die Taylorreihe.

(ii) Die Taylorreihe einer C^{(∞)}-Funktion hat nicht immer einen Konvergenzradius > 0.

Denn: Wir betrachten etwa das Beispiel f(x) := ∑_{ν=0}^{∞}e^{−ν} cos ν^{2}x. Die Reihe ist gleichmäßig konvergent, da ∑_{ν=0}^{∞} \frac{|| cos ν^{2}x||}{e^{ν}} ≤ ∑_{ν=0}^{∞}(\frac{1}{e})^{ν} gilt. Ferner

läßt sich die Summe der Ableitungen durch ∑ \frac{ν^{2}}{e^{ν}} abschätzen, und letztere Reihe ist z.B. nach dem Wurzelkriterium (Aufgabe 32) konvergent. Nach 13.6 kann die vorgelegte Reihe gliedweise abgeleitet werden, also f′ existiert. Induktiv schließt man weiter, daß f eine C^{(∞)}-Funktion ist. Also können wir die Taylorreihe von f um 0 hinschreiben:

Es ist f^{(2μ+1)}(0) = 0, da in den Ableitungen ungerader Ordnung sin ν^{2}x

auftritt. Und es gilt f^{(2ν)}(0) = ∑_{ν=0}^{∞}ν^{4μ}e^{−ν}. Also lautet die Taylorreihe

von f um 0: ∑_{μ=0}^{∞} \frac{x^{2μ}}{(2μ)!}(∑_{ν=0}^{∞}ν^{4μ}e^{−ν}).

Es gilt |\frac{x^{2μ}}{(2μ)!} ∑_{ν=0}^{∞}ν^{4μ}e^{−ν}| > (\frac{|x|ν^{2}}{2μ})^{2μ}e^{−ν} für jedes ν, also insbesondere für

ν = 2μ, also > (\frac{|x|2μ}{e})^{2μ}; und letzteres ist > 1, wenn μ > \frac{e}{2|x|} ist. Also divergiert die Taylorreihe für x ≠ 0. Aber es kommt noch schlimmer:

(iii) Selbst wenn die Taylorreihe von f einen positiven Konvergenzradius besitzt, konvergiert sie im Konvergenzkreis nicht notwendig gegen f !!

Wir betrachten das Beispiel

f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x^{2}}} & für x ≠ 0 \\ 0 & für x = 0 \end{matrix}

Zu jedem n ∈ ℕ existiert ein Polynom P_{n}(x) ∈ ℝ[x], so daß

f^{(n)}(x) = \{ \begin{matrix}P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x^{2}}} & für x ≠ 0 \\ 0 & für x = 0 \end{matrix}

Denn: Dies läßt sich durch vollständige Induktion nach n zeigen: Für n = 0 ist die Aussage offenkundig richtig. Induktionsschluß: Für x ≠ 0 gilt f^{(n+1)}(x) = (P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x^{2}}} )′ = −Pn^{′}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{2}} e^{− \frac{1}{x^{2}}} +

P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x^{2}}} · \frac{2}{x^{3}} = e^{− \frac{1}{x^{2}}} [−Pn^{′}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{2}} + 2P_{n}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{3}} ] und die eckige Klammer

ist ein Polynom in \frac{1}{x}, kann also als P_{n+1}(\frac{1}{x}) gesetzt werden.

Für x = 0 gilt f^{(n+1)}(0) = lim_{{x→0 \atop x≠0}} \frac{f^{(n)}(x)−f^{(n)}(0)}{x} = lim_{x→0}^{\frac{P_{n}( \frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x^{2}}}}{x}} = lim_{y→∞}yP_{n}(y)e^{−y^{2}} =

Also existiert die Taylorreihenentwicklung von f um den Ursprung und stellt dort die Nullfunktion dar, ist also nicht gleich der Funktion f !!

