Numerik I (SoSe 2013)
Viele Systeme aus Naturwissenschaft und Technik führen auf komplexe mathematische Probleme, für die nicht nur Lösbarkeitsaussagen sondern auch tatsächliche Lösungen mit konkreten Zahlenwerten benötigt werden. Die Entwicklung und Analyse geeigneter Algorithmen für solche Aufgaben ist Gegenstand der Numerischen Mathematik.Diese Vorlesung ist grundlegend für das gesamte Gebiet. Es werden Verfahren zu den folgenden Fragestellungen behandelt:
Interpolation, Differentiation, Integration, lineare und nichtlineare Gleichungssysteme, Eigenwertaufgaben, Minimierungsprobleme.
Diese Themen bilden auch die Grundlage für die Vorlesung Numerische Mathematik II im folgenden Semester, an die eine Bachelorarbeit angeschlossen werden kann.
Für das Verständnis numerischer Vorgehensweisen ist es unerlässlich, Algorithmen selbst zu programmieren und an konkreten Beispielen zu testen. Dies gilt auch dann, wenn man sich in späteren Anwendungen auf vorhandene Softwarepakete zur Erledigung von Routineaufgaben stützt. Im Rahmen der Vorlesung wird das auf den Rechnern der Fakultät vorhandene und komfortable Programmpaket MATLAB eingesetzt.
Mit MATLAB können ebenfalls die praktischen Übungsaufgaben gelöst werden, und es wird empfohlen sich vorher entsprechende Fähigkeiten anzueignen (z. B. im Rahmen des im WS angebotenen MATLAB Kurses). Die Teilnehmer/innen können aber ebenso jede andere gängige Programmiersprache verwenden.
Die Übungen finden zu folgenden Zeiten statt:
- Dienstag 8-10 in V5-148 bei Lina Fründt
- Dienstag 12-14 in V5-148 bei Denny Otten
Vertiefung NWI: Gewöhnliche Differentialgleichungen (WiSe 2012/13)
In der Vorlesung werden wir gewöhnliche Differentialgleichungen betrachten. Dieses sind Gleichungen, in der eine Funktion \( u:J\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n \) gesucht ist eine Funktion, die einer gewissen Beziehung zwischen der Funktion selber und ihrer Ableitung \(u'\) genügt: \[ u'(t)=f(t,u(t)),\quad t\in J. \] Derartige Gleichungen treten in sehr vielen Modellen der Physik, der Biologie, der Chemie,... auf.In der Vorlesung werden wir uns mit der Existenz, Eindeutigkeit, der praktischen Lösbarkeit von Differentialgleichungen beschäftigen und auch das Lösungsverhalten untersuchen.
Eine (unvollständige) Liste der verwendeten Literatur:
- J. C. Robinson, Ordinary Differential Equations, Cambridge University Press (2004)
- B. Aulbach, Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Spektrum (2004)
- L. Grüne und O. Junge, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner (2009)
Übungsbetrieb
Die Übungen finden zu folgenden Zeiten statt:- Dienstag 18-20 in V4-116 bei Andrea Nickel
- Dienstag 18-20 in C0-116 bei Stephanie Taeger
- Mittwoch 16-18 in V3-204 bei Andrea Nickel
- Mittwoch 18-20 in T2-228 bei Stephanie Taeger
Numerik Hyperbolische Erhaltungssätze(SoSe 2012)
Die Veranstaltung ist als Fortsetzung der Veranstaltung "Hyperbolische Erhaltungssätze" aus dem Wintersemester 2011/12 zu sehen. Nachdem im letzten Semester die Existenz- und Eindeutigkeitstheorie für Systeme in einer Raumdimension, insbesondere der Existenzsatz von Glimm und die Eindeutigkeit von Entropielösungen nach Kruzkov, untersucht wurde werden wir uns in diesem Semester mit der numerischen Approximation von Lösungen beschäftigen.Unter anderem werden wir die Konvergenz der Verfahren untersuchen und sehen, dass es nicht mögliche ist beliebige Verfahren zu nehmen. Geeignete Verfahren sind Verfahren in Erhaltungsform. Eine einfache Form eines solchen Verfahrens für den Erhaltungssatz \(u_t+f(u)_x=0\) lautet \[ \frac{u_i^{n+1}-u_i^{n}}{\Delta t}+\frac{F(u_i^n,u_{i+1}^n)-F(u_{i-1}^n,u_i^n)}{\Delta x}=0,\] wobei \(F\) eine numerische Flussfunktion ist.
