Ueber die Theorie der terngtren cubischen Formen. by Clebsch, A.; Gordan, P. in Mathematische Annalen volume 1; pp. 48 - 96 G6ttingen State and University Library Terms and Conditions The G6ttingen State and University Library provides access to digitized documents strictly for noncommercial educational, research and private purposes and makes no warranty with regard to their use for other purposes. Some of our collections are protected by copyright. Publication and/or broadcast in any form (including electronic) requires prior written permission from the G6ttingen State- and University Library. Each copy of any part of this document must contain these Terms and Conditions.With the usage of the library's online-systems to access or download a digitizied document you accept these Terms and Conditions. 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For availability and pricing, please contact: Niedersaechsische Staats- und Universitaetsbibliothek GOttingen Digitalisierungszentrum 37070 GOttingen Germany E-Maih gdz@www.sub.uni-goettingen.de GOttingen State and University Library 48 Ueber eine Gafimg yon Curyen 4  Ordnung. wiire yon den beiden Punkœen c d man die Punke a b er- halen hiitbe, und Wenn man durch zweiPunkte ab yon eine gerade Linle legS, welche S noch in den beiden Punk- ten cd riff so schneide der,Kegelschnlt G welchen man dutch c d und die Ecken des zu a getxSrigen Dreiseits beschreiben kann Snoch in drei Punken welcheAieEcken des zu b gehSrenden Dreiseits sind. Die oben benuz UebeHeg ver]ie ie Gligkeit wenn a und b Bepe eer d deelben Doppelangene sind. Dn ber' ar der zu a gehSge Kegechni.L in b d umge- keh und beidc Kegelschni sind also BeFdhrgskegelsce die in en n been wo sie S reffen. Da sie aber in ier feren Beutg zum gleichen Sysm gehSren mssen sie auch demselben System yon BeFrkege]schnin angehSren. Nach einem Saze yon Her Hesse (Crelle's Journal Bd. 49, p. liege so e Berunpe eder auf einem Kegelschk. Es ri daher zu dem obigen Saze noch die Ergnzg hzu: Sind die beidenPunke abBerfihrungspunkte einer Doppelangen% so geh derKegelschni den man um die Ecken der zuge- hSrigen Dreiecke legen kann dutch die nmlichen belden Punke a b bindutch. Da e Gleig yon S auch gescheben wetden kann: wo H die Gleichg:  A A A  k A A: A  k A A A   A A A  0 eer Cve drier 0rung eice, so sieh man dass S yon einer Curve drier Ordnung berfihr wird in den Ecken enes Vierseits. Da das Viersei durch ee Tangen an K ein- deug bes , so fol ds le cuNen r Ord- ng dera eem Syse gehSren. Die er areende Crve H hak nh ee ondere euung. In der a]lgemeen Theorie i ee Zheorm a der Symbol ism: f'ren  bier n Ack (9)  u e, so erhaln wit, ab- gehen yon eem neschen Fair: wo die Sine amget is fir die {ionen oe Wkder- holgen der gen 1, 2, 3, 4, 5 zu je dreien, d wo (ul) die DmanU yon 4, Az d der Form ux + u=x= + u=x bezeie.   ffi u % % e 0ooran der !,ine A so geht .wie  sie S r N ,.  A, ee }ieNge Tangeff des Kegel- Ueber eine Gaung you Curyen 4 ter Oralhung. 49 sehnites K darstellt so folgt mi/; Riieksicht auf die a. a. O. gegebene Beaeutung yon S der Satz: Die Pnnkte aleten erste Polaren yon einer gegebenen Tangenre des Kegelsehnittes Kin sol- ehen Punkten geschnitten werden, class die in den Schnitt- punkten an die Polare gezogenen Tangenten sich in einem Punkte schneiden, liegen auf einer Curve aritter Oralhung, welche S in den Ecken des zur gegebenen Tangerine gehS- rigen Vierseits bertihrt, Bezeiehnen wir mi  einen beliebigen linearch Ausdruck der Coor- dinaten so sell die Gleœchnng ein gauzes Netz yon Curyen ftinfter Ordnung dar dessen Curyen alle in den E&kpnnkten eines Fiinfseits S bertihren. Die Eckpnnkte zweier Ftinfseite gehSren znm gleichen System yon Beriihrungspunkten. Denn da die Eekpunke dutch einen nnter ihnen eindeutig bestiramt sind, so miissen sic alle zusam- menfallen wenn man einen Ptmkt des einen Ftinf'seits dutch setige Aenderung mir einem des andetch znr Deeknng bringt. Zum Beschlusse dieset Betrachttmgen will ich no& den folgenden Satz anfahren: Wenn eine gegebene Curve vierter Ordnnng die Eigen- sehafk hat dass man ein vollst;ndiges Ftinfseit beschrei- ben kann dessert Eeken alle aufihrliegen so kann man sie betrachten als Covarianteneurve S zu einer anderen Curve viefret Orrlnnng yon der in õ. 1. eharakterisirten Art. In der That kann dann wenn mir At... A s die Gleiehnngen der Seiten bezeichnet werden die Gleichung der Curve stes in die Form geset werden: wo die ' ... 0' bestimmte Cfficiengen sind. Die Vergleichtmg mir der Form (11') der leichung yon S zeigt abet dann sofor, dass dieses die Covariante S ist zu der Form: Es gelten somit alle bier bewiesenen Eigenschafen yon S allgcmeh œr jede der Curyen*der ira lezen Saze bezeichneten Ar. Een Satz hebe ich noch hrvor der aus dem'Vorigen sich soœor ergibt: Wenn man einer Curve vierer Ordnung ein Ftinfsei ein- schreibenkann sokann man ihr unendlich viele einschrei- beny cleren Selden alle einen Kegelschnit beriihren. Nach einer blossen Abzhlang kSnne es scheinen dass es sts mSgli9h wre einer Curve viere Ordnung ein solches Ffinfsei ein- Mahematich½ unalen t. Ueber eine G'ttung vox Curven 4 , Orelnung. zuschreiben. Der vorletzie Satz zeig, dams dies nicht richfig ist denn eine allgemeine Curve vierer Ordnung mtisste dann yon einer anderen mi nur 13 Constanen abhngen, was unmSglich ist. Ausnahmef.lle. Die Resultate, welche in den vorhergehenden õõ. erlang sind, stiitzen sich a die Voraussetg; dss de KegelscMi K nicht zer- O, lit. Wir wollen n noch in Kize e Aendegen angeben welche eintreten, wenn diese Vorussetzg nicht mehr g'g ist. Der Kegelscitt KmSge zcMt bestehen us zwei Punkten a d b. Dmit dies der Fall sei ms die Deternte der p ver- schwden. Die Coordinaten dieset beiden Pune gen'en dnn den Gleichungen: abi,O  lm 123 welche sofo asagen, dass die erste Polare yon aim Punkte b und die yon b im Punke a einen dreifchen Punk be- sitzk d. h. dss diese Polaren in drei gerade Linien zer- fallen. Beziehen r n einen Put durch sere Coordan xyz uf ein Dreieck dessen Ecken x0 y0 und x0 