Kapitel 7

Differentiation in normierten Räumen, insbesondere im ℝ^{n}

Die Differentialrechnung entstand im 17. Jahrhundert infolge von Fragen, die durch die Naturwissenschaften (insbesondere Physik und Astronomie) aufgeworfen wurden: Man interessierte sich bei der nichtgleichförmigen Bewegung eines Gegenstandes (Himmelskörpers) für die Größe und Richtung seiner momentanen Geschwindigkeit, für die Länge seiner Bahn etc. Aus der Optik kamen Fragen nach der Tangente an eine Kurve; denn für die Brechungsgesetze von Linsen benötigte man den Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der Normalen der Linsenkontur. Die Normale steht aber senkrecht auf der Tangente.

Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 - 1717 Isaac Newton 1643 - 1727 Innermathematisch betrachtet ergaben sich zwei Zugänge zur Differentialrechnung, nämlich einerseits über die Änderungsrate von Größen und zum anderen über die Verhältnisse infinitesimaler Größen. Die beiden großen Schöpfer der Differentialrechnung gingen unabhängig voneinander über jeweils einen dieser beiden Wege: Gottfried Wilhelm Leibniz, der Philosoph, Theologe, Diplomat, Rechtswissenschaftler und Autor der Monadologie, entwickelte die Theorie der Differentiale und ihrer Quotienten, Isaac Newton, der Physiker und Astronom, gelangte zur Ableitung über den Limes des Differenzenquotienten. Newton entwickelte eine Theorie der Fluxionen (das sind die Ableitungen), Leibniz schuf die heute noch verwendeten Bezeichnungen \frac{dy}{dx} und ∫ und arbeitete die Rechengesetze für die Ableitung heraus (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel).

7.1 Definitionen ( Wiederholung der Schuldefinition ) : Es sei D offen in ℝ. Eine Abbildung f : D → ℝ heißt differenzierbar bei a ∈ D, wenn f′(a) ∈ ℝ so existiert, daß lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{f(a+h)−f(a)}{h} = f′(a) gilt. f′(a) heißt dann

die Ableitung von f bei a.

7.2 Bemerkung : l_{a}(h) := f′(a)h vermittelt eine lineare Abbildung von ℝ nach ℝ. Ihr Graph ist die Gerade durch den Ursprung parallel zur Tangente an f(x) im Punkte a. l_{a}(h) erfüllt die Beziehung lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{|f(a+h)−f(a)−l_{a}(h)|}{|h|} = 0 (*).

l_{a}(h) ist stetig. Wenn es umgekehrt eine lineare Abbildung l(h) : ℝ → ℝ gibt, die (*) erfüllt, so existiert die Abbildung f′(a).

Die Definition der totalen Ableitung in normierten Räumen ist nach den Eigenschaften der Bemerkung 7.2 modelliert:

7.3 Definitionen : Notation: 𝕂 sei entweder ℝ oder ℂ. Es seien (V, || ||), (V′, || ||′) normierte 𝕂-Vektorräume und D offen in V, geschrieben D ⊂ ∘ V, und a ∈ D. f : D → V′ heißt differenzierbar bei a ∈ D, wenn es ein

stetiges l_{a} ∈ Hom_{𝕂}(V, V′) so gibt, daß lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{f(a+h)−f(a)−l_{a}(h)}{||h||} = 0 (**). l_{a}(h) =:

Df_{a} heißt die totale Ableitung von f an der Stelle a oder das totale Differential.

7.4 Bemerkungen :

Kap. 7. Differentiation in normierten Räumen, insbesondere im ℝ^{n} 111

(i) Besonders wichtige Spezialfälle sind natürlich die Fälle, wenn V und V′ Banachräume sind, insbesondere ℝ^{n}, ℝ^{m}. Auf letzteren Fall werden wir unsere Darstellung hier einschränken – mit der euklidischen Norm als zugrundeliegendem || ||. Für den allgemeinen Fall der normierten Räume lassen sich jeweils analoge Ergebnisse erzielen.

(ii) l ∈ Hom_{𝕂}(𝕂^{n}, 𝕂^{m}) → l ist stetig (bezüglich der l_{2}-Norm). Denn: Wenn M_{B,B′}(l) = (α_{ij}) , α_{ij} ∈ 𝕂, ist, so ist p_{i} ∘ M_{B,B′}(l(x)) =

η_{i} = ∑_{j=1}^{m}α_{ij}ξ_{j} stetig (nach 5.16 (vi)). Also ist l stetig.

(iii) Daher kann für die Definition der totalen Ableitung im ℝ^{n} die Forderung nach der Stetigkeit von l_{a} fallengelassen werden.

7.5 Definitionen : Die Landauschen Symbole Klein-o und Groß-O

werden folgendermaßen definiert: Wenn für zwei Funktionen f, g lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 ist, schreiben wir f(x) = o(g(x)) und sagen: ”f(x) ist ein Klein-o von g(x) für x → a“ oder ”f(x) ist von niedrigerer Ordnung als g(x) für x → a“. Diese Bezeichnungsweise werden wir gleich im Zusammenhang mit der totalen Ableitung gebrauchen.

