Kapitel 4

Vektorräume

4.1 Definitionen : Sei K ein Körper und V eine additiv geschriebene abelsche Gruppe mit einer Multiplikation K ×V → V, die also jedem Paar (λ, x) mit λ ∈ K und x ∈ V eindeutig ein Element λx ∈ V zuordnet. V heißt ein Vektorraum (oder linearer Raum) über K, wenn darüber hinaus gelten:

(i) λ(μx) = (λμ)x ,

(ii) λ(x + y) = λx + λy ,

(iii) (λ + μ)x = λx + μx ,

(iv) 1x = x für alle λ, μ ∈ K und für alle x, y ∈ V .

Die Elemente von V heißen Vektoren, die von K Skalare. Das neutrale Element der Gruppe (V, +) heißt der Nullvektor. Die beiden Operationen des Vektorraumes, nämlich die Addition und Multiplikation mit einem Skalar, heißen die linearen Operationen. U ⊂ V heißt ein Untervektorraum oder linearer Teilraum von V, geschrieben U < V, wenn U bezüglich der von V induzierten Struktur wieder ein K-Vektorraum ist.

4.2 Bemerkungen :

(i) Die Addition in K und V werden mit dem gleichen Zeichen + geschrieben. Wir schreiben für (λx) + y einfacher λx + y.

Slogan: Punktrechnung geht vor Strichrechnung.

(ii) Wenn K ein Körper ist, so ist V := K ein K-Vektorraum. Wenn K_{1} ein Teilkörper des Körpers K_{2} ist, so ist K_{2} ein K_{1}-Vektorraum. Z.B. ist ℂ ein ℝ-Vektorraum.

(iii) Das n-fache Cartesische Produkt V := K^{n} eines Körpers K wird ein K-Vektorraum, wenn Addition und Multiplikation mit einem Skalar komponentenweise über die Operationen von K definiert werden.

(iv) Ein Rechteckschema (α_{ij}) := [ \begin{matrix}α_{11} & α_{12} & … & α_{1n} \\ α_{21} & α_{22} & … & α_{2n} \\ α_{m1} & α_{m2} & … & α_{mn} \end{matrix} ] mit α_{ij} ∈ K für

alle i = 1, …, m und für alle j = 1, …, n heißt eine m × n-Matrix mit Einträgen (Koeffizienten) aus K. Die Menge M_{m,n}(K) aller m × n-Matrizen über K wird vermittels (α_{ij})+(β_{ij}) := (α_{ij}+β_{ij}) und λ(α_{ij}) := (λα_{ij}) ein K-Vektorraum.

(v) Sei K ein Körper und sei M eine Menge. K^{M} := {f : f : M → K} wird ein K-Vektorraum, wenn die linearen Operationen folgendermaßen definiert werden: (f + g)(m) := f(m) + g(m) sowie (λf)(m) := λf(m) für alle f, g ∈ K^{M}, für alle λ ∈ K und für alle m ∈ M. Der Spezialfall M = {1, 2, …, n} liefert das Cartesische Produkt K^{n} von (iii). Der Spezialfall M = ℕ liefert den Vektorraum der Folgen mit Elementen aus K.

(vi) Für alle λ ∈ K und x ∈ V gelten:

λ0 = 0 , 0x = 0 , (λx = 0 → λ = 0 ∨ x = 0) .

Denn: Da λ0 = λ(0+0) = λ0+λ0 gilt, ist λ0 = 0. Analog wird 0x = 0 bewiesen. Für λx = 0 und λ ≠ 0 gilt x = 1x = λ^{−1}λx = λ^{−1}0 = 0.

(vii) Im K-Vektorraum V gelten: (−1)x = −x, (−λ)x = −λx = λ(−x) für alle λ ∈ K und für alle x ∈ V. Denn: Da 0 = (1 − 1)x = 1x + (−1)x = x + (−1)x gilt, ist nach 2.2 (iii) (−1)x = −x.