z0  den Punkten a und b resp. liegert, whrend die dMe Eckc eer der Pe kt in welchen sich die Polite yon a d die yon b schneiden so is e Gleichung der ersten Polare yon a u  0 wo n s eine bre Fore der Varibeln x und z ist d ebenso ist die Pole yon b u  0 d  enal nur e Viabe x und y. Wenn ' also die gewSliche Bezeichnweise der &in Differenialquoienn yon u anwenden so is 223  332  t1123  0  und die Gleichung der Curve kn  di0 eiachere Form gesetzt wetden: (12) a  by   cz'  4Kxy s  4c'xz s  6b  xy   6c"2z  = O. Berecet m un den Amck yon S nach der yon Herrn Aron- h old gegenen Damtetlung, so fol t Becksichtigung der obigen Gteigen d mir olag ees ZaMeacrs: Der e Facet u -- . . is e Hesse'sche Dean der biaStea Fo u der zwei esetbe vin voa '%. Wit sehen ako dss bier die Covriane S in zwei Linienpaare zer- fll di ihre Scheiel in a und b habe und die cyclisch- projecvischen Linien sind zu den Linie welche die ersten Polae yon bund a bilden. Wo der Adck cycch-projec - Ueber eine Gattung von Curyen 4 t' Oralhung. 51 tivisch nach Herrn Clebsch (Crelle's Journal Bd. 68, p. t67) ge- braucht ism, um die bekannte Beziehnng anzudeun, in welcher die Linien der les s e' schen Determinante zu den Linien der Form selbsi sfhen. Es ist nun aus der Theorie der binKren Formen driifn Grades bekann dass durch Einfiihrung der Facren der Hesse'schen Co- varian als nener ¾ariabelen die Form sich darsiellt als Summe zweier Cuben. Sez man also '5t2- ut'.,2 2__o = Y Y,, wo Y Yo. lineare Ausdrtieke in x nnd y so wird und thnlich geh; % tiber in = + . wenn wit u3- ua  %os  Zt Z2 seen. Durch Integration ergib sieh hieraus far , die Form: so dass sich auch jez noch  als Summe yon fanf Biquadraen dar- stellen lssg. Aus dieset enen Darsellung lsen sieh noch unendlieh xivl andere ableiSen. Man kann ngmlich entweder die birrre Form oder die Form wieder auf unendiieh viete Arden Ms Summe yon drei Biquadran dar- sfellen, und erhl dana neue Ausdriicke f'tir ½. Die in einer solchen Darsfellung angewadfen Linien scheiden sich in zwei Grnplae yon zwei uncl drei Linien. Das .Linienloaar der ersten GrUlOlae hat seinen Scheifel in einem der belden Punke a, bund is ideniseh mir dem yon bier ausgehenden Linienloaax yon S. Die drei Linien der zweifen OrUplOe gehen damn dutch den zweifen Punkf. Die in (14) gegebene Darsellung wird unmSglich werm die Po- late yon b z. B. aus drei Linien besfeh, yon welthen zwei zusammezz- fallen. Darm kann man % nich. mehr auf die oben angenommene Form bringen sondern muss seen , ttieraus folg4 f'tir den yon y abh;4ngigen Theil yon u die Form: Dagegen lasst sich u sogar als Stunme yon vier Biquadraten da'ttellen wenn di Polare eines der Pnnlde a, bdes le/;zteren z. B., aus drei zusammenfallenden Linien beseh. Denn da % dann in die Form ge- bracht werden kann so den Ausdrnek 4* I7eber eSne Gattung yon Curyen 4 r Ordnu-ng. der sieh durch den oben schon angewanden Process noch auf unend- lieh vide andere Fonnen bringen lss. lgine Da/stellang der Gleichang der Curiae als Samme yon vier vierten Pofenzen kilt aueh dann ein, wenn in aem Ausdruek (14) di.e ons4anfe 21' versehwindet. Dieset Fall nnterseheide si.eh abet yon dem vorhergehenden dadureh aass die Gleichnng , -0 sieh nnr anf eine Weise in diese Form bringen ltssL Denn eine zweite kiSnnte nut daraus hervorgehen dass man die Summe zweier der vorkommenden vieren Potefizen noeh in anderer Weise in der gleichen Form ans- driickte. Dies ist abet unmSglieh; denn wena eine binSre Form vier- ten GraAes als Summe yon zwei Biquadraen dargestellt wetden kann, so ist dies nut auf eine Weise mSglich. Was nun die Bedingnngen dieses Falles betri so erkennt man leieht das% wenn man die Schnitlounke der zwei Linienloaar a' b '  a" b" die Polaren des Punktenloaares a' b' uad die des Punkten- padres a" b" anbesfimm wetden; and umgekehr wenn dies der Fa ist so zeig4 die Gleiehang (14) dass A' 0 isk Es finder daher nich ant die Gleichung s sondern auch die belden andern 27 a' b, u.,, : O, Wena anderersei diese Gleiehungea bestehe= so zeig die Uner- suchring am Beginn dieses õ. dass a,b, a',b', a"b" Doplodpunk4e yon S sein massen d. h. dass in der That vier dieser Pankte die Schni;trpnne zweier Linienpaare sind welehe yon den belden anderen ausgehen. Die Gldchungen oben abet sind am' mSglieh wenn die Aufti3s.rmgen liefern yon der Form we ; belieBig ism. Darm kam man in der That auf drei Arden  so besimmen dass der Kegelsehnit K ein Panktenpaar wird. Auflbsungen ß yon dieset  sezea abea- bekamlieh voraus dass ansser der Deter- minate der .leiehangen aueh noeh s'znmliehe erste Unterdetermi- naaen versehwiaden whrend mindestens eine zweie Unterdeer- minan-ieh gleieh nI1 sein d,aa4.  (Vergl. Balzer Deerm. p. 62.) 0true mieh bei de, a madetea leieh zu iibersehenden akeniterungen aufznhalten' die noeh einreen kSnnen, will ich noch den Fall betrach- ln class aer Kegelsclanit/r zerfillt in einen doppel zu reehnenden Punkt a. Dana besehen die !ei&tmgen Uther einc Gung you Curyen welche aussagen dass die Curve einen drei'fachen Punkfi hat in a. Dass auch der umgekehrte Schluss berechtig ist, ist klar; es ergibfi sich hieraus der Saz: Wenn cine Curve vierer Ordnung einen dreifachen PunkS; haben soll so muss ersfiens die*' Defierminanfie.Averschwiden. Dann sind die Unerdeter- minanenProducejezweiervonsechsGrSssen2i . Es m/is- sen dnn zweiens smmliche Determinanfien zweien Gra- des verschwinden welche man aus diesen Pi, blden kann. Dieser Saz is ein spec]eller Fall eines allgemeinen welcher far Formex gemden Grades yon beliebig vielen ()Varibe]n gi]k Soil eine solche Form 22t Grades eine (2--{-1)fache LSsung besitzen, so muss ein System yon (z2) Formen pt' Grades gleichzeig annullir werden wo (np) -- .