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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
  {\Large Funktionentheorie: "Ubung 7}
\end{center}

\vskip 24pt

\begin{enumerate}

\item Sei $Q=\{x+iy\in\C:0< x,y < 1\}$ das Innere des
  Einheitsquadrats, und sei $\gamma:[0,1]\to\C$ ein st"uckweise stetig
  differenzierbarer Pfad in $\C$.
  \begin{itemize}
  \item Zeigen Sie, dass ein Punkt $a\in Q$ existiert, der nicht auf
    $\gamma$ liegt. D.h.\ $a\not=\gamma(t)$ for all $t\in [0,1]$.
  \item Angenommen sowohl $\gamma(0)$ als auch $\gamma(1)$ liegen
    nicht in $Q$. Zeigen Sie, dass eine Homotopie existiert, die
    konstant ist f"ur alle Punkte auf $\gamma$, die nicht in $Q$
    liegen, und dass $\gamma$ durch die Homotopie zu einem Pfad
    au"serhalb von $Q$ transformiert wird.
  \end{itemize}
\item Sei $w\in\C$ eine beliebige komplexe Zahl. Zeigen Sie, dass f"ur
  alle $\epsilon>0$ unendlich viele Zahlen $z\in\C$ existieren mit
  $$e^{1/z}=w$$
  und $|z|<\epsilon$.
\item Sei $f:\C\to\C$ eine ganze Funktion. D.h.\ $f$ ist stetig
  differenzierbar "uberall in $\C$. F"ur $z\not=0$ wird die Funktion
  $g:\C\to\C\setminus\{0\}$ durch die Regel
  $$g(z)=f\left(\frac{1}{z}\right)$$ 
  definiert. Was sind die Bedingungen daf"ur, dass $0$ eine Polstelle
  oder eine hebbare Singularit"at der Funktion $g$ ist?
\end{enumerate}

\end{document}