(iv) Hingegen konvergiert die Taylorreihe von f(x) gegen f, wenn das Restglied R_{n}(x) gegen Null geht (für n → ∞). Die folgende Grafik zeigt die Approximation von sin(x) durch seine Taylorpolynome:

13.15 Satz (Binomische Reihe) : Es seien α ∈ ℝ und \binom{α}{n} := \frac{α(α−1)···(α−n+1)}{n!}

für n ∈ ℕ sowie \binom{α}{0} := 1. Dann gilt (1 + x)^{α} = ∑_{ν=0}^{∞}\binom{α}{ν}x^{ν} für |x| < 1.

Beweis: Wir setzen f(x) := (1 + x)^{α}, g := ∑_{ν=0}^{∞}\binom{α}{ν}x^{ν}. g(x) ist die Taylorreihe

von f(x) um 0. Wir bestimmen ihren Konvergenzradius: Für α ∈ ℕ ist ja \binom{α}{ν} = 0, sofern ν > α ist. Also ist der Konvergenzradius in diesem Fall ∞. Wenn aber α ∉ ℕ ist, so gilt ⋀_{ν}\binom{α}{ν} ≠ 0, und das Quotientenkriterium zeigt

wegen |\frac{a_{nu+1}}{a_{ν}} | = |x||\frac{α−ν}{ν+1} |, daß der Konvergenzradius 1 beträgt.

Wir betrachten nun (\frac{g}{f})′ = \frac{g′f−f′g}{f^{2}} = \frac{(1+x)^{α}g′−α(1+x)^{α−1}g}{(1+x)^{2α}} = \frac{(1+x)g′−αg}{(1+x)^{α+1}}.

Nun ist aber (1+x)g′ = (1+x)∑_{ν=1}^{∞}ν\binom{α}{ν}x^{ν−1} = (1+x)∑_{ν=1}^{∞}α\binom{α − 1}{ν − 1}x^{ν−1} =

(1 + x)α∑_{ν=0}^{∞}\binom{α − 1}{ν}x^{ν} = α∑_{ν=0}^{∞}\binom{α − 1}{ν}x^{ν} + α∑_{ν=0}^{∞}\binom{α − 1}{ν}x^{ν+1} = α[1 +

∑_{ν=1}^{∞}\{\binom{α − 1}{ν} + \binom{α − 1}{ν − 1}\}x^{ν}] = α∑_{ν=0}^{∞}\binom{α}{ν}x^{ν} = αg.

Also ist (\frac{g}{f})′ = 0 und somit \frac{g(x)}{f(x)} = const. Da aber g(0) = f(0) = 1 gilt,

ist \frac{g(x)}{f(x)} ≡ 1.

13.16 Bemerkungen :

(i) Es läßt sich beweisen: Für jede Folge von reellen Zahlen besitzt die Menge ihrer Häufungspunkte ein Maximum, den sog. limes superior (siehe: G.M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung I, p. 77).

(ii) Der Konvergenzradius r der Potenzreihe ∑ c_{ν}(z − z_{0})^{ν} beträgt r =

\frac{1}{lim_{ν→∞} sup \sqrt[ν]{|c_{ν}|}}.

Denn: Wir fassen die Potenzreihe als geometrische Reihe ∑ q^{ν} auf, also benötigen wir für Konvergenz: \sqrt[ν]{|c_{ν}|}|z − z_{0}| ≤ q < 1, letzteres aber nur ab einem festen N. Daher gilt Konvergenz für |z − z_{0}| < \frac{1}{lim_{ν→∞} sup \sqrt[ν]{|c_{ν}|}}

und natürlich Divergenz für |z − z_{0}| > \frac{1}{lim_{ν→∞} sup \sqrt[ν]{|c_{ν}|}}.

(iii) Sind fast alle Koeffizienten von ∑ c_{ν}(z − z_{0})^{ν} von Null verschieden, so gilt r = lim_{n→∞}|\frac{c_{n}}{c_{n+1}} | (falls der Grenzwert eigentlich oder uneigentlich existiert).