-kl... q-p--1 Diese Zah[ is abet die 1.2 ...:p Anzahl der Glieder einer ]orm pt Grades. Aus den aufgesf, ellken Glech'ungen kann man also die Variabeln eliminiren:, und erhil ers;e Bed'mgung class eine Dekerminane verschwSnden mus% wclche der :t, die wit taler betrachtete% ganz analog gebilde JsL Die ersn Ur. tcrdeterminanten dieset Deerminane sind daa. Produee je zweier yon (n, p) GrSssen die man ats die Cofficieen einer zugehSrigen Form 10 t' Grades auffassen kann. Wcnn diese z. ugehSrige Form eine pt Potenz eines lineaxen Ausdrucks ist so geben die Cofficienen dieses Ausdrucks die Werkhe der ¾ariabeln f/it wclche die (p-q-1)fachc LS- sung saffmde. Die gesuchfien Bedingungen lassen sich also auf: s11en wenn man die Bedingungen angeben kann dass eine Form pt, Grades die/t Potenz eines linearen Ausdrucks ism. Heidelberg den 27. Jani 1868. Note on the Solution of the Quartic Equation .U-t- 6H= 0. By A. C,r,.y. * If U denote fJae quartic function (a, b, c, d, e) (x, y), H its ttessian -- (ac -- b 2, 2 (ad -- be), aeq-2bd--3c'-, 2(be--eel, -- (x, y), a d fi con hen we may find he linear fcors of he c- fion a U  6H (or wha  e same ng solve he equation a U  6H  0) by a formnl lmost identical h t ven by me (Fif{h Memdr on Queries, Phil. Trans. . 1 (1858) see p. 446) h regd  e ofiM qnaic fnncon U.  fae (reprodu&g e vesfigaion) if I J are e wo in- vailrots, M  , $ e cubicovariant  (ad+3abe2b a, &c) (x, y)S, then he idenicM uation JUaI*H + 4Ha:   may be wfien (1, 0,  M,M) (IH, J =   I  , whence if are e rls of he equaon (1, O,  M, M) (, 1): 0, or wha is he se g os  M(oI)  05 then he nctions e each of em squares: wring so fh idenfilly X  + Y +.Z e = O, the expression aX+ 11 be  sue ff onl ++  O. (To see is observe   vue of e efiuafion X+ Y=+ Z== O we have X + i Y, X { Y eeh of em  sre, nd ihen . X+ Y+ z On he soluon of  qu&rfic equation. a peect square, and since he produc of he fo deren values is a multiple of (aU 6  (his is mo reily seen by obserg a for'U+ 6H= 0, the irrationM expression oifing a factor vanishes identically) it foRows that the expression  question is he square of a lear factor of aU + 6 I% thus appears tha he radicals (oer han those asing from the solution of U = 0) contaed in the solufon of the equation e he hree roots Cambridg% 2  September 1868. Ueber die Theorie der terntren cubischcn Formen. Eine typische Darstellung der ternarch cnbisehen Formen hat auf Grand seiner Erweiternng der ttermiteschen Theorie der ,formes assoeides/ Hr. Brioschi in den Compes Rendus yon 1563 erste ttalfe, p. 661 gegeben. Der vorliegende Aafsatz hat den Zweek, die Resulfate des ttrn., Briosehi, oder vielmehr eine der seinigen hnliche typische Darsllung aus der Theorie der ternaren cubischen Formen ztt wickeln und die dabei aufrefenden Gesalen mir dieser Theorie in Zusa.nmenhang zu bringen. In diesera Sinne wird alas Folgende viel- leieh ftir Diejenigen nicht ohne Interesse sei% welche der Theoqe dieset Formen ein nheres Stadium widmen. o 6rumlformeln. Wir adopiren fin Folgenden gSssentheils die Bezeiehnungen des lra. Aronhold. Seif die gegebene Function drifter Ordmtng yon Df af *) AIs zusaanmengese/ze/kmc/5on benuzea wit gf / 1111d haben dann nacl Aronhold (indem nut alas Vorzeichen des Coefficienen yon ;t ge'mder ist): wo ,4": 2 Tf -- S,4 , Benutt ,an also dieq?orm und *): Dieselbe J[19zung soil bei anderen Formen angewand4 wereleto Ueber ?ernre Formen driPten Grades. 57 G = =u.s.w. so Af_   (zx) . A +  (, x). f. Als Covsfin secMen Grades whlen w diejege Verbdg der Covariann sechster Ordng t Prucn yon CoveanOn it- r 0rg,  welche Hr. Brios chi (Crees Join. Bd. 63. p. 33) ufmerksam gemach hat d wclche f e zusammengcsetzte c- fion gebfidet der Oleichg gena:. Bezeicen r symbosch f dutch a  = b?...,  dch a3= fis ..., und berhaup dutch  qr) die Determinane 2 -bp qr3, so hat m aus fund d zchst die drei Covqn sechsr 0rd- ng: ' '" = . (f?. Dieselben wetden dutch  ausge&-ckt t H'fe der Formeh: 3 + Tf ,,, Aus  A, f setz sich die Covafiaae newgen Grades zusammen: welche der Gleichg genfi: r die Dcinfie yon [ wen wir (yon Aronhold  Vor- zeichea abweichend) der auch als zugehSge SO ds _ = () Ak zugehSfige Fo secn Gres ' m s der Form , wete glch N ge e Ce f= 0  Lencrn U, Mss die ß =+ 58 Ueber tern:&re Formen driPten Grades. welche, wie man sich sofor4 iiberzeu die. Gleichung befriedig½*): Aus ihr entspring4 in Verbindung mi Sœ :T/ die Hermifesche zuge- hSrige Form nennten Grades: Was diejenigen Zwischenfomen betiff welehe ftir die z trod die  yore zweien Grade sind so enbpringen aus der yon Aronhold benutzen  ausser H noeh eine drite K und zwar hat man sym- bolisch: und ftir die zusammengesetze Function ]f-- Zz/ finde man: r- z   -- 2 Z H q- Z  K Hr-, =  (,) (;,--% 4-  (:% r_, = ,? (;% 9 4- (;% .,(;%  4- f (,%  õ.. Lineare Zwischenformen. Die folgenden Untersuchungen beruhen wesentlich auf der Theorie derjenigen Zwischenformen, welehe in Bezug auf die Linieneoordinaten  .,, % yore ersten Grade sind, und welehe daer kurz lineare genann wetden reSgert. Die einfaehse yon diesen is die evidente Zwischenform Eine nachsbeinfache enksteht indem man did Determinante -der u mi den ersten Difibrenœialqnofienten yon fund Z bilde wir bezeich- hen sie dutch l)ieselbe is vom vieren Grade in den x und ebenso yore vierfen Grade in den Coeftleienfen. Man hat offbnbar 6¾ --0; daher ist N eine Combinane und *) Zum Beweise dieset und ahnlicher FormeIn diehen folgend s'ae, welche bier ohne Beweis angefiihr sein mVgen, una - welehen das Zeichen  dieselbe Bedeutung wie bei Aronhold Far ede ½ombinante  des Systems Jede Form , fiir welehe*5p verschwinde, gentig der Glei- Der Beweis dieter Formeln, im Verein mi einer neuen und abgek'drzten Dar- s11mag der Aro:ahold'cJaen Theorie wL-xl n einem andern Ort;e gegeben wetden. Uebr iern-re Formen driiien Grades. 59 (2 v.r- =  (z). v. Aus N ensprin die weiere Form gleicher : (3) q=  Diese isi ebealls ee Comn; sie is vom sieben Grade in den x vom achten in den Coefficienien rd des letzrn Umsds wegen hat man (4) q._ =  (,z). q. Die Form Q lasst sich a eacheren earen Zscheormen znsmeetzen welehe abet nicht mehr Combn sind. Die symlische Dsllg (1) yon  liefe ch far Q de Ansuck: Die belden Thefie eses Ausdruc rseheiden sich n dadch yon eander dass a,b mir a veausch sd. Bende  zu- nact den eten Theil so kSnnen   i die Mbe Summe der Ausdrficke seen welche dch Veachen yon a d fl ?tsehen eser Theil is also: Aber nach eer beka oft zuwendenden Idenfi ism:  nnd der obige A&uek veandel sich also in: Verc man a  a,b, so 'geht f  , "' h ' (. 