Für Informatiker wichtig ist auch die Notation Groß-O: Wenn \frac{f(x)}{g(x)} für die Annäherung x → a beschränkt ist, d.h. wenn C ∈ ℝ existiert mit |\frac{f(x)}{g(x)}| ≤ C für |x − a| < δ, so schreiben wir f(x) = O(g(x)) und sagen: ”f(x) ist ein Groß-O von g(x) für x gegen a“ oder ”f(x) ist höchstens von der Ordnung von g(x) für x gegen a“.

Edmund Landau 1877 - 1938

Mittels Groß-O wird z.B. die Zeitkomplexität von Algorithmen (etwa Sortieralgorithmen) ausgedrückt: Sei f(n) die Anzahl der im Algorithmus benötigten Operationen für eine Anzahl n von zu verarbeitenden (zu sortierenden) Objekten und sei f(n) = O(g(n)). Dann heißt die Komplexität des Algorithmus

(i) konstant, wenn g(n) = 1 oder = const. ,

(ii) linear, wenn g(n) = n ,

(iii) quadratisch, wenn g(n) = n^{2} ,

(iv) exponentiell, wenn g(n) = a^{n} , (v) logarithmisch, wenn g(n) = ln n ,

(vi) linear-logarithmisch, wenn g(n) = n ln n ,

(vii) polynomial, wenn g(n) = n^{r} ,

(viii) superexponentiell, wenn g(n) = n^{n} ist.

Ein Algorithmus heißt schnell, wenn seine Komplexität höchstens O(ln^{r} n) ist.

7.6 Bemerkungen :

(i) Der Sortieralgorithmus quicksort (in der ANSI-C-Standardbibliothek <stdlib.h> als Funktion qsort vorhanden) ist zwar im worst case ein Algorithmus von quadratischer Komplexität, aber im Durchschnitt immerhin linear-logarithmisch.

(ii) Wenn f in a stetig ist, so ist f(x) = f(a) + o(1) für x → a (wegen lim_{x→a}(f(x) − f(a)) = 0), d.h. f ist für x → a durch die Konstante f(a) von geringerer Ordnung als 1 approximierbar.

(iii) f ist genau dann bei a differenzierbar, wenn f(x) = f(a)+l_{a}(x−a)+o(||x−a||) ist, d.h. f affin-linear von geringerer Ordnung als ||x− a|| für x → a approximierbar ist. Dieser Sachverhalt ist auf nebenstehender Graphik für den Spezialfall f : ℝ → ℝ veranschaulicht: Approximation der Kurve durch die Tangente im Punkt (a, f(a)). Es ist l_{a}(x − a) = f′(a)(x − a) = Df_{a}(x − a).

(iv) f ist genau dann bei a differenzierbar, wenn

f(x) = f(a) + Df_{a}(x − a) + r(x − a)||x − a|| mit lim_{x→a}r(x − a) = 0

gilt. Zur Veranschaulichung der totalen Ableitung halten wir fest: Für f : ℝ → ℝ ist ξ_{2} = f(a) + Df_{a}(x − a) die Gleichung der Tangente im E^{2} an die Kurve ξ_{2} = f(x) im Punkte (a, f(a)). Für f : ℝ^{2} → ℝ ist ξ_{3} = f(a) + Df_{a}(x − a) die Gleichung der Tangentialebene im E^{3} an die Fläche ξ_{3} = f(x) in (a, f(a)); a, x ∈ ℝ^{2}. Für f : ℝ^{n} → ℝ ist ξ_{n+1} = f(a)+Df_{a}(x−a) die Gleichung der Tangentialhyperebene im E^{n+1} an die Hyperfläche^{1} ξ_{n+1} = f(x) im Punkte (a, f(a)); a, x ∈ ℝ^{n}.

(v) Wenn Df_{a} existiert, so eindeutig. Denn: Seien l_{a}(h), \overline{l}_{a}(h) zwei verschiedene lineare Abbildungen, die Definitionen 7.3 (**) erfüllen. Dann gilt lim_{h→0} \frac{l_{a}(h)−\overline{l}_{a}(h)}{||h||} = 0, also für h =

λb mit λ ∈ 𝕂, b ∈ V, λ ≠ 0, b ≠ 0 gilt 0 = lim_{λ→0} \frac{λl_{a}(b)−λ\overline{l}_{a}(b)}{λ||b||} = \frac{1}{||b||}(l_{a}(b) −

\overline{l}_{a}(b)) und somit l_{a}(b) = \overline{l}_{a}(b) für alle b ∈ ℝ^{n}. (Damit so geschlossen werden darf, wird D in 7.3 als offen vorausgesetzt.)

(vi) Wenn f eine konstante Funktion ist, d.h. wenn f(x) = c für alle x ∈ D gilt, so ist Df_{a} = 0 für alle a ∈ D. Denn: Df_{a} = 0 erfüllt 7.3 (**).

(vii) Wenn f eine lineare Abbildung ist, so gilt Df_{a} = f.

Denn: Df_{a} = f erfüllt 7.3 (**).

(viii) Wir betrachten die Funktionen sin z und cos z auf ℂ: D(sin z)_{a}(h) = h cos a, also (sin z)′ = cos z, D(cos z)_{a}(h) = −h sin a, also (cos z)′ = − sin z. Denn: Mit Hilfe der Additionstheoreme und der Reihendarstellungen von sin und cos in 5.28 (iv) rechnet man leicht das Erfülltsein von 7.3 (**) nach.

(ix) Es gilt D(z^{n})_{a}(h) = na^{n−1}h, also (z^{n})′ = nz^{n−1}.

