Umkehrfunktionen und ihre Ableitung

Als Umkehrfunktion einer Funktion f (rot) wird diejenige Funktion bezeichnet, die sich ergibt, wenn man f an der Spiegelachse x=y (schwarz) spiegelt. Diese bezeichnet man als f-1 (in den Zeichnungen violett). Aus computertechnischen Gründen konnten wir sie in unseren Zeichnungen leider nur mit f* bezeichnen. Also: f*=f-1 .
Rechnerisch erhält man f-1, indem man die Gleichung f(x)=y zunächst nach x auflöst und danach die Variablen vertauscht.

Beispiel: 1.) f(x) = x3 - 2
=>  y = x3 - 2
=>  x = (y+2)1/3
2.) y = (x+2)1/3
=> f-1(x) = (x+2)1/3

Zur Verdeutlichung hier nun ein Bild der Funktion f(x) = 2 ln x  und der dazugehörigen Umkehrfunktion:

Für diese Zeichnung ist ein Java-fähiger Browser notwendig.

Wenn man x0 hin- und herbewegt, sieht man, wie sich die damit zusammenhängenden Werte bei f und f-1 sowie deren Tangenten verändern.Außerdem erkennt man deutlich, daß die zu den Funktionen gehörigen Ableitungen in keinerlei ähnlichen Zusammenhang stehen.
Läßt man sich jedoch die Zusammenhänge anzeigen,sieht man, daß die Tangentensteigung von f-1(y0) der Kehrwert der Tangentensteigung von f(x0) ist.

Sketchpad-Konstruktion

Dieses Bild zeigt den selben Zusammenhang in einer Zeichnung, die mit The Geometer's Sketchpad erstellt wurde. Um die Zeichnung zu sehen, muß eine Sketchpad-Version (erhältlich für Macintosh oder Windows, auch als Demo) auf eurem Rechner installiert sein. Außerdem muß euer Browser so eingestellt sein, daß er Dateien mit der Endung .gsp mit Sketchpad öffnet. Dann könnt ihr die Zeichnung mit einem Klick auf das Bild laden.

Die Ableitung der Umkehrfunktion

In dem Bild soll die blaue Seite des Steigungsdreiecks von f(x0) d und die gelbe Seite c heißen. Dies bedeutet, daß f '(x0) = c/d.

Dies wiederum heißt, daß gilt:
(f*)'(y0)=d/c=1/(c/d)=1/f'(x0)=1/f'(f*(y0))

Nach Vertauschen der Variablen ergibt sich die Umkehrregel in der üblichen Gestalt:

In Fällen, in denen die Ableitung und die Umkehrfunktion einer Funktion bekannt sind,
läßt sich auf diese Art und Weise die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen.
 

Beispiel:

Weil dieses Ergebnis sich auch mit Hilfe der Potenzregel für den Exponenten 1/5 ergibt, hilft uns die Umkehrregel, die Potenzregel auf gebrochene Exponenten fortzusetzen. (Zu Beginn wird die Potenzregel nur für natürliche Exponenten bewiesen.)

Zur weiteren Verdeutlichung wollen wir nun noch ein letztes Beispiel bringen:

Auf dem Intervall [-1, 1] ist arcsin die Umkehrfunktion von sin, es gilt für alle x aus dem Intervall ]-1,1[  :


 

Sei
 

 

Also gilt:

Warum dürfen wir am Ende im Nenner cos y = sqrt (1-x^2) setzen?
Grund dafür ist die Gleichung sin y = x zusammen mit einer Beobachtung am Einheitskreis. In dem grau gezeichneten rechtwinkligen Dreieck sind zwei Seiten bekannt, die Hypothenuse 1 und die Kathete sin y. Mit dem Satz des Pythagoras läßt sich die unbekannte Seite a berechnen.

Damit soll dieses Kapitel beendet sein.