Kapitel 8

Das Riemannsche Integral

Motivation: Sei f : I → R stetig und I = [α, β] bzw. I = [α, β]×[γ, δ] ( oder ein Intervall höherer Dimension ).

Gesucht ist der ”Flächeninhalt“ bzw. das ”Volumen“ unterhalb des Graphen von f(x) und oberhalb von I. Ausgeführt wird die Abschätzung durch eine untere Rechteck(bzw. Quader-)summe sowie durch eine obere (sog. Untersumme bzw. Obersumme). Das gesuchte Volumen liegt dazwischen. Die Einteilung wird immer feiner gemacht, und das Supremum aller Untersummen und das Infimum aller Obersummen ermittelt. Wenn beide Werte übereinstimmen, hat man das Riemannsche Integral ermittelt. Die folgenden vier Abbildungen ^{1} veranschaulichen den Sachverhalt für die Dimensionen 1 und 2.

Untersumme  Obersumme

1Sie wurden mit Maple erstellt, die vierte mittels des Paketes mvcal von C. K. Cheung.

Volumen  unter  einem

Flächenstück Seine Approximation mittels einer Quadersumme

Ähnliche Zugänge zum Integralbegriff gibt es schon seit der Antike. Die Exhaustionsmethode des Eudoxos wurde von Archimedes virtuos gehandhabt, schön dargelegt in seiner Schrift ‘Ad Eratosthenem methodus ‘. Später präsentierten z. B. Cavalieri und Kepler Integrationsüberlegungen. Die Integralrechnung ist also eine viel ältere Disziplin als die Differentialrechnung. Dennoch kam mit der Entwicklung letzterer ein neuer Impetus auch für die erstere. Wie bei der Differentiation gehen die beiden großen Protagonisten Leibniz und Newton auch bei der Integration verschiedene Wege: Newton interessiert hauptsächlich die inverse Operation zur Ableitung, also das Auffinden einer Stammfunktion ( siehe 8.19ff. ), engl. antiderivative, neuerdings bei uns öfter auch Aufleitung genannt. Leibniz - mehr in der antiken, atomistischen Tradition beheimatet - arbeitet den verallgemeinerten Summations-

prozeß heraus. So führt er auch das ∫ -Zeichen ein, ein stilisiertes Summen-

zeichen.

8.1 Definitionen :

(i) Für a = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ R^{n}, b = (β_{1}, …, β_{n}) ∈ R^{n} heißt [a, b] := {x = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ R^{n} : α_{i} ≤ ξ_{i} ≤ β_{i}∀i = 1, …, n} ein abgeschlossenes Intervall in R^{n}; analog: ]a, b[ offenes Intervall, ]a, b] oder [a, b[ halboffenes Intervall.

(ii) Sei I ein Intervall in R^{n} (offen oder abgeschlossen).

v(I) := ∏_{i=1}^{n}(β_{i} − α_{i}) heißt das Volumen von I. (Es kann also als ”Vo-

lumen eines n-dimensionalen Quaders“ interpretiert werden). Wir definieren ferner v(Ø) := 0.

(iii) Eine Menge E = {I_{1}, …, I_{r}} von offenen Intervallen heißt eine Ein-

teilung von [a, b], wenn [a, b] = ⋃_{i=1}^{r}\overline{I}_{i} und die I_{i} paarweise disjunkt

sind.

(iv) Seien E, E′ Einteilungen von [a, b]. E = {I_{1}, …, I_{r}} heißt feiner als

E′ = {I1^{′}, …, IS^{′}}, geschrieben E ⊂ E′, wenn ⋀_{i=1}^{r} ⋁_{j}I_{i} ⊂ Ij^{′}. (Im Falle

n = 1 bedeutet das: Jeder Teilungspunkt von E′ ist auch Teilungspunkt von E).

