Ueber die Theorie der terngtren cubischen Formen. by Clebsch, A.; Gordan, P. in Mathematische Annalen volume 1; pp. 1 - 47 G6ttingen State and University Library Terms and Conditions The G6ttingen State and University Library provides access to digitized documents strictly for noncommercial educational, research and private purposes and makes no warranty with regard to their use for other purposes. Some of our collections are protected by copyright. Publication and/or broadcast in any form (including electronic) requires prior written permission from the G6ttingen State- and University Library. Each copy of any part of this document must contain these Terms and Conditions.With the usage of the library's online-systems to access or download a digitizied document you accept these Terms and Conditions. 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Commene sur G1ois par M. Cmille Jordan  Ps ......... 145 Die Modulglelchgen der herepschen unconen eer Orang r die sfosion ten Gres. Von KSnigsberger  Greifsld 61 Die fferenti]gleichg der Perioden der hereen conen ersr Orung. Von KSnigsberger in Greifsw ............. 165 Bechfigg es Sses yon Abe 1, die Dsllnn6 der ebrchenefio- nen bereftend. Von KSnigsberger in Greffswld ........ Uer e Cten,  welche e Close der zugehSrigen Abel'shen nen p K- Von A. Clebsch in GSgen ............. 170 Ueber e Invn der echsn Syse ser b' ome Von A. Bessel  . Peburg ................... 173 Geomeqhe Unrsuchung fiber e Beweg ees sen KSers. Von Crl eumnn  i ..................... 195 Zur eoe der ncondeten. Von Csrl Neumann D ulne Sys eer biquschen d eer quhen ben o. Von F. rbordt  Giessen ................. Ueber e Derenleichen f Lich6en. Von Gieen .... ' ............................ Ueber die Abbdg gebrh h, sbde d iv Inhalt des ersten Banties. 3. Heft. Sei*e Notizen zu einer kfirzlieh erschienenen Sehrifl fiber die Principien der Elekro- dynamik. Von Carl Neumann in Leipzig ............ 317 Ueber die Aeherbeeang in Krysiallen. Von Carl Neumann in Leipzig 825 Ueber biernkre Formen reit coniraedienten Variabeln. Von A. Clebsch und P. Gotdan ........................... 359 Note beznglieh der Zahl der Moduln einer Classe yon algebraischen Gleichungen. Von A. Brill in Giessen ....................... 401 Zur Geometric auf' den Fl'&chen zweiter Oralhung. Von H. lii.11er in Frei- burg i. Br ............................... 407 Sur les rdseaux de courbes e de surfaces algeqoriques. ParE. ae $onquires { paris ................................ 4'24 I%tes sur un systme de coordonndes lindaires dans l'espace. Par H. G. Zeuthen (de Cepenhague) ...................... 482 Projeciivische Erzeugmg der allgemeinen Fttchen dritter, vierter und be- liebiger Ordntmg dutch Flchenbfmdel hiedeter Ordnung. Von T h. 1{ e y e in Z'tirich ................................ 455 Die Cylinderfuncionen erster and zweiter Ark Von Hermann Hankel in Erlangen ............................... 467 Ieuer Beweis des Vorhandenseins complexer Wurzeln in einer algebraischen Gleichung. Von Hermann Kinkelin in Basel ............ 502 1%iz fiber das cykloidsche Bendel. Von Carl kNeumann in Leipzig: . . 507 4. Heft. Ueber fortgeseztes Tngenenziehen an Curyen drifter Ordnung mi einem Doppet- oder R/ickkehrpunkte. Von /L Durge in Brag ....... 509 Das Problem der Projectivift und seine Anwendung auf die Flichen zweiten Grades. Von l{ud. Surm zu Bromberg ............... 533 Zur Theerie des ]k--fimmungsmaasses. Von E. Beltrami in Bologna .... 575 Sur les dquaions de la division des foncfions abdliennes. Par 5. Camille Jordan { Paris .... : ....................... 583 Die Abbildung einer Flache vieflor Ordnung mi einer ])oppelcurve zweiten' Grades und einem oder mehrer9n Knoenpunken. Von G. KorndSrfer in Giessen ............................... 592 Der F'lchenbtischel zweifr Oralhung in synhetischer Behandlung. Von  H. M511er in Freiburg i. Br... - ................... 62 Bemerkung abet die Geometric auf den windschiefen Flathen dritYer Oranaug. Von A. Clebsch in GStingen .................... t;34 Ueber die Integration der partiellen Differenfialgleichnng: x _ q- q- k2u = 0. Von D. H. Wrrr in Hrrr. Die LSsung einer betrachfiichen Anzahl physikalischer Probleme hing bekannfiich ab yon der Infegration der Gleichung: so die Theorie der Bewegung der Warme in cylindrischen Rattmen die unendlich kteinen Bewegungen einer Fliissigkeit in cylindrischen Gef:issen, die transversMen Schwingtmgen gespannter Membranen and elasfischer Platten. Die Art und Weise aber, wie in diesen Problemen die Integration jener Gleichung gefordert wird, ist eine eigenthtimliehe, und in eini- gen Punkten wesehrlich versehieden yon der Aufgabe der Integratioa anderer paxtidier Differentialgleiehungen wie z. B. der Potenfialglei- chung, oder der Gleiehnng, welche die kleinste Oberflache bes4immt. In der Regel namlieh ist die Cnskante /% welehe in..der vorlie- genden Gleiehung enthalten ism, nieht yon vorn herein gegeben son- dern dieselbe soll naeh vollfithrter Integration so besiimmf werden dass das Integral gewissen Grenzbedingmgen gentigt, welehe, altge- mein zu reden d. h. bei beliebigen Wefthen yon /; mi der Differen- tialgleichung unvertraglich sind, z. B. dass alas Inteal oder dessen nach aer Normale genommener Differentialquotient; an einer geschlos- senen Curve gleieh Null sei ohne identiseh gleieh Null zu sein. dureh ist k im Allgemeinen als Wurzel einer noch zu suchenden ranscen- denten Gteichang bestimmt. Die Gesammeit der unendlieh vielen LSsnngen, welehe anf diese Weise, derselben Grenzbedingung gemass, bestSmm worden sind $oll dana reit Halle gewisser eonsfanten Cof- fieienn so zu einer naendliehen Reihe gruppir werden (lass (lnrc. h dieselbe eine wfilktirliche Function yon zwei Verinderlie&n der Anfangsznsiand, aagesen wer(le. '2 Ueber die Integration einer pattiellen Differenialgleichung. Die LSsbrkei dieset dutch die Physik gese%en Aufgaben se%z% mm gewie l]gemee EigenschM%en der Inegrale jener Gleichung vora, welche e]ne gewisse AnMogie derselben mi den %rigonomefi- sen mcfionen erkennea ssen in welche sie auch gemdezu fiber- gehen wean man sich auf eine unabhngge Variable besrnkL Dieses eigeahfim]ie Verhlen der Inee ohne Rficksich auf bendere Probleme zu unersuchen. is der ncMe Zweck dieses Auf- sa%zes. Die Miel und Wege der Unrsuchung nd dm Weseafiichen   0 ge- diesdben die Riemann bei der Gleichnng  +   wana faen aber vidfaeh zu anderen Die MSglichkeit aer rkliehen Ausfaung aer Integration hng5 naarlieh haupeMieh yon der Besehaffed der enzung ab. In den Fllen, in welthen die AufsdIg der Inteale his jetzt getnngen ism, wird e Begrenznng gebilde durch e Reeh& wo- bel e InteMe aurh igonomesche Fctionen d'steHb sind, oder durch een Krei% wobd die InteMe dureh die Bessel'- sehen Funetionen und deh kigonometris&e Functionen ausdrii&bar sina. Ich babe nun  zwein Thdle roeinet Arbeit naeh anderen Formen der Begreng gesnch, bd denen ein ahnhehes Vetfatten zum Zide fatten kSnnte und dabei ha si& die Begrenzg dnreh conlocale KegeeMie ergeben.  