(x) Es gilt D(e^{z})_{a}(h) = e^{a}h, also (e^{z})′ = e^{z}.

7.7 Lemma : Sei f : (V, || ||) → (V′, || ||′) eine lineare Abbildung normierter Räume. Dann gilt: f ist genau dann stetig, wenn λ ∈ ℝ so existiert, daß für alle x ∈ V ||f(x)|| ≤ λ||x|| gilt.

1Selbst der legendäre Perry Rhodan kennt den Begriff Hyperfläche!! Vgl. Perry Rhodan Lexikon, Arthur Moewig Verlag 1971, S. 109.

Slogan: Eine lineare Abbildung ist genau dann stetig, wenn sie beschränkt ist.

Beweis: Wenn die Bedingung erfüllt ist, so gilt ||f(x) − f(a)|| = ||f(x − a)|| ≤ λ||x − a||, und somit ist f stetig in a.

Wenn umgekehrt f stetig ist, so existiert zu ε = 1 ein δ > 0 so, daß ||x|| < δ die Ungleichung ||f(x)|| < 1 erfüllt. Setze x := \frac{δy}{2||y||} für beliebiges y ≠ 0. Dann gilt nämlich ||x|| = \frac{δ}{2} < δ, also ||f(x)|| = \frac{δ}{2||y||}||f(y)|| < 1, d.h. ||f(y)|| < \frac{2}{δ}||y||. Wenn wir in der letzten Ungleichung ≤ statt < schreiben, so gilt die Ungleichung für alle y ∈ V.

7.8 Satz ( Kettenregel ) : Es seien V, V′, V′′ normierte Vektorräume, D ⊂ ∘ V, f : D → V′ differenzierbar bei a ∈ D, D′ ⊂ ∘ V′ mit f(D) ⊂ D′, g : D′ → V′′ differenzierbar bei b := f(a). Dann ist g ∘f bei a differenzierbar, und es gilt D(g ∘ f)_{a} = Dg_{f(a)} ∘ Df_{a}. Beweis:

(i) Wir setzen x := a + h, y := f(x), h′ := y − b.

(ii) Da g als differenzierbar bei b vorausgesetzt ist, gilt g(y) = g(b) + Dg_{b}(y − b) + s(y − b) mit s(y − b) = o(||y − b||) .

(iii) Aus der Differenzierbarkeit von f bei a folgt y = b+Df_{a}(x−a)+r(x−a) mit r(x − a) = o(||x − a||).

(iv) Also gilt g ∘ f(x) = g ∘ f(a) + Dg_{b}(Df_{a}(x − a) + r(x − a)) + s(y − b) = g ∘ f(a) + Dg_{b} ∘ Df_{a}(x − a) + Dg_{b}(r(x − a)) + s(y − b).

(v) Zu zeigen bleibt also: Dg_{b} ∘ r(x − a) + s(y − b) = o(||x − a||).

(vi) Da Dg_{b} linear stetig ist, gilt nach 7.7 ||Dg_{b} ∘ r(x − a)|| < λ||r(x − a)||, also Dg_{b} ∘ r(x − a) = o(||x − a||).

(vii) Zu zeigen bleibt also noch: s(y − b) = o(||x − a||).

(viii) Nun gilt doch lim_{x→a} \frac{||y−b||}{||x−a||} = lim_{x→a} \frac{||Df_{a}(x−a)+r(x−a)||}{||x−a||} ≤ lim_{x→a} \frac{||Df_{a}(x−a)||}{||x−a||} +0 = λ.

(ix) Daher gilt lim_{x→a} \frac{||s(y−b)||}{||x−a||} = lim_{x→a} \frac{s(||y−b||)}{||y−b||} lim_{x→a} \frac{||y−b||}{||x−a||} = 0 · λ = 0, q.e.d.

7.9 Satz : Sei D ⊂ ∘ 𝕂^{n}. Dann ist f : D → 𝕂^{m} genau dann differenzierbar bei a, wenn für alle i = 1, 2, …, m die i-te Koordinatenfunktion f^{i} := p_{i} ∘f differenzierbar bei a ist. (Vgl. die analoge Aussage 5.16 (v) über Stetigkeit.) Es gilt dann p_{i} ∘Df_{a} = D(p_{i} ∘f)_{a}, d.h. totale Ableitung und Projektion kommutieren. In anderer Schreibweise: Df_{a} = (D(p_{1} ∘ f)_{a}, …, D(p_{m} ∘ f)_{a})^{t}. Beweis: Sei f differenzierbar bei a. Da die Projektion p_{i} linear, also differenzierbar ist, ist nach 7.8 auch p_{i} ∘ f bei a differenzierbar.

Sei nun umgekehrt p_{i}∘f für alle i bei a differenzierbar. Dann gilt doch 0 =

lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{p_{i}∘f(a+h)−p_{i}∘f(a)−D(p_{i}∘f)_{a}}{||h||} = lim_{{h→0 \atop h≠0}}p_{i} ∘ \frac{f(a+h)−f(a)−l(h)}{||h||} für alle i = 1, …, m, wo-

bei l(h) := (D(p_{1}∘f)_{a}(h), …, D(p_{m}∘f)_{a}(h))^{t} sei. Also ist lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{f(a+h)−f(a)−l(h)}{||h||} =

0 und somit l = Df_{a}. Aus 7.8 folgt die restliche Behauptung.