(viii) Es seien V ein K-Vektorraum und Ø ≠ U ⊂ V. Dann gilt: U < V genau dann, wenn U bezüglich der linearen Operationen von V abgeschlossen ist. Denn: Nicht unmittelbar klar ist höchstens die wenn-Richtung. Sei also U ≠ Ø abgeschlossen bezüglich der Addition und der Skalar-Multiplikation von V. Sei u ∈ U. Dann ist 0u = 0 ∈ U und (−1)u = −u ∈ U, also ist U eine additive Untergruppe von V. Das Erfülltsein der übrigen Vektorraumaxiome ”erbt“ U von V.

(ix) Der Durchschnitt von Unterräumen eines K-Vektorraumes ist wieder ein K-Vektorraum. In jedem Vektorraum ist {0} der kleinste Unterraum, nämlich der Durchschnitt aller linearen Teilräume.

Die Lineare und Multilineare Algebra – sogar etwa in der Art, wie wir sie heute darstellen – wurden nahezu im Alleingang von einem Mann geschaffen, von Hermann Günther Graßmann (1809–1877). Graßmann war Gymnasiallehrer in Stettin. Zeit seines Lebens blieb ihm die Anerkennung seiner mathematischen Arbeit verwehrt. Fast 100 Jahre dauerte es, bevor seine Leistung von der Fachwelt voll gewürdigt werden konnte.

In seiner ”Ausdehnungslehre“ führte Graßmann 1844, also noch bevor das Galoissche Werk durch Liouville veröffentlicht wurde, den abstrakten Gruppen-, Ring- und Vektorraumbegriff ein.^{1} Graßmanns Leistung ist umso höher einzuschätzen, als die Sprache der Mengenlehre noch nicht zur Verfügung stand und seine berühmten Zeitgenossen Hamliton und Cayley allenfalls mit n-Tupeln reeller Zahlen arbeiteten. Auch die erste Verwendung von Vektoren in der euklidischen Ebene oder im 3-dimensionalen euklidischen Raum durch Möbius (1827), Gauß (1831) und Bellavitis (1832), die aus der Unzufriedenheit über die zunehmende Kompliziertheit der Koordinatenmethode herrührte, war Graßmann bei Abfassung der Ausdehnungslehre wahrscheinlich unbekannt.^{2}

1Allerdings verwandte Graßmann nicht unsere heutigen Bezeichnungen. Abstrakte Gruppe und Ring faßte er unter der Bezeichnung ”allgemeine Formenlehre“ zusammen (§§1-12). Vektoren heißen bei ihm “Ausdehnungsgrößen“. Vektorräume heißen ”Gebiete“oder ”Systeme“.

2Siehe auch J. Dieudonne. The Tragedy of Grassmann, Lin. and Mult. Algebra 8 (1979), pp. 1-14 sowie D. Fearnley-Sander, Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, Amer. Math. Monthly 86 (1979), 809-817.

Bei Graßmann sind das konsequent strukturelle Denken und das streng formalistische Vorgehen, die Grundbegriffe implizit durch Festlegung der Beziehungen zwischen ihnen zu definieren, wie es sich erst mit David Hilbert (1862–1943) ab der Jahrhundertwende durchsetzte, bereits voll entwickelt.^{3}

Es wird Ihnen aufgefallen sein, daß wir bisher diejenigen ”Vektoren“, die Ihnen im Physik-Unterricht des Gymnasiums in Gestalt von Pfeilen – z.B. im Parallelogramm der Kräfte – begegnet sind, noch gar nicht erwähnt haben. Das liegt an einer methodischen Schwierigkeit: Wir können den 3dimensionalen euklidischen Raum noch nicht exakt definieren, da wir noch keinen Längenbegriff haben. Dennoch sind diese ”Vektoren“ zur anschaulichen Unterstützung der Theorie der Vektorräume sehr wichtig. Wir stellen uns daher einfach auf den Standpunkt, der 3-dimensionale euklidische Raum E^{3} sei gegeben.

