Kapitel 5

Normierte Räume, Kompaktheit, Stetigkeit

5.1 Definitionen : Sei K ein Körper mit Absolutbetrag | | : K → ℝ. Ein K-Vektorraum V heißt ein normierter Vektorraum, wenn eine sogenannte Norm || || : V → ℝ existiert, die über folgende Eigenschaften definiert wird:

(i) ||x|| > 0 für alle x ∈ V \ {0}, sog. Definitheit,

(ii) ||λx|| = |λ|||x|| für alle x ∈ V, λ ∈ K, sog. Homogenität,

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| für alle x, y ∈ V, sog. Subadditivität.

K_{r}(a) := {x ∈ V : ||x − a|| < r}(r ∈ ℝ^{+}, a ∈ V) heißt die offene Kugel um a mit Radius r bzw. \overline{K_{r}(a)} := \{x ∈ V : ||x − a|| ≤ r\} die abgeschlossene Kugel.

5.2 Bemerkungen :

(i) Der Normbegriff ist für Vektoren analog zum Absolutbetrag für Körperelemente geschaffen worden. ||x|| kann man als ein Maß für die Länge des Vektors x ansehen. Nebenstehend zum Beispiel die ”Kugel“ um den Ursprung in ℂ.Als Norm sei hier der Absolutbetrag gewählt.

||x−y|| ist im E^{n} ein Maß für den Abstand der ”Punkte“ x und y.

(ii) Sei K ein Körper mit Absolutbetrag. Beispiele für Normen auf K^{n} sind

die l_{p}-Norm ||x||_{p} := (∑_{i=1}^{n}|ξ_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}}, wenn x = (ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n}) und p ∈ ℕ

ist. Der Spezialfall der l_{1}-Norm heißt auch Betrags-Summen-Norm oder Manhattan-Norm (Warum wohl?), derjenige der l_{2}-Norm heißt auch euklidische Norm ||x||_{2} := \sqrt{⟨x, x⟩}.

||x||_{∞} := sup{|ξ_{i}| : i = 1, 2, …, n} heißt die Maximums-Norm oder auch Tschebyscheff-Norm.

Überlege jeweils die Gültigkeit der Axiome (i) bis (iii).

Unten abgebildet sind die Einheitskugeln des ℝ^{2} in der Betrags-Summen-Norm, in der euklidischen Norm bzw. in der Maximums-Norm.

(iii) Sei B der ℝ-Vektorraum aller auf einer Menge M definierten, beschränkten reellwertigen Funktionen f. Dann definiert ||f|| := sup_{x∈M}|f(x)| eine

Norm auf B, die sogenannte Supremums-Norm.

(iv) Die Begriffe Limes, Cauchy-Folge, Konvergenz, Beschränktheit, Cauchy-Vollständigkeit etc. lassen sich nun auf normierte Vektorräume übertragen, indem zu den Definitionen 3.4 etc. analoge Setzungen erfolgen, wobei statt | | nun || || geschrieben wird.

Cauchy-vollständige, normierte Vektorräume heißen Banachräume. Also wird eine Cauchy-Folge (a_{n}) in einem normierten Raum V etwa durch die Bedingung ⋀_{ϵ>0} ⋁_{N∈ℕ} ⋀_{m,n≥N}||a_{n} − a_{m}|| < ϵ definiert.

5.3 Hilfssatz : Es seien p, q ∈ ℝ mit p > 1 und (p − 1)(q − 1) = 1. Dann gilt für nicht-negative reelle Zahlen a, b: ab ≤ \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}. Beweis: Wenn eine der Zahlen a, b Null ist, so ist die Behauptung trivial. Seien also a, b > 0. Wir setzen α := p − 1, β := q − 1. Ohne Einschränkung sei a^{α} ≤ b angenommen.

Wenn nämlich a^{α} > b ist, so vertausche die Rollen von a, α mit denen von b, β. Denn wir haben dann a = a^{αβ} > b^{β}.

Daher ergibt sich für die Funktion y = x^{α} folgender rechts skizzierter Graph: Im Folgenden verwenden wir – späterem vorgreifend – elementare Kenntnisse aus der Integralrechnung, welche aber von der Schule her geläufig sein dürften.

Es gilt ∫_{0}^{a} x^{α}dx = \frac{a^{α+1}}{α+1} = \frac{a^{p}}{p} sowie ∫_{0}^{b} y^{β}dy = \frac{b^{β+1}}{β+1} = \frac{b^{q}}{q}. Das sind aber die Flächeninhalte der beiden schraffierten Gebiete. Die behauptete Ungleichung folgt nun unmittelbar durch Vergleich mit der Fläche des Rechtecks (0, 0), (a, 0), (a, b), (0, b).