Analog zu den von der Schule her bekannten Rechenregeln läßt sich zeigen:

7.10 Satz : Sei V normierter 𝕂-Vektorraum und D ⊂ ∘ V. f, g seien bei a ∈ D differenzierbare Abbildungen D → 𝕂. Dann sind λf + μg (λ, μ ∈ 𝕂), f · g sowie, im Falle g(a) ≠ 0, auch \frac{f}{g} bei a differenzierbar, und es gelten folgende Beziehungen:

(i) D(λf + μg)_{a} = λDf_{a} + μDg_{a} Linearität,

(ii) D(f · g)_{a} = g(a)Df_{a} + f(a)Dg_{a} Produktregel,

(iii) D(\frac{f}{g})_{a} = \frac{g(a)Df_{a}−f(a)Dg_{a}}{g(a)^{2}} Quotientenregel.

7.11 Einige Ableitungsfunktionen : (m = n = 1, 𝕂 = ℝ) Da x = exp(ln x) gilt, ist nach 7.8 1 = (exp(ln x))′ = (ln x)′ exp(ln x), also gilt

(ln x)′ = x^{−1} .

(Genau genommen haben wir hier nur gezeigt: Wenn ln x differenzierbar ist, so ist die Ableitungsfunktion x^{−1}. Die Differenzierbarkeit von ln x werden wir später – in Kapitel 11 – unabhängig von diesem Resultat zeigen.).

Da ln a^{x} = x ln a gilt, ist ln a = (ln a^{x})′ = a^{−x}(a^{x})′, also gilt

(a^{x})′ = a^{x} ln a .

Da x = sin(arcsin x) gilt, ist 1 = (arcsin x)′ cos(arcsin x), also gilt

(arcsin x)′ = (1 − x^{2})^{− \frac{1}{2}} .

Ebenso läßt sich zeigen: (arccos x)′ = −(1 − x^{2})^{− \frac{1}{2}} ,

(arctan x)′ = (1 − x^{2})^{−1} ,  (arccot x)′ = −(1 + x^{2})^{−1} ,
(sinh x)′ = cosh x ,  (cosh x)′ = sinh x ,
(tanh x)′ = cosh^{−2} x ,  (coth x)′ = − sinh^{−2} ,
(arsinh x)′ = (x^{2} + 1)^{− \frac{1}{2}} ,  (arcosh x)′ = ±(x^{2} − 1)^{− \frac{1}{2}} ,
(artanh x)′ = (1 − x^{2})^{−1} ,  (arcoth x)′ = (1 − x^{2})^{−1} .

Wir lernen jetzt für Skalarfelder (d.h. für reellwertige Funktionen) eine weitere Art von Ableitungen kennen:

7.12 Definitionen : Seien D ⊂ ∘ ℝ, f : D → ℝ, a = (α_{1}, α_{2}, …, α_{n})^{t} ∈ D

und es sei D_{i}f(a) := lim_{{ξ→0 \atop ξ≠0}} \frac{f(α_{1},α_{2},...,α_{i}+ξ,...,α_{n})−f(α_{1},...,α_{n})}{ξ} existent. Dann heißt

D_{i}f(a) =: f_{ξ_{i}}|_{x=a} =: \frac{∂f}{∂ξ_{i}} (a) die i-te partielle Ableitung von f(x) = f(ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n}) an der Stelle x = a.

Wenn D_{i}f(a) für alle a ∈ D existiert, so ist D_{i}f : a → ℝ eine Abbildung von D nach ℝ, und es kann möglicherweise die partielle Ableitung zweiter Ordnung D_{i,j}f(a) := D_{j}(D_{i}f)(a) gebildet werden. Analog werden partiellen Ableitungen q-ter Ordnung D_{i_{1},i_{2},...,i_{q}}f(a) definiert. Wenn alle partiellen Ableitungen q-ter Ordnung auf einer nichtleeren offenen Menge D existieren und stetig sind, so heißt f eine C^{(q)}-Funktion, geschrieben f ∈ C^{(q)}.

7.13 Bemerkungen :

(i) Die i-te partielle Ableitung ist die gewöhnliche Ableitung (Def.7.1) einer modifizierten Funktion g : ℝ → ℝ, nämlich von g(x) := f(α_{1}, …, α_{i−1}, x, α_{i+1}, …, α_{n}). Dann gilt nämlich D_{i}f(a) = g′(x)|_{x=α_{i}}. D_{i}f(a) ist also die Steigung der Tangente in i-Richtung an die Hyperfläche ξ_{n+1} = f(ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n}) im Punkte a.

(ii) Zur Veranschaulichung der Vorgänge sei zunächst noch ausführlicher auf die graphische und arithmetische Darstellung von Funktionen von ℝ^{n} nach ℝ^{m} eingegangen:

7.14 Satz : Wenn D ⊂ ∘ V und f : D → V′ differenzierbar bei a ist, so ist f stetig bei a.

Beweis: f ist genau dann differenzierbar bei a, wenn ein stetiges l_{a}(h) ∈

Hom(V, V′) existiert mit lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{f(a+h)−f(a)−l_{a}(h)}{||h||} = 0.

Also existiert ein δ′ > 0 so, daß ||f(a+h)−f(a)−l_{a}(h)|| < ||h|| gilt, sofern ||h|| < δ′ ist. Die Linearität von l_{a}(h) impliziert wegen 7.7 ||l_{a}(h)|| ≤ λ||h||.

