Geometrie und Topologie II

Dies ist die Website zur Vorlesung Geometrie und Topologie II im Wintersemester 26/27 an der Universität Bielefeld.

Aktuelles

Diese Webseite existiert nun.

Vorlesung

Fabian Hebestreit
hebestreit@math.uni-bielefeld.de
dienstags, 10-12 Uhr, Raum V4-112
donnerstags, 10-12 Uhr, Raum V4-112

Tutorium

Victor Saunier
vsaunier@math.uni-bielefeld.de
mittwochs, 12-14 Uhr, Raum U2-135 (in englischer Sprache)
Postfach 39

Prüfung

Es wird mündliche Prüfungen geben.

Skript

Ich werde das Skript aus dem letzten Semester weiterführen, und das gibt es hier.

Themen

Im letzten Semester haben wir Henri Poincaré's Fundamentalgruppe und ihre Rolle sowohl in der Klassifikation von Überlagerungen als auch in der allgemeinen Analyse der Topologie der Ebene gesehen. In diesem Semester soll es in höhere Dimensionen gehen. Es stellt sich hierbei heraus, dass die direkte Verallgemeinerung der Fundamentalgruppe, die höheren Homotopiegruppen, extrem schwer zu berechnen sind; sie müssen deshalb noch ein Semester auf die Warteliste.
Wir werden zunächst eine etwas andere Invariante einführen: Homologie. Ihre Grundidee ist sogar älter als die der Fundamentalgruppe, und ihr durchschlagender Erfolg hat sich aus der Topologie auch in die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie übertragen.
Der entscheidende Unterschied zu Homotopiegruppen ist, dass man nicht vorgibt, welche genau Form der `Testraum' haben soll (bei der Fundamentalgruppe ist dieser der Kreis, und bei der n-ten Homotopiegruppe ist dies allgemeiner die n-dimensionale Sphäre). Am einfachsten lässt sich dies bei simplizialen Komplexen beschreiben: Nennen wir einen n-dimensionalen Unterkomplex einen n-Zykel, wenn er keinen Rand hat, und einen n-Rand, wenn er als Rand eines (n+1)-dimensionalen Unterkomplexes auftaucht, so ist misst die n-te Homologie gerade den Unterschied zwischen den n-Zykeln und den n-Rändern.
Der Homologie eine Gruppenstruktur (einer Idee von Emmy Noether folgend) zu geben führt zum heutzutage allgegenwärtigen rein algebraischen Begriff des Kettenkomplexes, dem wir uns daher ebenfalls widmen werden. Es stellt sich dann das Problem, eng mit der sogenannten Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie bekannt, ob die so eingeführten Homologiegruppen von einer Triangulierung eines topologischen Raums wirklich abhängen (also von der Wahl des definierenden Simplizialkomplexes, oder nur vom zugrundeliegenden topologischen). Die Lösung dieses Problems wird wohl das zentrale Resultat der Vorlesung darstellen, und uns viele Anwendungen auf die Topologie höher dimensionaler euklidischer Räume und Mannigfaltigkeiten ermöglichen, etwa die Euler'sche Polyederformel, die topologische Invarianz der Dimension in voller Allgemeinheit und die Theorie des Abbildungsgrads (der die Windungszahl in höhere Dimensionen erweitert), und auch subtileres: Etwa werden wir sehen, dass eine Mannigfaltigkeit nur dann ein triviales Tangentialbündel haben kann, wenn eine (und damit jede) ihrer Triangulierungen gleich viele gerade wie ungerade dimensionale Simplizes enthält (also wenn ihre sogenannte Eulercharakteristik verschwindet).
Als dann werden wir versuchen ein möglichst großes Arsenal aufbauen und Homologiegruppen effizient zu berechnen und hierfür Zellkomplexe als moderne Verbesserung von Simplizialkomplexen einführen. Als Grundbegriff für die Entwicklung werden wir damit beginnen, die aus dem letzten Semester noch verschobenen Begriffe der Kategorientheorie einzuführen.
Ein grober Fahrplan ist also:

Literaturvorschläge