13.17 Satz (Identitätssatz für Potenzreihen) :

Sind f(z) := ∑_{ν=0}^{∞}a_{ν}(z − z_{0})^{ν}, g(z) := ∑_{ν=0}^{∞}b_{ν}(z − z_{0})^{ν} mit positiven Konver-

genzradien gegeben und stimmen sie für unendlich viele sich in z_{0} häufende ζ_{ν} ≠ z_{0} überein (d.h. f(ζ_{ν}) = g(ζ_{ν})), so sind sie identisch. Beweis: Wir zeigen a_{n} = b_{n} durch Induktion nach n n = 0: Wegen der Stetigkeit von f gilt a_{0} = f(z_{0}) = lim_{ζ_{ν}→z_{0}}f(ζ_{ν}) = lim_{ζ_{ν}→z_{0}}g(ζ_{ν}) =

g(z_{0}) = b_{0} Induktionsannahme: a_{ν} = b_{ν} für alle ν ≤ n

f̃(z) := ∑_{ν=1}^{∞}a_{n+ν}(z−z_{0})^{ν−1} und g̃(z) := ∑_{ν=1}^{∞}b_{n+ν}(z−z_{0})^{ν−1} konvergieren beide

auf K, dem kleineren der Konvergenzkreise von f, g. f̃, g̃ sind also stetig auf K.

Es ist für z ≠ z_{0} f̃(z) = (f(z) − ∑_{ν=0}^{n}a_{ν}(z − z_{0})^{ν})((z − z_{0})^{−(n+1)}), g̃(z) =

(g(z) − ∑_{ν=0}^{n}b_{ν}(z − z_{0})^{ν})((z − z_{0})^{−(n+1)}).

Daher gilt nach Voraussetzungf̃(ζ_{ν}) = g̃(ζ_{ν}) für alle ζ_{ν} (,die ≠ z_{0} sind,) (nach Voraussetzung und Induktionsannahme), also a_{n+1} = f̃(z_{0}) = lim_{ζ_{ν}→z_{0}}f̃(ζ_{ν}) =

lim_{ζ_{ν}→z_{0}}g̃(ζ_{ν}) = g̃(z_{0}) = b_{n+1}. □

13.18 Satz (Division von Potenzreihen) : Sei a_{0} ≠ 0 und es habe

f(z) = ∑_{ν=0}^{∞}a_{ν}z^{ν} positiven Konvergenzradius. Dann läßt sich \frac{1}{f(z)} wieder als

eine Potenzreihe ∑_{ν=0}^{n}b_{ν}z^{ν} mit positivem Konvergenzradius darstellen.

Beweis: Ohne Einschränkung kann gelten: Da f(z) im Konvergenzradius

stetig ist, existiert ein δ > 0, so daß für |z| < 0 |f(z) − f(0)| = |∑_{ν=1}^{∞}a_{ν}z^{ν}| < 1

gilt.

Also \frac{1}{f(z)} = _{\frac{1}{1−(−∑_{ν=1}^{∞}a_{ν}z^{ν})}} = ∑_{μ=0}^{∞}(−∑_{ν=1}^{∞}a_{ν}z^{ν})^{μ} = ∑ a_{ν}z^{ν} ∑_{μ=0}^{∞}(∑_{λ=0}^{∞}a_{ν}z^{ν}) =

∑_{λ=0}^{∞}(∑_{μ=0}^{∞}a_{μλ})z^{λ} (Umordnung ist wegen der absoluten Konvergenz zulässig!)

