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Funktionalanalysis SS 2013

08.04.2013 – 19.07.2013

Klausurtermine

1. Termin:  19.07.2013  12:00-14:00  H11

2. Termin:  24.09.2013  10:00-12:00  H5

Vorlesungen

Mi 10-12  T2-205,    Fr 12-14  H11 

 

Vorlesungsskript

Übungen

Do  16-18  V3-204,   18-20  V3-204,   Fr  16-18  V4-119

 

Die Gruppenabgaben von Hausaufgaben sind nicht erlaubt 

Inhaltsverzeichnis

1. Normierte Vektorräume. Vektorraum, Unterraum, Faktorraum. Dimension. Lineare Operatoren. Normierter Vektorraum. Der Raum l^p. Hölder- and Minkowski-Ungleichungen. Vollständigkeit  und Banachraum. Die Vollständigkeit von den Räumen l^p , C^k. Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen im Banachraum. Lebesgue-Raum  L^p und seine Vollständigkeit.
2. Hilberträume. Skalarprodukt. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.  Die Räume l² und L².  Hilbertraum. Abstand zu konvexen abgeschlossenen Mengen (mit Hilfe von Parallelogrammgleichung). Abgeschlossene Unterräume und Orthogonalprojektion. Stetige lineare Funktionale in Hilberträume (Rieszscher Darstellungssatz). Orthogonalsysteme und Basen. Besselsche Ungleichung und Parsevalsche Gleichung. Existenz der Orthonormalbasis im separaten Hilbertraum (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren). Isomorphismus von separablen Hilberträumen. Satz von Stone-Weierstraß. Separabilität von L²(a,b). Orthonormalbasen in L²(a,b). Beziehung zu den Fourierreihen.
3. Lineare Operatoren in Hilberträumen. Die Norm der linearen Operator. Raum von beschränkten linearen Operatoren. Spektrum von linearen Operatoren. Eigenwerte and Eigenvektoren. Adjungierter Operator und seine Eigenschaften. Die Beziehung zwischen dem Kern und Bildraum eines Operators und seines adjungierten Operators. Selbstadjungierte Operatoren und ihre Eigenschaften. Spektrum von selbstadjungierten Operatoren. Eigenräume von selbstadjungierten Operatoren. Präkompakte Teilmenge und kompakte Operatoren. Beschränktheit und andere Eigenschaften von kompakten Operatoren. Spektrum von selbstadjungierten kompakten Operatoren. Orthogonale Summe von Unterräumen.  Diagonalisierung von selbstadjungierten kompakten Operatoren (Hilbert-Schmidt-Satz). Anwendungen für Integraloperatoren und Sturm-Liouville-Problem. 
4. Funktionalkalkül von selbstadjungierten Operatoren. Polynome von selbstadjungierten Operatoren. Der spektrale Abbildungssatz für Polynome. Stetige Funktionen von selbstadjungierten Operatoren. Der spektrale Abbildungssatz. Funktionalkalkül für kompakte Operatoren. Operator-Ungleichungen. Monotone Grenzwerte von stetigen Funktionen und das entsprechende Funktionalkalkül. Spektralschar. Riemann-Stieltjes-Integral bezüglich der Spektralschar. Spektralsatz. Weitere Verallgemeinerung von Funktionalkalkül.
5. Lineare Funktionale in Banachräumen. Satz von Hahn-Banach und Anwendungen. Dualraum und seine Vollständigkeit. Der Dualraum von l^p. Bidualraum.  Der Dualraum von  C[a,b]. Schwache Konvergenz in Dualraum. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit (Satz von Banach-Steinhaus). Schwache Vollständigkeit des Dualraums. Schwache Kompaktheit der Kugel im Dualraum. Satz über die offene Abbildung und Anwendungen (Zerlegung von Spektrum).

Voraussetzungen

Lineare Algebra. Analysis I und II (inklusiv metrische und topologische Räume). Die Kenntnis von Maß- und Integrationtheorie ist hilfreich aber nicht notwendig.

Lehrbücher

1. F. Hirzebruch, W. Scharlau "Einführung in die Funktionalanalysis"
2. A.A. Kirillov, A.D. Gvishiani "Theorems and problems in functional analysis"
3. M. Reed, B. Simon  "Methods of modern mathematical physics. 1. Functional analysis"
4. A.E. Taylor,  D.C. Lay "Introduction to functional analysis"
5. D. Werner "Funktionalanalysis"