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Maß- und Integrationstheorie  WS 2019/20  (240021)

07.10.2019 – 31.01.2020

Klausur

1.Klausur:  Do 06.02.20  12:00-14:00  H1    
      
2.Klausur:  Di  23.06.2020  14:00-16:00 per Zoom

In Klausur können sowohl alle Themen aus den Vorlesungen (Definitionen, Sätze, Lemmas, Korollare, Beweise, Beispiele usw) als auch alle Hausaufgaben abgefragt werden, außer  *-Abschnitte aus dem Vorlesungsskript und *-Aufgaben.

Vorlesungen  Mi 10-12   V2-205   Fr 12-14    H3

Übungen

Abgabe von Hausaufgaben an die Tutoren  erfolgt  Freitags bis 15:00.
Die Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.
 Mindestens 50% für Hausaufgaben und zweimaliges Vorrechnen sind notwendig für Zulassung zur Klausur.

Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben ist (aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale mögliche Wert von Zahlpunkten ist. Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.

Inhaltsverzeichnis 

  1. Konstruktion von Maß. Begriff von Maß. Erweiterung von endlichen und σ-endlichen Maßen (Satz von Caratheodory). 
    Lebesgue-Maß in     Rn.  Monotone Operationen mit Mengen (Satz von Dynkin). 
    Nullmengen und Vervollständigung des Maßes.
  2. Lebesgue-Integration. Messbare Funktionen. Komposition von Borel-Funktionen und messbaren Funktionen. 
    Grenzwerte von Folgen von messbaren Funktionen. Integration von Elementarfunktionen. 
    Lebesgue-Integral von nichtnegativen Funktionen.     Fatou-Lemma. Satz von der monotonen Konvergenz. 
     Linearität von Integral. Lebesgue-integrierbare Funktionen. σ-Additivtät von Integral. 
    Begriff "fast überall". Satz von der majorisierten Konvergenz.     
    Parameter-abhängige Integrale. Lebesgue-Stieltjes-Integral. 
  3. Produktmaß und Satz von Fubini. Konstruktion von Produktmaß. Prinzip von Cavalieri. Satz von Fubini.
  4. Integration in Rn. Transformationssatz. Integration in Polarkoordinaten. Karte, Fläche, Oberflächenmaß. Hyperfläche und Normale. Gaußscher Integralsatz.  
  5. * Lebesgue-Räume. Funktionsräume Lp. Hölder- und Minkowski-Ungleichungen. Vollständigkeit von Lp.

Voraussetzungen

Analysis I und II, Lineare Algebra. 

Lehrbücher

  1. Ambrosio, Luigi "Introduction to measure theory and integration"
  2. Bauer, Heinz "Maß- und Integrationstheorie".
  3. Brokate, Martin "Maß und Integral".
  4. Elstrodt, Jürgen "Maß- und Integrationstheorie".
  5. Forster Otto "Analysis 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze in Rn und Anwendungen".
  6. Stein, Elias M. "Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces".
  7. Taylor M.E. "Measure theory and integration".