Das letzte Gleichheitszeichen ist gerechtfertigt, wenn ∑_{μ=0}^{∞} ∑_{λ=0}^{∞}|a_{μλ}||z|^{λ} kon-

vergiert. Es ist ∑ |a_{ν}|z^{ν} gleichmäßig konvergent, also stetig im ursprünglichen

Konvergenzkreis. Also existiert ρ mit 0 < ρ < δ, so daß ∑_{ν=1}^{∞}|a_{ν}||z|^{ν} < 1 für

|z| < ρ, also ∑_{μ=0}^{∞}(∑_{ν=1}^{∞}|a_{ν}||z|^{ν})^{μ} = ∑_{μ=0}^{∞}(∑_{ν=0}^{∞}|a_{μν}||z|^{ν}).

Nun ist aber a_{μν} nicht negativ, also a_{μν} = |a_{μν}|, also = ∑_{μ=0}^{∞}∑_{ν=0}^{∞}|a_{μν}||z|^{ν}

konvergent. □

13.19 Bemerkungen :

(i) Seien f(x) := ∑_{ν=0}^{∞}a_{ν}x^{ν}, g(x) := ∑_{ν=0}^{∞}b_{ν}x^{ν} mit b_{0} ≠ 0. Die Koeffizi-

enten von \frac{f(x)}{g(x)} = ∑_{ν=0}^{∞}c_{ν}x^{ν} ermitteln wir durch Koeffizientenvergleich.

∑ a_{ν}x^{ν} = (∑ b_{ν}x^{ν})(∑ c_{ν}x^{ν}), also a_{0} = b_{0}c_{0}, a_{1} = b_{0}c_{1} + b_{1}c_{0}, a_{2} = b_{0}c_{2} + b_{1}c_{1} + b_{2}c_{0}, ⋮ Mithin: c_{0} = \frac{a_{0}}{b_{0}} , c_{1} = \frac{a_{1}}{b_{0}} − \frac{b_{1}}{b_{0}} c_{0}, c_{2} = \frac{a_{2}}{b_{0}} − \frac{b_{1}}{b_{0}} c_{1} − \frac{b_{2}}{b_{0}} c_{0},

⋮ c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{0}} − \frac{b_{1}}{b_{0}} c_{n−1} − \frac{b_{2}}{b_{0}} c_{n−2} − … − \frac{b_{n}}{b_{0}} c_{0}.

(ii) Zum Beispiel: tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{x− \frac{x^{3}}{3!} − \frac{x^{5}}{5!} −+...}{1− \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} −+...} = ∑_{ν=0}^{∞}c_{ν}x^{ν} ergibt

c_{0} = 0; c_{1} = 1; c_{2} = 0; c_{3} = −\frac{1}{3!} + \frac{1}{2!} = \frac{1}{3}; c_{4} = 0; c_{5} = a_{5} − B_{2}c_{3} − b_{4}c_{1} = \frac{1}{5!} + \frac{1}{2!} \frac{1}{3!} − \frac{1}{4!} = \frac{2}{15}, also

tan x = x + \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} + … (|x| < \frac{π}{2})

13.20 Die Bernoullischen Zahlen :

13.21 Unbestimmte Ausdrücke :

13.22 Satz (Verallgemeinerter Mittelwertsatz für reelle Variable) : Es seien f, g in ]a, b[ differenzierbare Funktionen von [a, b] nach ℝ, und es sei g′(x) ≠ 0 für alle x ∈]a, b[. Dann ist g(a) ≠ g(b) und es existiert ξ ∈]a, b[ mit \frac{f(b)−f(a)}{g(b)−g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}. Beweis: Die Behauptung folgt nicht etwa aus 7.18 durch bloße Quotientenbildung. Dann erhalten wir lediglich \frac{f(b)−f(a)}{g(b)−g(a)} = \frac{f′(ξ_{1})}{g′(ξ_{2})}! Also: Unter der Annahme g(b) = g(a) erhalten wir nach dem Satz von Rolle (7.19 (i)) die Existenz von ξ ∈]a, b[ mit g′(ξ) = 0, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. Wir setzen F (x) := f(x)− \frac{f(b)−f(a)}{g(b)−g(a)}(g(x)−g(a)). Es gilt F (b) = f(a) = F (a). Also existiert nach 7.19 (i) ξ ∈]a, b[ mit F′(ξ) = 0.

