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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
  {\Large Funktionentheorie: "Ubung 2}
\end{center}

\vskip 24pt

\begin{enumerate}

\item Sei $G\subset\C$ ein Gebiet und sei $f:G\to\C$ eine
  Funktion. Angenommen, eine stetige, differienzierbare Funktion
  $F:G\to\C$ existiert, mit $F'(z)=f(z)$, f"ur alle $z\in G$. Sei
  $\gamma:[0,1]\to G$ eine differenzierbare Kurve. Zeigen Sie, dass 
  $$\int_\gamma f(z)dz=\int_0^1f(\gamma(t))\gamma'(t)dt=
  F(\gamma(1))-F(\gamma(0)).$$

\item Sei $G$ ein Gebiet und sei $f:G\to \C$
  differenzierbar. Angenommen, es gibt ein $z_0\in G$, so dass
  $f(z_0)=0$ und $f'(z_0)\not= 0$.
  \begin{enumerate}
  \item Zeigen Sie, dass ein $\epsilon >0$ existiert, so dass f"ur
    alle $z$ mit
    $$0<|z-z_0|\le\epsilon$$ gilt $z\in G$ und auch $f(z)\not= 0$.
  \item Zeigen Sie, dass f"ur hinreichend kleines $\epsilon >0$ gilt
    $$\int_{|z-z_0|=\epsilon}\frac{dz}{f(z)}=\frac{2 \pi i}{f'(z_0)}.$$
  \end{enumerate}

\item Diesmal sei $K$ irgendeine kompakte Teilmenge von $G$ ($G$
  wieder ein Gebiet), und $\varphi:G \to \mathbb{C}$ sei
  differenzierbar. F"ur jede differenzierbare Kurve
  $\gamma:[t_0,t_1]\to K$ sei $L_\gamma$ die L"ange von $\gamma$.

  (Daher $L_\gamma = \int_{t_0}^{t_1}|\gamma'(t)|dt$.)
  
  Zeigen Sie, dass ein $M>0$ existiert, so dass
  $L_{\varphi\circ\gamma} \le M\cdot L_\gamma$, f"ur alle
  differenzierbaren Kurven $\gamma$ in $K$.

\end{enumerate}

\end{document}