den FM1 eonfoler P'abeh lasst sich die definitive Form der Integrale dur& hypergeometrische Reihen oder besfimmte Integrale dsellen 'w[hrena im Falle eonfo- ealer 11ipsen i& reich dat begnag mussY% alas Problem anf gewShnli&e Differenfialgleichungen zweiter Ordnung zura&zahren, da es mir nieh galarig, die LSsnngen eser Oleiehungen dutch Rei- hen die einem iibersichfii&en Geseze folgen, auszudra&en. s i&h die Abhandlung ft vollender hatte, gdan ieh znr Keiss eer Unm'suehung yon MatMen im neuesten Bande des Lionville's&en Jonrnals wo er si& mi der Ingration ftir etlip- fisehe Begenzung behM. Die Integratn i dor deh R&en bewertdt[, yon denen t ossem Fleisse eine fa&hche An- za 9hMer berechne Mnd, far wdche abet ebenfls kein agemd- n esz geben . Diese Unu&ungen mSgen. dater far aen Physiker immerh yon grossera Wehe sein, maemafis& he  alas Problem aaach der su wenig n'r gebrach -a s, ats dutch e Asag der gewSMliehen DifferentiMgld- :] pungen lbs. *) Oe r dne llgemeine fie aer eaonen eer Ueber e Integration einer pattiellen Differentilgleichung. ;2 Ich beginne die Unfersuchung mir der Enwiekelung eines Satzes tiber die Stetigkeit einer Function  .welehe der Differenfialgleichung gentig4 weleher ganz analog ist einem Satze fiber die Integrale der  a* = 0 den Riemann im 10 ten Abschnitt seiner Gleichung  q-  , Doctordissertation bewiesen hat. Die Grundlage dieses Satzes bildet das bekannte Theorem: Sind X, Y zwei Funcfionen yon xy, welche innerhalb eines be- grenzen Sttickes der x y-Ebene nieht in Linien unstetig sind und in aeinzelnen Punkten nut so unstetig werden, dass mir der Fmffernnng 0 eines veraderlichen Punkres vom Unstefigkeitspunkt zugleich O X und O 55 nnendlieh klein werden so ist: 3x ? = -- x + . Die Ingration a der linken Seite erstreckt sich fiber das Inner% die auf der rechn Seite iibor e Benzung d Flchensthc in welchera X und Y die Bedingungen der Siefigkeit egfillen.' Dabei bedeutei ap die Differentiation nach der nach innen geNch/e/en Nor- real% ds das Element der Begrenzung so posiiiv gerecet dass die innere Normale ku ds so lie wie die positive y-Axe zur sifiven x-Axe. Dies vorausgeseizt versiehen wit unier u d  zwei Functionen welche der Differenfialgleichung (l) gengen, d seen: Nen r yoraus ds v mir seinen ersien DeririSh im Innern einer Filehe T dutchare stefig und in derselben Flche u nut in ein- ' a u gleicMcifig t der zeNen Pnnkte} d n= so unsfigei ds 0  Engernung o eines viablen Punes vom UnsfiOeiNpkt end- lich klein werd% class endS& an jer beliebigen Linie 1 im nern der Bgche T e Defivirten you u nach der Normale dieser Linie gehea you eNlnen nen zu iden in der Linie gleich seien, so ist d Theorem (2) wendbar auf . m fog eNsieht were m die Umfieitsrun deh Kreise t dem Radius O  die Ufigkeiien deh 4 Ueber die Integraflon einer parfiellen DifferentSalgleichung. Kreise unendlich klein werden, die Curyen ;t beiderseits den Unsetig- keikslinien sich unendlieh annahern ltss*). Man getan alsdann zu der Gteiehung: f( (3) ; -- v ds = o. Ist v in einem Punk im Innern der Fltehe unstetig, so muss dieser Punk dutch eine beliebige geschlossene Curve yon dem Fltchensick ausgeschlossen werden und. diese Curve zur Begrenzung zngezogen werden; odr: das Ineg'al (3) tiber die Begrenztmg einer Flaehe erskreckt, in weldaer v an .einer Stelle unstetlg wird, ander seinen Werh nicht, wenn die Begr6nzung bdiebig eingeengt wird ohne aass der UnstetSgkeipunk yon v ansgeschlossen wird. Wir suehen .nun far vein geeignetes parikul:,tres Integral der Gleichung (1), welches an einer Selle unste6g wird. Ein solches erhalten wit dutch die Voranssetznng dass v allein abhangig sein soll yon der Enffernung eines veranderlichen Punkres xy und eines resten Pnnkes %Y0, also yon O -- xq- (y--yo)  . Transformr man die Gleiehung (1) auf Polr-Coordinaten deren telpunkt xoy o ist so erhMt man unfr diesex Voraussetzung fdr v eine gewbhnliche Differenfialgleiehung 2t Ordnung diejenige Gleichung dere eines prikulres /ntegrM die Bessel'sehe Function der 0 -½0) Ordnung .z.0) ism. Diese Function ist ber œtir alle Wetthe yon stetSg also ftir unseren Zweck nicht brauchbar. Die Gleichung hat ber noeh eine ndere parikul're Lbsung welche œiir  = 0 unend- !ich wird, weleher Herr C. Neumann die'Form gegeben hat:**) wo Jøkdie Bessel'sche Function 0 t' Oralhung, also eine durchaus stetSge Function mir stetigen Derivirten E © ebenfalls eine. durchaus stetige Ftmcfion mir setigen Derivirten., welche dutch die iramet cor.- vergen Reihe: = + .... ) oder dur'ch das bebfimmte Integral: Eo j" cos (z sin ,) log (4 cos.o) deo o .ansge/lraek werden kann. Diese Ftmcfion r2;, s11 nun an die Stelte yon v in die Gleiehung (a) eingesetz werdea, nna es ergib; sich dann, class das lnfral auf . .*) ¾rgl. liemann L e. õ. t0. **] !germann, Theorie der Bessersehen Functionen. Leipzig 1867. Ueber die Integration einer parfiellen Derentialgteichung. 5 der hnken Seie yon (3), ausgedehn fiber eine belibig% den Punk xoYo einscMiessende Curve, gleieh is demselben Inal aber einen Krei% dessen Mitelpnf  xoY o lie una dessen'Radius r ism. Dieses teztere egral abet den Kreis wird nun, da an der Pepherie des Kreises y(O) und --32 8 constant- sid: (O) (4) -- . Nun erb die Gleichg (2) we man darin X   Y sezt und sie auf die Flache des eises anwende mi Reksich auf (1): . ,  ds = k   dz d Ls mah nm r sehr klein werden so kann man xmer die zeiehen an e S11e yon u den We u o sezen den aiese Function im Punk %0 annimm und dn ergibt sich f das Integral (4): r Und lissl man nun r in 0 fibergehen so wordeft alle 61ieder unend- heh kle bis a ein einzig welch den We erhlt: wie aus der Beeuung yon ,y0 heorgeht. Demnach erhlt man e 61eiehung:*) {0) x (5) u0 = d k u s, wo d lneal rechs zu erstrecken is fiber e Beenzung eines den Punkt xoy o einschliessenden qchensficke% in welchera u die oben ag'esten Stefigkeibedingugen erfallL Diese Gleichung is nz ebenso gebilde nnd gesate die nKm- lichen Slfiss% e die yon R i em ann f die LSsnngen der Gleichg u  u anfgestetlt% n ist der do vorkommende gafimus -bier dutch die cfion yo veren. Die Gleichung (5) kSnnte nur solve P xoy  g'ig sein in alehen % nnstefig k; da sie abet in nnelbarer Nhe soleher Punkte durchaus gfikig is  so kSen reit Rficksich a die Bildungsweise der DifferenfiMqnofienn der F ion y(O) elche mmhch nur unendlich werden kSnnen  we O ver- schwdet d si sons mi XoY o sfig andern den Sa ausreehen: Wenn in einem endlichenThei!e der xy-Ebene die Function u den Bedingungen genag dass: -'& fen  dreier bhger Vblen  ee enprhende yon Helmholz abgelei Crelle's Joual Bd. 57,  6 Ueber die-' In/gratioa einer pattiellen Differentialgleichung. 