(v) t : [a, b] → R heißt Treppenfunktion auf [a, b], wenn eine Einteilung

E = {I_{1}, …, I_{r}} von [a, b] existiert, daß ⋀_{i=1}^{r}t|_{I_{i}} = c_{i} = const. ist.

(vi) S_{[a,b]_{E}}(t) := ∑_{i=1}^{r}c_{i}v(I_{i}) heißt das Integral von t über [a, b].

(vii) Jede Treppenfunktion t̃ auf [a, b] wird zu einer auf ganz R^{n} definierten Funktion t : R^{n} → R fortgesetzt:

t(x) := \{ \begin{matrix}t̃(x) & für x ∈ [a, b] \\ 0 & für x ∉ [a, b] \end{matrix}

Diese erweiterte Treppenfunktion t hat dann dasselbe Integral wie t̃: S_{E}(t) = S_{[a,b]_{E}}(t̃).

8.2 Bemerkungen :

(i) Das Integral einer Treppenfunktion t hängt nicht von [a, b] oder E ab, sondern nur von t.

Denn: Seien [a, b], [a′, b′] und E = {I_{1}, …, I_{r}}, E′ = {I1^{′}, …, Is^{′}} zu t

passend gegeben.

(*) {I_{i} ∩ Ij^{′} : i = 1, …, r; j = 1, …, s} bildet dann eine gemeinsame Verfeinerung der Einteilungen E, E′. Wir lassen die leeren Mengen in (*) weg und erhalten eine Einteilung E′′ := {Ik^{′′} : k = 1, …, u} von [a′′, b′′], wobei αk^{′′} := max{α_{i}, αj^{′}}, βk^{′′} := min{β_{i}, βj^{′}} gewählt ist. Es ist t außerhalb von [a′′, b′′] Null.

Überlegen Sie sich, daß sich S(t) beim Übergang zu einer Verfeinerung nicht ändert!

(ii) Die Menge T der Treppenfunktionen des R^{n} ist ein R-Vektorraum. Das Integral ist eine lineare Abbildung S : T → R (eine sog. Linearform oder ein lineares Funktional).

Für t_{1}, t_{2} ∈ T sagen wir: t_{1} ≤ t_{2}, wenn t_{1}(x) ≤ t_{2}(x) für alle x ∈ R^{n}. (T , ≤) ist im Sinne von 2.30 eine geordnete Menge.

(iii) t ∈ T , t ≥ 0 → S(t) ≥ 0

t_{1} ≤ t_{2} → S(t_{1}) ≤ S(t_{2})

Das Integral ist also nichtnegativ, monoton wachsend.

8.3 Definition : M ⊂ R^{n} heißt eine Lebesguesche Nullmenge oder eine Menge vom Lebesgue-Maß Null, wenn für jedes ε > 0 eine abzählbare

Familie {I_{ν}} offener Intervalle mit M ⊂ ⋃_{ν=1}^{∞}I_{ν} und ∑_{ν=1}^{∞}v(I_{ν}) < ε existiert.

Von einer Eigenschaft, die auf R^{n} mit Ausnahme einer Lebesgueschen Nullmenge gilt, sagen wir, daß sie fast überall gilt.

8.4 Bemerkungen :

(i) M abzählbar → M ist vom Maß 0 Denn: Schreibe M = {m_{1}, m_{2}, …}. Wähle I_{i} =]a_{i}, b_{i}[ um m_{i} so, daß

v(I_{i}) < \frac{ε}{2^{i}}. Dann ist ∑_{i=1}^{∞}v(I_{i}) < ε∑_{i=1}^{∞}(\frac{1}{2})^{i} = ε.