Daher gilt für ||h|| < δ′: ||f(a + h) − f(a)|| ≤ ||f(a + h) − f(a) − l_{a}(h)|| + ||l_{a}(h)|| < ||h|| + λ||h|| = μ||h||.

Setze δ := min\{δ′, \frac{ε}{μ}\}. Dann ist ||f(a + h) − f(a)|| < ε, wenn ||h|| < 0. Also ist f bei a stetig.

7.15 Definitionen : Sei D ⊂ ∘ V, f : D → ℝ und a ∈ D so, daß f(a) ≥ f(x) für alle x ∈ K_{ε}(a) ⊂ D. Dann sagen wir: f hat in a ein lokales oder relatives Maximum (analog: lokales Minimum). Relative Maxima oder Minima heißen relative Extrema.

7.16 Satz ( notwendige Bedingung für Extrema ) : Sei D ⊂ ∘ ℝ^{n}, f : D → ℝ. Wenn f in a ∈ D ein relatives Extremum hat und wenn D_{i}f(a) existiert, so ist D_{i}f(a) = 0. Beweis: Wegen 7.13 (i) ist dies nichts anderes als die von der Schule her bekannte notwendige Bedingung für relative Extrema einer reellwertigen Funktion einer reellen Veränderlichen.

7.17 Bemerkungen :

(i) D_{i}f(a) = 0 ist nur eine notwendige Bedingung für ein relatives Extremum. Denn: z.B. ζ = ξ^{2} − η^{2} liefert D_{1}f(ξ, η) = 2ξ, D_{2}f(ξ, η) = −2η. Also in (0, 0) ist D_{1}f(0, 0) = D_{2}f(0.0) = 0. Aber (0, 0) ist kein relatives Extremum. (Hier: in ξ-Richtung Minimum, in η-Richtung Maximum.) Dies ist ein sog. Sattelpunkt.

(ii) Wenn D ⊂ ∘ ℝ^{n} kompakt ist, so nimmt nach 5.19 jede stetige Funktion f : D → ℝ ihr absolutes Maximum bzw. Minimum an. Liegt dieses Extremum aber auf dem Rand von D, so ist dort nicht notwendig D_{i}f = 0. Beispiel: f = id : [0, 1] → ℝ hat absolutes Maximum bei x = 1, aber f′(1) = 1.

7.18 Satz ( Mittelwertsatz für reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen ) : Sei f : [a, b] → ℝ stetig und f′ existiere für jedes x ∈]a, b[. Dann existiert c ∈]a, b[ mit f(b) − f(a) = f′(c)(b − a). Beweis: Setze m := \frac{f(b)−f(a)}{b−a} und F (x) := f(b) − f(x) − m(b − x). F (x) ist stetig auf dem kompakten Intervall [a, b], also hat F nach 5.19 ein Maximum x_{1} und ein Minimum x_{2} auf [a, b]. Es gilt F (a) = F (b) = 0.

1. Fall: F (x_{1}) > 0. Dann ist x_{1} ∈]a, b[, also nach 7.16 F′(x_{1}) = 0, d.h. f′(x_{1}) = m. Setze c := x_{1}.

2. Fall: F (x_{2}) < 0. Schließe analog zum 1. Fall. Nimm c := x_{2}.

3. Fall: F (x_{1}) ≤ 0 ∧ F (x_{2} ≥ 0). Dann ist F (x_{1}) = F (x_{2}) = 0, also F |_{[a,b]} ≡ 0, also F′(x) = 0 für x ∈]a, b[, also f′(x) = m für alle x ∈]a, b[. Setze c := x. □

7.19 Bemerkungen :

(i) Der Spezialfall f(a) = f(b) in 7.18 heißt Satz von Rolle.

(ii) Sei f : [a, b] → ℝ stetig und in ]a, b[ überall differenzierbar. Sei für zwei feste m, M ∈ ℝ m ≤ f′(x) ≤ M für alle x ∈]a, b[. Dann gilt m(y − x) ≤ f(y) − f(x) ≤ M(y − x) für alle x, y mit a ≤ x ≤ y ≤ b. Klar, wegen 7.18.

(iii) Kennzeichnung der konstanten Funktionen. Wenn f : [a, b] → ℝ stetig und in ]a, b[ differenzierbar ist und wenn ⋀_{x∈]a,b[}f′(x) = 0 ist, so ist f konstant.

Folgt aus (ii). Setze m = M = 0!

(iv) Sei c ∈ ℝ und sei f : ℝ → ℝ differenzierbar mit f′(x) = cf(x) für alle x ∈ ℝ. Dann ist f(x) = f(0)e^{cx} für alle x ∈ ℝ. Denn: Setze F (x) := f(x)e^{−cx}. Dann ist F′(x) = f′(x)e^{−cx}−cf(x)e^{−cx} = e^{−cx}(f′(x)−cf(x)) = 0. Also ist nach (iii) F (x) = const. Da F (0) = f(0) ist, gilt F (x) = f(0) für alle x, also f(x) = f(0)e^{cx} für alle x ∈ ℝ.

