Informationen zum

240032 Proseminar: Einführung in Cluster-Algebren

von Prof. Dr. H. Krause, Dr. Ph. Lampe, Dr. N. Mahrt, SoSe 2012.

Termin: Mittwochs, 14-16 Uhr, V5-227.
Eintrag im elektronischen Vorlesungsverzeichnis.


Vorbesprechung

Am Mittwoch, den 8.2.2012, um 14:00 Uhr in V5-227.
Interessenten, die nicht zur Vorbesprechung kommen konnten, mögen bitte Kontakt mit den Organisatoren aufnehmen.


Beschreibung

In diesem Proseminar beschäftigen wir uns mit Cluster-Algebren. Bitte lesen Sie Andrei Zelevinskys Artikel What is a Cluster Algebra? für eine kurze Einführung in das Thema.

Eine Cluster-Algebra ist eine kommutative Algebra, die von sogenannten Cluster-Variablen erzeugt wird. Die Theorie der Cluster-Algebren haben die Mathematiker Sergey Fomin und Andrei Zelevinsky im Jahr 2000 begründet. Im einfachsten Fall können die Relationen zwischen den Erzeugern (d.h. zwischen den Cluster-Variablen) durch Köcher-Mutationen beschrieben werden.

Ein Köcher ist ein orientierter Graph. Formal wird ein Köcher definiert als ein Quadrupel (Q0, Q1,s,t). Dabei sind Q0 und Q1 disjunkte endliche Mengen und s und t Abbildungen Q1→Q0. Wir nennen die Elemente von Q0 die Ecken des Köchers und Q1 seine Pfeile. Die Abbildung s liefert uns für jeden Pfeil seine Startecke und t seine Endecke. Für einen Pfeil α zeichnen wir s(α)→t(α). Auf diese Weise können wir die gesamte Information, die einen Köcher definiert, in einem Bild kodieren.

Eine Mutation eines Köchers Q an einer Ecke i ist ein neuer Graph μi(Q) mit derselben Zahl an Ecken. Wir werden eine exakte Definition der Köcher-Mutation im Proseminar erabeiten; an dieser Stelle verweisen wir auf Bernhard Kellers Java Applet, um Köcher-Mutation in Aktion zu sehen.

Sei Q ein beliebiger Köcher. Zu jeder Ecke i von Q assoziieren wir eine Variable xi. Wir nennen die xi die initialen Cluster-Variablen und erweitern den Begriff der Mutation wie folgt auf Cluster-Variablen: Für jede Ecke j von Q und jede Cluster-Variable xi definieren wir eine neue Cluster-Variable μj(xi). Dabei ist μj(xi) = xi, falls i ≠ j, und für μj(xj) gibt es eine geschlossene Formel, die sich aus den kombinatorischen Daten des Köchers Q ergibt. Bemerkenswerterweise ist jedes μj eine Involution, d.h. es gilt μj2(Q) = Q und μj2(xi) = xi für alle Ecken i und j. Ausgehend von dem initialen Köcher Q erhalten wir durch iterierte Anwendungen von Mutation an beliebigen Ecken weitere Köcher. Zu jedem dieser neuen Köcher erhalten wir eine Menge von Cluster-Variablen, die wir jeweils zu einem sogenannten Cluster zusammenfassen.

Die Cluster-Algebra ist nun definiert als die Algebra, die von allen Cluster-Variablen erzeugt wird. Die Anzahl n der Ecken von Q heißt der Rang der Cluster-Algebra. Es gibt Cluster-Variablen mit unendlich vielen Cluster-Variablen sowie Cluster-Algebren mit nur endlich vielen Cluster-Variablen. Fomin-Zelevinskys Klassifikation der Cluster-Algebren mit nur endlich vielen Cluster-Variablen [FZ2] führt auf Dynkin-Diagramme. (Nebenbemerkung: Dynkin-Diagramme sind aus der Lie-Theorie bekannt; sie können aber auch durch ihre spektralen Eigenschaften charakterisiert werden, siehe Brouwer-Haemers [BH]. Spektrale Eigenschaften von Graphen sind für Suchalgorithmen im Internet relevant, siehe Kleinberg [Kle]).

