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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
  {\huge Funktionentheorie: "Ubung 1}
\end{center}

\vskip 24pt

\begin{enumerate}

\item Seien $a$, $b\in\C$ mit $|\overline{a}b|\neq 1$ und entweder
  $|a|=1$ oder $|b|=1$. Zeigen Sie, dass dann
  $$\left|\frac{a-b}{1-\overline{a}b}\right|=1.$$

\item F"ur welche $z\in\C$ ist die Reihe
  $$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{z+1}\right)$$
  konvergent?

\item Angenommen $f:\C\to\C$ sei eine analytische Funktion, wobei
  $$|f(z)|=K_1,$$ f"ur eine Konstante $K_1$ und f"ur alle
  $z\in\C$. Zeigen Sie, dass dann $f$ tats"achlich eine konstante
  Funktion ist ($f(z)=K_2$, f"ur eine Konstante $K_2$ und f"ur alle
  $z\in\C$).

\item Sei $G\subset \C$ eine offene Teilmenge. Gegeben zwei Punkte
  $u$, $v\in G$, dann ist ein \emph{Pfad} in $G$ von $u$ nach $v$ eine
  stetige Abbildung des Einheitsintervalls $\gamma:[0,1]\to G$, wobei
  $\gamma(0)=u$ and $\gamma(1)=v$. Sei $z_0\in G$ irgendein Punkt in
  $G$. Sei $G_0$ die Menge der Punkte $w$, f"ur die ein Pfad in $G$
  existiert von $z_0$ nach $w$. Sei $G_1$ die Menge aller Punkte in
  $G$, die nicht in $G_0$ liegen. (D.h.\ $G_1=G\setminus G_0$.) Zeigen
  Sie, dass sowohl $G_0$ als auch $G_1$ offene Teilmengen von $\C$
  sind.

\end{enumerate}

\end{document}