Dann definieren wir einen Vektor im E^{3} als die Menge aller zu einem festen orientierten Punktepaar (:↔ Pfeil) des E^{3} parallelen Pfeile gleicher Länge. Ein Vektor ist also jeweils eine Äquivalenzklasse von Pfeilen. Wir definieren die Addition zweier Klassen über die Addition zweier geeigneter Repräsentanten so, wie wir sie vom Parallelogramm der Kräfte her kennen (siehe nebenstehende Abbildung). Der Nullvektor wird durch ein zusammenfallendes Punktepaar (P = Q) repräsentiert. Für 0 < λ ∈ ℝ und einen Vektor a sei λa die Klasse der Pfeile mit Richtung von a und der λ-fachen Länge wie die der Pfeile von a. −a sei durch die Pfeile gleicher Länge aber entgegengesetzter Richtung wie a repräsentiert.

3”Der rein wissenschaftliche Weg … ist, daß wir … von den Begriffen aus, welche dieser Wissenschaft zugrundeliegen, alles Einzelne entwickeln. Indem ich bei der Ableitung der Wahrheiten, welche den Inhalt dieser Wissenschaft (erg.: der Ausdehnungslehre) bilden, jedesmal den abstrakten Begriff zugrundlege, ohne mich dabei auf irgendeine in der Geometrie bewiesene Wahrheit zu stützen, so erhalte ich die Wiessenschaft ihrem Inhalte nach gänzlich rein und unabhängig von der Geometrie.“ Graßmann. Die lineale Ausdehnungslehre. Leipzig 1844, §13.

Dieses geometrische Modell kann rechnerisch als ℝ^{3} (oder, wenn wir in der Ebene bleiben, sogar als ℝ^{2}) behandelt werden, indem ein Cartesisches Koordinatensystem eingeführt wird. In der Technik werden diese Vektoren oft freie Vektoren genannt, da sie ja ”frei“ parallel-verschoben werden können. Ein Vektor ist doch eine Klasse zueinander paralleler Vektoren. (Begriffsbildung im Kontrast z.B. zu sog. linienflüchtigen Vektoren, die nur längs einer Geraden verschoben werden dürfen!).

Veranschaulichung der Kommutativität und Assoziativität der Addition sowie der Distributivität und der Subtraktion

im euklidischen Vektorraum

4.3 Definitionen : Es seien V ein K-Vektorraum und Ø ≠ M ⊂ V. Der Durchschnitt aller M enthaltender Unterräume von V heißt die lineare Hülle (oder das lineare Erzeugnis) von M oder der von M erzeugte (aufgespannte) Unterraum, geschrieben ⟨M⟩. M heißt dann ein Erzeugendensystem für ⟨M⟩.

Es seien λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} ∈ K und x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ V. Ein Ausdruck der

Gestalt ∑_{i=1}^{n}λ_{i}x_{i} = λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} + … + λ_{n}x_{n} heißt eine Linearkombination

der Vektoren x_{1}, x_{2}, …, x_{n}. Unter einer Linearkombination einer Menge M mit Ø ≠ M ⊂ V wird eine Linearkombination aus endlich vielen Vektoren von M verstanden.

Sei U eine Menge von Unterräumen von V. ∑_{U∈U}U := ⟨ ⋃_{U∈U}U⟩ heißt die

Summe der Unterräume von U.

4.4 Bemerkungen :

(i) ⟨M⟩ ist der kleinste M enthaltende Unterraum von V.

(ii) ⟨M⟩ ist die Menge der Linearkombinationen, die aus Vektoren von M gebildet werden können. Denn: Das ist klar wegen 4.2 (viii).

(iii) ∑_{U∈U}U besteht aus genau den Vektoren, die sich als endliche Summe

von Vektoren aus paarweise verschiedenen Elementen von U darstellen lassen.

4.5 Definitionen :

(i) ∑_{i=1}^{n}0x_{i} = 0 heißt eine triviale Darstellung der Null.

(ii) ∑_{i=1}^{n}λ_{i}x_{i} = 0 heißt eine nichttriviale Darstellung der Null, wenn

nicht alle λ_{i} gleich Null sind und x_{1}, x_{2}, …, x_{n} paarweise verschieden sind.

(iii) Die Elemente x_{1}, x_{2}, …, x_{n} eines K-Vektorraumes V heißen linear unabhängig, wenn die Null durch sie nur trivial darstellbar ist, andernfalls linear abhängig.

(iv) Sei M ⊂ V. M heißt linear unabhängig, wenn je endlich viele Vektoren aus M linear unabhängig sind, und andernfalls linear abhängig.