(ii) Jede Vereinigung ⋃_{i=1}^{∞}M_{i} abzählbar vieler Mengen M_{i} vom Maß 0 ist vom

Maß 0. Denn: Zu vorgegebenem ε > 0 wählen wir zu M_{i} jeweils εi^{′} = \frac{ε}{2^{i}}. Da

M_{i} vom Maß 0 ist, existiert \{I_{i_{ν}}\} mit ∑_{ν}v(I_{i_{ν}}) < \frac{ε}{2^{i}}. ⋃_{i=1}^{∞}\{I_{i_{ν}}\} ist nach

1.33 abzählbar und wie unter (i) ist ∑_{i,ν}v(I_{i_{ν}}) < ε.

(iii) Jede (n − 1)-dimensionale Randhyperfläche eines n-dimensionalen Intervalls [a, b] ist vom Maß 0. Denn: Eine (n − 1)-dimensionale Randhyperfläche erhalten wir durch ξ_{j} = α_{j} (oder β_{j}) für ein j und α_{i} ≤ ξ_{i} ≤ β_{i} für i ≠ j, also läßt sie sich mit zwei offenen Quadern ](α_{1}, …, α_{j−1}, α_{j} − ε, α_{j}, …, α_{n}), (β_{1}, …, β_{j−1}, α_{j} + ε, …, β_{n})[ oder ](α_{1}, …, α_{j−1}, β_{j} − ε, α_{j}, …, α_{n}), (β_{1}, …, β_{j−1}, β_{j} + ε, …, β_{n})[ der Volumina 2εV_{n−1} überdecken.

8.5 Definitionen : Sei [a, b] ⊂ R^{n}, f : [a, b] → R beschränkt. E = {I_{1}, …, I_{r}} sei ein Element aus der Menge E aller Einteilunge von [a, b]. Ferner sei

\underline{t}_{f,E}(x) := \{ \begin{matrix}inf\{f(x) : x ∈ \overline{I}_{i}\} & für x ∈ I_{i} \\ f(x) & für x ∈ \overline{I}_{i} \ I_{i} \\ 0 & für sonstige \end{matrix}

und

\overline{t}_{f,E}(x) := \{ \begin{matrix}sup\{f(x) : x ∈ \overline{I}_{i}\} & für x ∈ I_{i} \\ f(x) & für x ∈ \overline{I}_{i} \ I_{i} \\ 0 & für sonstige \end{matrix}

(i) \underline{S}_{[a,b]}f := sup\{S(\underline{t}_{f,E}) : E ∈ E\} heißt das Unterintegral von f. S(\underline{t}_{f,E}) ist die sogenannte Untersumme von f bezüglich E.

(ii) \overline{S}_{[a.b]}f := inf\{S(\overline{t}_{f,E})\} heißt Oberintegral, S(\overline{t}_{f,E}) die Obersumme.

(iii) f heißt Riemann-integrierbar über [a, b], wenn \underline{S}f = \overline{S}f =: ∫_{[a,b]} f(ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n})dξ_{1}dξ_{2} … dξ_{n} =: ∫_{a}^{b} f gilt. Letzterer Wert wird das Riemannsche Integral genannt.^{2}

(iv) Die Maschenweite der Einteilung E = {I_{k} : k = 1, …, r} wird definiert als |E| := max{d(I_{k}) : k = 1, …, r}, wobei d(I_{k}) := sup{||x−y|| : x, y ∈ I_{k}} der sog. Durchmesser von d(I_{k}) ist.

8.6 Bemerkungen :

(i) \underline{S}_{[a,b]}f und \overline{S}_{[a,b]}f existieren. Es gilt \underline{S}f ≤ \overline{S}f.

Denn: Nach 8.5 ist f beschränkt, also existieren nach 3.3 inf{f(x) : x ∈ \overline{I}_{i}\} und somit \underline{t}_{f,E}(x). Ebenso \underline{S}_{[a,b]}f bzw. \overline{S}_{[a,b]}f. Da nach Konstruktion \underline{t}_{f,E} ≤ f ≤ \overline{t}_{f,E′} für alle E, E′ ∈ E gilt, ist wegen 8.2 (iii) S(\underline{t}_{f,E}) ≤ S(\overline{t}_{f,E^{‘}}), also \underline{S}f ≤ \overline{S}f.