(v) Die Differentialgleichung von (iv) ist ein Modell für gewisse Wachstumsprozesse: Sei z.B. f(x) die Größe einer Population zum Zeitpunkt x. \frac{f′(x)}{f(x)} wird auch als Wachstumsrate zum Zeitpunkt x bezeichnet. Man nimmt gern eine konstante Wachstumsrate an (z.B. Wirtschaftswachstum!), z.B. c% pro Jahr. Also nach (iv) f(x) = f(0)e^{\frac{cx}{100}} . Gesucht ist die sog. Verdoppelungszeit. Zur Zeit x = 0 sei die Größe der Population f(0). Für welches x ist f(x) = 2f(0)? 2f(0) = f(0)e^{\frac{cx}{100}} . cx = 100 ln 2 ≈ 69, 31. Also z.B. bei 7% Wachstum erfolgt eine Verdoppelung in 10 Jahren!

(vi) e^{x} ist diejenige Funktion f : ℝ → ℝ, für die f′(x) = f(x) und f(0) = 1 gilt.

(vii) f : [a, b] → ℝ stetig, in ]a, b[ differenzierbar, ⋀_{x∈]a,b[}f′(x) > 0 (bzw. ≥ 0

bzw. < 0 bzw. ≤ 0) → f ist in [a, b] streng monoton wachsend (bzw. monoton wachsend bzw. streng monoton fallend bzw. monoton fallend). Denn: Sei f′(x) > 0. Annahme: f nicht streng monoton wachsend, d.h. ∃x_{1} < x_{2} : f(x_{1}) ≥ f(x_{2}) → ∃c ∈]a, b[: f′(c) = \frac{f(x_{2})−f(x_{1})}{x_{2}−x_{1}} ≤ 0 (wegen 7.18).

(viii) f :]a, b[→ ℝ differenzierbar, f zweimal differenzierbar in x_{1} ∈]a, b[, f′(x_{1}) = 0, f′′(x_{1}) > 0 (bzw. f′′(x_{1}) < 0) → f hat in x_{1} ein isoliertes lokales Minimum (bzw. Maximum).

Denn: Sei f′′(x_{1}) > 0, f′′(x_{1}) = lim_{x→x_{1}} \frac{f′(x)−f′(x_{1})}{x−x_{1}} > 0. Daraus folgt

∃δ > 0 : \{0 < |x − x_{1}| < δ → \frac{f′(x)−f′(x_{1})}{x−x_{1}} > 0\}, also \frac{f′(x)}{x−x_{1}} > 0 für |x − x_{1}| < δ. Nach (vii) ist also f(x) streng monoton wachsend in ]x_{1}, x_{1} +δ[. Ebenso folgt: f(x) ist streng monoton fallend in ]x_{1} − δ, x_{1}[, also hat f in x_{1} ein isoliertes lokales Minimum. □

7.20 Satz : Sei D ⊂∘ ℝ^{n}, f : D → ℝ eine C^{(k)}-Funktion. Dann ist D_{i_{k}...i_{2}i_{1}}f = D_{i_{π(k)}...i_{π(2)}i_{π(1)}}f für jede Permutation π ∈ S_{k}. Beweis: Mit Hilfe des Mittelwertsatzes. Siehe O. Forster: Analysis 2, p.41.

7.21 Satz : Sei D ⊂ ∘ ℝ^{n} und a ∈ D. Dann gelten:

(i) Wenn f : D → ℝ differenzierbar bei a ist, so existiert D_{i}f(a) für alle i; genauer: es ist D_{i}f(a) = Df_{a}(e_{i}) (e_{i} ist i-ter Standardvektor von ℝ^{n}). Beweis: Wenn f differenzierbar bei a ist, so gilt lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{f(a+h)−f(a)−Df_{a}(h)}{||h||} =

0, also speziell für h = λe_{i} lim_{{λ→0 \atop λ≠0}} \frac{f(α_{1},...,α_{i−1},α_{i}+λ,α_{i+1},...,α_{n})−f(α_{1},...,α_{n})}{λ||e_{i}||} =

lim_{{λ→0 \atop λ≠0}} \frac{λDf_{a}(e_{i})}{λ||e_{i}||} = Df_{a}(e_{i}) und der erste Limes ist doch D_{i}f(a). Umgekehrt:

(ii) Wenn f : D → ℝ von der Klasse C^{(1)} ist. so ist f differenzierbar bei a;

genauer: Es gilt Df_{a}(x) = ∑_{i=1}^{n}D_{i}f(a)ξ_{i}, wobei x = (ξ_{1}, …, ξ_{n})^{t} ist.

Beweis: Beweis mit Hilfe des Mittelwertsatzes. Siehe O. Forster: Analysis 2, p.47f.

7.22 Folgerungen :

(i) f : D → ℝ^{m} differenzierbar bei a ∈ D ⊂ ∘ ℝ^{n} → ⋀_{{i=1,...,n \atop j=1,...,m}}D_{i}f^{j}(a) existiert.

(ii) ⋀_{j=1,...,m}f^{j}ϵC^{(1)} in D ⊂ ∘ ℝ^{n} → Df_{a} existiert für alle a ∈ D, nach 7.9.

(iii) fϵC^{(1)} in D ⊂ ∘ ℝ^{n} → fϵC^{(0)} in D.