1) die Punkie, in welchen die Differeniialgleichung  _ -u_ -*u 50 nicht befriedig is keineFlchen- 3x 2 3y2  the.lie, 2) die Punkte in welchen u unsetig wird keine Li-  nien seig erfiillen, 3) mir der Entfernung  eines veranderlichen Punkies yon einem Unteigkeitspunkie 9  uncndlich klein wird,*) 4) lngs allen Linien 1 die Diffeienialquo]enen yon u ach den Sormale dieset Linieu, abgesehen yon einzelnen Punken beiderseis gleich und nicht endlich sind 5) bei u eine durch AbSnderung ihres Werthes in ein- zelnen Punkten hebbare Unstetigkeit ausgeschlos- sen ist so is no[hwendig die Function u nebs allen ihren Diffcren- ialquotienen fiir lle Punk[e im Innern dieset Flche end- Hch und seig. Diese Schlussweise is durchus nich an die Vorsussezung gebun- den dass k reell sei. Nur x  y sind nsUlich auf reelle Wet,he schrnkIz kann beliebg complex also beispielsweise such k  negativ sein und such der yon liemnn behandelfie Fall k  0 is hiefin enhalen. Denn bedenk man dass die ganze Beamcheung in niches geander[ wird wenn man zu y(0 die mi[ einem beliebigen consanen Factor multiphcire Funetlon ozc) hinzuffi so erkennl man, dass die Function y0) ffir den specielien Fall ]z -0 geraAezu in log 0 fiber- geht lso die Gleichung (5) in die yon Riemann aufgestellte.  Unter der Voranssetzung eines reellen k tasst sich ebenfalls nach Ri6mann's Method%**) der-Saf, z naehweisen: Is u mi,seinen ersen Derivirten nieh an einer Limie untef. ig so kann auch nieht an einerLinie , u.nd  Null sein wenn nieht  aberhupt --0 ism. "- -*) 6eaau genommen ist mir erforderlich, dazs auf einer n6 dem Radius  um den Uasdgkeifapunk4 bescbxiebenenKreisperipherie keine auch noch so kurze u Sreeke exisiir in wetchef sich o- mi; a.bnehmendem 0 einer yon 0 versehie: deaen re-_e nherf. Ueber die Integration einer pardiellen Ditibrcntialgteicht',ng. 7 Um diesen Satz nachzuweisen, verbinde man mir tier der Diilbren- tialgleichung (1) des vorigen Paragaphen geniigenden Function u eine zweitc Function  welche der Gleichg: + = o gen. Sez mn nu m der Gleichung (2) des vorige Prgraphen (7) 1;  u eo dx dy = --   --  ds . Is nun an einer Linie u und   0 und u in der Nhe dieser Linie yon 0 vschieden'so kn man ein Flchensfick consiren in wel- chera u sein Zeichen nich wehselt welches keine Pune einsciesst i denen . oder sere ersen Derivien unstefig werden und welches begrenzt is einerseifs yon jener Lini% anderersei yon einem Krcis- bogen mi dem Radius r dessen Mielp nlc in esem Flichen- stack lie. Auf dieses Flichenstak kann dn die Gleichg (7) angewdt wcrden wo auf der rechten Seite der Thcil des tegrals in dem  nnd   0 sind for{11 and nur das Inteal fiber den Kreisbogen fibfig bleibk Bezeichnei man reit 0 und T die Polar- coornaten in Bezug a' den Mitlpk des eisbogens so kann man sezen: s tog y ,    so dass  am Kreisbogen verschwinde und erhMi dann aus der Gleichung (7): Nun hat der Vorasetzung nach  in beiden alen durehaus das-  is in dem Doppelintegral ibrtwiend nega- selbe Vorzeichen; log y /i%  dass, wenn k a posiliv ist die obige Gleichung einen Wider- spruch enhali der nur dutch die Annabrae   0 gehoben wetden kann w'der zu beweisende Sa ist.  Daraus ergeben si nun einige Folgegen unr  der Vor- seung ds Unsfigkeiten yon u und seiner Differenalquofienn lan'Linien d  was in Zukm iramet shweigend genomn weden tl, Unsfetieifen yon u, die durch Abndeg eines - nen Wer ?n u gehpben werden kSnne agcoen s:& IJeber die Integration einer partellen Difhreuialgleichung. au lings einer endliehen wenn 1) Wenn die Werthe yon u und  , . aueh noeh s'o kleinen Linie gegeben sind, so is aaareh  iiberh,aupt gegeben. 9) Wenn u in einem l½laeheneil  0 ism, so muss u fiberhaupt  0 sein. Einen anderen eonstanten Werth kann u in einem Itachenflaeil nieht haben, well dann die Different/algleiehung (1) niehf effiill; wre. 3) Wenn an einer Linie u  0 ist, so scheide diese IXnie Flachen- theile wo  12ositiv is yon Fltchentheilen wo u negativ ist. Oder: Wenn die Function , in einer Linie ein Maximum oder Minimum erhal in aem $inn%,dass an einer Linie naeh belden $eien die Wetthe-der Function enOwcrier abfallen oder anseigen, so kann dieses 3gaximmn ode M!nimum zwar l'2ngs der Linie constan abet nfcht = 0 sein. Die zuletz nachgewiesene Eigenschaf der Function t begriinde; sehon einen wesentlichen Unterschied der DifferentiMg'leichung (1) und der gewShnlichen Potentialgleiehnng. Noch mehr trier abet dieset Unerschied hervor in den jetzt  zu beweisenden Sazen, welehe eine allgemeine Andlogic der Function  mir den periodisehen 'mcionen darehun, iramet nnter der Voraussetzur, dass /; reell sei. Transformir man die Differenialgleichung (1) durch Eiafiihrtmg yon Polareoordinafn r, p mir dem behebigen Mitielpunkt x 0 Yo, so himrot dieselbe nach bekannten Regeln die Gesal an: (8) r--- + a. + t? rø-  0. Nimmt man nun wieder an dass u und seine ersten Differentialquo- ienen nieh an einer Linie unste.tig sind, so kann man die Gleiehung (8) iiber einen Kreis integriren, auf welchera u und seine Derivirken nieht unendlieh.-werden; dud erhiil[ we2n man zur Abkfirztmg zur Bestimmung yon o die Dittreialgleichung:  e.._e G!eichuug, die sich dutch die Bessel'sehen Funelionen inteen !', trod t allgemeine Ingral hat;: " Ueber die Integra/Son einer lrtiellen Differentialgleichung. 9 Is nun u mii seinen Differentialquoiienten im Innern des Kreises yore Radius r nirgends unsietig so kann man in (t0) die ConsMnien und B durch besimmen dass man r  0 setz und erhRlt da (o)  1  o)   ism: 0 A 2o, wo o den Weh yon  im Mite]p x o Yo des Kreises bedeue. Ddch ge] man zu der Gleichung: (11) u, 0 o() --  . Diese Glelchung welche den Weh yon u in einem beliebigen Punkte / durch ein fiber einen Kreis mi diesem Pune als Mitlpunk genom- menes Integral ausdrfick bleib glig far beliebige Radien r es Keises welche n nich so  oss genommen werden dien dass in den Krels Punkte eineen in denen e D]fferenfialquoienen yon ? unseig erden. Under dieser Vorussezung sollea nun aus der Gleichung (11) einige Schlfisse gezogen wetden. Neen wir zunacl  es sei u o  O so is i" jeden um dien Pk Ms Mielp gelen Kreis: o Es muss also auf jedem solchen Kreis  wenigstens zweimal d Zei- chen wechseM mien durch 0 gehen d.h. durch einen P in welchera u  0 k geh mindesns eine Lini%  welcher u = 0 ism. Die Pune al in welchen u verschnde mssen a' Linien sig veheil sein. Es lass sich aber wieder nich schessen dass die Pe in denen u een consanfi Weh ht auf Linien sg veheilt sein mfien; es kSnnen sowohl Pun ak LMien des Maxi- mums oder ums vork0mmen e schon d Beispiel der Die anscendene Gteichg: )  kHch unenich viele, abet nut reelle Wue- yon alehen die ein na den yon Bessel berechneten Tafeh*) d Weh ha: &o = 2 4051 .... Nimmt m ako an  d Gebie in wchem u die me- fh en Sfigkeidingungeg entlt eine solthe Aush- *) Ahlmndl ungen der maemaische? Clase der Ber'Sner Akademie 10 Ueber die Integration ether pardiellen Differenfilgteichung. nnng hab% ds ieh in  deeln e Kreis  dem Rus legen lassO, so ist abet .e Peripherie eses Kreises: . dT  0. Daraus fol dass  einem solchen eise die Function u mindestes a zwei S11en dch Null hindurchgehen muss; es muss ao jeder Kreis, dessen Rius  o  wo auch sein Miitdpnnkt liegert mag W . wenigsns eine Lie dchsclmeide, an weleher ,½ = 0 ism, vorans- gesetzt, class nnr kein Theil der Kreisfiaehe abet das Gebiet der Stetig- kei yon  hausreicht. Eftalit der  e Stetigkeitsbedingungen  der ganzen unendlichen Eben% so folgt, dass in diesera Falle die 6nendliche Ebene in Felder geiheilt sein muss, aeren Ausaehng wenins  ether Richtung enrich ism, in welchen  abwechselnd das positive d das