Kettenbrüche und Reduktion quadratischer Formen - ein Beispiel

Die Graphik zeigt ein Gitter, das von den beiden blau dargestellten Vektoren aufgespannt wird. Die senkrechte schwarze Gerade hat in dem zugehörigen Koordinatensystem den Anstieg α=(1+31/2)/2. Da α eine quadratische Irrationalzahl ist, hat sie eine konjugierte Zahl α'=(1-31/2)/2, und dies ist der Anstieg der waagerechten Geraden im genannten Koordinatensystem. Die rot dargestellten Gitterpunkte haben ganzzahlige Koordinaten x und y. Das Produkt ihrer Abstände von den schwarzen Geraden ist durch die quadratische Form

2x2-2xy-y2
gegeben.

Abwechselnd wird zu jedem der Basisvektoren ein solches Vielfaches des anderen addiert, dass er gerade noch vor der senkrechten Geraden haltmacht. In unserem Fall ist dies abwechslnd das 1-fache und das 2-fache. Dies sind auch die Teilnenner des Kettenbruchs

α=1+1/(2+1/(1+1/(2+...)))
sowie die Anzahlen der Abschnitte auf den Kanten der grün eingezeichneten Kleinschen Umrisspolygone. Die Folge der Anstiege der so entstehenden Vektoren bezüglich ihrer Ausgangsstellung ist die sogenannte Diophantische Approximation der Zahl α. Die obige quadratische Form wechselt sich dabei mit der quadradratischen Form
2x2+2xy-y2
ab. Für andere quadratische Irrationalzahlen ergeben sich andere Folgen von Teilnennern und quadratischen Formen, die aber immer periodisch sind.

Die Animation staucht das Bild in senkrechter Richtung und dehnt es in waagerechter Richtung, so dass das Gitter und die blauen Basisvektoren nach einer Periode wieder in der Ausgangsstellung sind.