1.) fiber, d man.ha ako  den zwein. eil yon Q: 3. axb (abe) (abu)--3'. u. Indem m n ' d "' dch  aus&fic (. 1.) erlt man far Q folgende Dste11g: d e neu aetenden leen Zschenfoen L, M sind dur die Gleichen dei (vgl. . 1.).: Diese bei&n Formen shd e  yon der en Orang  den x d f die Coeffieienten befiehgswee yon den Orgen 5 d 7. Sie shen h aeher Beehg  ehaer, wie f d e soleh% oder  ist: 6O Ueber erni%re Formen drif,;en Grades. Vergleieht man hier die Coeffleienten yon fund ,4, so finder man: G (i) L r_ z q- it Mf_ .,t = G  (;). L G(Z) L_,- M;-z = -- G-(:t). 21I, oder dur&h Aufi'6sung: Man sehliesst hieraus tinier Anderin, indem man die Glieder vergleicht, welehe l zur ersten Poenz endhalbert: Gleichungen welehe im Folgenden of zur Anwendung kommen, und leieht direct zu beweisen sin& Die ersien Theile yon L nnd M h;4ngen tibrigens mir 0 nnd K genau zusammen; sie enstehen, wenn man die Ausdrtieke bilde au i a% «' --' Auf -hnliche Weise kann man aus 9, H, K 6 Formen bilden, welche, wie man leich sieti, sich in œolgender Weise dnrch L, 2ti ausdrticken: (9) 2  ? --L + 2Z'u, = 21/+ Man verificir diese Gleichungen soœor dutch Anwendung des Processes Transformationsformeln. Wir bedienen uns jezt der linearen Zwischenformen zu e'mer typisehen Dars4ellung der Funefionen f, zl ee. Iadem wir.diese Func- fionen mi den Argmmenen y gesehrieben denken, f(yS), Ueber ternare Formen driten Grades. 61 transformiren wir sie mir It'tilfe yon tinearen Formeln deren Coeffi- denten yon den x abhingen. Setzen wir Die anzuweudenden Transformaiionsformeln sind dann folgende: Der Factor G'link ist die fr'tther durch G (x 2) bezeichnee Func- tion wenn man darin z/ fiir z nnd ffiir Z setzt also G(zl, f) die Argamente yon  sollen in diesera Fatle iramet ausgelassen werden. Um die Gleichungcn (]0) aafzulSsen, ist es gut zun2chst fotgende Formeln zu bilden. Sei auch 01) M Man hat dann nach (6) (12) 2: v f, = Die ersten Glieder teehis in der zweiten und driPten 01eichung sind direct ½' und 0'" (õ. 1.); aas erse Glied reehts der ersten Glei- ehung entsteht arts der ersten Formel (9) wenn man darin die u dutch die A erseizt, and ist also zta; das erste Glied rech in der lenten Gleiehung (12) entsteht ebens% indem man in der letzten Olei- chung (9) die us dureh die /5 ersetzt, und ist also gleieh zt"'f. Dem- nach gehen die Gleichnngen (9) in folgende iiber: Man bemerk abe% dass die Ausdriieke ibereinsfimmen mi den dureh 12 dividirken zweiten Differentialquo- tien'en yon G (z/f) ha& z/-un'd.f, welehe wit dem Vorigen' ent- spreehenri dutch bezeichnen. Und man kann also aueh sehreibeh: 62 Ueher ernre Formen driten rsdes. 03) Da nun nach (5) so fludeE man sofor auch: 04) Fgeu wit e eden Gleichgen nzu: (15) ni = 0 ,   O, so kSen wit zachs e Aus&acke F   aus (10) leich ablei- n. Denn dem r jene Gleichgen mi mu!pliciren nnd jedesmM addiren, ereb sich mir Bennzung yon G Ay     ( Ga    , oder wenn wit noch  A f oder mir adren: 06 )  Z/; , -- f Um  zu fiaden mass maa zunaehs die Deeinanenform betaebOn, wdche e ec AufiSsg der Gleichgen (10) ebt. Der Nener ist die Derme welche aus den Productea der einzdnen Derminnen der voll- s'&ge= Systeme besh, mfipci mi 6, d daher gleich i. Der ler yon  is die .Der we a Q heorgeh we  e  dur die Unrde- nann d x d y em. Die Acke L d M (6) veande sich erdch * Ueber ern2re Forman driven Grades. 63 3a, b (abt) (ax by  b as) ---- 6a d in -- 3   ( f) (    %) =- 6 & ( f) = --  y, so dass man ffir diesen Zer den Ausdck erhl: d also 1 h man neben  ,  an& die neuen Linieneoordinaten % w,r ein mitels der idenisehen Gleiehg so ergieb sich dch Vergleichg der ecienten der  ,  oder der yt Ys Ya a belden Seiten das Fomelsytem: (18) .w=u +% 09) ,, =  (a [ + a, ,) + ½- v ) ( - f.,) Geometrisehe Bedeutung der Transformation. Wir wetden im Folgenden zeigen dass es flit Mle in der TheroSe der cubisehen Formen aufretenden Bi]dungen genii die khmcion F =  ½) f (y) --  (y') f ()*) in der transformirben Gestalt zu kennen. Bei diese 'lh-ansformaion gelten die y a}s die eigetlichen Variabeln. Betrachen wit die x einen beliebig gegebenen Punc so ist /' 0 die Gleichung aleriehl- ten Cktrve des Biischels :{ f(ya) --5 t z/(ya) --- 0, welche durch den Punct x hindurchgeht. Die Formeln lehren dass die eine Ecke des neuen Coordinafn- dreiecks (v--0) in den Punk x se}bst fallS. Die Seite  des Coordiaaten- dreiecks ist nach (16) die Tmgene der Curve /7'= 0 'ma Punk4e x; dieselbe s6hneide die Curve ' 0 nochmal% rind zwar in einer wei- tern Ecke w--0 des Cordinatendreiecks. Dass der Prink4 v  0 dies? Bedeuung ]igt/ sieh man aus einem bekaamten, auch yon Aronhold benuzten Satze nach welchera die Tangen eines Punc- hes x einer Curve drifter Ordnung dieselbe noch in einem Punkte schneide durch welchen auch die'zweite Polare yon x far die Hes- *) Im Folgenden bedeute f (xyz) den Auadruek Z2J2 am xiy k z], n. s. w. 64 Ueber trae FUrmen dien Grades. ses che Curve bindurehgeht. 1st F  (z) f (f --  (ys) f(xs)  0 de.Cve   re Hessesche Cve und die Tangen in z sowie die zweie Polare ffir die Hessesche Crve gehen dch den Schni der Geraen welches der mk w  0 isk Der Saz de seinen alyischen Ans&ek in aer yon He Salmon agestellien Identitit: . f -- .f reh den Pk  geh noeh eine zweite ie des eieeks nmeh  0. Und zwar is   0. offenbae (vgl. 17) die Polare des Ptes  oder w  0 in Bezug auf die Polite vo  far  welehe  Pue w e lezre rve berk s bleib bfig e Lge der dten Sei des Coordinaendreiecks  =0 geomeiseh zu deuen. Die Oerade is die Tangene der Gue 0  Pee w 0. Um es nzusehen muss man eine Tinsformation des Xtda yon  vorneen auf welehe die mo'sehe omel leieh . Derenfiir man nmlieh die Glei- ehung (20) zweal na   mulipliei den erhlenen Ausdek mi   und smmr neh i nd k so erhlfi Der us&uek nks gieb gleieh Nt gesez die Tgene der Cve = 0 im Pnnk ; es is[ zu zeigen dass der usdek reeh amf  ffi, gungc4 sieh m, d die Ger .wegen des Ausclrueks yon 2V verschwinden. nnd .4 (xn ) zu bitden Ausdriieke, welche braueht; wetden. Nun ism; oftenbar o oder worm man !ie/ zerstSr: Man hat also noeh f(xn ) auch weiterhin noch ge- Ueber ternre Formen driPten Grades. 