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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
  {\Large Funktionentheorie: "Ubung 10}
\end{center}

\vskip 24pt

\begin{enumerate}

\item Zeigen Sie, dass die Funktion
  $$\frac{\pi^2}{\sin^2 \pi z}$$
  "uberall analytisch in $\C\setminus\Z$ ist, wobei die Punkte
  $\Z\subset\C$ isolierte Polstellen sind.

\item Zeigen Sie nun, dass jede $p\in\Z$ eine hebbare Singularit"at
  der Funktion
  $$g(z)=\frac{\pi^2}{\sin^2 \pi z} -\sum_{n=-\infty}^\infty
  \frac{1}{(z-n)^2}$$ ist und daher $g$ als eine ganze Funktion
  $g:\C\to\C$ genommen werden kann.

\item Zeigen Sie, dass f"ur $z=x+iy$, gilt sowohl
  $$\lim_{y\to \pm \infty}\frac{\pi^2}{\sin^2 \pi z}=0$$
  als auch
  $$\lim_{y\to \pm \infty}\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(z-n)^2}=0.$$

\item Und folglich $g(z)=0$ f"ur alle $z$. Warum?

\end{enumerate}

\end{document}
