Analysis I
Der Turnus
-
Ausgabe der Übungszettel: donnerstags
-
Abgabe der Übungszettel: donnerstags 10 Uhr in den Postfächern der Tutor*innen, V3-??? (gegenueber von V3-133)
-
Besprechung des Übungszettels: Tutorium und Globalübung
-
Punkte je Übungszettel: 25 = 20 (Hausaufgaben) + 5 (Präsenzaufgabe im Tutorium)
Das Portfolio
- Es müssen wie folgt 60% der Punkte erreicht werden
- Zettel 1 bis 7 = 105 von 175 Punkten
- Zettel 8 bis 13 = 90 von 150 Punkten
-
Abgabe in Zweiergruppen. Auf der Abgabe muss notiert werden, wer welche Aufgabe aufgeschrieben hat.
-
Punkterechner
Die Klausurtermine
Das Team
..besteht aus uns (Name, Raum, Sprechstunde):
- Michael Röckner, V4-151, n.V.
- Cai Constantin Cloos, V4-229, Mo 15-16
- Felix Dammann, C3-113/115, Mo 15-16
- Nils Grafen, C3-113/115, Mo 15-16
- Florian Grube,
- Niklas Jöckel, C3-113/115, Mo 13-14
- Anna Muranova, D5-148, Mo 15-16
- Leonie Neufeld, C3-113/115, Mo 13-14
- Simon Paege, M5-110, Do 13-14
- Marco Rehmeier, D5-152, Di 10.15 -11.15
- Soeren Sprehe, N3-101, Mo 8:30 -10
- Maike Töpsch, M5-118, Mi 9-10
- Jason Uhing, V4-201, Mi 13-14
- Marvin Weidner, D5-146, Mi 14-15
Die Übungszettel
Die Klausur vom 21. Februar 2020
- Hier ist das Ergebnis. Die Einsicht findet
am Dienstag den 25. Februar von 12.30 bis 14 Uhr in V2-210 statt.
Die Probeklausur
- Hier ist der Text. Die Bearbeitungszeit beträgt 60 Minuten. Am Mittwoch den 12. Februar
wird die Klausur ab 12.30 Uhr in H6 vorgerechnet.
Die Lösungen zu den Präsenzübungen
- Florian Grube erstellt ab und zu ausführliche Lösungen.
Hier.
Der anonyme Briefkasten
Mit "OK" wird der Inhalt des Textfeldes (anonym) an
juhing@math.uni-bielefeld.de
gesendet. Die Fragen werden zusammen mit den Antworten (falls es welche gibt) zeitnah auf dieser Seite veröffentlicht.
Frage 31
Betreff: 67d
Nachricht: Was ist mit dem "Verhalten" in 67d gemeint? Der Grenzwert von f(x) gegen 0 und unendlich?
Antwort 31
Ja.
-------------------------------------------------------
Frage 30
Betreff: Nr. 65b
Nachricht: Ist in b das gleiche f wie in a gemeint, also duerfen wir davon ausgehen, dass f differenzierbar ist?
Antwort 30
Ja.
-------------------------------------------------------
Frage 29
Betreff: Widerspruch zu Aufgabe 65b?
Nachricht: Sei \(\alpha:=1>=1\) und \(K:=2>0\) und sei \(f\) die Identitaet.
\[
\Rightarrow |f(x)-f(y)|=|x-y|<=2*|x-y|^1=K*|x-y|^{\alpha}
\]
Also gibt es \(K\) und \(\alpha\), so dass die Bedingung der Aufgabe fuer die Identitaetsfunktion erfuellt ist, allerdings ist \(f(x)=x\) nicht konstant, sondern ist nur \(f'(x)\) konstant.
Ergibt sich daraus ein Widerspruch zur Aufgabe oder haben wir die Aufgabenstellung falsch verstanden?
Antwort 29
Vielen Dank! Es muss \(\alpha > 1\) sein.
-------------------------------------------------------
Frage 28
Betreff: Uebungsaufgaben
Nachricht: Wird der letzte Zettel zufaellig eine Probeklausur sein? Oder koennen wir die irgendwie zusaetzlich bekommen?
Antwort 28
Ob oder wann es eine PK geben wird ist noch nicht entschieden.
-------------------------------------------------------
Frage 27
Betreff: Aufgabe 56
Nachricht: Dürfen sin(pi/3) und sin(pi/4) als bekannt vorausgesetzt werden?
Antwort 27
Nein.
-------------------------------------------------------
Frage 26
Betreff: Aufgabe 56
Nachricht: Sollen wir eine Formel verwenden oder duerfen wir auch mit dem Einheitskreis argumentieren?
Antwort 26
Das kommt auf das Argument an. Die Formeln aus a), b) und c) kann man verwenden.
-------------------------------------------------------
Frage 25
Betreff: Zu den Aufgaben
Nachricht: Darf man Polynomdivision verwenden.
Antwort 25
Ja.
-------------------------------------------------------
Frage 24
Betreff: Aufgabe 53 c2
Nachricht:
Man soll zeigen, dass \( f \) fuer \( D = [0,\infty ) \) nicht Lipschitz-stetig ist.