13.23 Satz (L’Hospitalsche Regel) : ^{1} Seien f und g differenzierbare Funktionen von ]a, b[ nach ℝ, und es sei g′(x) ≠ 0 für alle x ∈]a, b[. Ferner seien lim_{x→a+}f(x) = lim_{x→a+}g(x) beide gleich 0 oder

gleich ∞. Existiert dann lim_{x→a+} \frac{f′(x)}{g′(x)}, so ist lim_{x→a+} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a+} \frac{f′(x)}{g′(x)}. Entsprechende Aussagen gelten für x → b−, x → ∞, x → −∞. Beweis: Sei lim_{x→a+}f(x) = lim_{x→a+}g(x) = 0. Ergänze f und g zu in a stetigen

Funktionen, so daß also f(a) = g(a) = 0 gelten. Nach 13.22 gilt: ∀x ∈ ]a, b[∃ξ ∈]a, x[: \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}. Wenn nun x → a+ geht, so geht auch ξ → a+. Also gilt die Behauptung. Entsprechend kann auch der Fall lim f(x) = lim g(x) = ∞ bewiesen werden. □

1Die nach dem Marquis de l’Hospital (1661 – 1704) benannten Regeln stammen gar nicht von diesem. Der Marquis hat diese Regeln und ihre Beweise von ihrem Entdecker Johann Bernoulli regelrecht ”gekauft“. Er zahlte an Bernoulli für die Erlaubnis der Veröffentlichung in seinem 1696 erschienenen Buch über Differentialrechnung.

Johann Bernoulli 1667-1748 G. F. A. de l’Hospital 1661-1704

13.24 Beispiel : lim_{x→0+}(\frac{1}{x} − \frac{1}{sinh x}) = [∞ − ∞] = lim_{x→0+} \frac{sinh x−x}{x sinh x} = [\frac{0}{0}] =

lim_{x→0+} \frac{cosh x−1}{x cosh x+sinh x} = [\frac{0}{0}] = lim_{x→0+} \frac{sinh x}{x sinh x+cosh x+cosh x} = \frac{0}{1} = 0, also hier führt die zweimalige Anwendung der l’Hospitalschen Regel zum Ziel! Auch hier

einfacher mit Potenzreihenentwicklung: lim_{x→0+} \frac{x+ \frac{x^{3}}{3!} +...−x}{x^{2}+ \frac{x^{4}}{3!} +...} = 0.

13.25 Satz (Leibniz-Kriterium) : Wenn (f_{n}(x)) eine monoton fallende, auf M gleichmäßig gegen 0 konvergierende Folge von Funktionen f_{n} :

M → ℝ ist, so konvergiert ∑_{ν=1}^{∞}(−1)^{ν}f_{ν}(x) gleichmäßig auf M.

Beweis: Nach dem Leibnizkriterium für reelle Zahlen (3.10 (ix)) findet punktweise Konvergenz statt, also existiert die Grenzfunktion f(x), und es gilt

||f − ∑_{ν=1}^{n}f_{ν}|| ≤ ||f_{n+1}||. Also folgt wegen der Voraussetzung die gleichmäßige

Konvergenz der Reihe.

13.26 Satz (Dirichlet-Kriterium) : (f_{n}) habe die gleichen Voraussetzungen wie in 13.25, und für die Folge der Funktionen a_{n} : M → ℂ gelte:

⋁_{c∈ℝ} ⋀_{n∈ℕ}||∑_{ν=1}^{n}a_{ν}|| < c. Dann konvergiert ∑_{ν=1}^{n}a_{ν}f_{ν} gleichmäßig auf M.

