BIREP — Representations of finite dimensional algebras at Bielefeld
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Vorlesung über Cluster-Algebren

Dozent: Philipp Lampe
Belegnummer: 241081
Eintrag im elektronischen Vorlesungsverzeichnis: eKVV

Termine: Dienstag und Donnerstag, jeweils 10h-12h, jeweils in Raum V5-227
Umfang: 4 SWS. Es gibt keine separate Übungsgruppe, aber der Dozent arbeitet Übungsaufgaben in die Vorlesung ein.


Ein kurzer Überblick über Cluster-Algebren

In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit Fomin und Zelevinskys Cluster-Algebren. Für eine schöne und motivierende Einführung in das Thema lesen Sie bitte Andrei Zelevinskys Artikel What is a Cluster Algebra? An dieser Stelle möchten wir kurz die Grundideen vorstellen. Betrachten wir die Abbildung

F:(a,b)→(b,(b+1)/a).

Bemerkenswerterweise ist die Funktion F von endlicher Ordnung: es gilt F5=id. (Die Gleichung ordnen manche Menschen Gauß zu.) Aber nicht nur das Ziel, sondern auch der Weg ist bemerkenswert: alle Zwischenterme, nämlich

a, b, (b+1)/a, (a+b+1)/(ab) und (a+1)/b

sind Laurentpolynome in den Startwerten a und b. Wir können das Thema variieren. Sei Fi diejenige Abbildung, die wir aus F erhalten, indem wir im Zähler das Polynom b+1 durch das Polynom bi+1 ersetzen. Es gelten die Gleichungen (F1F2)3=id und (F1F3)4=id. Die meisten anderen Paare dagegen genügen keiner Relation. Die Rekursion mit F1 und F2 liefert die Terme:

a,b,(b²+1)/a, (a+b²+1)/(ab), (a²+2a+1+b²)/(ab²) und (a+1)/b.

Die Rekursion mit F1 und F3 liefert ebenfalls Laurentpolynome. In den drei Fällen stehen die Monome der Nenner in Bijektion zu den Koeffizienten positiven Wurzeln der Wurzelsystemen A2, B2 und G2, wenn wir sie als Linearkombinationen der einfachen Wurzeln schreiben.


Die Vorlesung widmet sich folgenden Fragestellungen:


Vorläufige Liste der Themen der Vorlesung

Im Rahmen der Vorlesung möchten wir folgende Themen behandeln:

1. Definition der Cluster-Algebra. Wir beginnen die Vorlesung mit der Definition der Cluster-Algebra. Die Definition mag auf den ersten Blick unübersichtlich erscheinen, deshalb möge man die oben genannte Beschreibung im Kopf behalten. Eine Cluster-Algebra ist eine kommutative Algebra, die von sogenannten Cluster-Variablen erzeugt wird. Im einfachsten Fall können die Relationen zwischen den Erzeugern (d.h. zwischen den Cluster-Variablen) durch Köcher-Mutationen beschrieben werden. Ausgehend von dem initialen Köcher Q erhalten wir durch iterierte Anwendungen von Mutationen an beliebigen Ecken weitere Köcher. Zu jedem dieser neuen Köcher erhalten wir eine Menge von Cluster-Variablen, die wir jeweils zu einem sogenannten Cluster zusammenfassen.

2. Beispiele. Da die Definition abstrakt ist und auf den ersten Blick unintuitiv wirken mag, möchten wir sie zunächst an Beispielen veranschaulichen. Wir betrachten insbesondere folgende Klassen.

  1. Cluster-Algebren vom Rang 2. Die Anzahl n der Ecken von Q heißt der Rang der Cluster-Algebra. In einer Cluster-Algebra vom Rang 2 bilden alle Cluster-Variablen eine Folge von Elementen; die Folge ist durch zwei Parameter charakterisiert und wird in [Zel] "b-c-Rekursion" genannt. Im Falle |bc| ≤ 3 ist die Folge periodisch und gibt es nur endlich viele Cluster-Variablen. Im Falle |bc| = 4 gibt es unendlich viele Cluster-Variablen, allerdings degenerieren die nichtlinearen Austauschrelationen für Cluster-Variablen zu linearen Differenzengleichungen, siehe Zelevinksy [Zel2] für den Fall b=c=2. Der Fall b=c=2 ist besonders interessant, denn in diesem Fall geben Caldero-Zelevinsky [CZ] Formeln für die Koeffizienten in Termen von Binomialkoeffizienten an.
  2. Cluster-Algebren vom Rang 3: Beineke-Brüstle-Hille [BBH] studieren Cluster-Algebren vom Rang 3 und stellen eine Relation zur Markoffgleichung her.
  3. Cluster-Algebren vom Typ A: In diesem Fall gibt es nur endlich viele Cluster-Variablen; sie stehen in Bijektion zu Diagonalen in einem Polygon, siehe Fomin-Reading [FR], und Cluster haben eine Interpretation als Triangulierungen des Polygons. Die Anzahl der Cluster ist durch die Catalan-Zahl gegeben (siehe Stanley [Sta] für eine Einführung in Catalan-Zahlen). In Anlehnung an einen Satz aus der klassischen Geometrie nennt man die Austauschrelationen für Cluster-Variablen in diesem Fall auch Ptolemäus-Relationen.
3. Klassifikation der Cluster-Algebren vom endlichen Typ. Es gibt Cluster-Algebren mit unendlich vielen Cluster-Variablen sowie Cluster-Algebren mit nur endlich vielen Cluster-Variablen. Fomin-Zelevinskys Klassifikation der Cluster-Algebren mit nur endlich vielen Cluster-Variablen [FZ2] führt auf Dynkindiagramme. (Nebenbemerkung: Dynkindiagramme sind aus der Lietheorie bekannt; sie können aber auch durch ihre spektralen Eigenschaften charakterisiert werden, siehe Brouwer-Haemers [BH]. Spektrale Eigenschaften von Graphen sind für Suchalgorithmen im Internet relevant, siehe Kleinberg [Kle].)