negave Vorzeiehen hat und welche dch nien yon eander gennt sind in wdehen  verschwinde. etzt man in aer Gleichung (11) 2 'j: u'   ud o so is ' ein h weldhen die uneion u auf dem eis% fiber den das neal auf der rechen Seite genomme is desns real annimraY. Die / , bi daan, class, sowei die Gleiehung (11) galig bleib yon jedem Pk % Yo aus wenigstens eine nieh6 in sich zuracaende Linie gezogen wetden kann, auf lcher abgesehen yon einem constn Factor u 0 die neion u dieselben Were in derselben Reihebige anaimm, e die etion o mi6 wachsendem r. Is der Pun % Yo ein soleher, ia elchem u ein Mam oaer Minim eeiet, so wetden wenigsens h der aidestea Umgebnng es Pues gesehlossene Linien um denselben gele werden kSn- nen  alehen  t ist. In sowei aiess aer Fall ism, werden anf esea Lien e Wehe yon u geiade so aufeder fIgen'wie eer hen Curve yon dem Pue % 0 beu. s b ies cfion % wenn die Sfigeibggen  der gn nnead- hebert Ene eff a a Mle L'mien , alehen u eonl ism, gehln  een ezen Pk aes Maxims oder vernier. Uebir die Integration einer parfiellen Differeniialgleiehung. 11  u ergSbt Setz man in der Gleichg (2), . 1. X   Y  , so dieselbe Wenn also kn der Grenze eines endlichen Ha&enseks u  versehwin- de, so zei die vorsehende Oleiehung dass im Innern dieses Plehen- seks u. verseedene Vorzei&en hat also jedenfa an eer ie versehwinde[ wel&e entweder im Iern  sieh geseossen vedau- fen oder aueh den Rand des lehenseks seMeiden kann. Die Grenzbedingungen welche far die Integration der Gleichung (1) bei physikalisehen Problemen gewShnhch gestell werde% und dereft Erfiillbarkei gerad'e den eigenthtimlichen Charakter der LSsungen die- ser Gleiehung bedingen, sind yon folgender Beschaffenheit: Die im Innern einer beenzten Fltehe mir ihren 6rsten Differentialquofienten stefige Function  soll an der Grenze dieset Flache entweder setbst verschwinden oder es soil der nach der Normale genommene Diffe- rentialquotient  an der Grenze verschwinden, oder endlich, wie z. B. bei der freien' Ansstrahlung der Warme, es soll am Rande eiae hneare homogene Relation zwischen In den Wlirmeproblemen bedeute wenn die Noraale naeh innen posi- t. iv gereehne wird adas negMive ¾erhaltniss des usseren md inne- tch Leiungsverm[gen% also jedenfalls dne negative GrSsse. Es soll naehgewiesen wetden, dass diese drei Arien voa' Bediagungen., die letztere unter der Voraussetzung dass a irgend ein% nieht iohwen- dig constant% aber nur negative Wetthe annehmende GrSsse sei dureh eine andere Annabrae als  = 0 nut dann berriedig4 werden kSnnen, wean / eine reelle GrSsse ist. Um zunachs zu zeigen, class I; nich complex, k = t* q- vi sein kann, wean t* und v yon 0 versehieden sind, nehme man an, man babe eine eomplexe Function u.-----vq- iw geluntied welehe der (leiehung geniig: die za  eonjugSrte Function 12 Ueber die InegraJ5on einer pattiellen Differenfialgleichung. geniig dann der Gleichung: (14) u' ax +  + k'" u' ---- 0 Sez man n  der Gleichung (2) . ].: so ergib e Gleihg (9): (15) ( -- ') u  dx  = --   ie rechie Seite dieser Gleichung verschwindet fr die drei oben gesllten Bengen f die driite al]gemein so lange n a reell ist d da bier der Vorausse/zung nach k  von ' verscMeden st so fol: Wen  rein imanr ]so  reell d negaiv wr% so u mplex wr% sowohl der reelle als der imag'mre Theil ffir sieh der Gleiehnng (1) genfigem W]r knne also unsehae der A11ge- meiei u reell annehmen. 8etz man so geht aus der Gleichg (2) die folgende herrot: (16) j'f  {a  [au__ k.} dx y :- fu Die rec Seite dieset GleicMng wird wenn am Rande u oder - verschdet = O; ter der BedNgg () abet die rech Seite yon (16) w'rend die linke Sei r der Vomusseung dass k  negativ sei, esench sifiv ig we nicht dchweg u vemchde. Dies ffih zu dem Seuss% dass in den drei FHen in dem leeren r der Vorae eines nafiven a i' d a kee dere alsu  0 den ga Anfordegen gfi, falls k imanr Wir knnen das soeben esene.fgeademen zmmenfn: Ueber die Integration eider pattiellen Differenfia]gleichurg. 13 Wen ene vo 0 verschiedene Funtlon u existirt welche im Innern einer begrenzten Flche reit ihren ersten Differentialquobieten sietig ist and der Differeniallei- chung: ausserdem am Rande der Flche einer der drei Bedingun- gen geniigt: 1)  am Rande setbs  0; 2) der nach der Normale genommene Differentialquo- ien ist am Rande  0; 3) es besteh amande eine lineareRelaion zwischen  und dem nach der inneren Normale genommenen Differentialquoienten: so muss under den belden ersten Voraussetzungen k  reell und positiv sein, unter der ritten, falls  reell ist, k = reell und falls a negaiv ist = reell und positiv sein. Die Frage naeh der LSsbarkeit der Differenfialgleichung (1) fiir gewisse Formen der Grenzbedingungen, sowie nach der AnzahI der mSglichen LSsungen in den verschiedenen Fallen kann beanwortet werden, wenn man die Aufgabe der Integration dieser Gleiehung als ein Poblem der Variafionsrechnung ansieht 2hnhch wie Riemann es bei der Gleichung a% a 5k  q-  ----- 0 durchgefiihr hat. Nur muss man bier kein gewShnliches Problem der Variafionsrechnung, sondern ein sogenanntes isoperimetrisehes Problem zn Grtmde legcu. Die Aufgabe, die wit uns sellen ist folgende: Under allen Functionen u, welche im Innern eNes gegebenen allseiig begrenzten FNehensticks .1 nich an einer Linie unstetig werden, welehe die Bedigung 'erftille% class alas fiber die Fl;che  ausgedehnte Integral:  einen gegebeneu consnten posiiive Wert]a c erhlt welche am Iande der ]fiche .I entweder: 1) beliebig gegeben% nicht lngs des ganze Raades verschwin- dende Were aauehmen, oder ) durchaus den Werh 0 haben oder 3) gat keiuen Beschrnkungen unierworfen sind oderendlich 14 Ueber die tuition einer pattiellen Differentialgteichang. 4) der Bedingung geniigen class alas 'abet den ganzen Rand yon f erstreck Ingral fu-ds. einen gegebenen consLauren post- riven Werb ? erhal; sollen diejenigen g_efunden werden welche dem tiber die Fl:&che  erstreclrea Integral eineu Miuimumwerh ertheilem Dass diese Aufgabe-innnet eine LSsung zulsst ergibt sich aus fblgenden Bemerkungen: Znntchst kann 2 far alte mSgtiehen Fonnen der lhnction u nnr positive Wetthe annehmen, nnd nnter diesen muss also ether der kteinste seth. Dass dieser kleinste Werth.von l far eine den allge- meinen Bedingnngen unseres Problems en/;spreehende Form der Fune- t5on u statfinden muss nnd zwar in der Weise, class yon dieser Form aus man &rch nnendlich kleine' den allgemeinen Bedingungen ent- spreehende Aendexungen yon u, hie zu grSsseren Werthen yon  geldugS;, ist eine.I'olge des yon Riemann bewiesenen Satzes*), der unveran- der in unserem Faire seine Gnltigkei't behlt class sich u nicht einer lungs ether Linie unstetigen Function nnendlich nahern kann, ohne dass  tiber alle Grenzen waehs*. Denn geh man yon ether belie- bigen Form der Function u aus far welehe l einen endlichen' Werth hat, nnd sucht solche den allgemeinen Bedingungen gentigende, unendlich kleine Ver'&nderungen yon i far welche das Integral ,q abnimm% 'verf:,thr dann ebenso rnit der veranderen Function nrta se/;z; dieselbe Operation for so muss man sieh allmahlieh einer gewis- sen Form der Function u nthern, far welehe ein wei[eres Abnehmen nicht mehr mSgtieh ist, oder far weleh.e wenigfens eiff& ewa mSg- liehe weir, ere Abnahme under ether gewissen, beliebig klein zu wh- !enden GrSsse  gelegen sein muss, und diese Grenzform muss eben- falls den Mlgemeinen Voraussefungen genfigen da sic nicht an ether Linie nnstetig.sein k.anv nrta da die allgemeinen Voranssetznngen sich alle nut ant die Function u selbst nieht auf ihre Differential- quotienten beziehen. Diese Function u, welche die Eigensehafi; ha; dass man dutch unena'lieh kleine, den Bedingungen entspreehende Verinderungen alas Integral 2 nicht wetter oder nnr so verkleinern kann, dass die Ab:nahme kleiner dis die beliebig kleine GrSsse s is deren Existenz soeben naehgewiesen wurde, soll nun in Bezug uf ihre sons%igen -Eigensehe. ften nther unf. ersueht werden. Set, i; man an die Stelle yon : u q- a so muss dureh diese Vee- Ueber die Iniegrafion eher pattiellen Dffferenfia]gleichung. 