5.4 Satz ( Höldersche Ungleichung ) : Es seien p, q ∈ ℝ mit p > 1 und (p−1)(q −1) = 1. Dann gilt für endliche oder nichtendliche Zahlenfolgen (a_{n}), (b_{n}) nichtnegativer reeller Zahlen:

∑ a_{n}b_{n} ≤ (∑ a_{n}^{p})^{\frac{1}{p}} (∑ b_{n}^{q})^{\frac{1}{q}}

Der Spezialfall p = q = 2 liefert die sog. Cauchy-Schwarz-Bunjakowskische Ungleichung

(∑ a_{n}b_{n})^{2} ≤ ∑ a_{n}^{2} ∑ b_{n}^{2} .

Beweis: Es seien ∑ a_{n}^{p} und ∑ b_{n}^{q} > 0.

Wir setzen an^{′} := _{\frac{a_{n}}{(∑_{k} a_{k}^{p})^{\frac{1}{p}}}} und bn^{′} := _{\frac{b_{n}}{(∑_{k} b_{k}^{q})^{\frac{1}{q}}}}. Dann gilt nach 5.3: an^{′}bn^{′} ≤

\frac{a_{n}^{′p}}{p} + \frac{b_{n}^{′q}}{q}. Also gilt ∑ an^{′}bn^{′} ≤ ^{\frac{∑ a_{n}^{′p}}{p}} + ^{\frac{∑ b_{n}^{′q}}{q}} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 und mithin ∑ a_{n}b_{n} ≤

(∑ a_{n}^{p})^{\frac{1}{p}} (∑ b_{n}^{q})^{\frac{1}{q}}.

5.5 Folgerung : Sei V ein normierter Vektorraum der Dimension n.

Wenn ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n}ξ_{i}η_{i} für die Koordinatendarstellung von x, y ∈ V bezüglich

einer festgewählten Basis definiert wird, so gilt ⟨x, y⟩ ≤ ||x||_{p}||y||_{q}, sofern p, q die Voraussetzung von Satz 5.4 erfüllen.

5.6 Satz ( Minkowskische Ungleichung : Seien (a_{n}), (b_{n}) Folgen nichtnegativer reeller Zahlen und sei p > 1. Dann gilt (∑(a_{n} + b_{n})^{p})^{\frac{1}{p}} ≤ (∑ a_{n}^{p})^{\frac{1}{p}} + (∑ b_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}. Beweis: Nutze die Höldersche Ungleichung. ”proof is straightforward“ (G. Bachman - L. Narici: Functional Analysis, chap. 8, p.112).

5.7 Definitionen :

(i) Eine Teilmenge M eines normierten Vektorraumes V heißt offen, wenn ⋀_{x∈M} ⋁_{r>0}K_{r}(x) ⊂ M gilt. Wir schreiben dann auch M ⊂ ∘ V.

(ii) M heißt abgeschlossen, wenn C_{V} M offen ist. C steht für das Komplement.

(iii) Eine Teilmenge M heißt kompakt, wenn jede Überdeckung von M durch offene Teilmengen eine endliche Teilüberdeckung gestattet, d.h., wenn M ⊂ ⋃_{i∈I}U_{i}, mit U_{i} offen, impliziert ∃ endliches I_{0} ⊂ I : M ⊂

⋃_{i∈I_{0}}U_{i}.

5.8 Bemerkungen :

(i) Endliche Mengen sind kompakt.

(ii) ]0, 1[⊂ ℝ ist nicht kompakt.

(iii) Wenn M kompakt ist, so ist M beschränkt.

(iv) Eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt.

(v) Kompakte Mengen weisen die Intervallschachtelungseigenschaft auf, d.h.: Wenn A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ … eine Kette von nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen der kompakten Menge M ist, so existiert p ∈ M mit p ∈ ∩A_{i}. Kompakte Mengen sind also Cauchy-vollständig.

(vi) Im Banachraum V abgeschlossene Mengen sind Cauchy-vollständig.

5.9 Satz (Heine-Borel) : In ℝ^{n} und in ℂ^{n} gilt für Teilmengen M: M ist genau dann kompakt, wenn es beschränkt und abgeschlossen ist.

5.10 Definitionen : Sei V ein normierter Vektorraum, und sei D ⊂ V.

(i) a ∈ V heißt ein Berührpunkt von D, wenn ⋀_{ε>0}K_{ε}(a) ∩ D ≠ Ø gilt.

(ii) Die Menge \overline{D} aller Berührpunkte von D heißt der Abschluß von D oder die abgeschlossene Hülle von D.

(iii) Seien V, || || und V′, || ||′ normierte Räume mit D ⊂ V, a Berührpunkt von D und f : D → V′. c ∈ V heißt Limes von f(x) für x → a,

geschrieben c = lim_{x→a}f(x), wenn ⋀_{ε>0} ⋁_{δ>0} ⋀_{x∈D}(||x−a|| < δ → ||f(x)−c||′ <

ε) gilt.