65 36. o oo--f = -- 6 ds + 18/'y' -- Ganz ebenso oder auch indem man diese Gleichung dem Prccesse  unerwirft, Kndet man  (x2) = 6 (. --  ), und also ,4 (x3) f (yn) -- f (x) ,4 (yn)  -- 6 [a, ,4 (x-y) + af (xy)] -- 6  (f ,4 (x-y) -- ,4 f (xy) - -- 6 . Dies ist die zu beweiscde Fornel, welche zugleich eine eleganie Darstellung yon  giebt Der in diesera oordinatensysiem gegebene analyisehe Apparat ha eine gewisse Verwandtschaft mir demjenigen mittels dessert Herr Aronhold die Gleiehung der Curve f: 0 in die Form = 6 (2 T+ 3 S--Z ) ibergeœiihr hat (Monatsberichte der Berliner Academi% Sitzung vom 25. April 1861). Abet die Transformation des Iferrn Aronhold fich linear sondern quadratisch; wenn man in den Formeln des Herrn Aronhold iiberMl unser ' œfir f einf'dhr so class der you ibm auf der Curve f= 0 gcwhlte Punl a in unsern Punki x iiber- gehi, so entstehen zwisc. hen sethen so modificirea Vaxiabeln , /, und unsern ,,  sehr einikche Relationen. Es driicken sich unsere    als Functionen zweien Grades yon / au% welche nur Ftmc- riohen yon ,4 f, , 'zu Coefiicienien habeh (vgL Brioschi C. R., 1863, 1 H. p. 662). Entwieklung der typis.chen Form. Unter der typischen Form der Funetlon  = ,4 (x) f (y) -- f ()  ) vemhen wit ihre Datellang dch e , , , wobei die $cien- en nciionen yon  f   wetden; d zwar wetden sie m- bMn so ss d d f nut  den Verbdgen auftren. Um e typisehe Fore  bilaen, bedienen r uns aet  der &r Salmon'schen G!eiehg (), d bn er nut die er Adradke zu bilden: Mthcmtchc len I. Ueber rnare 1%rmen dritten Grades. f (xy), ,4 (xy), ? ½y2), ,4 (xy2), wlche niche nehr yore driten sondern nut noch yore ersen und zweien Grade in den y sind. Aus den 'ormeln (10) haE man nun soœor: G. f (xy) -- .f -+- ,tf (xn) --{--  f (x2q) a.,4(x,y) = .,4 + v,4 (x2n) + ,4 ½2q). (21) a 2. f (xy 2) = .f+  ,f(x2n) + + 2. ,4 (x,:) = .,4 + s   ,4 (x -ø n + 2f(x2q) + - f(x. 2) 9vf(xn) +  f(xq* 2   ,4 (x"q) + v,4 (xn2) Man flndeE nun wle sich zeigen wird dass die enkspreehend aus fund ,4 gebildeen CoeffieienEen sieh iramet in folgender Weise aus- BildeE man abet auf der rechten Seie der Salmon'schen For- reel e Determinan der Ausdracke (1) so zerFglli dieselbe in zwei Facren deren eer is nnd indem m diesen Factor dch Divisio orshff bleibt: oder aueh de½ man e zwei Verhereihe i Hfilfe der ersen reduci:  handelf sich Mso ne  e B-mung der effieien- ten a d . Unr en ist aehst wegen der Oleichgen  () =, 6 (o -- ,), f (x. ) = -- 6 (o, + ¾), Ueber ernre Formen dri½;teu Grades. 67 welche in õ. 3. mid 4. gebilde sind: (24) a : 0 62: p 6 :-- 6 gm 6 .l  6a2  aa zn bestimmen muss man einige andere Be- raehgen vorausschieken. Bestinunung des vorletzten Coefficienten in F. Zur Besfimmung yon 4 (xnq) und f(xnq) fiht4 die Berechnnng der vier Ausdracke  (xnl), f(xn),  (xm) f(xnm), aus denen jene sich nach (5) zusmensetzen mi H'fe der Forme: (25) f xnq) : . f (xl) -- f f (xnm). Yon den vier in Rede sehenden Adracken besfimm man zu- n5chs f(xl)dadch dass man in der zweien Gleichg (6) die GrSssen ,t; dutch die symbolischen Aus&acke c (cf)c; ersetz wel- ches die Coefficieaen der l in f (xl) sd. Hierdurch geht L in f(xn) fiber; der Ausuck   (ff) verschwde, und verwandel si& in Veauscht man hie c  a d b so kann man far diesen Ausdruek den dritten Theft der Sme aller drei Darsellungen sezen also Der eingeklammerte Ansdruck abet is naeh der meaehbenuz- ten IdenfiSt gleich (abe) (f) also gleich Null. Una somi man e Formel: Indem man dieselbe dem ocesse d ter wobei ist de man zunaehs . und we man diese Formel nochmals mi demseln Processe beh- del wobei $mi  3S. li zu sezen z (xs) = o. Die Aasdra&e  (xnk und f(xm) selbs endli, welche nach () gleich und entgegengese sind erhilt m dutch Berachng des Ausdcks (vgl; . 1.) Uebe ternate Fomen drilien Grades. Setaen wir derKiirze ,wegen diesen Ausdruck - + ' + 2B + s'. We mn in A die Buchstaben a veach und fi A sodann e halbe Smme des obigen und des neuen Ausdmc setz so de m  =  ?()()- ½)}, er  Anendung der Ideni a den lezen Facet:  =  () {) -- ()}. esem Ausdmeke ka man e Form geben: (30) a = -- k a,(a) (½D.½ + kf.(a)a,. Mit Halle yon (6) sih m, ds der ers Theil die Form nimm: Der Faer yon die Eigens&a sieh iehb zu ndern we man e Indices x,y per- mui d is daher   { Y = " (y). Daher ha man endlich: Der Tern '  (29)enhg aus A indem man e ab mi den a vecht; dabei veauschg sich f mi d ,es g also ,  1 , ' 1 In dem Auscke B veachen  die Buchsn a fi d fren die hal Snmme des urspr'glighin und des neuen Auscks e. Dn is oder i Anwendg der Idenfi: r  der em Theil dem en eHe von A in (30) gleich d geh[ dch Veh yon a  b in dsdben fiber. eser Tern hal  den Weh  [(xym) --  f (xy) wrendde ei eil yon Ueber ernare Formen driea Grades. 69 « ,4"./(xy) tibergehL Es'is daher .B - - f (xym)   f (xy). Denk mn sich wieder e ab mi den a fibertl verchk so erhal m: 6 Und indem man AHes zuseass und zugleich die Were de ', " einra rd: " - (xyl) Z  y f(xym) --   Tf.f(xy). Endlich dem maa ch . 1. " dch p usc, heb sic noch de mi T mutirc Te  md es bleib:  (xy) --   (xy). A eser Formel ergiebt sich, we mu die yi dch e GrSs- sen  se d e  . 1. gegebene Dfi-ion yon  bech: ufid ma h so mi system: f (x)    (xm)  0. Hierus st a nch (95: d also (32) a -  ,   0. Die Formeln (31) r no zu eigen andern bemerkenswer- en Resnlan. Die Dermlnte z. B. enh aus der Derminane ß e m ersez. Es k aber we m  L (6) ' die  die Uner- detenann der y und x se: Erset m ako die y dch e (33) . Die Deerminane der drei linearen Zwischenformen x l m is also gleich der Funcioaaldeermiaane yon dividir dutch 9.  