15 ß nderung vor Allera das Ine, gTal. (17) ungeinder bleiben. Es muss also a der Berlingting geniigen: 09)  ff co  zy _+ ff '  dy -= o. Setzt man nun versht unter m a nieht nnendlieh kleine, nieht in Linien unstetige Functionen nnter h eine beliebig abnehmende Conn so kann man a yon h unabhingig annehmen, Wahread % in gewissqr Wdse sich nSt h verandern muss. Man erhal nnter dieset Yoranssetzung aus (19) die Bedingnngen far  : (20) Ausserdem habn die Fcfionen- a noch gesse Bedinngen an der Grenze zu erfallen auf welche wit spar noch des Naheren eingehen werden. Troz dieser Bescnngen bewahren die Func- fionen w a noch einen hohen Grad yon Willrlichkei welche bei der uncon  dadnrch noch bescankt wetden soll dass dieselbe mir ihren ersten Differenfialquofi&n in der ganzen Flche  end- lich bleibt. Die Zhssigkei dieset Annabrae ereb-sich daraus dass man der zweiten Bedding (20) z. B. dadurch genfigen kann dass man ffir  eine ganz wifiEich% mk einem endlichen in geyser Weise yon h abhangigen consann Factor mulplicir Funcbion ' Macht m nun in dem Inteal  fir u die Snbstution so geh  fiber in: worin: d d k x  +  dxdy. und  ee jedenfMls endliche Gsse bedeu wenn ma fiber  noch die Vorauetzung hinzuffig dass: kay + kay ) } xy endlieh se sort. N sdI abet d Yomussetznng nach die Abnae yon , sowohl far rifive Ms  nega6ve Werthe yon h einer sein als d geliebig eine Grasse s, welehe ,al aueh k gegen  ver- seha-ena Me genommen wden k d der mn  t ench abneendm h gleichzeig nnenaeh kle werde% d folieh .da  yon  nnabhang se so: 16 Ueber d/e Intelrat/on e/net partlellen D/ffrenfiMglelehung. Um die weiere Betrschtung yon der in (0) enalenen Bedin- gung fiir o, unabhtngig zu mschen, fiihre ich sn Stelle der ]hmction. a heine Function t ein miels der Gteichung: und besEmme die Consante m so, class die erse Gleichung (20) . identisch beœrieaig4 wird, ni;mlich mir liicksicht auf die Gleichnng dx dy --- c: :List dann bgesehea yon deu sparer zu besprechendea Bedingungea an der Grenze, eiae steige Funcion welche so beschffea is dass ds Integral: endlich bleibt. Durch diese Subsf, ituion 'geh die Gleichung (21) Racksicht auœ den œtir m gefundenen Ausdruck fiber in folgende: -Die Gleichtmg (23) erfor(ler nun zunachst Foigenaes: Wenn man das auf der linken Seite der Gleiehung (23) stehende Integral abet irgend einen Theil a der Flahe 91 ansdehnt, so muss dieser Theil sich der Grenze 0 nahern wenn sich der Flachenraum yon a der Grenze 0 nhert well sonst das Integral (_93) keinen bestimm- ten o(ler keinen endlichen Werfli haben warde. Bildet niaai also. der Fliehe . eine Ftiiehe 91', in(leto man yon  die Linien  nrta die Punktev in welthen u x   unstetig sind dutch beliebige Curyen Z und 6 ausschliess wetehe sich respective den Linien 1 und den Punkten p allseiks sehr nahe ansehhessen so muss der linken Seite stehende Inteal, fiber die l?liche A' erstreekt sieh gleiehfalls der Grenze 0 nahern wenn man die Curyen  beiderseits an die Linien 1 die Curyen a allerseiks an die Punkte 2 unen. dlieh nahe heranrtieken litat. Setzt vaa.n vorans was jedenfalls freisteht (lass die Function Z in der Flaehe 91 ste6g sei so l'iss sich auf dss iiber ' erstreekte Integral  q-  dxdy der Satz (2) õ. 1. anwenden indem man in deniselben setz: Bezeietmet man mir ds und der nich aem Inneren gezogenen 1%rmalen mi dl d; da d, Ceber die Integration einer pardiellen Diffrentlallelchun. respective die Elemene der Cuen  und  d der an sle gezogenen Normalen so   zu  lieg e e posive -Axe zur posi- tven z-Ax% d  nach dem Innern der Cu bezeice m ferner mi k/ } e Were des Differential- quofienien  in zwei in unmitelber Nhe zu belden Sein der Lie 1 gelgenen Pn so ergib das erw Theorem (2) . 1.: Hien beeht si& in de ]ezen Glied 8as Zeichen  auf aHe Punk 2; und lp bedeuke den Werth der Fcfion   P p. Zunachs muss nun alas fiber den Rnd s der Flache  ereckte efache Ingrat nher 2acht werden wobei abet die versiede- hen Formen der Grenzbedggen; welche oben ter 1 2; 3 4 der Fctio2 u auferle wurde2 unterschieden wetden milssen: 1) hat u am Rande gegeben% nich durchaus vechwindende Were% so ms, e e Gleichung () zei, am Rande: I = 7  1 dx dy hin, wenn man die yon I unabhnge Consnte ; ds    bezeichnet: 2) Wenn u am gzen Rande den vorgesciebenen Weh 0 ha dn ms auch  a Rande verschwden mihin: ; 2 ds  O. 3) Wenn u  Rde keyer Beschrng unrlieg% so is auch A am Rande ganz 4) We enoch d fiber den nd ersreckte In$1 fu  ds den vorgescebenen Weh F haben soll ms Z der Be- dhng gen'en: Se man der am Rande: so kn n die Conte n  besen ds  beeb cfionen  die obige Bgg identbch ffiedi sehe ualen L 18 Ueber die tnkerafon einer pardiellen Differeniatgleichung. 1 fj it dx dy. f  uds, also eine vo  unabhnge ConstanCe becleufe. eine l{ngs des ganzen Randes wil]kiirlich zu wahlehd Function. Sezt man nun die bier gefundenen Ausdriieke fr das Randinte- gral in (24) ein, so ergib sich aus (23) Ms Bedingung, welcher Function  geniigen muss: und darin haben k a nnd S f'tir die 4 verschiedenen Formen der Grenz- bedingung folgende Bedeniungen: Die Werfe der FuncfAonen it und p, wie sie jet noch-in ddr Glei- chug (25) orkoen sd nun dcha wiHkH& und dus ergen Mch e Fo]gegen: Die Fcfion u genag in der ganz c  der DerenM- gleichg: 'r  .$ kSnnen e Pe,  wdch e Oleig cht lt keen auch noch so kleen chenihefl sg eff'len,  Ueber die Integriion elner pattiellen Differenialgleichung. 