(iv) Der Limes von Funktionswerten wird also nicht nur für eine Folge von Urbildern, die gegen einen Punkt des Definitionsbereiches konvergieren, definiert, sondern auch für eine Folge von Urbildern, die gegen einen Berührpunkt des Definitionsbereiches konvergieren.

(v) Es seien (V, || ||), (V′, || ||′) normierte Räume. Eine Funktion f : D →

V′, D ⊂ V heißt stetig in a ∈ D, wenn ⋀_{ε>0} ⋁_{δ>0} ⋀_{x∈D}(||x − a|| < δ →

||f(x) − f(a)||′ < ε) gilt.

(vi) f heißt stetig (schlechthin) oder stetig auf D oder global stetig, wenn f in jedem Element von D stetig ist.

5.11 Bemerkungen :

(i) Die Wortwahl ”stetig“ deutet darauf, daß die Intention der Definition ist, Funktionen zu erfassen, deren Funktionswerte sich nicht ”abrupt“ ändern. Sei z.B. f : ℝ → ℝ^{3}, und man gebe der unabhängigen Variablen x die Bedeutung der Zeit. Wenn man sich dann den Graphen von f kinematisch mit verstreichender Zeit entstanden denkt (so daß f(x) also eine Raumkurve im ℝ^{3} durchläuft), so bedeutet Stetigkeit, daß der Graph nicht ”zerreißt“. Für im Definitionsbereich hinreichend nahe beieinander liegende Punkte liegen die entsprechenden Bildpunkte nahe beieinander: ||x − x_{0}|| < δ → ||f(x) − f(x_{0})|| < ε.

(ii) Sei V = V′ = ℝ und sei || || = || ||′ = || ||_{2} = | | der übliche Absolutbetrag von ℝ. Also D ⊂ ℝ und f : D → ℝ habe den nebenstehenden Graphen. Dann ist f(x) stetig in x_{0}, aber nicht in a. Denn: Wenn wir ε so wählen, daß 0 < ε < c ist, so ist für x < a niemals |f(x) − f(a)| < ε möglich!

Unser Stetigkeitskonzept ist jedoch viel allgemeiner, als dieses spezielle Beispiel zeigt: Es erfaßt auch Situationen wie z.B. bei f : ℝ^{2} → ℝ^{3}, wobei n = f(x, y) ∈ ℝ^{3} der Normaleneinheitsvektor an die Fläche z = g(x, y) sei (siehe Skizze!).

(iii) Die durch

f(x) := \{ \begin{matrix}1 & für x ∈ ℚ \\ −1 & für x ∈ ℝ \ ℚ \end{matrix}

definierte Funktion f : ℝ → ℝ ist nirgendwo stetig. Denn: Es sei ε = 1 gewählt. Wenn f in x_{0} stetig wäre, dann existierte δ > 0 so, daß |x − x_{0}| < δ implizierte |f(x) − f(x_{0})| < ε. Wenn x_{0} ∉ ℚ ist, so läßt sich stets ein x ∈ ℚ mit |x − x_{0}| < δ finden (Schreibe x_{0} als unendlichen Dezimalbruch und breche ihn geeignet ab, um x zu erhalten. Je nach der Größe von δ wähle man die Dezimale, bis zu der x und x_{0} übereinstimmen.), aber |f(x) − f(x_{0})| = 2. Denselben Widerspruch erhält man im Falle x_{0} ∈ ℚ, da es nun ein x ∈ ℝ \ ℚ gibt mit |x − x_{0}| < δ (z.B. durch Wahl von x = x_{0} + \frac{\sqrt{2}}{n} für genügend großes n ∈ ℕ).

(iv) f(x) = x^{2} ist auf ℝ überall stetig (n ∈ ℕ). Denn: |f(x) − f(x_{0})| = |x^{2} − x_{0}^{2}| = |x − x_{0}||x + x_{0}| = |x − x_{0}||x − x_{0} + 2x_{0}| ≤ |x − x_{0}|^{2} + 2|x_{0}||x − x_{0}| Wähle δ := min\{\frac{1}{2} \sqrt{2ε}, \frac{ε}{4|x_{0}|}\}. Wenn |x − x_{0}| < δ ist, so ist also |f(x) − f(x_{0})| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε.

(v) Berührpunkte einer Menge D sind: alle Punkte von D und die sog. ”Randpunkte“ von D. Randpunkte von D sind dadurch gekennzeichnet, daß in jeder ε-Kugel um einen solchen Punkt sowohl Punkte aus D als auch solche aus CD liegen. Also: \overline{D} = D ∪ ∂D, ∂D := Rand von D.

(vi) Stetigkeit von x_{0} bedeutet: ⋀_{K_{ε}(f(x_{0}))} ⋁_{K_{δ}(x_{0})}f(K_{δ}(x_{0}) ∩ D) ⊂ K_{ε}(f(x_{0})).