Gegenbeispiel fuer n=1:
Waehle L=1
\[
|f(x)-f(y)|= | \sqrt[1]{x} - \sqrt[1]{y} | = L |x-y|
\]
Ist das tatsaechlich ein Gegenbeispiel, oder habe ich einen Fehler gemacht?
Antwort 24
Alles richtig. In der Aufgabe muss \(n>1\) sein.
-------------------------------------------------------
Frage 23
Betreff: Quadratwurzeln/ Harmonische Reihe
Nachricht:
1) Im Skript auf Seite 47 steht, im Satz 6.1, dass man die quadratischwurzel als xn+1:=1/2(xn+a/xn), n e N definiert. Warum macht das Sinn das so zu definieren? Kannst du das eventuell erklaeren und ein konkretes Beispiel mit Zahlen machen?
2)
Ich verstehe nicht wie man bei Beispiele 7.4 auf Seite 50 darauf kommt, dass 2^m · 1/2^m+1 = 1/2 ist(steht unter der Klammer). Ich verstehe auch nicht, wo genau der Unterschied zwischen den Variablen k,m und n ist und wo die auf ein mal alle herkommen...? Deswegen bitte ich um eine Erklaerung...?
Antwort 23
Fuer solche Fragen sind die Sprechstunden der Tutor*innen sehr gut geeignet.
-------------------------------------------------------
Frage 22
Betreff: Klausuranmeldung
Nachricht: Im eKVV-Stundenplan sind automatisch die Klausurtermine hinzugefuegt worden. Reicht das schon um für die Klasur angemeldet zu sein, oder muss man manuell noch etwas erledigen?
Antwort 22
Das Verfahren zur Anmeldung ist noch nicht festgelegt. Im Januar wird es dazu Informationen geben.
-------------------------------------------------------
Frage 21
Betreff: Loesung Zettel 8
Nachricht: Gibt es etwa keine Loesungen zu Zettel 8?
Antwort 20
Doch, aber es gibt Lieferschwierigkeiten. Da die Aufgaben in den Tutorien vorgestellt wurden, hoffe ich, dass die meisten erst einmal versorgt sind.
-------------------------------------------------------
Frage 20
Betreff: Aufgabe 40 2. Teil / 39a
Nachricht: Auf mich wirkt es wenig Intuitiv das, dass Produkt einer Reellen Zahl mit sich selbst nicht mehr Reell ist. Widerspricht das nicht dem Vollstaendigkeitsaxiom? / Ist die Nutzung der Bernoullischen Ungleichung zwingend oder nur ein Vorschlag?
Antwort 20
Ich habe die Formulierungen verbessert.
-------------------------------------------------------
Frage 19
Betreff: A37
Nachricht: Soll man bei A37 im Falle von Konvergenz der Reihen auch deren Grenzwerte ausrechnen, oder reicht es zu beweisen, dass die Reihen konvergieren oder divergieren?
Antwort 19
Konvergenz/Divergenz reicht aus.
-------------------------------------------------------
Frage 18
Betreff: A28 a)
Nachricht: Ist diese Aufgabe trivial, oder handelt es sich hierbei um einen Tippfehler?
Antwort 18
Es ist kein Tippfehler drin. Trivial ist es auch nicht. Man muss dem Beweis in der VL folgen.
-------------------------------------------------------
Frage 17
Betreff: Praesenzuebung 6
Nachricht:Ich will nicht nerven, aber gibt es einen Grund, warum Praesenzübung 6 nicht hochgeladen wird?
In der Uebung von heute gab es nicht genuegend Blaetter fuer alle...
Antwort 17
Die Blaetter kommen immer erst am Ende der Woche. Falls das zu spaet ist, gehen Sie bitte in eine der Sprechstunden
und holen sich eines ab.
-------------------------------------------------------
Frage 16
Betreff: Anleitung zum Konvergenzbeweis
Nachricht:Sehr geehrter Herr Uhing,
koennten Sie vielleicht fuer den Beweis von Konvergenz einer Folge eine Schritt-fuer-Schritt- Anleitung auf ihrer Homepage bereit stellen?
Ich verstehe u. a. nicht, wie man sich das Epsilon waehlt und wann man das Sandwichlemma anwenden kann ...
Ich bitte um Ihre Hilfe und wuensche Ihnen einen guten Tag
Antwort 16
Je nach Folge kann so ein Beweis sehr unterschiedlich aussehen. Man sollte zunaechst versuchen, die Beweise aus der VL und den Uebungen zu verstehen.
-------------------------------------------------------
Frage 15
Betreff: Nr. 32
Nachricht: Muss man die Konvergenz zeigen mit Hilfe der Folgen der Partialsummen?
Antwort 15
Nein. Aufgabe 29 kann helfen.
-------------------------------------------------------
Frage 14
Betreff: Ana 29c
Nachricht: Muesste dort nicht Einschraenkung b<=a sein? Sonst waere die rechte Seite nicht definiert...?