(ii) Wenn f auf [a, b] beschränkt ist, so existiert eine Folge {E_{ν}} von Einteilungen von [a, b] so, daß E_{ν+1} ⊂ E_{ν}, lim_{ν→∞}|E_{ν}| = 0 und lim_{ν→∞}S(\underline{t}_{f,E_{ν}}) =

\underline{S}_{[a,b]}f gelten. Analoge Aussage für \overline{S}_{[a,b]}f.

2Riemann beginnt 1854 in seiner Arbeit Über trigonometrische Summen mit der systematischen Untersuchung über die Integrierbarkeit beschränkter Funktionen. Die Definition mittels Ober-und Untersummen wird von Darboux geleistet.

Bernhard Riemann (1826 - 1866)

Gaston Darboux (1842 - 1917)

8.7 Satz : f : [a, b] → R stetig → f Riemann integrierbar auf [a, b].

8.8 Satz : Eine beschränkte Funktion f : [a, b] → R ist genau dann Riemann-integrierbar auf [a, b], wenn sie auf [a, b] fast überall stetig ist.^{3} Beweis: Z. B. bei T. M. Apostol, Mathematical Analysis. Addison-Wesley, Reading, Mass. 1974, Thm. 7.48.

8.9 Beispiel einer nicht Riemann-integrierbaren Funktion :

f(x) := \{ \begin{matrix}1 & für x ∈ Q \\ 0 & für x ∉ Q \end{matrix}

ist auf [a, b] ⊂ R für a ≠ b nicht Riemann-integrierbar. Denn: Für jede Einteilung E gibt es Zwischenpunkte ξ_{i} ∈ I_{i} mit f(ξ_{i}) = 1 und Zwischenpunkte ξi^{′} ∈ I_{i} mit f(ξ_{i}^{‘}) = 0. Also ist \underline{S}f = 0, \overline{S}f = v[a, b].

8.10 Satz : Das Riemannsche Integral ist ein lineares Funktional auf dem R-Vektorraum der über [a, b] Riemann-integrierbaren Funktionen. Ist

f(x) ≥ 0 auf [a, b], so ist _{∫[a,b]}f(x) dx ≥ 0.

Beweis:

(I) f, g Riemann-integrierbar auf [a, b] → f +g dort Riemann-integrierbar. Denn: Da \underline{S}f die kleinste obere Schranke ist, gilt ⋀_{ϵ>0} ⋁_{\underline{t}f,\underline{t}g}S(\underline{t}_{f}) ≥ \underline{S}_{f} − \frac{ε}{2} ∧ S(\underline{t}g) ≥ \underline{S}g − \frac{ε}{2}. Also gilt \underline{S}f + \underline{S}g − ε ≤ S(\underline{t}f + \underline{t}g) ≤ \underline{S}(f + g) ≤ \overline{S}(f + g) ≤ \overline{S}f + \overline{S}g.

31875 von Darboux bewiesen.

(II) Entsprechend I wird ∫ λf = λ ∫ f bewiesen.

(III) Die letzte Behauptung ist unmittelbar klar.

8.11 Folgerung : Seien f, g integrierbar auf [a, b] mit f(x) ≤ g(x) für

alle x ∈ [a, b]. Dann ist ∫_{a}^{b}f ≤ ∫_{a}^{b}g.

8.12 Folgerung : f Riemann-integrierbar auf [a, b]; m, M ∈ R mit m ≤

f(x) ≤ M für alle x ∈ [a, b] → mv[a, b] ≤ ∫_{a}^{b}f dx ≤ Mv([a, b])

Denn: 8.11 → ∫_{a}^{b}m dx ≤ ∫_{a}^{b}f(x) dx ≤ ∫_{a}^{b}M dx.