19 Am ande nimm  enweder vorgeschHebene Werh% oder den Werh 0 an oder es is lngs des ganzen Rnde i Ausnae e]nzelner Pun/e   0 oder endlich lgn des ganzen Rdes eder einzee Punk abgerecMe,  --au  0 (enprechend den er Formen der vorausgesezen Orenzbedingen). An den Lien 1 gqb es nlrgends ein% auch noch so kurze Strecke wo (27) k,q = o. Far Jle Punkte we sich aas unendhcher Sahe umsehHessende Curve 6 erstreckt. Die letzte Gleiehg (28) erforde eine eingehendere Discussion: Fahr man um den Pun p Polareoordinaten ein indem man setz: so ka man, nm die Punic aer Curve unendlieh abneende nsant% er 9 eine ganz willk'liehe, endlithe nrta sefige Fcfion yon Gleiehg (28) die Fore an: oder mlt He einer pteHen nteation: = o Lira O s cos  ] , wegea der WiIrcei yon 9 folg hieraus: (29) L oder wegsens kSnnen die Pun/ einer eisperihefi% auf welchen diese Gleichg nich ell t ke au noch so ks Sck der- selben sfig ellen. Wenn m nun sls Potcrdaen in der Ebene mch, so ]asst ch diese Glei- chug schrein Lim er eHch die Gleicg () his  beliebe N'e_d - 0 leber die Integration einer psriellen Differenislgleichun. s mn also auch:   an die 8Mle der r dem Differentiaonszei&en shenden rsse U d veteh unr U enweder den teeHen oder den mi  mipHeien Theil dicer Gfe so ha man aueh: =0. Demnaeh kann m a jeder yon  ausgehenden Lie ee bange  auden, so dass unrhalb eser binge  8 endlieh hieibm*). Is nun  der 5ss We wel&en auf eser Srecke p 8  annimm so fol ds  abgesehen voq Vorzd&en f gehrig ee Wehe yon p muss, Mso / aa man wiMe aaa&, class man  gehffig ein nimm  selbst beliebig ein ma&en kann: nilthin: Lira  + i = O und daus. fblg dutch eine gsnz anMoge Sehtussweise zun&s, ds Bim Ou  0 sein mus% und hin aueh: (al) hm = Vergleieh m nun die flbiehgen ½7), (gl) mi dem am 8ehlusse des . 1. auespro&enen Threm, o k man die rgebnisse der {raehungen eses   folgenden Sstz znsammenfsen. s esir jederzei eine yon 0 versehiedene uneion u welehe im Innern eines gegebenen lgehenseks samm all' ihren DiffereniMquoienen seig is welehe im Innern desselben lehenseks einer DiffereniMglei- ehung yon der orm genfig, und welche bei geeigneer Besimmung der Con- *) Vgl. Kiemsnn 1. c. I. ) Wem n   ner edphee  dem ius e kne h Ueber die Integration ether partiellen Diff'erentialgleichung. 1 sianien  jeder der vier œo'lgenden Beclingugen unter- worfen sein kann: a)  hat am lande des Flchenstticks vorgeschrie- ben% nieht durehaus verschwindende Werthe. b) u hat am Rande durehaus den Werth 0. c) Der nach der Normale der Randcurve genommene Differentialquotient yon  ist mir Ausnahme-ein- zelner Punkte langs des ganzen Randes 0. d) Zwis%hen den landwerthen der Function u nrta des nach der Normale der Randeurven genommenen Dif- ferentialquotienten besteh mir Ausnahme einzel- her Punkte,eine lineare homogene Relation mir con- santem Coffieienten: p -- u =0. Bet dieset ganzen Betrachtungsweis% welche von der Aufabe des Minimums ausgeht, tri durehweg die Constante k  ebenso wie auf als eine der GrSssen welche mi Htilfe der sonsfigen Bedingum gen des Problems zu suehen stud, die also nieht willkiirlich gegeben sein kSnnen; und classelbe gilt daher auch in Bezug auf die Differen- tia. lgleiehung mi ihren Grenzbedingngen, auf welehe wir das Problem redueir haben. Nun kommen abet in dem Problem des Minimums noeh die belden Constanten c nnd 7' vor, welche weder in der Diffe- rentialgleichnng (26) no& in den aufgesetlen Grenzbedingungen en- halten stud, und es kS_nne die Frage set% ob es nicht mSglich ism, tiber diese Constanten c und 7, so zu verffigen dass die belden Con.- stanten k nnd a behebig gegebene oder wenigstens innerhalb gewisser Grenzen bellebig gegebene Werthe erhMten. In Bezug auf die stante a, welehe jedenfalls yon 7, abhhngig sein wird, muss diese Frage bdjat werden; was aber die Constante k anlangt so sind dabei ver- schiedene F.lle zu unterscheiden nach der Besehaffenhei der Grenz- bedingungen. Betraehten wit zunehst die under b, c, d des vorigen õ erwahn- ten Formen der Grenzbedingungen welehe in dieset Beziehung einen gemeinschafttichen Charakter habe.n so finden wit, dass weder in der Differenfialgleiehung (2.6) selbs noch in den Grenzbedingungen irgend ein Mittel enthalten is tun einen eonsLanten Factor der Funei5on zu bestimmen. Es kann also ate Constanfe c nut dazu angewandt werden um einen solehen Factor zu bestimmen nnd kann zur Be- siimmung der Conslauren/' nicht diehen; man kann also in diesen Fillen ohne .die Allgemeinheit zu beeintr.chigen die Constnte cl 22 Ueber die Integration einer pattiellen Diiferenialgleichung. seized, und da under dieser Voraussezung die ConstanCe mnmwerthe/ selbsi gleieh oder -- ya q- 2 wird, so wird es nut bstimra. went aueh immerhin uncllich viele, jedoch nicht steig aufeinandex folgende Wetthe yon k 2 geben far wetehe eine yon 0 verschiedene LSsnng der leiehuttg (26) mSglich ism. Anders verhl es sieh in dem Falle, wo die Grenzbedingang die unter 1 des vorigen õ. angegebene Forn hat. Diese Form der Grenz- bMingung lss keinen willktirliehen Factor der Funcfiion  zu, nrta daher wird der Werth yon /;a yon der Consanien c abhangig bleiben also nit ilar steig sieh i;ndern kSnnen. Diese Bemerkungen fassen wir in folgenclen Saiz zusammen: Die Differentialgleichung  q-  aueh nicht far nile Werthe yon t; doeh far eine Reihe steig aufginander folgender Wet,he dieset Constanen eine LSsaag welehe an eider gegebenen Begrenzung irgend wie gegebene, nich darehans versehwindende Werhe an- aimrot. Dagegen hat sie nur far ganz bestimmte wenn aueh une.ndlieh viele Wet,he der Consanen k - yon 0 veischie- deae LSsungen welehe an der gegebenen Begrenzung eine der drei Bedingungen b) c) d) õ. 5. erfiillen. Sillsehweigend sina dabel inmer aoch die oben ,argeftihrten Bedingungen der Stetigkei vorausgesetzk Dass es nieh far alle Werhe der Consanten /; LSsungen der vorliegenden Gleichung gibt welche am Rande der Flehe gaaz belie- big gegebene Werfle annehmen geh aus folgender Betraehtung herrot: Nehmen wit an ½[ie Constante k babe einen solehen Werh class Fun½ionen u  ' gefuntten werden kSnnen welche der DifferentiM- gteiehnng genagen und am lande versehwinden so fol, wean irgend eine andere, der Differentialgleiehnng gentig.ende Function bedet aus der Glelchung (3) õ. 1.: Es milssen daher die Randwerkhe der FnJaeion u so vielea Berlingun- ß gert {32) genagen, als yon elnarider verschiedene Funefionen u' exisi- re tmcl Funcionen  zn besdmmea, welche beliebJge landwerkhe ß aben, wircl nieh m'6glieh sein. Sind abet die Randwet4he yon  so taaffen class sie zulissig sinc[ so is dureh dieselben ale l'nncion asel noeh 'nieh v51tig besimra,  aenn zu jeder Solehen runetlon ' '4maaneeh eine beliebige ineare homogene Fune'6on dee am Rande _'ela  '  lhmetionen ' hiazu aAdi wer&n ohne Ueber die Lnteoaion einer parkiellen Dren*daJgleichung. 