70 Ueber tern:e Formen dritten Grades. Bestimmung des letzten Coefficienen yon F. Wit bilden jetS, um zu den Aus&eken fiir f(xqO.), z/(xq) zu gelangen, die sec GrSssen f(xl) f(xlm) f (xm), (xP) (xlm),  (xm). Diese erhn wir reit Hfilfe einiger se einfachen sym- bolischen Recgen. Nach (6) ism: (34) f(xB): a:a?: 3abc (bc) (bca) a -- '. f (x. Veaehen  im ersten GHede reeh die Buehstaben ac oder ab ud sehreiben a des Ans&ueks selbs e Summe der erhalte- nen divi deh 3, so fi an Selle yon 3 (bc)at die Combina- on d es is ako h (13): (35) = --  -- 'G. +  Um f(xm ) zu erhalken, brauehg man nut in (34) teehis t dutch m zu ersetzen und finde d ' Veusehg man in (34) die grieehsehen mi den lainis&en Bueh- sben so veandel sieh 1 in --m ' in " [   und man &!so: (36*)  -- z"f, + z".z (x.) r  gege i 3 (xm ) e  dureh g so de man (37) 3 (xm2) dem.oe 3 wo de neben den bekn eonen f(xl,  (xmO-.e gesuchn enhen; d zw finale[ m: e e Formen gentian sieh bemieheh we m usser dm breaquoen Ueber ternre Formen driten Grades. 71 sAf S .  ,s.f etc. einftihrk Es ist :hch wie man leich sieht: und m ha & folgndes Formelsyem: (m )  G,3fS:22S () G  S,. Hiera erhlt man ech nach (5): + 4 [z (x*) -- fz (x*M)] + 4Oz, oder f (xq (39) Daher: (4o) Typische Form yon Y und von f nun in die Gleichung (23), so erhkl man folgende typische Darstel- lung f'tir die Function /' (4t) .F = 3,; -- .$}2 e oben enwicketn Fomeh 'en noeh  dem bemerkens- ween suln. Se m in (30) y = li oder yi  mi  d wen- der e Gldehgen (38)  so erhalt ran: (42)  Mnlpliei m n e belden Fon yon eder, so de m: Ueber rniire Formen driten Grades. d es kt & a dch % , f ausge&fic  Halle der Formeh () a  =  ( -- 3  S +  r),  WO . e zwei Inwfie der cfion  bedeu. Mn eh daher dss ß e Coecienn d0r ischen Fo yon F rationale Fcfionen you /, A, p a yon aer ationalen mbaon sd (vgl. Bfiosc, C. R. 1863, 1 te H. p. 305). Aus dem Obigen ereb sieh n ldeh au e kehe Form yon A h aer a,, a aer Gleichg A. f 0 ) -- L ergieb sich sofo d m ha Mso deh AufiSsg we Ag gebildet ism: (45) ., a.  0 a) = . eo, aem  zehs die Dee o - e ; %  bde d Me  6 d  dem Quad der Dei- n der , W  h den y mpHc.  Der We der lez n i h . 3. gleich . Und mnh is ausgerecet: () -- 2 a --  ( -- Die  Glchng () efe  etbe pfea si olgde Bechg soo Bfid w  e za f(y) gehSe ebrihe-Form, So kauu  d ghehen, d  e chs  e dch 6  h i der en Glei () ia  a e VaM f, ?  de d da. na Ueber ernre Formen dritenOrdes. 73 mulfiplieiren. Is ee solch Fo yon y y Ys , , u3 abh'- gig, so enl e gegebene Bdg wegen der hebert , ,  e GrSssen .,  Q welche yon aen nenen Lien- coorSarCh v, w, r n um den Faer G veeMeden s& Als Cf- fielenin der Bdg echeen hebert , wdehes e  Neer anneten k; e Fcfionen f, A, , , wdehe  den Aacken (45) aueen. Ln  je e y  e x abergehen ,deren Won seen    , V: O   0. M erh'M a ale gesu& Fo, gebilde f'  % %  x, xs d  ak raole Fcon yon f,  ,  , , Q, wobd ak Neer aHe e'caon aufken k. Una m k daher folgenden Saz ausspreehen: Jedegu f gehSrige algebraische Form kannmi einer solehen Poenz yon G ultiplieir werden dass sie eine ganze Function der 7 Grundform'en D Obige le abet eh n die Richgkei aes Saes erken- hen, sonde zd auch wie die agli&e DsHg aen ism. M ha abet auf diese Weke aHe Formen auf e M;nm yon Gndformen zaer. Zschen en sMbs sh n eine la6on, die Gleichg (43). Diese ist noweng aonM ve gewissesen e  f(x)O enalne Iga6onaH wel&e auch wie oben e'&n  der Tha dch ee hShere Substation  ersre aberge weraen kann. Zugleieh li  dem Obigen die LSsg der Agabe aHe zwi- schen Formen des Sysms beshden Reonen zu den. Diese erseheen .hier iramet  e Gldch ()  anf aen Ausdek einer Form dch e sicben Groen zckgef. ß .9. Reeursionsformeln zur Bilaug artdeter tyiscen Dars!luem S e BHagen yon aer piscken Fore f(y) auend voeen k  abgdei Formen dee keh &sen d  a en neue  mbonen bna. We  vor ß e abgelein Forme d re &f mbonen nna  berei s ebn aer q Gen ann wen so k m  den phen Dllgen deln geu so o- ten, e  der ken Dg yon f selbsk 'neuen Comb6onen iramet Ms eonen der 7 Gomem e lehe kehe DHg ableZr Foden erh  eem W wet aen aes . Hesse (Crel- 74 'Ueber fiern-"kre Formen driten Grades. les Journal Bd. 36. p. 143.) analog ist. Setzen wit symbolis& f' die zu beh:achtende Form aen Ausdruck: rail; H'tilfe der Formeln (10) erhal man dana die bransformir%e Func- tion: (47) +  (z,  + z.q._, + z3) } ' = {.x + .z,, + ;.M ' Die Function D) ist; eine homogene Funel;ion t, Ordnung ;ron */ und 6, defini durch die symbolische Gleichnng: Ist nun ausser Z selbst auch Dz) bekannt so kann man mir H'dlfe yon Recu_rsionsformeln die folgenden D' aus ihnen entwickeln. Es fo!gt n'anlich aus (48): ]s komml; also vie man sieht darauf an 'die vier linearen Zwi- sehenformen oo) aureh u,, 2q', Q auszueken. Denn hat m es geth, so sind ß f e lea Gheder von (49) a Coefcienn &r Enicklung (47) e, d m ha dann in (49) eine Reemionsformel  Bemmg yon D  (Z) a 'eren edenn. Um die Am&e ()  bflden, ,on denen n der ers rec gehen k (gleieh 12 Q & 3) gehen  zu den agelSsn fomamfomeh des . 3. (16) (17) zek. Deren ' m diese 1 h aen , a mfiphc  den n, a ,erneSt Uebcr ternate Formen ariiten Grades. 75 endlich noch die y aus (10) dutch ihre We'rfie in 'den , % , so man die Formeln: --2`4{  f (xz q) --  f (xq) --  f (xq?) l ß Die linken Thefie sid abet oftenbar DifferenfiMquofieen der Enwickelung yon G ud G`4 neh   ] und zwax is indem man noch durch G dividir: (52)  --  ev, Da noch  n   6  so kn man die zwei Foel ersetzen c i dutch (53)  m  x ' Differenfiir man un die Idenfia nach x o mulfiplicir mi ni d sum so finder man: Q e ha& Eg der obigen Wehe: tzen r fner 76 Ueber ernre Fortach drit/n Grades. so hat man aus (18) (17) ahnlieh e die leiehung (51) folgende:   2 Ga [f(xq)   f(xq)  f(xqa)] 1 dem man diese Ausdrfieke wieder auf Differenialquoenen yon G2 und Gr zurackf, d zugleieh die Wet[he der Summen  qf  q Ji aus (14) enimmk, erhMg m:    1- -   I - G r 1 . G ' Trig4 man nun die Werthe der Fu,nctionen G ' und Gz/, ein, so ergieb sich: (55)  q a  +   = l e 8 _ 2  v ß (  -- 3 sz)   x i Ueber terntire Formen den Grades. 