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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
  {\Large Funktionentheorie: "Ubung 4}
\end{center}

\vskip 24pt

\begin{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item Seien $\alpha:[0,1]\to \mathbb{C}$ und $\beta:[0,1]\to
    \mathbb{C}$ zwei stetig differenzierbare Kurven mit
    $\alpha(1)=\beta(0)$. Die zusammengesetzte Kurve $\gamma=
    \alpha\cdot \beta$ (wobei ebenfalls $\gamma:[0,1]\to \mathbb{C}$)
    ist
    $$\gamma(t)=\begin{cases}\alpha(2t),&\text{falls }  t\le 1/2\\
      \beta(2t-1),&\text{sonst.}\end{cases}$$ Zeigen Sie, dass
    $$\int_\gamma f(z)dz = \int_\alpha f(z)dz +\int_\beta f(z)dz.$$
  \item Sei die Kurve $\alpha^{-1}$ gegeben durch
    $\alpha^{-1}(t)=\alpha(1-t)$ f"ur alle $t\in [0,1]$. Zeigen Sie,
    dass
    $$\int_{\alpha^{-1}} f(z)dz = -\int_\alpha f(z)dz.$$
  \end{enumerate}

\item Sei $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ eine nicht-konstante ganze
  Funktion.  Zeigen Sie, dass f"ur jedes $z\in \mathbb{C}$ und
  $\epsilon>0$ eine weitere Zahl $w\in \mathbb{C}$ existiert
  mit $$|f(w)-z|<\epsilon.$$

\item Die Exponentialfunktion ist
  $$\exp(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.$$
  Zu zeigen:
  \begin{enumerate}
  \item Die Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen.
  \item F"ur alle $z_0\neq 0$ gibt es unendlich viele verschiedene
    $z\in\C$ mit
    $$\exp(z)=z_0.$$
  \end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{document}