5.12 Satz : Es seien (V, || ||), (V′, || ||′) normierte Räume und D ⊂ ∘ V, f : D → V′. Dann gilt: f ist genau dann stetig, wenn für alle offenen U′ ⊂ V′ das Urbild f^{−1}(U′) offen in V ist.

Slogan für globale Stetigkeit: Die Urbilder offener Mengen sind offen.

Beweis: Sei U′ offen in V′ und es sei x_{0} ∈ f^{−1}(U′). Dann existiert ein K_{ε}(f(x_{0})) in U′. Wenn f in x_{0} stetig ist, so existiert zu ε ein δ > 0 mit f(K_{δ}(x_{0}) ∩ D) ⊂ K_{ε}(f(x_{0})) ⊂ U′. Also ist K_{δ}(x_{0}) ∩ D ⊂ f^{−1}(U′), und somit ist f^{−1}(U′) offen. Seien umgekehrt die Urbilder offener Mengen offen. Seien x_{0} ∈ D und ε > 0 vorgegeben. Es ist x_{0} ∈ f^{−1}(K_{ε}(f(x_{0}))) und letzteres offen. Also existiert K_{δ}(x_{0}) ⊂ f^{−1}(K_{ε}(f(x_{0}))), also f(K_{δ}(x_{0})) ⊂ K_{ε}(f(x_{0})). Also ist f in x_{0} stetig.

5.13 Folgerung : Wenn D ⊂ ∘ V, f : D → ℝ stetig und a ∈ ℝ ist, so ist {x ∈ D : f(x) < a} offen in D. Denn: Es ist {x ∈ D : f(x) < a} = f^{−1}(] − ∞, a[), also Urbild einer offenen Menge.

5.14 Satz : Es seien V, V′, V′′ normierte Räume, D ⊂ V, D′ ⊂ V′, f : D → D′, g : D′ → V′′, f und g stetig in a ∈ D bzw. in f(a) ∈ D′. Dann ist g ∘ f stetig in a.

5.15 Definition : Die Bezeichnungen seien wie in 5.10, und es sei a ∈ \overline{D}. Wenn für alle Folgen (x_{ν}) aus D mit lim x_{ν} = a die Beziehung lim_{ν→∞}f(x_{ν}) = q gilt, so heißt f(a) := q die stetige Ergänzung von f im Punkt a.

5.16 Bemerkungen :

(i) Seien D ⊂ V, f : D → V′, V und V′ normierte Räume sowie a ∈ D. Dann gilt: f ist genau dann stetig in a, wenn

⋀_{(x_{ν})}( lim_{ν→∞}x_{ν} = a → lim_{ν→∞}f(x_{ν}) = f(a))

gilt.

(ii) Beispiel für eine stetige Ergänzung.

(iii) Wenn f, g in a ∈ D stetige Abbildungen D → V′ sind, so sind f + g, f − g stetig in a.

(iv) Für den Spezialfall, daß V′ ein Körper mit Absolutbetrag ist, gilt: Wenn f, g in a ∈ D stetige Abbildungen D → V′ sind, so ist f · g stetig in a. Gilt überdies g(a) ≠ 0, so ist \frac{f}{g} stetig in a.

(v) Es seien V normiert mit l_{p}-Norm, D ⊂ V, f : D → K^{n}, K ein Körper mit Absolutbetrag und K^{n} normiert mit l_{p}-Norm. Die sog. Projektion p_{i} : K^{n} → K auf die i-te Koordinate sei definiert durch p_{i}((α_{1}, …, α_{n})) := α_{i}. Dann gilt für a ∈ D: f ist genau dann in a stetig, wenn p_{1} ∘ f, …, p_{n} ∘ f in a stetig sind.

(vi) Die von den Polynomen f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ∈ K[x_{1}, x_{2}, …, x_{n}] definierten Abbildungen K^{n} → K sind überall stetig.

(vii) exp(z) ist stetig auf ℂ. e^{r} := exp(r) definiert die stetige Ergänzung der in 3.12 auf ℚ definierten Potenz e^{x} für Argumente aus ℝ \ ℚ.

5.17 Satz : Sei D eine kompakte Teilmenge des normierten Raumes V und sei f : D → V′ stetig. Dann ist f(D) kompakt.

5.18 Folgerung : Unter den Voraussetzungen von 5.17 ist f beschränkt.

5.19 Satz ( Weierstraß ) : Es sei D eine kompakte, nichtleere Teilmenge eines normierten Raumes und es sei f : D → ℝ eine auf D stetige Funktion. Dann nimmt f auf D ein Maximum und ein Minimum an.

5.20 Definitionen : Sei M eine Teilmenge des normierten Raumes V und sei A ⊂ M.

(i) A heißt (relativ) offen in M, wenn eine in V offene Teilmenge A^{∗} existiert, so daß A = A^{∗} ∩ M ist.

