Reelle Divisionsalgebren

Proseminar

Julius Frank
V4-207 • julius.frank[at]math.uni-bielefeld.de
Montags von 10-12 Uhr in V4-116.

Aktuelles

Thema

Das Seminar beschäftigt sich mit Divisionsalgebren (und damit insbesondere Schiefkörpern), welche die reellen Zahlen erweitern. Hier gibt es neben den komplexen Zahlen zwei weitere wichtige Beispiele: Die Quaternionen, eine vier-dimensionale Erweiterung, und die Oktonionen, eine acht-dimensionale Erweiterung. Ziel des Seminars ist es, diese beiden Zahlsysteme im Detail anzuschauen, und die Klassifikationssätze, die zeigen, dass es keine weiteren endlich-dimensionalen Divisionsalgebren gibt, zu besprechen. Die Quaternionen tauchen in verschiedenen Bereichen der Mathematik immer wieder auf, etwa in der reellen Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder der Holonomietheorie in der Differentialgeometrie. Den Oktonionen begegnet man seltener, sie sind aber für allerhand exotische Phänomene verantwortlich.

Teilnahmevoraussetzungen

Eine Teilnahme ist bereits mit den Kenntnissen aus der Linearen Algebra I und Analysis I möglich. Für die fortgeschrittenen Themen hilft es, schon etwas mehr Vorwissen mitzubringen, wir können das Programm aber an die Vorkenntnisse und Interessen der Teilnehmenden anpassen.

Ablauf

Jede:r Student:in bekommt ein eigenes Thema, zu dem dann eigenständig auf Grundlage des Buches ein Vortrag vorbereitet wird. Die Vorträge inklusive (Zwischen-)Fragen sind auf 90 Minuten ausgelegt, es sollten also etwa 75 Minuten Vortrag vorbereitet werden. Alle Vorträge finden mit Kreide an einer Tafel statt. Zusätzlich zum Vortrag soll eine schriftliche Ausarbeitung erstellt werden. Das ist ein guter Anlass, um LaTeX zu lernen! (Lesbare) Handschrift oder minderwertige Textverarbeitungsprogramme sind aber natürlich auch erlaubt. Hier ist eine Ausarbeitung zu einem meiner Vorträge, nur dass ihr eine Idee habt, wie so etwas aussehen kann.

Es dauert Zeit, einen guten Vortrag vorzubereiten! Um bei der Planung zu helfen, würde ich gerne folgenden Zeitplan einhalten:

• Zwei Wochen vor dem Vortrag: Ihr schickt mir einen Entwurf eurer schriftlichen Ausarbeitung. Dieser wird nicht bewertet, sondern soll nur dazu dienen, dass ich euch rechtzeitig Verbesserungsvorschläge machen kann.
• Eine Woche vor dem Vortrag: Ihr kommt bei mir im Büro vorbei, stellt alle Fragen die ihr habt und bekommt Feedback zu eurem Entwurf. (Fragen dürft ihr mir natürlich immer stellen!)
• In der Woche des Vortrags: Ihr haltet den Vortrag
• Eine Woche nach dem Vortrag: Ihr gebt eure fertige Version der Ausarbeitung ab. Diese dient, zusammen mit dem Vortrag und der Beteiligung im Seminar, als Bewertungsgrundlage.

Programm

Hier ist die vorläufige Version des Seminarprogramms, bei weiteren Teilnehmenden gibt es noch zusätzliche Themen:

1. Reelle Algebren (Julius, 11.11.). In diesem Vortrag werden einige grundlegende Definitionen entwickelt. Nicht besonders schwer, sollte aber gründlich gemacht werden, weil alle restlichen Vorträge darauf aufbauen. Teil B, Repertorium.
2. Fundamentalsatz der Algebra (Duygu, 18.11.). Hier geht es um den Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass über den komplexen Zahlen jedes Polynom eine Nullstelle hat. Daraus lässt sich insbesondere folgern, dass die komplexen Zahlen die einzige endlichdimensionale Körpererweiterung der reellen Zahlen sind. Kapitel 4.
3. Quaternionen (Jonas, 25.11.). In diesem Vortrag werden die Hamilton'schen Quaternionen konstruiert. Diese enthalten die komplexen Zahlen und zusätzlich noch zwei weitere Worzeln von -1, genannt j und k. Diese sind nun nicht mehr kommutativ, aber immer noch ein Schiefkörper. Kapitel 7
4. Potenzassoziative und alternative Algebren, Satz von Frobenius (Ghaith, 2.12.). In diesem Vortrag wird eine schwächere Version des Assoziativgesetzes vorgestellt. Darauf folgt der Satz von Frobenius, der besagt, dass es nur drei verschiedene reelle Schiefkörper gibt: Die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen und die Quaternionen. Kapitel 8 §1,2.
5. Satz von Hopf (Georg, 6.1.). Ähnlich sieht es aus für kommutative Divisionsalgebren: Es wird gezeigt, dass jede kommutative (aber nicht notwendigerweise assoziative) Divisionsalgebra höchstens Dimension zwei hat. Der Beweis ist überraschend topologisch für eine so algebraische Aussage! Kapitel 8 §3.
6. Octonionen (Johannes, 13.1.). In diesem Vortrag wird eine neue Divisionsalgebra konstruiert: Die Cayley'schen Octonionen. Diese ist nun achtdimensional, und nichtmal mehr assoziativ. Kapitel 9.
7. Divisionsalgebren via Topologie (Julius, 20.1.). Als Vereinigung der Sätze von Hopf und Frobenius zeigen wir nun: Die Dimension einer beliebigen Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2. (Dieser Satz ist auch von Hopf.) Und schließlich gibt es eine Verbesserung des vorherigen Satzes durch Kervaire und Milnor: Die Dimension einer beliebigen Divisionsalgebra ist 1,2,4 oder 8. Der Beweis benutzt— überraschenderweise— fortgeschrittene topologische Methoden, ein gutes Verständnis der Topologie ist hier nötig. Kapitel 11.

Ressourcen

Das Seminar wird grob einigen Kapiteln (jenen in Teil B) aus dem Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al. (Springer) folgen. Das Buch ist in der Universitätsbibliothek auf Deutsch und Englisch verfügbar.

Zum Einstieg in LaTeX gibt es unzählige Ressourcen, persönlich würde ich empfehlen, einfach loszulegen und alle Fragen, die beim Schreiben aufkommen, zu googlen. Wer sich nicht mit der Installation auseinandersetzen möchte, kann bspw. auf Overleaf direkt loslegen, dort gibt es auch einen schnellen Crashkurs. Ich werde im Laufe der Woche eine Vorlage für die Ausarbeitung hochladen, die müsst ihr aber nicht benutzen.