77 Ds nach (5), (42) so verwandelt si& die zweile Gleiehg dureh Anwendg der een in: (56) Wir differntien ha& x O mhplieiren mi qo summiren naeh i d ersetzen endlieh die y dureh ihre Were in Die Vergleiehug der Coffleien yon  liefe un y = 0 die der gffieienien 'yon  eb a = 2     6 ½. Es wird ao: (57) EndS& erhM man aus Vergldchg der [ffidenen yon Das dur& ese Formeln gegebene 8ehem% welehes wit er noeh- wird im Folgenden 5frets benuz werden. Fktr den gegenwartigen Zweck gieb die Einfahrung der Werthe (60) in (49) die Recursions- fbrmel: 78 Ueber ternate Formen drien Grades. (60 +.Boa+9(--Agq)-'+(l.q- + (s + 6 ) a(z). Die Formal gena, m den typisthen Ausaru& yon z(y -') herzn- stdlen, sobMa Z ab Fcion der 7 Grnndformen gegeben ist. Dn namlieh kommft die Bildg der versehiedenen D+r(%) a die Bildg der lien i yon (61) zurack; md diese wieder wird oftenbar leiste sobMd die Ausacke far : , , g, f, , , , u  N, Q beka.nn sind. Far e drei erslen d e zwei letzen GrSssen erhal man die betreffden A6s- drticke aus (59), (60). Sodann ber ist af (6) Endlich erh'alt man aus (43) Z f - 0 ql az--]. Ueber tern're Formen driteu Gratles, 79 õ. 10. .. Bildungen. I. Indem wit dazu tibergehen Fonnen durch die sieben Grund- formen auszad.r/ieken beginnen wit mir aer Zwisehenfom Setzen wir  diesera iusdcke an und sann o Die reche Seite yon (64), welche eine in'Bezug auf die y gebil- dete simulate Form yon in Bezug auf die y nunmehr in Bezug anf   V,  gebildet wetden, und ma ms da ata' G nach den y also mir fibegeht, so ann man der O]eichnng (6) jetz die Oesl geben: G  Of_ () = ,   . GA 8 . .F 0 Abet man brauch esen A&uck nm* fik y  xo also f   0   0,   G. Daher kn man bei der Deren6aion die Terme  Ga.  d G.. A  welche yon der dritn Orung in    sd yon vohere weglassen; nnO dem man  den deren Gliedern nach der Dibrenaon ese Wehe yon      eie ha man: Setzt mau so is Ueber ernre Formen dritten GraAes. '= -- a,u% -- 2 N - + 4 +24gn Q+4 N Q--12 ,Q  , 36 Oœ-zA --- OO  -- 2part  -]- d"K  , oder endlicb, wenn ma, die Were yon 9 d 6 eiM': WI m n e eionen O, H, K einzeM haben so fol dutch Vergleichung der fcienten: 36G .= .G +2H Gf+K f (67) 36 G. H  -- ['G :.K= o.G -- 2H .Gz? K .. 2. Die Formeln () diehen dazu, die Ausdrcke xix. zu been. Es st nich nach (62) also oder naeh (60) and (62) '  180 - 324 (--S,4) 12  q   . Indem m a dieselbe Weise t den abrigen guehten unc- onen ve& erhl m folgendes Schema: Ueber ern're Formen drien Gdes. 3. Die Deerminane % % 0 81 geh dnrch Multiplication mir dem QnaAra der Determinante (x. q) und mir Bennfung aer romeIn (6), (cS) ber in ein Ausuck welchera man leich die Form eb: SAf . K  -- 2 TAf . H   S. ' , (vgl. 65) so ds m e Gleich h: wodurch diese orm auf die ormen O H K zckgefhrt ism. 4. e Deterante yon  geh dnreh Mnltiplifion t 36 G a ebenso abet h 2 (a--Sr) 2   Man M also *) Diesd Gleichg vot den f' e geomee Theede der Fo  ch- en Die'Wendepunke ae Curve 6 auf den 12 8eitcn aer Wendepnnksareieeke vo e ae beai ab wed Prd- no& Raekkeh. 4 2 t $ Ueber ternate leomen clrltten Grdes. 8. In gteicher Weise lann man die Determinante yon  bilder. Mulfirlicirt man sie reit 36 G% so erhM man: Es ist leieh die Anzahl dieser Beispieie beliebig zu vermebren. Wit fahren nur noch die Ausdrticke an welche far     2  f annehmen Ausdrack% denen die Ausdrcke itir Sf d T aetbsi ldch zu eninehmen sind: 36 G. S,r_  4*u6 Nu--54( --S/) Qu 1SSSu . õ. 11. - Formensystem der conjugirten Form Pf. Zweite Art yon Grundtbrmen. Die im Vorigen auseinandergesetzten Methoden fiihren daz% atle Formen dutch die vier Covarianten f, /, ,  auszudrficke% und dutch die drei in Bezug anf die u linearen Zwisehenformen u, N Q. Wenn hiedurch far Covarianten und Zwjscenformen das Wtinschens- wetthe ge!eisfet ist so werden doth zugehSrige Formen ihren natur- gemassert Au'sdruck wiederum darch einfaehe zugehSrige Formen finden. Diese Berachng "hthr daz% hebert der soeben gntzwiekelen Typik eine zweite gleichberechigte und parMlele aufzustellen bei welcher die Grundformen aus vier zugehSrigen Formen bestehen rind aus drei Z_wischenfornIen welehe linear far die x sin& Man kniipft die in Rede shende Entwickhmg an das Theorem (29) des, tlerrn Aronhold, b welehem er die ans der conjugiren :Porto Pf entsfheadgn ormen (lurch die aus f etstehenden aus&'rackk Die Formeln diese Theorem% welehe Herr Aronhold ohne Beweis Ueber ernaxe Formen drifterr Grades, gegeben haf werden wir an einem anderen Ore-abl$iten. Indem man sie um die bereffenden Formeh ffir  O H 117 vermehr gelang man zu olgendem System: (69)  {  as()  + f) _ = 4s  S  ( z) G  ( z). . Indem man n e im Frherea enckelea Formetn auf die Fcfio 1 st  f anwendeb hat man wie aus dieset Tabelle hervorgeh,  Slle voa O H u.s. w. folgeade GrSsn zu zen: Es ereb ch hier'voa selbst; w uar G u.s. w. zu versahen isk. Diese ncfion enteh iudem mn die in fid2 S T durch S, Tp and , , resp. , f dch --2BSj und 2 s ee.  m 2 f RS/seen Aus&uck in eia: so  man  G bis a einen n Facet 16 R 4  d- jenigea. A, welcher arm Sz  wnn m dn 1  2 s set, er  i 84 Ueber fernare Formen drRfen Grades. Die Function S,,r is die negafiv genommene Hesse'sthe Deter- inanfe dieses Ausdrucks als Function yon d/nnd iøy. Naeh der Theerie der bindten Formen vieren Grades erhalt man dafiir: Vnd aus der Verbindang dieset nnd der vorigen Gleichung: (73) .,,: -- 5m 'øS. r(f, Die Function S (y, 2y) ist iibrigens dutch t theilbar. Man sieht dies ein inden man Sy nnd T einf'tihrt. Sez man (74) F-- (S3--4T')Sp12STS/S Ty-]-6SS/*Ty*-l-4 TS/T/-- 3STy ', so hat man [ s(_, f) = :m. r Aus den Poeln (70) ergieb sich (7c) a = -- 9c 2 s (m, 8, r/) = --   s , (õ. .) und die Relation (77) vedett sich in die fotgende: , (78)  = m { + 3  ß -  r} .. Unter den learen Zwisehenformen bleibt zc  nnvern- &, abgehen dayon, ds die VariabMn  d x ihre Roen ver- nsehen. Yerner woi ' ee Zwischedo bezeiee, welehe Combin t, linear  die x, fien rades in den  d 8 tea rad in den efficienn. Ans N2 ensteht e Form Die Fore den  und 16 und M reit Wilfe der Fomel (5): Um L2 d Me dallen k man sich der Gleichungen (9) be- ß enem $m mn 3jenigen  ien  welchen O und K mi fund d m n DivM  gegneten Ponn yon B die Oleiengen: Ueber ternre Formen driPten Grades. 