23  aufhSr, der Diffbrentialgleiehung zu gentigen und am ande die vorgesehriebenen Werthe anzunehmen. Hat dagegen k einen solehen Werth aass es nieh mSglieh eine am lande verschwindende, yon 0 verschiedene Ftmetion ,t zn besimmen so wird durch die gegebenen landwerhe  v511ig besimm sein denn die Differenz zweier soleher Fanetionen  %, welehe am Rande dieselben Wet,he annehmen is eine am Rande verschwin- deride 1%netSon u die der Voraussetzung zufolge iiberhaup: 0 sein mUSS. Anmerku.ng. Die Bedeutung der zulez4 entwickelen Sze noch mehr hervor wean man die Analogieen derselben in der Theorie der gewShnlichen Diffcrenialgleichungen aufsuchk Die LSsung der Gteichung:   a cos kx q- b sin x ist im Allgemeinen v511ig besfoimm, wenn ftir zwei Werhe yon x x o and x die Werhe yon  beliebig gegeben sind. Soil abet an den belden du Grenze u oder  verschwinden oder zwisehen  und u einelineare Relation beskehen, so muss, wenn a und b yon 0 vechiedene Werhe erhalen sollen, k ein ganzes Vietfaches yon -- scln. k dies aber der Fail, so kann  an den belden Grenzen nich beliebig gegeben sein, sondern es miissen an beiden Grenzen die Verhe einander g]eieh sein; und dutch diesen einen Grenzwerh isi dann  nich vi511ig besimm, sondern es b]eibt noch eine der Constanen wi]lkiirlieh, Es soil nun die Frage nach der Anzahl der mSglichen LSsungea der Gleiehung (26) far eine gegebene Begrenzung fiir nnbesfimmte Wet,he yon k nher untersueh wetden unter der Voraussezung class die Func4ion  am lande entweder selbst versehwinden soll oder dass ihr nach der Normale der Randcurve genommener Differentialquoient verschwinden soil. Diese Frage ltsst sieh wieder mi It'tilfe eines Problems der Variaionsrechnung sehr einfach eneheiden. Ieh nehme an, es sei eine Function s gefunden welche einem bestimmten Wet,he ka yon 1; 'm der Differenfiatg19ich,ung (26) ent- sprieh und es sei am Ran4e enOwcrier ,, -- 0 ode   O. sei lerner der noch nnbestimmte eonsfante Factor yon u i So besimfiit 24 Ueber die Ingraion einer porticllen Differentialgleichung. flu? d2c dy = l Dass eine solehe lXaneion iramet exisir wurde oben naehge- sei. Unter allen Funetionen v welehe nieht an einer Linie sinl welehe den Bedingungen geniigen: welche kraer am Rande eneder yerschwinden oder ganz wiIlk - lich sind je nchdem q oder  am Rde verschwindc soll dieje- 'nig%   u gefdea werden welche dem  Ingral den k]einsn Weh ehei]t. Die Exisenz einer solchen Function ]ss sieh e oben in . 5. darhun und die dingen (33) (34) zeigen dass d{ese cfio u wede dens 0 nh uch  u sei g. gs so]le die gescg der c]o  ggesch werden was gz  derseIbeWeise gesehieh e oben. Um unnS- hige Wei]aufigkeien zu vermeiden unerdcke ]ch bier M]e dieje- gen Betrachtungen welche sc gu e Segkei der Function % bezien die bier wSIieh aus den Begchungen des . 5. zu wie- derholen wgrea, d gu demseben gesulge wie dorg hren w'den. Die Begng welche  zu een lm is die: + .arz=o, vomusgesez da m ee be]iebig% nieh in hien mmeige ion is welehe die belden Bengungen e']: welehe am de enweder 0 oder willk'lieh ism. Sez m: so laden sich e Consnn mt m, so besmen, dass die BMgungen () far beliebige Funconen Z eiiltt sd. Man braucht nut za seizen  Beacht man nun d  Folge der gestellen Bedingen ',  geht dch e Subs/ufion (37, (38) e Gleichg (35) in fdgende Ueber die Int%oaon einer paiellen Dibrentialgteichung. 25 Und wenn man auf Grand des on Bemerkten e etwgen U stigkeien yon  und seinen Differenia]quoenn unberficksich 12sst, so ergibt sic aus (39) .tels der lechung (2) , 1.:  ist darin eiae gz wiliHiche Fcfion welche enweder 1)  ande verschwinde, oder: 2) am Rade beliebig ism, je nachdem u od?r   Rande schwiadet. Daraus fol nun zunachs, dass die Funcfio u der Differenial- gkichg gengen muss: (41) "u worin k  is und ferner ss im ersn Falle  Rande im zweiten Fa]le u vechwindet. Ha man die Fmmion u, gefunden so kann ma eine drie Function  suchen, welche dense]be Bedinngen genfi nut mi verndeem Wet,he yon k. Man ha nut uter allen Funcfionen v die nich in eiaer Linie unstetig sind welche den drel Bingungen gengen: d wetehe am Rande eneder exekwinden oder beliehg sd die jenige v  % zu suchen welche das Inteal: zu einem Mum machen. Die Function ua, ,deren Exisnz sich ebms% wie die der Funciouen ut u nchweisen lsst kana wie die Bcdingungea .(42) zeigen weder mib 0, noch mt eider der en u u identisch sein uad ihr Eigenschen ergebeu sick genau ' derselben Weis% wie die der conen u u. Diese lass sich nun beliebig fosetzea uad fah so zu dem Satze: Es eisiren uneadlich viele mi allen ]hren Differen- ialquoienen im [ahem eiaes gegebenen seig% yon einander verscMedene Funcionen welche m Raade des gegebeneu lchenstcks oder derea ach der NormMe der Rndcurvegenommener DiffereaiMquoiea am Rade verschwinde uhd die im gnzen Innern des lachenscks einer Difierenialglei- chung you der Form: 6 Ueber die Inegaiin einer partiellen Derenslgleichg. gengen worin dieConstanCe  zwar unendlich iete abet nut gnz Besimmte, yon der Natur der Begrenzung hngige Wet,he habn kann. Oh r einen und denselben We, vop ; echiede Funcfio- en  mSgHch sind welche am Rde verschwinden oder deren nach der Norrole aer ndcve gommener fferena!quofient am Rde erschwindet dauber scheint e agem g'figer z nichl zu exiiren. Bei den bishefigen Betrachungen d wit yon der VorsteHung sgeggen ds  der Differenialglichg e nsMne  nich geben, degen die Beenzung ein r llemal gegeben sei. Es soll je[zt die sge umgekeh und $ersuchfi ween wie sich die sgen e'mer gegeben Gteichung in welther  irgend einen besm gegebenen umerisen Weh, z.B. den eh 1 ha ir verschiedene Begrenzungen verhale. Zunc bemerken wir da die Diflbrenalgleichung (43) ihre Fore durchaus nich nde wenn man r xy zwei neue Vernder- liche einF welche mifi xy in demselben linearen Zusammenhange stehen in wetchem ei Sys[eme rechinkliger Cooran s[ehen d dam iol milb, class alle Sze fiber welche far gend ee Begrenzuscve geln e Galgkei nich verlieren wenn die Beenzungscve eine beHebige andere Lage in der Ebene der xy ha. Ha m feer ee LSsung u (xy) der Gleichg ()  +  + '  0, so kn m da sofo ne sg der G]ehg (43) bilden wena man se: ) Di Funon u x , y rd nua denln Grenzbn- gen genfigen e e con u'(xy) ar an mer Grcve wdche de Orenzce der ncon u (xy) ahich Veihal d Leimeonen de een e unlb a die Vomuetgen dies  5mg foende  wob khweig imer e g der 'gkei vora sind:' , - Lreber d/e In/grafion einer prellen Differenfialgleichung. 27 1) Die LSsung der Gleichung (43), in wlcher / eine gegebene Zahl bedeue, is im Allgemeine/  vStlig b'esimm, sobald die Werhe.derselbn'an der Be- grenzung gegeJen sind.. 2) Es exisiren im Allgemeinen keine yon 0 verschie- dene LSsungen , welche am Rande verchwinden. 3) Diese beiden Behaup<;ungen erleiden Ausnahmen fiir gewisse Begrenzungscurven deren Anzahlktn- entlich ism; welche so bestimmi werden kSnnen, dass sie einer beliebig gegebenen Curve ahnlich sind., Es exisiren LSsungen u welche an diesen Curyen verschwinden dagegen existiren keine, wetche an diesen Curyen beliebig gegebene Wetthe ehalien. Anch sind die LSsungen  nich{ vSllig besiimm dutch die an solehen Curyen gegebenen Wetthe. 