(ii) M heißt zusammenhängend, wenn es sich nicht als disjunkte Vereinigung M = A ∪^{.} B zweier nichtleerer, in M relativ offener Teilmengen darstellen läßt.

5.21 Satz : Wenn D eine zusammenhängende Teilmenge eines normierten Raumes ist und f : D → V′ eine stetige Abbildung ist, so ist f(D) zusammenhängend.

5.22 Satz ( Zwischenwertsatz ) : Es sei D zusammenhängend und f : D → ℝ stetig auf D. Dann gehört jede reelle Zahl, die zwischen zwei Punkten von f(D) liegt, zu f(D).

5.23 Folgerung : Wenn f : [a, b] → ℝ stetig auf [a, b] ist, so gilt

⋀_{γ∈]f(a),f(b)[} ⋁_{c∈]a,b[}f(c) = γ.

5.24 Folgerung : Wenn f : [a, b] → ℝ stetig auf [a, b] und f(a)f(b) < 0 ist, so existiert c ∈ [a, b] mit f(c) = 0. (Grundlage des Bisektionsverfahrens).

5.25 Bemerkungen :

(i) Sei f eine Bijektion mit der Eigenschaft, daß die Bilder offener Mengen unter f offen sind, eine sogenannte offene Abbildung. Dann ist die Umkehrabbildung f̂ von f eine stetige Abbildung. Denn: Sei U offen und sei Ẑ := f̂^{−1}(U). Dann ist f(U) = ff̂(Ẑ) = Ẑ offen.

(ii) Eine Bijektion ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. Denn: Sei f abgeschlossen und A offen. Dann ist C_{D}A abgeschlossen, also ist f(C_{D}A) = C_{f(D)}f(A) abgeschlossen und somit f(A) offen. Die andere Richtung folgt analog.

5.26 Satz : Es seien f : D → V′ injektiv stetig und D kompakt. Dann ist die Umkehrfunktion f̂: f(D) → D mit f̂∘ f = id stetig. Beweis: Wenn wir zeigen können, daß f abgeschlossen ist, so sind wir fertig; denn nach 5.25(ii) ist dann f offen und nach 5.25(i) f̂ stetig. Sei also A abgeschlossen, A ⊂ D. Nach 5.8(iv) ist A kompakt und nach 5.17 ist f(A) kompakt. Also folgt wie im ersten Teil des Beweises von 5.22, daß f(A) abgeschlossen ist.

5.27 Satz : Es sei f : [a, b] → ℝ stetig. Dann ist f genau dann injektiv, wenn es streng monoton ist. Beweis: Die ”Wenn-Richtung“ ist trivial: denn, wenn u < v ist, so ist f(u) < f(v) und somit f injektiv. Sei nun f als injektiv vorausgesetzt. Dann ist für a < b f(a) ≠ f(b). Ohne Einschränkung können wir f(a) < f(b) annehmen. Wenn a < u < b ist, so gilt auch f(a) < f(u) < f(b). Denn die Annahme f(b) < f(u) impliziert nach dem Zwischenwertsatz 5.22 die Existenz von c ∈ [a, u] mit f(c) = f(b), und das ist ein Widerspruch zur Injektivität von f. Also f(u) < f(b). Ebenso zeigt man f(a) < f(u). Wenn nun a < u < v < b ist, so gilt nach dem soeben Bewiesenen f(a) < f(u) und f(a) < f(v). Die Annahme f(v) < f(u) führt man wiederum mit Hilfe des Zwischenwertsatzes zum Widerspruch. Damit ist die Monotonie gezeigt.

5.28 Elementare Funktionen :

(i) f(x) = x^{n} (n ∈ ℕ) ist auf ℝ^{+} ∪{0} streng monoton wachsend und stetig (Im angeordneten Körper gilt: a > 0, b > 0, a > b → a^{2} > b^{2}. Beweis? Also ist x^{n} streng monoton wachsend. Die Stetigkeit der Funktion folgt aus 5.16(iv).). Somit existiert nach 5.26 und 5.27 die Umkehrfunktion f̂(x) =: ^{n} \sqrt{x} und ist stetig auf ℝ^{+} ∪ \{0\}.

(ii) f(x) = exp x = e^{x} ist nach 5.16(vii) stetig auf ℝ. Sie ist dort streng monoton wachsend: x > 0 → e^{x} > 1, x_{1} < x_{2} → e^{x_{2}} = e^{x_{2}−x_{1}}e^{x_{1}} > e^{x_{1}}.

Also ist f̂(x) := ln x, der sog. natürliche Logarithmus, definiert und stetig auf f(D). Wertevorrat D von e^{x}: Da e^{n} ≥ 1 + n für n ∈ ℕ ist, ist lim e^{n} = ∞, lim e^{−n} = 0. Nach 5.22 ist der Wertevorrat also ℝ^{+}. Aus e^{x}e^{y} = e^{x+y} folgt ln(xy) = ln x + ln y.