Die folgenden Sätze zeigen die Eigenschaft der Integration als Mittelwertbildung. Diese Eigenschaft wird in den Anwendungen, z.B. in der Stochastik, vielfach genutzt.

8.13 Satz ( 1. Mittelwertsatz der Integralrechnung ) : Sei f :

[a, b] → R stetig, [a, b] ⊂ R. Dann existiert x_{0} ∈ [a, b] mit ∫_{a}^{b}f(x) dx =

f(x_{0})v([a, b]).

Beweis: inf{f(x) : x ∈ [a, b]} =: m ≤

\frac{1}{v([a,b])}∫_{a}^{b}f(x) dx ≤ sup\{f(x) : x ∈

[a, b]} =: m nach 8.12. Da f stetig auf [a, b] ist, gilt nach 5.19: m, M ∈ f([a, b]). Also existiert nach 5.23 x_{0} ∈ [a, b] so, daß

\frac{1}{v([a,b])}∫_{a}^{b}f(x) dx = f(x_{0}) ist.

\frac{1}{v([a,b])}∫_{a}^{b}f(x) dx ist der Mittelwert der Funktion f über [a, b]. Dies kann

auch genutzt werden, um eine Funktion zu glätten. Das folgende Maple-Arbeitsblatt ist nach W. Werner, Mathematik lernen mit Maple, gestaltet.

Durch die Funktion f seien Meßfehler simuliert: > f := x − > sin(x) + 1/10 ∗ sin(500 ∗ x) + 1/10 ∗ cos(100 ∗ x)

Die Glättung erfolgt nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes: g := (x, t) − > Int( f(y), y = x − t .. x + t)/(2 ∗ t) : plot( g(u, 0.2), u = 0..2 );

Meist werden jedoch in der Praxis noch etwas kompliziertere Methoden angewandt, wie zum Beispiel die Filterung verrauschter Signale mittels des Faltungsintegrals ( siehe Teil 3 ).

8.14 Satz ( 2. Mittelwertsatz der Integralrechnung ) : Es seien f, g stetig auf [a, b] und es sei g(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b]. Dann existiert

x_{0} ∈ [a, b] mit ∫_{a}^{b}f(x)g(x) dx = f(x_{0})∫_{a}^{b}g(x) dx.

Beweis: Wieder seien m, M die Extremalwerte von f auf [a, b]. Wegen

mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x) gilt m∫_{a}^{b}g(x) dx ≤ ∫_{a}^{b}f(x)g(x) dx ≤ M∫_{a}^{b}g(x) dx.

Nach 8.10 gilt ∫_{a}^{b}g(x) dx ≥ 0. Wenn = 0, so kann x_{0} beliebig gewählt wer-

den. Andernfalls dividieren wir die Ungleichung durch ∫_{a}^{b}g(x) dx > 0. Der

Zwischenwertsatz 5.23 ergibt dann f(x_{0}) = \frac{∫{b \atop a}f(x)g(x) dx}{∫{b \atop a}g(x) dx} .

8.15 Satz : f integrierbar auf [a, b] → |∫_{a}^{b}f(x) dx| ≤ ∫_{a}^{b}|f(x)| dx ≤

v([a, b]) sup{f(x) : x ∈ [a, b]}, sup{f(x) : x ∈ [a, b]} =: ||f|| || || ist die sogenannte Supremumsnorm. Beweis:

(I) Zeige: |f(x)| ist integrierbar.

Betrachte:

f_{−}(x) := \{ \begin{matrix}−f(x) & für f(x) < 0 \\ 0 & für sonstige \end{matrix}

f_{+}(x) := \{ \begin{matrix}f(x) & für f(x) > 0 \\ 0 & für sonstige \end{matrix}

f integrierbar → ∃\underline{t}, \overline{t} : S(\overline{t} − \underline{t}) < ε. Es ist \underline{t}_{+} ≤ f_{+} ≤ \overline{t}_{+},

S(\overline{t}_{+} − \underline{t}_{+}) ≤ S(\overline{t} − \underline{t}) < ε also f_{+} integrierbar, analog f_{−} integrierbar. Also |f| = f_{+} + f_{−} integrierbar.