4. Das Laurent-Phänomen. Wie Fomin-Zelevinsky [FZ1] bewiesen haben, sind alle enstehenden Cluster-Variablen Laurent-Polynome in den initialen Cluster-Variablen. Ein Beweis kann über sogenannte obere und untere Schranken geführt werden, siehe [BFZ] und [GSV]. Eine anderer Beweis involviert das Raupenlemma welches Anwendungen in der Theorie der Somos-Folgen hat, siehe Fomin-Zelevinsky [FZ] und Stanley [Sta].

5. Computer-Algebra. Wie Sie oben sehen, liegen konkrete Rechnungen im Herzen des Ganzen. Wir werden sehen, wie das Computeralgebrasystem SAGE uns bei bestimmten Rechnungen helfen kann, zum Beispiel bei der Konstruktion aller Cluster-Variablenvom Typ E6, E7 und E8 an.

6. Caldero-Chapotons Abbildung und Köcherdarstellungen. Dieser Teil der Vorlesung stellt einen Bezug zur Darstellungstheorie von Köchern her. Dynkindiagramme klassifizieren (neben halbeinfachen Liealgebren und vielen anderen Dingen) nach einem Satz von Gabriel darstellungsendliche Köcher. Caldero und Chapoton haben eine direkte Abbildung konstruiert, die einer Köcherdarstellung ein Laurentpolynom zuordnet. Wir studieren die zu Cluster-Variablen gehörigen Darstellungen und die darstellungstheoretische Bedeutung der Austauschrelation.

7. Totale Positivität. Eine Matrix M heiß total positiv, wenn alle ihre Minoren positiv sind. Total positive Matrizen sind (neben kanonischen Basen, die aus der Lietheorie kommen und auf die wir in der Vorlesung nicht eingehen können) eine Motivation der konkreten Form der definierenden Gleichungen. Wir geben eine knappe Einführung und erläutern den Zusammenhang zur Cluster-Theorie.

8. Die Struktur der Cluster-Algebra als Ring und die Geometrie der Cluster-Varietät. Dieser Abschnitt ist der letzte Teil der Vorlesung. Da eine Cluster-Algebra kommutativ ist, können wir ihr Spektrum bilden. In dem Zusammenhang untersuchen wir die Cluster-Algebra unter ringtheoretischen Aspekten. Zudem führen wir Fock und Goncharovs X- und A-Varietäten ein. Wir versuchen zu erklären, warum das Laurent-Phänomen aus dieser Sichtweise eine natürliche Erklärung durch Aufblasungen torischer Varietäen erhält.


Vorkenntnisse

Willkommen sind alle Studentinnen und Studenten des Bachelor- und des Masterstudiengangs ab dem 5. Semester! Obschon die Vorlesung Beziehungen zur Lietheorie und zu Darstellungstheorie von Köchern hat, sind Vorkenntnisse auf diesen Gebieten nicht zwingend erforderlich.


Literatur

Im Laufe der Vorlesung werden an dieser Stelle Vorlesungsnotizen veröffentlicht:

Überdies gibt es zahlreiche Abhandlungen über Cluster-Algebren. Die Grundlage bildet eine Serie von vier Artikeln der Mathematiker Sergey Fomin und Andrei Zelevinsky, die die Theorie im Jahr 2000 begründet haben. Der Dozent schickt sich an, aus den folgenden Artikeln eine Vorlesung zu komponieren. Neben den Artikeln haben Michael Gekhtman, Michael Shapiro und A. Vainshtein ein Buch über Cluster-Algebren geschrieben, welches Teile des Stoffes behandelt, ihn allerdings aus einer anderen Sichtweise heraus präsentiert.