(iii) Sei a ∈ ℝ^{+}. Definiere exp_{a}(x) := exp(x ln a). exp_{a}(x) ist stetig auf ℝ (Komposition stetiger Funktionen). Man rechnet leicht nach: exp_{a}(0) = 1, exp_{a}(1) = a, exp_{a}(x + y) = exp_{a}(x) exp_{a}(y), [exp_{a}(\frac{p}{q})]^{q} = exp_{a}(p) = a^{p}, exp_{a}(\frac{p}{q}) = ^{q} \sqrt{a^{p}} = a^{\frac{p}{q}}. Daher ist die Definition von a^{x} := exp(x ln a) für x ∈ ℝ gerechtfertigt. Die üblichen Potenzregeln für a^{x} lassen sich aus der Relationstreue von exp_{a}(x) herleiten. Ferner gilt: ln a^{x} = x ln a für x ∈ ℝ.

(iv) Entsprechend zu 5.16(vii) definieren wir e^{z} := exp(z) für z ∈ ℂ. Ferner

definieren wir cos z := ∑_{ν=0}^{∞}(−1)^{ν} \frac{z^{2ν}}{(2ν)!} sowie sin z := ∑_{ν=0}^{∞}(−1)^{ν} \frac{z^{2ν+1}}{(2ν+1)!}.

Dann gilt doch e^{iz} = cos z + i sin z, die sog. Moivresche Formel. Die Abbildung f(z) = \overline{z} ist stetig, da sie eine Spiegelung an der reellen Achse bewirkt und mithin |z − z_{0}| < ε → |f(z) − f(z_{0})| < ε gilt. Also

gilt \overline{exp(z)} = lim_{n→∞} ∑_{ν=0}^{n} \frac{z^{ν}}{ν!} , und das ist wegen der Stetigkeit des Über-

gangs zum Konjugiert-Komplexen lim_{n→∞}\overline{∑_{ν=0}^{n} \frac{z^{ν}}{ν!}} = lim_{n→∞} ∑_{ν=0}^{n} \frac{\overline{z}^{ν}}{ν!} = exp(\overline{z}).

Da |e^{z}| = |e^{Re z}||e^{iIm z}| = e^{Re z} gilt, hat e^{z} auf ℂ keine Nullstellen.

Somit gilt |e^{iz}|^{2} = e^{iz}\overline{e^{iz}} = e^{iRe z−Im z}e^{−iRe z−Im z} = e^{−2Im z}. Für z = x ∈ ℝ, d.h. für Im z = 0, gilt dann |e^{ix}| = 1. Das ist die bekannte Formel cos^{2} x + sin^{2} x = 1 (siehe nebenstehende Skizze ).

Da nach Definition cos(−z) = cos z ist, der cos also eine gerade Funktion ist, der sin eine ungerade Funktion ist, d.h. sin(−z) = − sin z gilt, gilt e^{−iz} = cos z − i sin z und somit cos z = \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{−iz}) sowie sin z = \frac{1}{2i}(e^{iz} − e^{−iz}). Daraus folgt, daß auch für komplexe Argumente gilt: sin^{2} z + cos^{2} z = 1. Mit Hilfe der Darstellungen von sin und cos mittels der Exponentialfunktion und mittels der Moivreschen Formel lassen sich leicht die Additionstheoreme nachrechnen:

sin(z_{1} ± z_{2}) = sin z_{1} cos z_{2} ± cos z_{1} sin z_{2} ,
cos(z_{1} ± z_{2}) = cos z_{1} cos z_{2} ∓ sin z_{1} sin z_{2} .

Wir wollen nun das sog. Restglied r_{2n+2}(x) der reellen Cosinus-Funktion

abschätzen, das durch cos x = ∑_{ν=0}^{n}(−1)^{ν} \frac{x^{2ν}}{(2ν)!} + r_{2n+2}(x), x ∈ ℝ, definiert

sei. Es ist r_{2n+2}(x) = ±\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}(1 − \frac{x^{2}}{(2n+3)(2n+4)} + \frac{x^{4}}{(2n+3)...(2n+6)} − + …). Wir

setzen für die Summanden in der runden Klammer a_{k} := \frac{x^{2k}}{(2n+3)...(2n+2(k+1))} = a_{k−1} \frac{x^{2}}{(2n+2k+1)(2n+2k+2)}. Es ist (2n + 3)^{2} < (2n + 2k + 1)(2n + 2k + 2), also x^{2} < (2n + 2k + 1)(2n + 2k + 2) für |x| ≤ 2n + 3. Somit gilt 1 > a_{1} > a_{2} > … und daher 0 ≤ 1 − a_{1} + a_{2} − a_{3} + − … ≤ 1. Also gilt folgende Abschätzung für das Restglied des Cosinus: Für |x| ≤ 2n + 3 gilt |r_{2n+2}(x)| ≤ \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}. Analog gilt für das Restglied des Sinus: Für |x| ≤ 2n+4 gilt |r_{2n+3}(x)| ≤ \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}.