(II) −f(x) ≤ |f(x)| −∫_{a}^{b}f(x) dx ≤ ∫_{a}^{b}|f(x)| dx

f(x) ≤ |f(x)| ∫_{a}^{b}f(x) dx ≤ ∫_{a}^{b}|f(x)| dx, also |∫_{a}^{b}f(x) dx| ≤ ∫_{a}^{b}|f(x)| dx

Von nun ab im gesamten Paragraphen: [a, b] ⊂ R (also eindimensionale Integrale).

8.16 Bemerkung : Sei a < b < c, f : [a, c] → R. Dann gilt: f integrierbar auf [a, c] ↔ f integrierbar auf [a, b] und auf [b, c]. Und in diesem Fall gilt:

∫_{a}^{b}f(x) dx ≠ ∫_{b}^{c}f(x) dx = ∫_{a}^{c}f(x) dx

Denn: f integrierbar auf [a, c] → ∃\underline{t}_{f}, \overline{t}_{f} : ∫_{a}^{c}\overline{t} − \underline{t} < ε

Wegen ∫_{a}^{c}\overline{t} − \underline{t} = ∫_{a}^{b} + ∫_{b}^{c} ist ∫_{a}^{b}\overline{t} − \underline{t} < ε, ∫_{b}^{c}\overline{t} − \underline{t} < ε, also ist f

integrierbar auf [a, b] und [b, c] etc.

8.17 Definition : Sei f integrierbar auf [b, a]. Wir setzen ∫_{a}^{b}f(x) dx :=

−∫_{b}^{a}f(x) dx, also insbesondere folgt daraus: ∫_{a}^{a}f(x) dx = 0

8.18 Satz : Sei I ⊂ ∘ R zusammenhängend, und sei f : I → R stetig. Dann

ist für festes a ∈ I die Funktion F (x) := ∫_{a}^{x}f(t) dt auf I differenzierbar, und

es ist F′(x) = f(x).

Beweis: \frac{F (x+h)−F (x)}{h} = \frac{1}{h}(∫_{a}^{x+h}f(t) dt − ∫_{a}^{x}f(t) dt) = \frac{1}{h}(∫_{x}^{x+h}f(t) dt. Nach

8.13 ∃x_{h} ∈ [x, x + h] (bzw. für h < 0 ∈ [x + h, x]), so daß ∫_{x}^{x+h}f(t) dt =

f(x_{h})h ist.

Also F′(x) = lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{F (x+h)−F (x)}{h} = lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{1}{h}∫_{x}^{x+h}f(t) dt = lim_{{h→0 \atop h≠0}}f(x_{h}) = f(x).

8.19 Definition : Eine differenzierbare Funktion F : I → R heißt eine Stammfunktion von f : I → R, wenn F′(x) = f(x) für alle x ∈ I gilt.

∫_{a}^{x}f(t) dt+ const. heißt ein unbestimmtes Integral von f, oft auch ein-

fach als ∫ f(x) dx geschrieben. (Die Begründung für die Schreibweise ”… + const.“ erfolgt in der nächsten Bemerkung, (ii)).

8.20 Bemerkungen :

(i) 8.18 besagt: Jede auf I stetige Funktion besitzt dort eine Stammfunktion.

(ii) Sei F Stammfunktion von f : I → R. G : I → R ist genau dann ebenfalls eine Stammfunktion von f, wenn G − F = const. ist. Das unbestimmte Integral von f ist also die Klasse der Stammfunktionen von f. Denn: Wenn G eine Stammfunktion von f ist, so ist G′ = F′ = f, also (G − F)′ = 0 auf I, also nach 7.19 (iii) G − F = const. Wenn umgekehrt G − G = const. ist, so gilt G′ = F′ = f, also ist G auch eine Stammfunktion von f.