7.23 Satz : D ⊂∘ ℝ^{n}, f : D → ℝ^{m}C^{(1)} → Df_{a}(x) = f′(a)x für alle

a ∈ D, wobei f′(a) := ( \begin{matrix}D_{1}f^{1}(a) & … & D_{n}f^{1}(a) \\ … & & … \\ D_{1}f^{m}(a) & … & D_{n}f^{m}(a) \end{matrix} ) ∈ M_{m,n}(ℝ) die sog.

Jacobi-Matrix oder auch Funktionalmatrix ist.

7.24 Satz ( Kettenregel für partielle Ableitungen ) : Es seien D ⊂ ∘ ℝ^{n}, a ∈ D; g_{1}, …, g_{m} : D → ℝ C^{(1)}-Funktionen; U ⊂ ∘ ℝ^{m}, (g_{1}(a), …, g_{m}(a)) ∈ U; f : U → ℝ C^{(1)}-Funktion, und F : D → ℝ sei durch F (x) := f(g_{1}(x), …, g_{m}(x)) definiert. Dann ist D_{i}F (a) = ∑ D_{j}f(g_{1}(a), …, g_{m}(a))D_{i}g_{j}(a). Beweis: Mit g := (g_{1}, …, g_{m}) ist F = f ∘ g, also DF_{a}(x) = (Df_{g(a)} ∘ Dg_{a})(x) = f′(g(a))g′(a)x wegen 7.8 und 7.23

= ( D_{1}f(g(a)) … D_{m}f(g(a)) ) ( \begin{matrix}D_{1}g_{1}(a) & … & D_{n}g_{1}(a) \\ … & & … \\ D_{1}g_{m}(a) & … & D_{n}g_{m}(a) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ … \\ ξ_{n} \end{matrix} ).

Nach 7.21 (ii) gilt DF_{a}(x) = ( D_{1}F (a) … D_{n}F (a) )( \begin{matrix}ξ_{1} \\ … \\ ξ_{n} \end{matrix} ) und somit

die Behauptung. □

7.25 Anwendungen :

(i) Umrechnen der partiellen Ableitung in andere Koordinaten, z.B. in Polarkoordinaten: f(ξ, η) = f(ρ cos θ, ρ sin θ) =: F (ρ, θ).

\frac{∂F}{∂ρ} = \frac{∂f}{∂ξ} \frac{∂ξ}{∂ρ} + \frac{∂f}{∂η} \frac{∂η}{∂ρ} = cos θ\frac{∂f}{∂ξ} + sin θ\frac{∂f}{∂η}

\frac{∂F}{∂θ} = −ρ sin θ\frac{∂f}{∂ξ} + ρ cos θ\frac{∂f}{∂η}

(ii) Implizites Differenzieren Gesucht seien die partiellen Ableitungen von ζ = f(ξ, η). Sei g(ξ, η, ζ) = 0 die implizite Form von ζ = f(ξ, η), also g(ξ, η, f(ξ, η)) = F (ξ, η) = 0. Dann gilt

0 = \frac{∂F}{∂ξ} = \frac{∂g}{∂ξ} \frac{∂ξ}{∂ξ} + \frac{∂g}{∂η} \frac{∂η}{∂ξ} + \frac{∂g}{∂ζ} \frac{∂ζ}{∂ξ} = D_{1}g + D_{3}g \frac{∂f}{∂ξ} ,

also \frac{∂f}{∂ξ} = −\frac{D_{1}g}{D_{3}g} (sofern D_{3}g ≠ 0 ist). Entsprechend \frac{∂f}{∂η} = −\frac{D_{2}g}{D_{3}g}. Ebenso: Wenn η = f(ξ) explizit und g(ξ, η) = 0 die implizite Form ist, so ist η′ = −\frac{D?}{D_{2}?}.

Z.B. η = \sqrt{\frac{c}{sin ξ}}, g(ξ, η) = η^{2} sin ξ − c = 0, η′ = \frac{−η^{2} cos ξ}{2η sin ξ} = \frac{−η}{2 tan ξ},

η′ = \frac{−\sqrt{c}}{2\sqrt{sin ξ} tan ξ}.

(iii) Fehlerabschätzung D ⊂ ∘ ℝ^{n}, f : D → ℝ, x = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ D der wahre Wert, x_{0} = (ξ_{01}, …, ξ_{0n}) ∈ D der (gemessene) Näherungswert, h = x − x_{0} der Meßfehler, |Δξ_{i}| = |ξ_{i} − ξ_{0i}| ≤ σ_{i} die Schranken für den Meßfehler. Es ist |Δf| = |f(x) − f(x_{0})| = |Df_{x_{0}}(x − x_{0}) + o(||x − x_{0}||)| ≤ | ∑ D_{i}f(x_{0})(ξ_{i} − ξ_{0i})| + | o(||x − x_{0}||)|, also ist S ≈ ∑ |D_{i}f(x_{0})|σ_{i} eine ungefähre Fehlerschranke, wenn |Δξ_{i}| ≤ σ_{i} ist.

7.26 Definitionen : Es seien x, y ∈ ℝ^{n}.

(i) ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n}ξ_{i}η_{i} heißt Standardbilinearform auf ℝ^{n} (manchmal auch

inneres Produkt).

(ii) x heißt orthogonal zu y, geschrieben x ⊥ y, wenn ⟨x, y⟩ = 0 ist.

(iii) ∢(x, y) := arccos \frac{⟨x,y⟩}{||x||_{2}||y||_{2}} heißt der Winkel zwischen x und y.