cos x ist in [0, 2] streng monoton fallend. Denn: Für 0 ≤ x < x′ ≤ 2 gilt cos x′ − cos x = cos \frac{u+v}{2} − cos \frac{u−v}{2} = −2 sin \frac{u}{2} sin \frac{v}{2} = −2 sin \frac{x+x′}{2} sin \frac{x′−x}{2}. Nun ist sin x = x(1 + \frac{r_{3}(x)}{x}). Da nach obiger Abschätzung |r_{3}(x)| ≤ \frac{|x|^{3}}{3!} für |x| ≤ 4, also erst recht für x ∈ [0, 2], gilt, haben wir in [0, 2] |\frac{r_{3}(x)}{x}| ≤ \frac{2^{2}}{3!} = \frac{2}{3} und somit sin x ≥ x(1 − \frac{2}{3}) = \frac{x}{3}. Daher gilt in [0, 2] sin \frac{x′+x}{2} > 0 sowie sin \frac{x′−x}{2} > 0, also cos x′ − cos x < 0.

cos x hat in [0, 2] genau eine Nullstelle. Denn: Es ist cos 2 = 1 − \frac{2^{2}}{2!} + r_{4}(2) ≤ −1 + \frac{2}{3} = −\frac{1}{3} wegen |r_{4}(2)| ≤ \frac{2^{4}}{4!} , und es ist cos 0 = 1. Also existiert nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle in [0, 2] und wegen der Monotonie genau eine.

Definition von π: Die Nullstelle von cos x in [0, 2] sei mit \frac{π}{2} bezeichnet.

Wir erhalten dann die Werte cos \frac{π}{2} = 0, sin \frac{π}{2} = \sqrt{1 − sin^{2} \frac{π}{2}} = 1,

e^{i \frac{π}{2}} = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2} = i, e^{iπ} = −1, e^{i \frac{3π}{2}} = −i, e^{2πi} = 1, e^{z+i \frac{π}{2}} = ie^{z},e^{z+iπ} = −e^{z},e^{z+2πi} = e^{z}, e^{z} hat also Periode 2πi. Es ist e^{i \frac{nπ}{2}} = i^{n} (n ∈ ℕ). Daraus ergeben sich die Funktionswerte für sin x und cos x bei \frac{nπ}{2} sowie der umseitig skizzierte Funktionsverlauf.

Da sin x in [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] injektiv ist, existiert die Umkehrfunktion arcsin x auf [−1, 1], genannt der Arcus-Sinus. Analog arccos x. Ferner wird tan x = \frac{sin x}{cos x} definiert für x ∈ ℝ \ \{\frac{π}{2} + kπ : k ∈ Z\} sowie cot x := \frac{1}{tan x}, arctan x, arccot x.

5.29 Satz : Jedes z ∈ ℂ \ {0} läßt sich eindeutig schreiben als z = ρe^{iϕ} mit ρ ∈ ℝ^{+} und 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Es ist ρ = |z|, und ϕ := arg z heißt das Argument von z. (ρ, ϕ) heißen die Polarkoordinaten von z. Beweis: Idee: Für jedes z ∈ ℂ \ \{0\} hat \frac{z}{|z|} den Betrag 1, liegt also auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene, d.h. z = |z|e^{iϕ}.

Ausführlich: Betrachte \frac{z}{|z|} =: ξ + iη. Es ist |ξ + iη| = ξ^{2} + η^{2} = 1, also |ξ| ≤ 1. Mithin ist α := arccos ξ definiert, und es ist sin α = ±\sqrt{1 − cos^{2} α} = ±\sqrt{1 − ξ^{2}} = ±η. Setze ϕ := α für sin α = η und := −α für sin α = −η. Also ist \frac{z}{|z|} = cos(+α) + i sin(+α) = e^{iϕ}, und z ist in der angegebenen Gestalt darstellbar. Eindeutigkeit: Sei ρ_{1}e^{iϕ_{1}} = ρ_{2}e^{iϕ_{2}}. Also gilt \frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = e^{i(ϕ_{2}−ϕ_{1})} = cos(ϕ_{2} − ϕ_{1}) + i sin(ϕ_{2} − ϕ_{1}). Somit ist sin(ϕ_{2} − ϕ_{1}) = 0, cos(ϕ_{2} − ϕ_{1} = ±1), also ρ_{1} = ±ρ_{2}. Das Minuszeichen kommt wegen der Positivität der ρ nicht in Frage. Daher e^{iϕ_{1}} = e^{iϕ_{2}}, also ϕ_{1} = ϕ_{2}. □

Wenn z_{1}, z_{2} ∈ ℂ mit Polarkoordinaten ρ_{i}, ϕ_{i} (i = 1, 2) sind, so ermöglicht die Beziehung z_{1}z_{2} = ρ_{1}ρ_{2}e^{i(ϕ_{1}+ϕ_{2})} eine geometrische Veranschaulichung der Multiplikation im Komplexen, wie in der nebenstehenden Graphik dargestellt: Die beiden Dreiecke sind zueinander ähnlich, also 1 : |z_{2}| = |z_{1}| : |z_{1}z_{2}|.