Beweis: Wir verwenden die sog. Abelsche partielle Summation: Für

A_{μ} := ∑_{ν=1}^{μ}a_{ν} gilt ∑_{ν=1}^{n}a_{ν}f_{ν} = A_{1}f_{1} + (A_{2} − A_{1})f_{2} + … + (A_{n} − A_{n−1})f_{n} =

A_{1}(f_{1} − f_{2}) + … + A_{n−1}(f_{n−1} − f_{n}) + A_{n}f_{n}, also ∑_{ν=n+1}^{m}a_{ν}f_{ν} = ∑_{1}^{m−1}A_{ν}(f_{ν} −

f_{ν+1})− ∑_{1}^{m−1}A_{ν}(f_{ν} −f_{ν+1})+A_{m}f_{m} −A_{n}f_{n} = ∑_{n}^{m−1}A_{ν}(f_{ν} −f_{ν+1})+A_{m}f_{m} −A_{n}f_{n}.

Da nach Voraussetzung f_{ν} −f_{ν−1} ≥ 0 gilt und f_{ν} ≥ 0 ist, gilt ||∑_{n+1}^{m}a_{ν}f_{ν}|| ≥

c∑_{n}^{m−1}(f_{ν} − f_{ν+1} = +c(f_{m} + f_{n}) = 2cf_{n}. Da (f_{n}) gleichmäßig konvergiert, gilt:

⋀_{ε>0} ⋁_{N}n ≥ N → ||f_{n}|| < ε. Also gilt für m > n ≥ N: ||∑_{n+1}^{m}a_{ν}f_{ν}|| ≥ 2cε. Nach

dem Cauchy-Kriterium 13.2 (iii) gilt also die Behauptung.

13.27 Beispiele :

(i) Die Reihe ∑_{ν=1}^{∞} \frac{e^{iνx}}{ν} konvergiert gleichmäßig auf [δ, 2π − δ], wenn δ ∈]0, π[

ist. denn: Setze f_{n} := \frac{1}{n}, a_{n}(x) := e^{inx}. Die Voraussetzungen von 13.25 sind für f_{n} erfüllt. Aber auch die Voraussetzung für (a_{n}) aus 13.26 gilt:

||∑_{ν=1}^{n−1}e^{iνx}|| = ||\frac{e^{inx} − 1}{e^{ix} − 1}|| ≤ \frac{2}{||e^{\frac{ix}{2}} − e^{− \frac{ix}{2}} ||} = \frac{1}{2|| sin \frac{x}{2}||} ≤ \frac{1}{sin \frac{δ}{2}}

Also folgt die Behauptung nach 13.26.

(ii) Wir ermitteln die Summe von ∑_{ν=1}^{∞} \frac{e^{iνδ}}{ν} für δ ∈]0, π[.

Setze F (x) := ∑_{ν01}^{∞} \frac{e^{iνδ}}{ν} x^{ν}. Da die Potenzreihe für x = 1 konvergiert,

konvergiert sie gleichmäßig in jedem Intervall [0, 1 − ε], ist also stetig in [0, 1[.

In [0, 1[ gilt F′(x) = ∑_{ν=1}^{∞}e^{iνδ}x^{ν−1} = e^{iδ}∑_{ν=0}^{∞}(e^{iδ}x)^{ν} = \frac{e^{0δ}}{1−e^{iδ}x} = \frac{e^{iδ}(1−e^{−iδ}x)}{(1−e^{iδ}x)(1−e^{−iδ}x)} =

\frac{e^{iδ}−x}{1−2(cos δ)x+x^{2}} . Also gilt in [0, 1[

F (x) = −\frac{1}{2} ln(1 − 2x cos δ + x^{2}) + i arctan \frac{x sin δ}{1 − x cos δ} (∗)

Denn der erste Summand ist ∫ \frac{cos δ−x}{1−2(cos δ)x+x^{2}} dx und der zweite wird mit i ∫ \frac{sin δ}{1−2(cos δ)x+x^{2}} dx erhalten. (Verifiziere durch Ableiten.)