8.21 Satz ( Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ) : Sei f : I → R eine stetige Funktion und F eine Stammfunktion von f. Dann

gilt für a, b ∈ I: ∫_{a}^{b}f(x) = F (b) − F (a) =: F (x)|_{a}^{b}.

Beweis: Für die spezielle Stammfunktion F_{0}(x) := ∫_{a}^{x}f(t) dt aus 8.18 gilt:

∫_{a}^{b}f(x) dx = F_{0}(b) − 0 = F_{0}(b) − F_{0}(a). Für jede andere Stammfunktion F

von f gilt nach 8.20 (ii): F (x) − F_{0}(x) = const., also gilt die Behauptung.

8.22 Bemerkungen :

(i) Sei x > 0 und sei F (x) := ∫_{1}^{x} \frac{dt}{t}. Dann ist F (x) = ln x.

Denn: f(t) := \frac{1}{t} ist auf [1, x] stetig. Nach 8.18, 8.19 ist also F (x) eine Stammfunktion von f, und es gilt F′(x) = \frac{1}{x}. Also gilt (F ∘ exp)′(x) = \frac{1}{exp x}exp x = 1, mithin (F ∘ exp)(x) = x + const. Wegen (F ∘ exp)(0) = F (1) = 0 gilt const = 0. Also gilt F (x) = ln x.

(ii) Erst mit (i) ist das Vorgehen in 7.11 gerechtfertigt. Aus der Punktsym-

metrie von \frac{1}{x} folgt: ∫ \frac{dx}{x} = ln|x| (x ≠ 0)

(iii) Einige Grundintegrale:

8.23 Satz ( Substitution ) :

8.24 Beispiele :

8.25 Satz ( Partielle Integration ) :

8.26 Beispiele :

8.27 Satz von der Partialbruchzerlegung : Sei K ein Körper und

sei g(x) = ∏_{i=1}^{n}p_{i}(x)^{α_{i}} ∈ K[x] die Zerlegung des Polynoms g(x) in irreduzible

Elemente gemäß 2.20 (iii). Ferner sei r(x) ∈ K[x] mit Grad r(x) < Grad g(x). Dann läßt sich \frac{r(x)}{g(x)} als Summe von Partialbrüchen darstellen, deren Nenner vom Typ p_{i}(x)^{βi} mit β_{i} ≤ α_{i} sind und deren Zähler einen kleineren Grad als das jeweilige p_{i}(x) des Nenners haben. Beweis: B.L. van der Waerden, Algebra I, § 36.

8.28 Bemerkungen :

(i) Der kleinste Körper, der den Polynomring K[x] umfaßt, heißt Körper K(x) der rationalen Funktionen über K. Seine Elemente sind vom Typ \frac{f(x)}{g(x)} mit f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) ≠ 0 und heißen rationale Funktionen in x.

(ii) Jede rationale Funktion \frac{f(x)}{g(x)} ∈ K(x) läßt sich durch Anwendung des

Divisionsalgorithmus 2.19 (iii) in die Gestalt \frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)} mit q(x), r(x) ∈ K[x] und Grad r < Grad g oder r = 0 überführen.

(iii) Über R läßt sich also jede rationale Funktion aus R(x) in eine Summe aus einem Polynom plus einer Summe aus Partialbrüchen der Typen \frac{γ_{i}x+δ_{i}}{(x^{2}+η_{i}x+ζ_{i})^{β_{i}}}, \frac{ρ_{j}}{(x+σ_{j})^{β_{j}}} überführen (zu den irreduziblen Elementen von R[x] vergleiche 2.20 (ii)).