Im Rahmen des Proseminars werden algebraische Grundlagen, die für das Studium der Cluster-Algebren wichtig sind, eingeführt. Ferner werden einzelne auftretende Phänomene untersucht:

Cluster-Algebren vom Rang 2: In einer Cluster-Algebra vom Rang 2 bilden alle Cluster-Variablen eine Folge von Elementen; die Folge ist durch zwei Parameter charakterisiert und wird in [Zel] "b-c-Rekursion" genannt. Im Falle |bc| ≤ 3 ist die Folge periodisch und gibt es nur endlich viele Cluster-Variablen. Im Falle |bc| = 4 gibt es unendlich viele Cluster-Variablen, allerdings degenerieren die nichtlinearen Austauschrelationen für Cluster-Variablen zu linearen Differenzengleichungen, siehe Zelevinksy [Zel2] für den Fall b=c=2 und Meschkowski [Mes] für eine generelle Einführung in lineare Differenzengleichungen. Der Fall b=c=2 ist besonders interessant, denn in diesem Fall geben Caldero-Zelevinsky [CZ] Formeln für die Koeffizienten in Termen von Binomialkoeffizienten an.

Cluster-Algebren vom Rang 3: Cluster-Algebren vom Rang 3 werden von Beineke-Brüstle-Hille [BBH] studiert und stehen in Relation zur Markoffgleichung (siehe Prasolov [Pra] für eine Einführung in die Markoff-Gleichung).

Das Laurent-Phänomen: Wie Fomin-Zelevinsky [FZ1] bewiesen haben, sind alle enstehenden Cluster-Variablen Laurent-Polynome in den initialen Cluster-Variablen. Ein Beweis kann über sogenannte obere und untere Schranken geführt werden, siehe [BFZ] und [GSV]. Eine anderer Beweis involviert das Raupenlemma welches Anwendungen in der Theorie der Somos-Folgen hat, siehe Fomin-Zelevinsky [FZ] und Stanley [Sta].

Cluster-Algebren vom Typ A: In diesem Fall gibt es nur endlich viele Cluster-Variablen; sie stehen in Bijektion zu Diagonalen in einem Polygon, siehe Fomin-Reading [FR], und Cluster haben eine Interpretaion als Triangulierung des Polygons. Die Anzahl der Cluster ist durch die Catalan-Zahl gegeben (siehe Stanley [Sta] für eine Einführung in Catalan-Zahlen). In Anlehnung an einen Satz aus der klassischen Geometrie nennt man die Austauschrelationen für Cluster-Variablen in diesem Fall auch Ptolemäus-Relationen.


Vorkenntnisse

Das Seminar wendet sich an Studentinnen und Studenten ab dem 2. Semester mit Kenntnissen aus der Linearen Algebra I.


Vortragsbeschreibungen

Eine präzise Beschreibung der Vorträge ist hier verfügbar.