Antwort 14
Nein, denn beide Zahlen sind \(\geq 0\).
-------------------------------------------------------
Frage 13
Betreff:
Nachricht:Darf man eine beliebige, positive reelle Zahl auf eine natuerliche Zahl Runden? (Bzw. Gauss Klammern benutzen)
Antwort 13
Ja, das haben wir in der VL gemacht.
-------------------------------------------------------
Frage 12
Betreff: Nr. 18a
Nachricht: Reicht es, sich eine bestimmte Folge und eine bestimmte Menge M
auszudenken und für dieses Beispiel dann die Konvergenz zu zeigen, oder muss man es für eine allgemeine Menge M beweisen.
Antwort 12
Allgemein.
-------------------------------------------------------
Frage 11
Betreff: Aufgabe 20
Nachricht: Geht lim n nur gegen +unendlich oder auch gegen -unendlich?
Antwort 11
\(\infty\)
-------------------------------------------------------
Frage 10
Betreff: 0^0
Nachricht: Darf man verwenden, dass 0^0=1 ist?
Antwort 10
Ja.
-------------------------------------------------------
Frage 9
Betreff: A16 a)
Nachricht: Soll man die Aequivalenz fuer beliebige C zeigen, oder reicht es, sie fuer ein festes C zu zeigen (z.B. C=1)?
Antwort 9
Fuer eine Richtung reicht \( C=1 \). Fuer die andere ist ein beliebiges \( C \) vorgelegt.
-------------------------------------------------------
Frage 8
Betreff: Ana 16 b
Nachricht: Dort steht lim n gegen unendlich gleich c. Aber von was ist der lim n gegen unendlich gleich c? Von allem?
Antwort 8
Tippfehler. Es muss \( \lim_{n\to \infty} c_n =c \) heissen. Zu Beginn der Aufgabe muss es \( (c_n)_{n\in\mathbb N} \) heissen.
-------------------------------------------------------
Frage 7
Betreff: Divergenz
Nachricht: Falls bei A20 ggf. kein Grenzwert existiert, sollen wir dann gleich unendlich schreiben, oder sagen/begründen/beweisen, dass eine Divergenz vorliegt?
Antwort 7
Es muss alles begruendet bzw bewiesen werden.
-------------------------------------------------------
Frage 6
Betreff: A18 b Gegenbeispiel (fuer \( a_{n}< a_{n+1} \))
Nachricht: Wählt man M={3} (dies ist eine Teilmenge von R, die nicht leer und nach oben beschraenkt
ist, wobei das Supremum 3 ist), so muessen alle Folgenglieder a_n=3 sein, um die Bedingung aus a) zu erfuellen.
Andernfalls, waeren nicht alle a_n in der Menge M enthalten. Somit kann diese Folge nicht die Bedingung aus b) erfuellen.
Antwort 6
Vielen Dank!!
-------------------------------------------------------
Frage 5
Betreff: A20 c)
Nachricht: Ist das -n/2 in der Summe enthalten?
Antwort 5
Nein.
-------------------------------------------------------
Frage 4
Betreff: A20 "berechnen"
Nachricht: In der Aufgabenstellung heisst es "berechnen".
Ist damit gemeint, dass wir nur den Grenzwert mit den Rechenregeln für Limes
ausrechnen sollen, oder sollen wir auch beweisen bzw. ggf. widerlegen, dass ein Grenzwert tatsaechlich existiert?
Antwort 4
Nur ausrechnen.
-------------------------------------------------------
Frage 3
Betreff: Ana 17 b
Nachricht: Was genau ist mit "Trick" in Aufgabe 17 b gemeint? Reicht es den Beweis aus 3.7 der Vorlesung zu benutzen?
Antwort 3
Dort wird ein kleiner Trick zur Anwendung der Bernoulli-Ungleichung gemacht. In der Aufgabe geht das aehnlich.
-------------------------------------------------------
Frage 2
Betreff: Uebungszettel Punkte
Nachricht: Muessen wir als Team 60% der Gesamtpunkte erreichen, oder muss der Einzelne 60% der von ihm bearbeiteten Aufgaben erreichen?
Antwort 2
Als Team.
-------------------------------------------------------
Frage 1
Betreff: Analysis I Aufgabe 9a)
Nachricht: Bei der Aufgabe 9a) bereitet mir eine Definition Schwierigkeiten: Da steht, dass l,m,n Elemente aus N\{0} sind. Um das mit einem Beweis durch vollstaendige Induktion zu zeigen, finde ich keinen Induktionsanfang. Waeren l,m,n Elemente aus N bei der die Menge {0} enthalten ist, dann koennte man als IA zeigen für n=0, dass (l+m)+0 = l+(m+0) und dann mit den Definitionen der Addition am IS weiterarbeiten.
Ich komme auf keine "bessere" Loesung. Es laesst sich aber bestimmt auch mit N\{0} loesen.
Antwort 1
Man zeigt den Induktionsanfang \( (l+m)+1 = l+(m+1) \) mit Hilfe der Definitionen (a) und (b) der Addition.