Ein Hauptteil der Vorlesung wird die analyse derartiger Verfahren sein und hinreichende Bedingungen zu untersuchen unter denen die Verfahren konvergieren. Wir werden dies auch auf mehrere Raumdimensionen ausdehnen.
Wesentliche Grundlage der Vorlesung sind
- D. Kröner, Numerical Schemes for Conservation Laws, John Wiley and Sons (1997)
- R. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press(2002)
- R. Eymard und T. Gallouët und R. Herbin, The finite volume method, Handbook of Numerical Analysis Vol. VII (2000)
Vertiefung NWI: Gewöhnliche Differentialgleichungen (WiSe 2011/12)
Beschreibung: Siehe WiSe 2012/13.Übungsbetrieb
Die Übungen finden zu folgenden Zeiten statt:Hyperbolische Erhaltungssätze(WiSe 2011/12)
In der Vorlesung betrachten wir Systeme hyperbolischer Erhaltungsgleichungen. Das sind partielle Differentialgleichungen der Form \[ \begin{aligned} u_t+f(u)_x&=0,\quad x\in \mathbb{R}, t>0,\\ u(x,0)&=u_0(x), \end{aligned} \] wobei \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\). Beispielsweise fallen die Eulergleichungen der Gasdynamik in die Klasse der betrachteten Gleichungen.Nach einer Herleitung einiger wichtiger Beispiele werden wir uns zunächst um Existenz- und Eindeutigkeitsfragen kümmern.
Eine (unvollständige) Liste der verwendeten Literatur:
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS (2002)
- H. Holden und N. H. Risebro, Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws, Springer (2007)
- D. Kröner, Numerical Schemes for Conservation Laws, John Wiley and Sons (1997)
- R. J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Lectures in Mathematics ETH Zürich (1990)
- D. Serre, Systems of Conservation Laws I, Cambridge University Press (1999)
Praktikum Mathematik für NWI (SoSe 2011)
Im Praktikum Mathematik betrachten wir Computer-Algebra-Systeme am Beispiel von Maple.Zunächst werden einfache Befehle zur Termumformung und Vereinfachung betrachtet. Nachdem die Basis der Befehle in Maple bekannt ist, wird dann mit Hilfe von Maple der Stoff der Vorlesungen Mathematik I und Mathematik II visualisiert und vertieft.
Es wird auch eine Einführung in die Programmierung mit Maple geben und einfache, typische Datenstrukturen werden betrachtet werden.
Vandalismusschaden im GZI
Auf Grund von Vandalismusschäden im GZI, müssen wir dienstags 8:30-10:00 und mittwochs 14:15-15:45 in den Raum V2-240 ausweichen. Dieser ist leider wesentlich schlechter ausgestattet und auch dort gab es Zerstörungen, so dass nicht alle Rechner funktionieren.Leider kann man die Räume auch nur noch während der Veranstaltungszeit benutzen. Da die Kursräume im HRZ ausgebucht sind können wir auch nicht dahin ausweichen. Für die Bearbeitung der Aufgabenzettel außerhalb der Veranstaltungszeit, ist dies aber möglich und sollte genutzt werden. Ferner sei noch einmal auf ssh verwiesen.
Leider müssen wir mit diesem Zustand nun einige Zeit leben, ich hoffe, dass es schnell geht und dann endlich Ruhe herrscht und die Räume endlich mal benutzbar bleiben.
Numerik geometrischer Objekte (WiSe 2010/11)
In der Veranstaltung werden Methoden vorgestellt, wie geometrische Objekte mit dem Computer dargestellt und visualisiert werden können. Die dabei betrachteten Algorithmen sind zum Beispiel Grundlagen für OpenGL und andere Grafik Bibliotheken.In den zur Vorlesung gehörenden Übungen werden stets auch Programmieraufgaben gestellt. Als numerische Software wird dabei das Programmpaket SciLab benutzt, welches frei verfügbar ist und auf den gängigen Plattformen Linux, Mac und Windows läuft.
Praktikum Mathematik für NWI (SoSe 2010)
Im Praktikum Mathematik betrachten wir Computer-Algebra-Systeme am Beispiel von Maple.Zunächst werden einfache Befehle zur Termumformung und Vereinfachung betrachtet. Nachdem die Basis der Befehle in Maple bekannt ist, wird dann mit Hilfe von Maple der Stoff der Vorlesungen Mathematik I und Mathematik II visualisiert und vertieft.
Der Umgang mit Maple sowie die mathematischen Hintergründe werden dabei anhand von praktischen Aufgaben erlernt und vertieft.