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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
  {\Large Funktionentheorie: "Ubung 8}
\end{center}

\vskip 24pt

\begin{enumerate}

\item Angenommen, $R$ sei eine rationale Funktion\footnote{D.h.\ es
    existieren zwei ganze Funktionen $f$, $g:\C\to\C$, wobei $g$ nicht
    einfach die konstante Nullfunktion ist, und $R=f/g$.} und
  $0<\lambda<1$ eine reelle Zahl. Angenommen, $R$ besitzt eine
  Nullstelle der Ordnung mindests zwei in $\infty$, und eine einfache
  Polstelle in $0$. Sei dann
  $$h(z)=z^\lambda R(z).$$
  Zeigen Sie, dass
  \begin{enumerate}
  \item $$\lim_{r\to 0}\int_{|z|=r}h(z)dz =0,$$
  \item $$\lim_{s\to \infty}\int_{|z|=s}h(z)dz =0.$$
  \end{enumerate}

\item Sei $a\in\R$ mit $a>1$. Was ist
  $$\int_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+2az+1} \quad ?$$
  
\item F"ur $|z|=1$ gilt $z=\cos \theta+i\sin\theta$, f"ur ein $\theta$
  zwischen $0$ und $2\pi$. K"onnen Sie zeigen, dass
  $$\int_0^\pi \frac{d\theta}{a+\cos \theta}=
  -i\int_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+2az+1}$$ where $a>1$?

\end{enumerate}

\end{document}