Literatur

[AF] T. Andreescu, Z. Feng: A Path to Combinatorics for Undergraduates.
Birkhäuser Verlag, 2004.
[Art] M. Artin: Algebra.
Birkhäuser Verlag, 1993.
[ASS] I. Assem, D. Simson, A. Skowronski: Elements of the Representation Theory of Associative Algebras.
London Mathematical Society, 2006.
[BBH] A. Beineke, T. Brüstle, L. Hille: Cluster-Cyclic Quivers with three Vertices and the Markov Equation.
Algebras and Representation Theory 14 (1): 97-112 (2011). Preprint arXiv:0612213.
[BFZ] A. Berenstein, S. Fomin, A. Zelevinsky: Cluster algebras III: Upper bounds and double Bruhat cells.
Duke Mathematical Journal 126 (1): 1-52 (2005). Preprint arXiv:math/0305434.
[BH] A. Brouwer, W. Haemers: Spectra of Graphs.
Springer, 2012. Verfügbar hier.
[Bos] S. Bosch: Algebra.
Springer, 2006.
[Cha] C. Charalambides: Enumerative Combinatorics.
Chapman & Hall/CRC, 2002.
[CZ] Ph. Caldero, A. Zelevinsky: Laurent expansions in cluster algebras via quiver representations.
Moscow Mathematical Journal 6 (3): 411-429 (2006). Preprint arXiv:math/0604054.
[FR] S. Fomin, N. Reading: Root systems and generalized associahedra.
Lecture notes for the IAS/Park City Graduate Summer School in Geometric Combinatorics. Preprint arXiv:math/0505518.
[FZ] S. Fomin, A. Zelevinsky: The Laurent phenomenon.
Advances in Applied Mathematics 28 (1): 19-44 (2002). Preprint arXiv:math/0104241.
[FZ1] S. Fomin, A. Zelevinsky: Cluster algebras I: Foundations.
Journal of the American Mathematical Society 15 (2): 497-529 (2002). Preprint arXiv:math/0104151.
[FZ2] S. Fomin, A. Zelevinsky: Cluster algebras II: Finite type classification.
Inventiones Mathematicae 154 (1): 63-121 (2003). Preprint arXiv:math/0208229.
[GKP] R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik: Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science.
Addison-Wesley Publishing Company, 1994.
[GSV] M. Gekhtman, M. Shapiro, A. Vainshtein: Cluster algebras and Poisson geometry.
American Mathematical Society, 2010.
[Kel] B. Keller: Cluster algebras, quiver representations and triangulated categories.
Preprint arXiv:0807.1960.
[Kle] J. Kleinberg: Authoritative Sources in a Hyperlinked Environment.
Journal of the ACM 46 (5): 604-632. Verfügbar hier.
[Lan] S. Lang: Algebra.
Addison-Wesley Publishing Company, 1993.
[Mes] H. Meschkowski: Differenzgleichungen.
Vandenhoeck & Ruprecht, 1959.
[Pra] V. Prasolov: Essays on Numbers and Figures.
American Mathematical Society, 2000.
[SS] G. Scheja, U. Storch: Lehrbuch der Algebra.
B. G. Teubner, 1980.
[Sta] R. Stanley: Enumerative Combinatorics, Volume 2.
Cambridge University Press, 2001.
[Zel] A. Zelevinsky: What is ... a Cluster Algebra?
Notices of the American Mathematical Society 54 (11): 1494-1495 (2007). Verfügbar hier.
[Zel2] A. Zelevinsky: Semicanonical basis generators of the cluster algebra of type A1(1).
Electronic Journal of Combinatorics 14 (1): Research Paper 4 (2007). Preprint arXiv:math/0606775.


Liste der Termine

Datum # Thema Sprecher(in)
04.04.2012 1 Köcher und Köchermutationen Anne Klösener
11.04.2012 2 Algebren und Unteralgebren Michael Kaup
18.04.2012 3 Quotientenkörper und Lokalisierungen Theresa Ußling
25.04.2012 4 Cluster-Algebren von Köchern Daniel Ollesch
02.05.2012 5 Cluster-Algebren und erste Beispiele vom Rang 2 Dario Differt
09.05.2012 6 Lineare Rekursionsgleichungen im Rang 2 Dario Differt
16.05.2012 7 Explizite Formeln für die Cluster-Variablen von A(2,2) Diana Schwenkler
23.05.2012 8 Catalan-Zahlen Nils Mahrt
30.05.2012 9 Cluster-Algebren vom Typ A Christina Naundorf
13.06.2012 10 Austauschgraphen im Typ A Benjamin Hirsch
20.06.2012 11 Cluster-Algebren und totale Positivität Philipp Lampe