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Funktionalanalysis SS 2020 (240051)

20.04.2020 – 17.07.2020

Klausur:
Mo  27.07   15:00-17:00   per  Zoom

In Klausur können sowohl alle Themen aus den Vorlesungen (Definitionen, Sätze, Lemmas, 
Korollare,  Beweise, Beispiele usw) als auch alle Hausaufgaben abgefragt werden, 
außer  *-Abschnitte aus dem Vorlesungsskript und *-Aufgaben.

Vorlesungen:  
Mi 12-14   Fr 12-14  per Zoom

Vorlesungsskript

Übungen: 

Abgabe von Hausaufgaben an die Tutoren  erfolgt  Freitags.
Die Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.
Mindestens 50% für Hausaufgaben sind notwendig für Zulassung zur Klausur.

 

Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten 
für alle Hausaufgaben ist (aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale 
mögliche Wert von Zahlpunkten ist. Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) 
werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.

  

Inhaltsverzeichnis

1. Normierte Vektorräume. Vektorraum, Unterraum, Faktorraum. Lineare Operatoren. Isomorphismus. Homomorphiesatz und Dimensionssatz. Normierter Vektorraum. Der Raum l^p.  Hölder- and Minkowski-Ungleichungen. Konvergenz und Topologie in metrischen Räumen. Vollständigkeit und Banachraum. Die Vollständigkeit von den Räumen l^p , Cⁿ. Majorantenkriterium für Konvergenz von Reihen im Banachraum. Fixpunktsatz von Banach und Anwendung für den Satz von Picard-Lindelöf. Begriff von Maß und Lebesgue-Integration. Lebesgue-Raum  L^p und seine Vollständigkeit.
2. Hilberträume. Skalarprodukt und Skalarproduktnorm. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Parallelogrammgleichung. Hilbertraum. Die Räume l² und L². Abstand zu konvexen abgeschlossenen Mengen und die beste Approximation. Orthogonale Projektion auf die abgeschlossenen Unterräume. Eigenschaften von orthogonalen Projektoren.  Stetige lineare Funktionale in Hilberträumen (Rieszscher Darstellungssatz). Orthogonalsysteme und Basen. Besselsche Ungleichung und Parsevalsche Gleichung. Existenz der Orthonormalbasis im separaten Hilbertraum (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren). Isomorphismus von separablen Hilberträumen. Separabilität von L^p[a,b]. Orthogonalbasen in L²[a,b]: Legendre-Polynome und trigonometrische Funktionen. Orthogonalbasen in L²(AxB). Mehrdimensionale Fourierreihen. Orthogonale Polynome in L²([a,b],m).
3. Lineare Operatoren in Hilberträumen. Die Norm der linearen Operator. Der Raum von beschränkten linearen Operatoren. Integraloperatoren. Adjungierter Operator und seine Eigenschaften. Die Beziehung zwischen dem Kern und Bildraum eines Operators und seines adjungierten Operators. Inverser Operator. Spektrum, Eigenwerte und Eigenvektoren. Selbstadjungierte Operatoren und ihre Eigenschaften. Spektrum von selbstadjungierten Operatoren. Präkompakte Teilmengen und kompakte Operatoren. Eigenschaften von kompakten Operatoren. Kompaktheit von Integraloperatoren.  Orthogonale Summe von Unterräumen.  Spektralzerlegung und Diagonalisierung von selbstadjungierten kompakten Operatoren (Satz von Hilbert-Schmidt). Anwendungen für Integraloperatoren und Sturm-Liouville-Problem. 
4. Funktionalkalkül von selbstadjungierten Operatoren. Polynome von selbstadjungierten Operatoren. Der spektrale Abbildungssatz für Polynome. Stetige Funktionen von selbstadjungierten Operatoren. Der spektrale Abbildungssatz. Funktionalkalkül für kompakte Operatoren. Operator-Ungleichungen. Monotone Grenzwerte von stetigen Funktionen und das entsprechende Funktionalkalkül. Spektralschar. Riemann-Stieltjes-Integral bezüglich der Spektralschar. Spektralsatz. Weitere Verallgemeinerung von Funktionalkalkül.
5. Lineare Funktionale in Banachräumen. Satz von Hahn-Banach und Anwendungen. Dualraum und seine Vollständigkeit. Der Dualraum von l^p. Bidualraum.  Der Dualraum von C[a,b]. Schwache Konvergenz in Dualraum. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit (Satz von Banach-Steinhaus). Schwache Vollständigkeit des Dualraums. Schwache Kompaktheit der Kugel im Dualraum. Satz über die offene Abbildung und Anwendungen (Zerlegung von Spektrum).

Voraussetzungen

Lineare Algebra. Analysis I und II (inklusiv metrische und topologische Räume). Die Kenntnis von Maß- und Integrationtheorie ist hilfreich aber nicht notwendig.

Lehrbücher

1. F. Hirzebruch, W. Scharlau "Einführung in die Funktionalanalysis"
2. A.A. Kirillov, A.D. Gvishiani "Theorems and problems in functional analysis"
3. M. Reed, B. Simon  "Methods of modern mathematical physics. 1. Functional analysis"
4. A.E. Taylor,  D.C. Lay "Introduction to functional analysis"
5. D. Werner "Funktionalanalysis"