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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
  {\Large Funktionentheorie: "Ubung 5}
\end{center}

\vskip 24pt

\begin{enumerate}

\item Ist die Funktion $f:\C\to\C$ mit
  $$f(z)=
  \begin{cases}
    z^3\sin(1/z),& z\neq 0\\
    0,& z=0,
  \end{cases}$$
  differenzierbar in $0$ ?

\item Sei $G\subset\C$ ein Gebiet und $f:G\to\C$ ein differenzierbare
  Monomorphismus. Zeigen Sie, dass $f$ h"ochstens eine einzige
  einfache Nullstelle besitzt.

\item Wieder ist $G\subset\C$ ein Gebeit und $f:G\to\C$ eine
  differenzierbare Funktion. Sei $H:[0,1]\times [0,1]\to G$
  differenzierbar, wobei sowohl $H(0,t)=w_0$ als auch $H(1,t)=w_1$
  konstant sind, f"ur alle $t$.

  Zwei Pfade $\gamma_0$ und $\gamma_1$ werden durch die Festlegung
  $\gamma_j(t)=H(t,j)$, ($j=0,1$) und $t\in[0,1]$, definiert. Zu
  zeigen:
  $$\int_{\gamma_0}f(z)dz=\int_{\gamma_1}f(z)dz .$$

\end{enumerate}

\end{document}