4) Ebenso existiren im Allgemeinen keine yon 0 ver- schieden LSsungen deren nach der Normale ge- nommenener Differen;ialquokien m Rande ver- schwindet, oder bei denen zwischen dem and- werth selbst und dem nach der Normale genomme- nen Differeniialqnotienen eine gegebene lineare homogene Relation besieh. Abet aueh bier gib es, wie un.er No. 3., Ausnahme'curven. Ich wend6' reich nun zur Durchfiihrung der Integration der Glei- ehung in einigen FHen nna zw mi* sokhen Grenzbinggen wie e ia physalisehen Problemen verl weraen. In physikaehen Pro- blen ist iramet die Beenzg des aehensac,  wdchem u gefden wekden sotl, gegeben d abet e nsnte  bleib e Veagg vorlauag fei. Es rd narlich das Niehsfiiegende sein neue CoorSnaSa  an Stelle der xy einznfahren so dass e Been- zung dutch an Wehe eer der nenen Crdan ausge- draekt wird. sons vei weraea dabd solehe Subshn6 hen Mch een, i Menen die M  e nenen Vbien .eg.. dch Gti&g v der Fore: .9 Ueber die Integration einer part/ellen !)ifferentialgleiehung. solehe SubStitution n':imlieh ander der erste Theft der Gleichaag (1) seine Form nieht, nnd mina erhlt die transformfife Gleichnng: (2)   ß -q +  + ?' ( + i-) ( -- ;7) : o. Se;zt man far f e/ne Exponentialfunction, ftihr man mir andetch Worten Polaxcoordinaten el% so kann man mir H'alfe der Bessel'- sdhen Functioned die Differenfialgleiehnng (2) 15sen far Fliichen, welehe yon eoncentrischen Kreisen und yon radialen Liniea begrenz shad. Der Umsfnd auf dem in diesera FaJle die MSglichkeit der LSsung benat ist der, dass sieh yon der Differenfiatgleiehtmg (2) parieultre Integrale finden lassen welche alas Proeluct sind aus zwei ]'anc4ionen, deren ehae nut yon , deren andere nut yon  abhangig isL Man kann-sieh nun die Frage stelle% welches die allgemeinse Beschaffenheit der Function f ( q- i) ist bei welcher aleset Fall einrit, nnd bei der dann ein ahnliches Verfahren wird eingeschlagen werden-kSnnen. Es wird in diesen Fallen .wenigstens iraruer mSglich sein die LSsung des Problems yon der Integration gewShnlicher Dif- ferenialgleichungen abh2ngig zu machen. Um diese Frage allgemein zu nntersuchen, nehme man an es gebe eine der Gleichung (2) gentigeade Function  yon der Form: (3)  = in weleher X allein yon , Y allein yon  abh2ngig isk Substi/mirt man diesen Ausdruck-in die Gleiehung (2) so kann dieselbe darch Division mir X Y auf die Form gebraeht werden: I d:X 1 (4) x aa +  a;F -k ;/" ( + i) ' ( -- i) = o, _nnd diese Gleiehung kaan, wie man sieht, nnr nnter der Voraus- .sezung berriedig4 werde% dass das Product f ( q-i,)  (--i) sieh als die Sqnnme zweier Functionen H darstetlen lgss deren eine nut yon  deren andere nut yon , abhangig is4, also: (5) F ( + ) 0' ( -- i) = . + . ]st abet diese Bedingnng' efiill dann erhgl man jederzei zwei gewShn]iehe Dierenalgleichungen zur gesfimmung on welche wenn man mir 2 eine wi]lkiirlic]ae Consnfe bezeic'kne Form amlehmen: dX ae" + ½-z+ z) X o, (6) Um abet ale allgemeinste Form der nnon œ zu auden, a, er Beaiang (5) genag, aifferenf man aiese eiehnng artder in Bezag auf  ma(1 in Bezag aaf /, wo&rch die reeh .%ie A(leaseh .versetaiadat. Ma egtt so die teitmg: Ueber die In%maion einer prtiellen Differenilgleichung.- 29 f'" ( + i) '" ( -- %) f' (q-i) -- q' (--i)  eine Gleichung die nicht anders efffi11 sein karma' 1 wen beide Seien eer d derselben und zwar reellen anen gleich sind; also: (7) f"' (+i) = af' (+i).  dem specieHen Falle in welchera a  0 is[ wird [ eine ganze rationMe cion des zweite Grades und da man x und y eben wie  und  dch Addition willkIier nsann verndern kay: ohne die Verhlsse wesenthch zu andes, so kann man seen: Die rven  denen  consan is bildcn ebenso wie die  denen  consent is ep Sys[em coocaler Prbeln welche einmder rech wklig schneide deren gemeJnsmer Brepk der P x y  0.is und deren gemescflche Axe, fal A ree ist mi der x-Axe zusammenfL Auf den absoluen Werh yon  komm hierbei nicht el an, well dadurch  nur d gemeinschailiche Mass der Gi6ssen    besfimm d  so dass wir beschade der Allgemeihei seen kSnnen. Die G]eichen (6) wetden er dieser Voraussezu: f dX  + (%- z)  = o. Ob man in der 11gemeinen Gleichung (7) a osiJv oder snmm is ziemHch gleiehglig weil dureh die eine dieser An- nabmen nur ee Verauschung der Vfiblen   der anderen Annhme berk wd. Nehme w dher a osiiv und sezen a = erhlt ma wenn mn ees der paulren .Ineale der Glei- ehung (7): Ae +(+) + B  Ae -+'ø + B fr die Fefion f(+) nimrod, gewShnliehe Polarcoordinan, w a ' das beknn &arch die Bessel'schea Fefionen 15sb ProMera  w:end d lgemee Ingral der Oleichung (7) welches sieh in die Form bFmg lss: f(+v) =   (i(+i) + ) + , uf die etpfisehen rdin  also einer Beeg eneder dutch eine Epse oder dreh zwei ocMe Elrn er dch die gen nfocaler Epa uad rln enpfichL Oe e gemehei gnd wie zu beeiatrehfigen knn  dea nn x+iy  f(+iv) = si(+), O Uebe die Integration eider pargiellen Diffeen!ialgleichung. einer Drehtmg-des Coordinatensystems x y enksprechen warde. Bei dieset Annahme wird nun: ?(+' TY'( =- und demna nehmen die Gleichungen (6) die Form an: f ' (Aak * s*8 -- Z) X  0 + (cos z) Y:O. mi sind alle Flle erschSpf  welchen eie Inflation auf Gnd der bier voiausgesen Eigenschten mSgch fs. Vn den Gleichungen (9) bin ich his jezt nicht im Stand% ale in eer auch n einigeaen fibersiXtH&hen orm auzusllen  hSe man solche gefunden  so wren in dem Fe wo die Beenzg nut dch ee oder dutch zwei conlocale Elllpsen gebflde is e beide Con- sann k und 2 so dische F&ion yon  d% anderersei X f die den Grenzen enfsprechenfi&n consann Wehe yon  den besondren  Gren- dX gleich NuI! werd% w far dingen gena z. B. ss k und Z ei Sem yon zwei ksqendenn Gkiangen ergibL Aeiche Vhlsse keten ach bei den eichg (8) auf, deren Inteafion sich dcahren ss d die ich wiewoM die Formeln keine bendem efache GeslUanhmen miheilen H wd bei eige nich unins agen fiber die verscMedenen n der Beung zu erlen sd welche  Mien 'nlien Problen in gleicher Weise aufreten nd well sich lerner daei) Ms an' em Bekplel die cg eer llkrhn Fction Variablen nach den vechiedenen sgen der Glelchung (1)  (e-  'e Sglichkei voragese) Ueber die Ineaion einer pattiellen Differenfialgleichung. 31 Parabel bis zu der im Unendlichen gelegenen; e?enso, wenn  yon 0 bls q-  oder yon 0 bis -- c geht alle Parabeln der anderen Schaar. Mir diesera Umstande dass man jede Parabel zwelmal erhalt, hngt es zusammen, dass, 'wie _die Substitution (10) zeig% jedem Werthsyshm  nur ein einziger PunkL xy enspricht wiewohl zwei Parabeln sich in zwei Punkten schneiden.- Es reprsenfiren abet die Werthe denselben Punkt wie die Werhe -- --7, wPhrend die belden Werh- sysme   --7; --, 7 den zu  in Bezug auf die Axe symmetrisch gelegenen Punkk bezeichnen. In Bezug auf die Begrenzung sind 3 FMle zu. unterscheiden: t) Die Begrenzung ist gebildet dutch zwei Parabeln yon denen die eine der einen die andere der andern Schaar angehSr. 2) Die Begrenzung ist gebildet von drei Parabeln zweien der einen and einer der andern Ar, so dass das Fl.:iehenstack ungefahr die Gestalt eines Rings%mnentes hat wobei dann yon der einzelnen Parabel zwei versehiedene BSgen in der Begrenzung vorkommen. 3) Die Begrenzung wird durch 4 Parabeln, zweien aus jeder Schaar gebildet, so dass das Gebiet die G.estMt eines krummlinigen Rechtecks hat. Dieses Reehteek darf abet nicht so beschaffen sein class es einen Theil der Axe einsehliesst, well sonst. die verlangertn Begrenztmgs- parabeln auch noeh dutch ads Innere der Filehe gehe.n warden. Die Integration der Gleiehungen (8) lasst sich nun naeh bekann- ten Regeln mifelst einer hypergeometisehen Reihe ausfahren, welche allerdings sich in imaginrer Form darsfell; de.Ausdruek der leihe in reellet Form scheint nieht ganz einfach zu sin, und ieh will daher nut die in reeller-Form darstellbaren besfimmten Integrale anfahren dm-eh welehe sieh die Gleichungen (8) inegriren lassen and welche, wenigstens far reelle Wet,he yon *, stern eonvergiren (far imaginare Wet4he dieser Variablen, die uns hier nieht interessiren, muss eine kleine Modiiieation eintrefen). Bezeichnet man mir die par4ikularen Infegrale der Gleichung (8) so ergibt sich: 1 X'-- I--s) ½.s {k'-'