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Vertiefung Gruppentheorie - Wintersemester 2012/13

Dozent: Dr. Philipp Lampe
Vorlesungstermine:

Erster Vorlesungstermin: Dienstag, 09.10.2012.
Eintrag im elektronischen Vorlesungsverzeichnis.


Inhalt und Literatur

Die Vorlesung befasst sich mit der mathematischen Theorie der Gruppen. Gruppentheorie ist eine Teildisziplin der Algebra, denn viele algebraische Objekte tragen die Struktur einer Gruppe, und gruppentheoretische Konzepte helfen, die Objekte besser zu verstehen. Die Vorlesung möchte diese Konzepte nicht nur abstrakt einführen, sondern immer anhand von Beispielen erläutern. Viele Gruppen beschreiben eine Form der Symmetrie; in der Vorlesung werden konkret Drehgruppen, Transformationsgruppen, Permutationsgruppen und Restklassengruppen diskutiert.

Die Gründungsväter der Gruppentheorie sind Niels Henrik Abel (1802-1829) und Évariste Galois (1811-1832). Ihre Idee ist es, eine polynomielle Gleichung durch die Symmetriegruppe ihrer Lösungen zu beschrieben. Ein großer Erfolg (den wir in der Vorlesung nicht behandeln werden) ist der Nachweis der Nichtlösbarkeit einer polynomiellen Gleichung vom Grad 5 (und höher) durch Wurzelterme. Auf den Arbeiten von Abel und Galois aufbauend hat Arthur Cayley (1821-1895) Begriff der Gruppe definiert, so wie wir ihn in der Vorlesung kennenlernen werden. Es stellte sich heraus, dass zahlreiche andere Objekte ebenso die Struktur einer Gruppe tragen. Ein prominentes Beispiel sind die von Carl-Friedrich Gauß (1777-1855) eingeführten (additiven und multiplikativen) Restklassengruppen. Weitere Beispiele sind Transformationsgruppen, das sind Gruppen, die von Drehungen und Spiegelungen erzeugt werden. Interessant sind insbesondere Symmetriegruppen, d.h. Gruppen von Transformationen, die ein gewisses Objekt fixieren. In der Vorlesung werden wir beispielsweise Diedergruppen und die Symmetriegruppen der platonischen Körper studieren.

Manchmal sind zwei völlig verschiedenen definierte Gruppen von der gleichen Gestalt. Eine Präzisierung führt zum Begriff der Isomorphie. Trotzdem gibt es - selbst bis auf Isomorphie - sehr viele verschiedene Arten von Gruppen: kommutative und nicht-kommutative Gruppen, endliche und unendliche Gruppen, einfache und nicht-einfache Gruppen. Eine Klassifikation aller Gruppen ist daher nicht möglich. Dennoch ist es möglich, gewisse Klassen von Gruppen zu klassifizieren. In der Vorlesung werden wir endlich-erzeugte kommutative Gruppen klassifizieren, ein Resultat, das zum Teil auf dem chinesischen Restsatz beruht.

Die Vorlesung behandelt folgende Themen:

Im Laufe der Vorlesung werden Vorlesungsnotizen auf der Webseite veröffentlicht.

Darüber hinaus gibt es zahlreiche Literatur zur Gruppentheorie. Eine Auswahl bilden die folgenden Bücher, sie stehen auch im Semesterapparat zur Vorlesung in der Universitätsbibliothek. Die ersten sechs Bücher sind Lehrbücher zur Gruppentheorie, das siebte und neunte Buch wenden sich an historisch interessierte Student_inn_en, das achte an Enthusiasten.

Übungen

Der Vorlesungsstoff soll durch das Lösen von Übungsaufgaben vertieft werden. Jeden Dienstag wird auf dieser Webseite ein Übungszettel veröffentlicht. Sie haben dann genau eine Woche Zeit, die Aufgaben in Gruppen zu maximal drei Personen zu bearbeiten. Die fertigen Lösungen sollen dann am Dienstag der folgenden Woche bis spätestens 14.15 Uhr in das Postfach des Tutors Sophiane Yahiatene in V3-128 geworfen werden. Sophiane korrgiert Ihre Abgaben. Diese werden in den Übungen zurückgegeben und besprochen. Die Daten sind:

Die Übung beginnt in der ersten Woche.


Übungsaufgaben


Prüfungen

Am Ende des Semesters finden mündliche Prüfungen statt. Termine erhalten Sie durch Absprache mit dem Dozenten.

Die folgenden Aufgaben dienen zur Vorbereitung auf eine mögliche mündliche Prüfung. Dabei gleichen die gestellten Fragen möglichen Prüfungsfragen. Der erste Aufgabenzettel umfasst den in der ersten Semesterhälfte behandelten Vorlesungsstoff, der zweite Zettel den in der zweiten Semesterhälfte behandelten Vorlesungsstoff.

Voraussetzungen für eine Teilnahme an der Prüfung sowie Kriterien für die Vergabe eines Übungsscheins sind:


Sonstiges


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