Die rechte Seite (*) ist auf [0, 1] stetig. Durch Anwendung des Abelschen Grenzwertsatzes 13.28 erhalten wir, daß auch F (x) auf [0, 1] stetig ist. Also gilt:

F (1) = ∑_{ν=1}^{∞} \frac{e^{iνδ}}{ν} = −\frac{1}{2} ln(2 − 2 cos δ) + i arctan \frac{sin δ}{1−cos δ} mit 2 − 2 cos δ =

4 sin^{2} \frac{δ}{2}: = − ln 2| sin \frac{δ}{2}| + i\frac{π−δ}{2}, da \frac{sin δ}{1−cos δ} = cot \frac{δ}{2} = tan(\frac{π}{2} − \frac{δ}{2}) gilt.

Also erhalten wir für δ = \frac{π}{2} ∑_{ν=1}^{∞} \frac{sin νδ}{ν} = \frac{π−δ}{2}, d.h. die schöne Formel

1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + − … = \frac{π}{4}.

13.28 Satz (Abelscher Grenzwertsatz) : Sei ∑_{ν=0}^{∞}a_{ν} (a_{ν} ∈ ℝ) kon-

vergent. Dann konvergiert f(x) := ∑_{ν=0}^{∞}a_{ν}x^{ν} für alle x ∈ (−1, 1] und ist auf

(−1, 1] stetig. Beweis: f(x) konvergiert nach Voraussetzung für x = 1, also konvergiert f(x) auf jedem [−1 + ε, 1 − ε] (0 < ε < 1) gleichmäßig, ist dort also stetig. Also ist f(x) auf (−1, 1) stetig.

Es bleibt zu zeigen: lim_{x→1−}f(x) = f(1) (linksseitige Stetigkeit in x = 1;

daher auch der Name ”Grenzwertsatz“).

Sei s_{n} := ∑_{ν=n+1}^{∞}a_{ν} für n ≥ −1. Es ist s_{−1} = f(1). Ferner s_{n} − s_{n−1} = −a_{n}

für alle n ≥ −1 und lim_{n→∞}s_{n} = 0. Also existiert c ∈ ℝ^{+} mit |s_{n}| ≤ c für

alle n. Mithin konvergiert absolut ∑_{ν=0}^{∞}s_{ν}x^{ν} für |x| < 1. (∑ |s_{ν}x^{ν}| ≤ c ∑ |x|^{ν}

geometrische Reihe, Majorantenkriterium).

(1 − x)∑_{ν=0}^{∞}s_{ν}x^{ν} = ∑_{ν=0}^{∞}s_{ν}x^{ν} − ∑_{ν=0}^{∞}s_{ν}x^{ν+1} = ∑_{ν=0}^{∞}s_{ν}x^{ν} − ∑_{ν=0}^{∞}s_{ν−1}x^{ν} + s_{−1} =

−∑_{ν=0}^{∞}a_{ν}x^{ν} + f(1), also f(1) − f(x) = (1 − x)∑_{ν=0}^{∞}s_{ν}x^{ν}.

|f(1) − f(x)| ≤ (1 − x)∑_{ν=0}^{N−1}|s_{ν}|x^{ν} + (1 − x)∑_{ν=N}^{∞}|s_{ν}|x^{ν} ≤ (1 − x)cN + (1 −

x)∑_{ν=N}^{∞}|s_{ν}|x^{ν}.

Wähle N so, daß |s_{ν}| ≤ \frac{ε}{2} für ν ≥ N und x, so daß 1 − x ≤ δ = \frac{ε}{2cN}.

Dann gilt: |f(1) − f(x)| ≤ \frac{ε}{2} + (1 − x)\frac{ε}{2} ∑_{ν=N}^{∞}x^{ν} = \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}x^{N} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε, also

lim_{x→1−}f(x) = f(1). □