(iv) Ausführung der Partialbruchzerlegung von \frac{r(x)}{g(x)} über R: Zunächst die Nullstellen von g(x) ermitteln und damit die Zerlegung von g(x) in irreduzible Faktoren herstellen. Dann werden die Partialbruch-Ansätze gemäß 8.27, 8.28 (iii) mit unbestimmten Zählern hingeschrieben und die Zähler z.B. durch Koeffizientenvergleich bestimmt.

8.29 Die Integration der rationalen Funktionen : kann also mittels Partialbruchzerlegung auf folgende Probleme zurückgeführt werden:

I) Integration eines Polynoms

II) ∫ \frac{dx}{x−β} = ln |x − β|

III) ∫ \frac{dx}{(x−β)^{n}} = \frac{1}{1−n}(x − β)^{1−n} (n > 1)

IV) ∫ \frac{γx+δ}{(x^{2}+αx+β)^{n}} dx (n ≥ 1) a) ∫ \frac{dx}{(x^{2}+αx+β)^{n}} Durch quadratische Ergänzung wie in 8.26 (iv) in γ ∫ \frac{dt}{(t^{2}+1)^{n}}

überführen. Dann:

• Wenn n = 1 ist: ∫ \frac{dt}{t^{2}+1} = arctan t (siehe 8.22 (iii))

• Wenn n > 1 ist: I_{n} := ∫ \frac{dt}{(t^{2}+1)^{n}} = t · \frac{1}{(t^{2}+1)^{n}} + 2n ∫ \frac{t^{2}}{(t^{2}+1)^{n+1}} dt Wegen \frac{t^{2}}{(t^{2}+1)^{n+1}} = \frac{1}{(t^{2}+1)^{n}} − \frac{1}{(t^{2}+1)^{n+1}} ist I_{n} = \frac{t}{(t^{2}+1)^{n}} + 2nI_{n} −

2I_{n+1}. Also I_{n+1} = \frac{2n−1}{2n}I_{n} + \frac{1}{2n} \frac{t}{(t^{2}+1)^{n}}.

b) ∫ \frac{x}{(x^{2}+αx+β)^{n}} dx = \frac{1}{2} ∫ \frac{2x+α}{(x^{2}+αx+β)^{n}} dx − \frac{1}{2}α ∫ \frac{dx}{(x^{2}+αx+β)^{n}} siehe a) ∫ \frac{2x+α}{(x^{2}+αx+β)^{n}} dx = ∫ \frac{dt}{t^{n}} mit t = x^{2} + αx + β, dt = (2x + α)dx

8.30 Integration weiterer Funktionenklassen :

8.31 Bemerkung : Viele elementare Funktionen sind nicht geschlossen integrierbar, zum Beispiel e^{−x^{2}}, \frac{e^{x}}{x}, \frac{1}{ln x}, \frac{sin x}{x}, \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}} . Jedoch ist es keinesfalls einfach, diesen Tatbestand präzise zu formulieren, geschweige denn zu beweisen. Oft führt man dann die unbestimmten Integrale als neue Funktionen ein:

(i) Si(x) := ∫_{0}^{x} \frac{sin t}{t}dt Integralsinus

(ii) li(x) := ∫_{0}^{x} \frac{dt}{ln t} Integrallogarithmus ^{4}

4Die Funktion approximiert die Anzahl π(x) der Primzahlen ≤ x. Das Integral ist

138 D. Garbe: Mathematik I für Naturwissenschaftliche Informatik (iii) In der Stochastik spielt das Fehlerintegral ϕ(x) := \frac{2}{\sqrt{π}}∫_{0}^{x}e^{−t^{2}} dt eine

wichtige Rolle.

ein uneigentliches Integral, da der Integrand bei t = 1 nicht endlich ist. Solche Integrale behandeln wir erst in Kapitel 12. Jedoch approximiert ebenfalls das Gaußsche Li(x) := ∫_{2}^{x} \frac{dt}{ln t} . So erhält man z. B. Li(10^{10}) = 455055614 , während π(10^{10}) = 455052511 beträgt.