(v) Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V heißt eine Basis von V.

Übung: Machen Sie sich am oben eingeführten Beispiel des E^{2} anschaulich klar, daß dort je drei Pfeilklassen stets linear abhängig sind, aber zwei (nichttriviale) Pfeilklassen verschiedener Richtung eine Basis bilden.

4.6 Bemerkungen :

(i) Wenn M linear unabhängig ist, so gilt ∀N ⊂ M: N ist linear unabhängig.

(ii) Wenn M linear abhängig ist, so gilt ∀N ⊃ M: N ist linear abhängig.

(iii) Wenn M Teilmenge eines Vektorraumes, und wenn 0 ∈ M ist, so ist M linear abhängig.

(iv) Sei V K-Vektorraum und sei x ∈ V. Dann gilt: {x} linear unabhängig ↔ x ≠ 0.

(v) Sei |M| ≥ 2. Dann ist M genau dann linear abhängig, wenn es paarweise

verschiedene y, x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ M gibt mit y = ∑_{i=1}^{n}λ_{i}x_{i}(n ≥ 1, λ_{i} ∈ K).

(vi) Ø ist Basis von {0}.

(vii) {e_{1} := (1, 0, …, 0), e_{2} := (0, 1, 0, …, 0), …, e_{n} := (0, 0, …, 0, 1)} ist eine Basis von K^{n}, die sog. kanonische Basis. e_{1}, e_{2}, …, e_{n} heißen die Standardbasisvektoren.

Denn: ∑_{i=1}^{n}λ_{i}e_{i} = ∑_{i=1}^{n}(0, …, 0, λ_{i}, 0, …, 0) = (λ_{1}, …, λ_{i}, …, λ_{n}) ist ge-

nau dann gleich 0, wenn alle λ_{i} verschwinden. Also ist {e_{1}, e_{2}, …, e_{n}} linear unabhängig. Die Gleichung zeigt auch, daß die Menge ein Erzeugendensystem für K^{n} ist.

(viii) {1, X, X^{2}, …} ist eine Basis des K-Vektorraums K[X].

Der folgende Satz gibt nützliche äquivalente Kennzeichnungen des Begriffs ”Basis“:

4.7 Satz : Sei V ≠ {0} K-Vektorraum und sei M ⊂ V. Folgende Aussagen sind äquivalent:

(i) M ist Basis von V.

(ii) M ist maximale linear unabhängige Teilmenge von V.

(iii) Jedes v ∈ V \ {0} läßt sich eindeutig als Linearkombination von paar-

weise verschiedenen Elementen aus M darstellen: v = ∑_{i=1}^{n}λ_{i}m_{i} (λ_{i} ∈ K,

m_{i} ∈ M).

(iv) M ist minimales Erzeugendensystem von V.

Beweis: Der Beweis erfolgt durch einen sogenannten ”Ringschluß“. Wir zeigen nämlich (i) → (ii), (ii) → (iii), (iii) → (iv) und (iv) → (i).

Sei also (i) vorausgesetzt, und sei v ∈ V \ M. Dann ist v = ∑_{i=1}^{n}λ_{i}m_{i} mit

paarweise verschiedenen m_{1}, m_{2}, …, m_{n}. Also ist M ∪ {v} linear abhängig. Sei (ii) vorausgesetzt. Zunächst läßt sich jedes v ∈ M als Linearkombination von Elementen aus M darstellen (nämlich als v = 1v). Das gilt aber auch für jedes v ∈ V \ M; denn, da M ∪ {v} nach Voraussetzung linear abhängig ist, gibt es eine nichttriviale Darstellung der Null: 0 = λv + ∑_{i=1}^{n}λ_{i}m_{i} mit

m_{i} ∈ M und λ ≠ 0. Also v = ∑_{i=1}^{n} − (λ^{−1}λ_{i})m_{i}. Wenn v zwei Darstellun-

gen ∑_{m_{i}∈M}λ_{i}m_{i} = ∑_{m_{i}∈M}λ_{i}^{∗}m_{i} (fast alle λ_{i} bzw. λ_{i}^{∗} gleich 0) hätte, dann wäre

