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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
  {\Large Funktionentheorie: "Ubung 6}
\end{center}

\vskip 24pt

\begin{enumerate}

\item F"ur $z=r+i\theta$ ist $\exp(z)=e^re^{i\theta}$. Daher ist die
  Exponentialfunktion eine Surjektion $\mathbb{C}\to
  \mathbb{C}\setminus \{0\}$. Sei nun
  $$S_\alpha =\{z\in \mathbb{C}: z=x+iy \text{ und } \alpha-\pi \le y < \alpha
  + \pi\}$$ der (halb offene) `Streifen' um $\alpha$. Dann ist
  $\exp:S_\alpha\leftrightarrow \mathbb{C}\setminus\{0\}$ eine
  Bijektion. Die zu $\exp$ inverse Abbildung ist der Logarithmus,
  `$\log$'. Indem verschiedene Zahlen $\alpha$ genommen werden, kann
  der Logarithmus immer, zumindest lokal, festgelegt werden.
  \begin{enumerate}
  \item Zeigen Sie, dass die Funktion $\log$ analytisch ist. Was ist
    $\log'(z)$ ?
  \item Die Funktion $\log$ kann durch analytische Fortsetzung entlang
    des Weges $|z|=1$ (d.h.\ entlang der Kurve $\gamma:[0,2\pi]\to
    \mathbb{C}$, wobei $\gamma(t)=e^{it}$) festgelegt werden. Aber es
    gilt dann, dass $\log(\gamma(0))\not=\log(\gamma(2\pi))$, obwohl
    doch $\gamma(0)=\gamma(2\pi)$! Warum?
 \end{enumerate}

\item Die Gammafunktion wird durch das Integral
  $$\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-u}u^{z-1}du$$ definiert.
  \begin{enumerate}
  \item Zeigen Sie, dass das Integral konvergiert, f"ur
    $\text{Re}z>0$.
  \item Zeigen Sie, dass die Funktionalgleichung
    $z\Gamma(z)=\Gamma(z+1)$ gilt f"ur alle solche $z$.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