(iv) Der Operator Nabla, geschrieben ▽, wird definiert als ▽ := (D_{1}, …, D_{n})^{t}.

(v) ▽f := ( \begin{matrix}D_{1}f⋮ \\ D_{n}f \end{matrix} ) =: grad f heißt der Gradient von f : D → ℝ

(D ⊂ ∘ ℝ^{n}).

(vi) f heißt eine Potentialfunktion des Vektorfeldes ▽f : D → ℝ^{n}.

(vii) Sei g : D → ℝ^{n}. ⟨▽, g⟩ = ∑_{i=1}^{n}D_{i}g^{i} =: div g heißt Divergenz von g.

(viii) ▽ × g =: rot g heißt Rotation von g. Aber das ”Kreuzprodukt“ × behandeln wir erst in Mathematik III !

7.27 Bemerkungen :

(i) Wegen 5.5 liegt \frac{⟨x,y⟩}{||x||_{2}||y||_{2}} im Definitionsbereich des arccos. Die Relation ⟨x, y⟩ = ||x||_{2}||y||_{2} cos ∢(x, y) wird oft benutzt.

(ii) Wenn f ∈ C^{(1)}, so ist Df_{a}(x) = ⟨▽f(a), x⟩ ( Zuwuchsformel).

(iii) Es sei α(t) : ℝ → D ⊂ ∘ ℝ^{n} differenzierbar in t_{0} ∈ ℝ und es sei f : D → ℝ differenzierbar. Dann ist (f ∘ α)′(t_{0}) = ⟨▽f(α_{0}), α′(t_{0})⟩, wobei α_{0} := α(t_{0}) und α′(t_{0}) := (α^{1′}(t_{0}), …, α^{n′}(t_{0}))^{t} ist. Denn: (f ∘α)′(t_{0})·h = D(f ∘α)_{t_{0}}(h) = Df_{α(t_{0})}(Dα_{t_{0}}(h)) = ⟨▽f(α_{0}), Dα_{t_{0}}(h)⟩.

Nun ist Dα_{t_{0}}(h) = ( \begin{matrix}Dα_{t_{0}}^{1}(h) \\ … \\ Dα_{t_{0}}^{n}(h) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α^{1}′(t_{0})h \\ … \\ α^{n}′(t_{0})h \end{matrix} ), also folgt die Be-

hauptung.

(iv) α′(t_{0}) von (iii) ist doch der Jacobi-Vektor von α. Daher heißt α′(t_{0}) der Tangentenvektor an die Kurve α(t) in t_{0}.

Denn: α′(t_{0}) = \frac{Dα_{t_{1}}(h)}{h} = ( \begin{matrix}lim_{{h→0 \atop h≠0}} & \frac{α^{1}(t_{0}+h)−α^{1}(t_{0})}{h} \\ … \\ lim_{{h→0 \atop h≠0}} & \frac{α^{n}(t_{0}+h)−α^{(n)}(t_{0})}{h} \end{matrix} ) = lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{α(t_{0}+h)−α(t_{0})}{h} .

(v) Für D ⊂ ∘ ℝ^{n} und differenzierbare Funktionen f : D → ℝ, α : ℝ → D gilt (f ∘ α)′(t)h = D(f ∘ α)_{t}(h) = Df_{α(t)}(Dα_{t}(h)) = Df_{α(t)}(α′(t))h, also Df_{α(t)}(α′(t)) = (f ∘ α)′(t). Letzterer Ausdruck gibt doch die Änderung von f in Richtung der durch α(t) beschriebenen Kurve an (, also auch in Richtung von α′(t)). Das liefert uns eine ”anschauliche “Interpretation der totalen Ableitung: Df_{a}(h) gibt die Änderung von der Funktion f im Punkte a in Richtung h an. Wenn ||h|| = 1 ist, so heißt Df_{a}(h) auch manchmal die Richtungsableitung von f im Punkte a in Richtung h. Diese wird ( in Anlehnung an die Schreibweise für partielle Ableitungen ) auch geschrieben als D_{h}f(a).

(vi) Die Änderung Df_{a}(h) = ⟨▽f(a), h⟩ = || ▽ f(a)|| ||h||cos∢(▽f(a), h) ist am größten, wenn ∢(▽f(a), h) = 0 ist, d. h., wenn h in Richtung von ▽f(a) zeigt. Anders gewendet:

Slogan:▽f = gradf zeigt stets in Richtung des größten Anstiegs von f, und − ▽ f zeigt in Richtung der stärksten Abnahme von f.

(vii) Nun ergibt sich nach 7.27(v) ⟨▽f(a), α′(t)⟩ = Df_{α(t)}(α′(t)) = (f ∘α)′(t), also ist ▽f(α(t)⊥α(t) äquivalent mit f ∘ α = const.

Slogan: ▽f(a) ist ein Normalenvektor auf der Niveauhyperfläche f = const im Punkte a (viii) Ein Beispiel aus der Physik: Die elektrische Feldstärke E(x) hat in

einem elektrostatischen Spannungsfeld U(x) die Richtung des stärksten Spannungsabfalls, da E(x) = −grad U(x) gilt.

(ix) Gleichung der Tangentialhyperebene:

Wir erhalten also eine Gleichung für die Tangentialhyperebene im Punkte a an die Niveauhyperfläche f = const durch ⟨▽f(a), x − a⟩ = 0.