∑(λ_{i} − λ_{i}^{∗})m_{i} = 0, und wegen der linearen Unabhängigkeit wäre λ_{i} = λ_{i}^{∗} für alle i. Wenn (iii) vorausgesetzt ist, so ist V = ⟨M⟩. Angenommen, es gäbe m ∈ M mit V = ⟨M \ {m}⟩, so wäre m = 1m = ∑ λ_{i}m_{i} mit m_{i} ∈ M \ {m}. Also hätte m zwei verschiedene Darstellungen als Linearkombination der Elemente von M. Sei schließlich (iv) vorausgesetzt. Unter der Annahme der linearen Abhängig-

keit von M existierte eine Darstellung 0 = ∑_{i=0}^{n}λ_{i}m_{i} mit m_{i} ∈ M und etwa

λ_{0} ≠ 0. Mithin wäre m_{0} = ∑_{i=1}^{n} − (λ_{0}^{−1}λ_{i})m_{i}, also V = ⟨M \ {m_{0}}⟩ im Wider-

spruch zur Minimalität von M.

4.8 Satz ( Austauschsatz ) : Sei V ein K-Vektorraum mit endlichem Erzeugendensystem {u_{1}, …, u_{n}} und sei M eine linear unabhängige Menge in V. Dann ist M = {v_{1}, …, v_{m}} mit m ≤ n, und bei geeigneter Wahl der Indizes der u_{i} ist auch {v_{1}, …, v_{m}, u_{m+1}, …, u_{n}} ein Erzeugendensystem von V.

Der Satz heißt Austauschsatz, weil m geeignete Elemente von {u_{1}, …, u_{n}} gegen v_{1}, …, v_{m} ausgetauscht werden können, ohne die Eigenschaft, Erzeugendensystem zu sein zu zerstören.^{4} Wir illustrieren den Satz noch einmal:

Nach evtl. Umnumerieren: V = ⟨ \underbrace{u_{1}, …, u_{m}}_{v_{1},...,v_{m}linearunabhängig}, u_{m+1}, …, u_{n}⟩ ⟶

V = ⟨v_{1}, …, v_{m}, u_{m+1}, …, u_{n}⟩.

4Der Austauschsatz wird oft nach E. Steinitz benannt, weil er in dessen Arbeit ”Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme“, J. reine und angew. Math. 143 (1913), 128-175, vorkommt. Jedoch steht der Satz bereits auf S. 10 der Graßmannschen Ausdehnungslehre von 1862. Graßmann hatte nach dem Ausbleiben einer Resonanz auf seine ”lineale Ausdehnungslehre“ von 1844 im Jahre 1862 einen zweiten Anlauf genommen. Auf eigene Kosten veröffentlichte er eine neue Ausdehnungslehre, in der er davon absieht, Vektorraum und äußere Algebra intrinsisch zu definieren. Er definiert den Vektorraum nun als die Menge der Linearkombinationen von n ”ursprünglichen Einheiten“ e_{1}, …, e_{n}, ”welche in keiner Zahlbeziehung zueinander stehen“. Aber auch dieser Ausdehnungslehre war keine bessere Aufnahme beschieden als der ersten.

Beweis des Austauschsatzes: Seien v_{1}, …, v_{m} linear unabhängig in V. Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion nach m. Für m = 1 ist

v_{1} ≠ 0, also ist v_{1} = ∑_{i=1}^{n}λ_{i}u_{i} und bei geeigneter Numerierung λ_{1} ≠ 0. Mithin

ist u_{1} = ∑ −λ_{1}^{−1}λ_{i}u_{i} + v_{1}, und somit V = ⟨v_{1}, u_{2}, …, u_{n}⟩. Sei bereits V = ⟨v_{1}, …, v_{m−1}, u_{m}, …, u_{n}⟩ gezeigt.

Dann ist v_{m} = ∑_{i=1}^{m−1}λ_{i}v_{i} + ∑_{i=m}^{n}μ_{i}u_{i}. Wegen der linearen Unabhängigkeit von

v_{1}, …, v_{m} verschwinden nicht alle μ_{i}, also etwa μ_{m} ≠ 0. Daher ist u_{m} =

∑_{i=1}^{m−1} − μ_{m}^{−1}λ_{i}v_{i} + ∑_{i=m+1}^{n} − μ_{m}^{−1}μ_{i}u_{i} + μ_{m}^{−1}v_{m} und V = ⟨v_{1}, …, v_{m}, u_{m+1}, …, u_{n}⟩.

