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Funktionalanalysis SS 2020 (240051)

20.04.2020 – 17.07.2020

Zulassung und Anmeldung zur Klausur

1.Klausur: Mo  27.07   15:00-17:00   per  Zoom
Klausurnoten

2.Klausur:  Do 15.10    10:00-12:00  
(noch zu bestätigen)

In Klausur können sowohl alle Themen aus den Vorlesungen (Definitionen, Sätze, Lemmas, Korollare, Beweise, Beispiele usw) als auch alle Hausaufgaben abgefragt werden, außer  *-Abschnitte aus dem Vorlesungsskript und *-Aufgaben.

Probeklausur

Vorlesungen:  Mi 12-14   Fr 12-14  

Sprechstunden: Mi und Fr  12:15-13:45  per Zoom

Diese Vorlesung wird als Reading course angeboten. 

Die Sprechstunden werden per Zoom durchgeführt, der Link dafür wird durch E-Mailverteiler geschikt.  

 

Vorlesungsskript

Vorlesung 1, 22.04:  S. 1

Vorlesung 2, 24.04:  S. 6

Vorlesung 3, 29.04:  S. 12
Vorlesung 4, 01.05:  S. 17

Vorlesung 5, 06.05:  S. 22

Vorlesung 6, 08.05:  S. 27
Vorlesung 7, 13.05:  S. 32
Vorlesung 8, 15.05:  S. 37
Vorlesung 9, 20.05:  S. 43
Vorlesung 10, 22.05:  S. 50

Vorlesung 11, 27.05:  S. 55
Vorlesung 12, 29.05:  S. 61
Vorlesung 13, 03.06:  S. 67
Vorlesung 14, 05.06:  S. 72
Vorlesung 15, 10.06:  S. 78
Vorlesung 16, 12.06:  S. 85

Vorlesung 17, 17.06:  S. 89
Vorlesung 18, 19.06:  S. 94

Vorlesung 19, 24.06:  S. 100
Vorlesung 20, 26.06:  S. 104

Vorlesung 21, 01.07:  S. 110
Vorlesung 22, 03.07:  S. 115
Vorlesung 23, 08.07:  S. 121
Vorlesung 24, 10.07:  S. 127

Vorlesung 25, 10.07:  S. 133

Vorlesung 26, 10.07:  S. 140

 

Übungen 

Blatt 1 Abgabe 01.05.2020
Blatt 2 Abgabe 08.05.2020
Blatt 3
Abgabe 15.05.2020

Blatt 4 Abgabe 22.05.2020
Blatt 5 Abgabe 29.05.2020
Blatt 6 Abgabe 05.06.2020

Blatt 7 Abgabe 12.06.2020

Blatt 8 Abgabe 19.06.2020
Blatt 9 Abgabe 26.06.2020
Blatt 10 Abgabe 03.07.2020
Blatt 11 Abgabe 10.07.2020

 

Abgabe von Hausaufgaben an die Tutoren  erfolgt  Freitags.
Die Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.
Mindestens 50% für Hausaufgaben sind notwendig für Zulassung zur Klausur.

 

Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben ist (aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale mögliche Wert von Zahlpunkten ist. Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.

  

Inhaltsverzeichnis

  1. Normierte Vektorräume. Vektorraum, Unterraum, Faktorraum. Lineare Operatoren. Isomorphismus. Homomorphiesatz und Dimensionssatz. Normierter Vektorraum. Der Raum lp.  Hölder- and Minkowski-Ungleichungen. Konvergenz und Topologie in metrischen Räumen. Vollständigkeit und Banachraum. Die Vollständigkeit von den Räumen lp , Cn. Majorantenkriterium für Konvergenz von Reihen im Banachraum. Fixpunktsatz von Banach und Anwendung für den Satz von Picard-Lindelöf. Begriff von Maß und Lebesgue-Integration. Lebesgue-Raum  Lp und seine Vollständigkeit.
  2. Hilberträume. Skalarprodukt und Skalarproduktnorm. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Parallelogrammgleichung. Hilbertraum. Die Räume l2 und L2Abstand zu konvexen abgeschlossenen Mengen und die beste Approximation. Orthogonale Projektion auf die abgeschlossenen Unterräume. Eigenschaften von orthogonalen Projektoren.  Stetige lineare Funktionale in Hilberträumen (Rieszscher Darstellungssatz). Orthogonalsysteme und Basen. Besselsche Ungleichung und Parsevalsche Gleichung. Existenz der Orthonormalbasis im separaten Hilbertraum (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren). Isomorphismus von separablen Hilberträumen. Separabilität von Lp[a,b]. Orthogonalbasen in L2[a,b]: Legendre-Polynome und trigonometrische Funktionen. Orthogonalbasen in L2(AxB). Mehrdimensionale Fourierreihen. Orthogonale Polynome in L2([a,b],m).
  3. Lineare Operatoren in Hilberträumen. Die Norm der linearen Operator. Der Raum von beschränkten linearen Operatoren. Integraloperatoren. Adjungierter Operator und seine Eigenschaften. Die Beziehung zwischen dem Kern und Bildraum eines Operators und seines adjungierten Operators. Inverser Operator. Spektrum, Eigenwerte und Eigenvektoren. Selbstadjungierte Operatoren und ihre Eigenschaften. Spektrum von selbstadjungierten Operatoren. Präkompakte Teilmengen und kompakte Operatoren. Eigenschaften von kompakten Operatoren. Kompaktheit von Integraloperatoren.  Orthogonale Summe von Unterräumen.  Spektralzerlegung und Diagonalisierung von selbstadjungierten kompakten Operatoren (Satz von Hilbert-Schmidt). Anwendungen für Integraloperatoren und Sturm-Liouville-Problem. 
  4. Funktionalkalkül von selbstadjungierten Operatoren. Polynome von selbstadjungierten Operatoren. Der spektrale Abbildungssatz für Polynome. Stetige Funktionen von selbstadjungierten Operatoren. Der spektrale Abbildungssatz. Funktionalkalkül für kompakte Operatoren. Operator-Ungleichungen. Monotone Grenzwerte von stetigen Funktionen und das entsprechende Funktionalkalkül. Spektralschar. Riemann-Stieltjes-Integral bezüglich der Spektralschar. Spektralsatz. Weitere Verallgemeinerung von Funktionalkalkül.
  5. Lineare Funktionale in Banachräumen. Satz von Hahn-Banach und Anwendungen. Dualraum und seine Vollständigkeit. Der Dualraum von lp. Bidualraum.  Der Dualraum von C[a,b]. Schwache Konvergenz in Dualraum. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit (Satz von Banach-Steinhaus). Schwache Vollständigkeit des Dualraums. Schwache Kompaktheit der Kugel im Dualraum. Satz über die offene Abbildung und Anwendungen (Zerlegung von Spektrum).

Voraussetzungen

Lineare Algebra. Analysis I und II (inklusiv metrische und topologische Räume). Die Kenntnis von Maß- und Integrationtheorie ist hilfreich aber nicht notwendig.

Lehrbücher

  1. F. Hirzebruch, W. Scharlau "Einführung in die Funktionalanalysis"
  2. A.A. Kirillov, A.D. Gvishiani "Theorems and problems in functional analysis"
  3. M. Reed, B. Simon  "Methods of modern mathematical physics. 1. Functional analysis"
  4. A.E. Taylor,  D.C. Lay "Introduction to functional analysis"
  5. D. Werner "Funktionalanalysis"

und viele andere.