5.30 Satz : Es sei n ∈ ℕ, z^{n} = 1 hat in ℂ genau n paarweise verschiedene Lösungen, die sogenannten n-ten Einheitswurzeln , nämlich ζ_{k} = e^{i \frac{2π}{n} k} (k = 0, 1, …, n − 1).

Beweis: Wenn z = ρe^{iϕ}, so ist 1 = z^{n} = ρ^{n}e^{inϕ} = ρ^{n} cos nϕ + ρ^{n}i sin nϕ, also ist nϕ = 2kπ und ρ = 1.

5.31 Einige Kurven in (erweiterter^{1}) Polarkoordinaten-Darstellung :

(i) Kreis um (0, 0) ρ = const., um α nach rechts verschoben ρ = 2α cos ϕ, um α nach oben verschoben ρ = 2α sin ϕ .

(ii) Gerade ρ = \frac{n}{sin ϕ−m cos ϕ}

(iii) Logarithmische Spirale ρ = αe^{βϕ} (siehe die Schnecke auf Seite 24)

(iv) Archimedische Spirale ρ = αϕ

(v) Hyperbolische Spirale ρ = \frac{1}{ϕ}

1Es sind auch Winkel φ > 2π zugelassen.

(vi) Kardioide ρ = 2α(1 − cos ϕ)

(vii) Konchoide, Typ I ρ = \frac{α}{cos ϕ} ± β

(viii) Konchoide, TypII ρ = a cos φ+b

(ix) Kissoide ρ = α sin φ tan φ

(x) Kappakurve ρ = a tan φ

(xi) Ovaloid ρ = a(1 + cos^{2} φ) cos φ

(xii) Lemniskate ρ^{2} = 2a^{2} cos^{2} ϕ

(xiii) Zweiblatt ρ = a cos^{2} φ sin φ

(xiv) Dreiblatt ρ = a cos φ cos 2φ

(xv) Hypozykloide ρ = 4a cos 3φ

(xvi) Vierblatt ρ = a sin 2φ

(xvii) Skarabäus ρ = a cos φ + b cos 2φ

Kap. 5 . Normierte Räume, Kompaktheit, Stetigkeit 99

(xviii)

Perihelbewegung

ρ = (1 + a cos bφ)^{−1}

2

Mit einem Computeralgebra-System, wie z. B. Maple, kann man noch viele weitere Kurven zeichnen ( Experimentieren Sie ruhig ein wenig! ), zum Beispiel die folgende schöne Fay-Schmetterlingskurve. Maple-Befehl: > polarplot( exp(cos(phi)) − 2 cos(4 ∗ phi) + sin(phi/12)^{5}, phi = 0..24 ∗ P i);

2Eines der Indizien für die Richtigkeit der allgemeinen Relativitätstheorie war die Tatsache, daß die Perihelbewegung des Merkur aus den Einsteinschen Gleichungen ableitbar ist, während sie mit der Newtonschen Physik nicht erklärt werden kann. Die Bewegung eines freien Teilchens im Raum-Zeit-Kontinuum mit Schwarzschild-Metrik genügt nämlich der Differentialgleichung \frac{d^{2}u}{dφ^{2}} +u = \frac{kM}{A^{2}} + \frac{3kM}{c^{2}} u^{2} ( u = \frac{1}{ρ}, ρ der Abstand zum Zentralgestirn, k Gravitationskonstante, M Masse des Zentralgestirns, A Drehmoment der betreffenden Bewegung, c Lichtgeschwindigkeit ). u = \frac{kM}{A^{2}} (1 + ϵ cos ηϕ) mit η^{2} = 1 − 6\frac{(kM)^{2}}{(cA)^{2}} und der Bahnexzentrizität ϵ ist eine Lösung der Gleichung. Der obige Plot mit vergöberten Daten simuliert sehr schön die Perihelbewegung. Rechnerisch ergeben die Bahndaten des Merkur eine Perihelbewegung von 43 Bogensekunden pro Jahrhundert. Literatur: R. K. Pathria, The Theory of Relativity. Pergamon Press, Oxford 1974.

100 D.Garbe: Mathematik I für Naturwissenschaftliche Informatik