Damit ist auch m ≤ n gezeigt.

4.9 Folgerung : Es seien {u_{1}, …, u_{m}} und {v_{1}, …, v_{n}} Basen des K-Vektorraumes V. Dann ist m = n. Wenn V eine endliche Basis besitzt, so besteht jede Basis von V aus gleichvielen Elementen. Die Anzahl der Elemente einer solchen Basis heißt die Dimension von V, geschrieben Dim_{K}V. Es ist Dim_{K}{0} = 0. Wenn V keine endliche Basis besitzt, so heißt V unendlichdimensional.^{5}

4.10 Beispiele :

(i) Dim_{K}K^{n} = n

(ii) Dim_{ℝ}ℂ = 2

(iii) Dim_{K}K[x] = ℵ_{0}

4.11 Bemerkung : Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt eine endliche Basis. Man verkürze das endliche Erzeugendensystem so lange, bis es ein minimales ist.

Übung: Nachstehend ein Faksimile vom Beweis des Austauschsatzes aus Graßmanns Ausdehnungslehre von 1862. Formulieren Sie alles in heutige Sprechweise um und machen Sie sich den Beweis klar.

5Auch im unendlich-dimensionalen Fall läßt sich die Dimension als Invariante des Vektorraumes V über die Kardinalzahl einer Basis von V definieren (siehe z.B. E. Hewitt, K.

Stromberg: Real and Abstract Analysis. Berlin 1965, Theorem 4.58)

4.12 Folgerungen :

(i) Sei Dim V = n und sei B ⊂ V, B linear unabhängig. Dann gilt: B ist genau dann eine Basis von V, wenn |B| = n ist.

(ii) Sei U < V. Dann gilt Dim U ≤ Dim V und Dim U = Dim V → U = V.

4.13 Satz : Seien U_{1} und U_{2} endlich-dimensionale Unterräume eines K-Vektorraumes V. Dann gilt:

Dim U_{1} + Dim U_{2} = Dim(U_{1} + U_{2}) + Dim(U_{1} ∩ U_{2}) .^{6}

Beweis: Sei c_{1}, …, c_{r} eine Basis von U_{1} ∩ U_{2}. Wir verlängern sie zu einer Basis c_{1}, …, c_{r}, a_{r+1}, …, a_{m} von U_{1} bzw. c_{1}, …, c_{r}, b_{r+1}, …, b_{n} von U_{2}. Es genügt zu zeigen, daß c_{1}, …, c_{r}, a_{r+1}, …, a_{m}, b_{r+1}, …, b_{n} Basis von U_{1} + U_{2} ist. Natürlich ist diese Menge ein Erzeugendensystem für U_{1} +U_{2}. Sie ist aber

auch linear unabhängig: Wenn nämlich ∑_{i=1}^{r}λ_{i}c_{i}+ ∑_{j=r+1}^{m}μ_{j}a_{j}+ ∑_{k=r+1}^{n}ν_{k}b_{k} = 0 ist,

so ist ∑ λ_{i}c_{i} + ∑ μ_{j}a_{j} = − ∑ ν_{k}b_{k} ∈ U_{1} ∩ U_{2}, da offensichtlich die linke Seite Element von U_{1} und die rechte Seite Element von U_{2} ist. Da ein Element von (U_{1} ∩ U_{2}) \ {0} aber eindeutig als Linearkombination der c_{i} allein darstellbar ist, zeigt die zweite Gleichung auch, daß μ_{r+1} = … = μ_{m} = 0 und ebenso ν_{r+1} = … = ν_{n} = 0 sowie λ_{1} = … = λ_{r} = 0 sind, wenn man die Eigenschaft 4.7 (iii) für die oben gewählten drei Basen ausnutzt.

6Auch dieser Satz steht bei Graßmann (1862): Erster Abschnitt, Kap. 1, §1, Ziffer 25.