85 Die OrSssen M und Le kann man hiernach in der Fore ausdracken: (82) Lr  -- 8  S L' M2TL 16R wobei die neuen Fomen L' M' die Beukung F' man diese Ausdrcke  (81) ein,  reducir[ sich diese Glei- chug auf: Da  d ½ ihrer Entehg hack Combinae2 sid so muss $(L'M'Pz) verschwinden I man has daher der far die z6sammengetzte Function [-- (86) L';_zj = G. (L'-- M') e Gleichunge2 (85) erlauben n indem man den Prozess a (9) anwendeg, d gze aus der Combination yon Si  enspfingende Rormensstem in folgender Weise darzllen: 1   øss L'+ u.  øs ' (s) + TYansfomaoormeh wdehe aenen aes . 4.. og ma. zeieh - net m r&, ,, %, us ale raaten eer  aen Aenb& f geSacha Geen dutch t  vz  v e Ueber ernre Formen drien Grades. Gerade% endlieh dutch ', , /' ' die nenen Liniencoordinafen so en- spreehen den Formeln (10) folgende: oder wenn m e oben enekeln Were Diese sformaofomeln sind anf e der eon (y): . f) - f. z () enpreehende ction r0 ) = - = = - anzuwenden. M ,erhal na (41): (89) = 3 ' '-- 18'' + 72  Sa . ''a -- 96 SH'  Die Formel sowie die 'ansfoaoforme () vereiaehen sieh, indem man an SteHe yon ' ' ' e ihnen pporonalen GrSen ert. An Slle yon (89)  dann die Foel una die TransfomafionsgleieMngen verwandeN si& in: Die minte der 6 6 milan e Dern der Um e Hesse' se Derman d Aune zu finden bHde man ao e Hesse'sehe Den der reehn 'i yon (91)  Bg a  ", ",  dureh F% d mul- - Um e yon Aronho!d deh  bezeiehn9te Form  ert  n n noeh mi 6 mulpeen. dereei geh .aer F0md (): Ueber ternSire Formen dritten Grades. 87 di œragliche Form hervor ndem man die u dutch lie v ersez und die Wehe: einf. Es wird dann: Und so hi man neben (91) die _ ,, ,, 36¾,V,, ,, -- -+ und /(v s) pisch dseHen. ei  die Grundlge r die sHg Her Foden dutch die 7 euen Grundformen: vollsgndig gegeben. Mn ha nut jee uszurckende Form ab ]ied des zu 2 gehSrigen Sysms drzustellen und knn sie dann sofor ebeo dutch die Gndfoen auscken, wle eses bezgch der  f direc bgeleieu Fomea obea usedergesez wurde. Aber diese Bildgen  dlesem Wege auszufren is 5g eehr gengeA e on gegebenen eragleichgen  um yon jede fr ie Funcon f d ihre Formen gegebenen Relaon enprechende f  d sein Formensysem zu ilden und u diesg Weise zu einer Gleichung zu gelngen we]che der uprnglichen gewissermassen' duMisfisch gegeabeeh. õ. 12. Die Xronhold'sche Darstellung eines Punktesder Cure dritter Ordnung. Die schon obea erwhne Darsellung der Coordinaen eines Punk- res der Curve f--0 welche llr. Atonhold (Berliner Monaberichte, Sitzung vo.m 25. April 1861) gegeben hat besteht .darin, dass die Coordinaten eines Punktes y auf f(y) -- 0 darch die Parameter , Z des Riischels (94) f(xy) - 0 $$ Ueber ernre Formen driven Grades. ausgedriick wetden, whrend zueich z auf der rve lle also f()  O. Wegen dieset G]eichung. k man  fr  .f) und    (f) er 3. () sezen. Die iden oblgen Gleichgen nn man daher ersetzen dutch e Gleichgen:  r() - () = o. Es is br d den Webhen   xl dieee   G    0    0 ensprechen: Indem man L sich aries  den Vfiln    usgek denk h n die beiden Gleichungen: F=O, ' Wenn mn us esen Gleichgen und der Gleichung 0  y oder 0 die      elimir so erht mn d ProdS[ der Gleichgen ]ler deenigen Punk y in welchen ein Smhl d B'chck (94) die Curve f 0 riff. Unr dizen is der Scheikel des B'chels (  0), wel- chef nach bekannn Saen  f 0 e. D Adruck N muss abet ein Fcr des muansresult sein. Nun sind yon den drei gegebenen Gleichgen zwei le namlich: o   - /  Folge eser beiden leichgen so kn m setzen:  = (- ) und indem m e Were   0 e, d noch bemer,  S, T  f  0  S und  firgehen, erhl man die Gleichg: 3 Uegeh[ man er den f die vorende Ueber ternate Formen drlten Grades  89 was man such in der Form schreiben kann: (95) .6 (--Z) Die ersten Glieder dieses Ausdrueks vereinfachen sieh noeh, wenn man far Q und  ihre Wet,he in Luna  seize. Mi Racksieh a e Gleiehg /: 0 eb e Gldchung (5): rerner nacn (33), (13) L M oder we man bier f d Mso such G verschwinden lassO: Indem man diese Were einfah geh die Gleichmg (95) ar in: Dieses i die Gleichung eines Punkes y  welthem e SaM des Bfischets (94) die Cue [  0 sceidet; e belden verschiedenen Sctpue de m dutch die belden Vorzeichen der Qurat- wzel. * Die Ceienen yon u, u.  a in dem voregenden A- drueke sd ao ale Coordinan d auf der Ce f= 0 vafiabhn Punkes y selbs d m ha daher, wenn 9 een wHarliehen Faer bezeichnet: Dieses ud e Foetn des n. Aronhold, ausgec durd e efcienn der yon uns' gern Foden N d L. Oiessen, d t5. S%pmber 17. Uebr ernra Formen drien 6rades. Stellung der Aufgabe. Begriff dr Combination. Motluln. /n einem demnchs zu publieirenden Aufsatze, dessen wesen- liehe Resulae in den Compes Rendus verSffenfiieh sind babe die bin'ren Formen untersuch und yon ihnen nehgewiesen, dass es zu jeder b/nren Form ein endliehes System yon Covaxianen giebt, welches ieh vollsffndiges System nenne ud welches die Eigensehaf besitz[ class jede Coraflange sieh ais gauze Function der Formen des Systems mi numerisehen Coeffieienen darstetlen 1.sst. /n hn- lieher Weise will ich bier die ternren Formen zu untersuehen und die damals angewsnden Me[hoden auf dieselben auszudehnen ver- suehen. Die Sehwierigkeit, welehe dieset Untersuehung hierbei unmi!- telbar en[gegentritt, ist die grSssere Mannichfalfigkeii yon Formen, welehe bei Trausformfion der gegebenen Form sieh nich ndern. Whrend die binren Formen nut Invarianten und Covarianten besi/en, haben die ternren Formen ausserdem noeh-zugehige und Zwisehen- formen, welche ausser den urspriinglichen Variabeh l ,% noch die Variabeln ul u., % enthalen, welehe den erstetch ½on/ragrediefi sind. Die gegebene Form, wel4he untersueh[ wetden soll, sei symbotiseh: _ a, __ b, __  .... Ihre Invarianen, Covarianten, zugehSrige Formen und Zwischen- formen will ieh k'urz die zu f gehSrigen Formen nennen. Von allen diesen Formen ha Herr Clebsch in CYelles Journal Bd. 59. p. 1 œgg. nhgewiesen dass sie lineare Funetionen mir nume- rischen Coeffieienten (Aggregate) yon Formen P sind welche sieh symboliseh als'Produce der Form darstellen lassen: '   ... () () (b½)... () () () .... - Hierbei bedeuten die Symbole (abu) u.ud (abe) die Deerminanten: b  ha. und Ueber fernare Formen drien Gr-&des. 91  Die Anzahl der Facren a, b, c:, . . . (unte denen auch meh fete. g]eich sein kSnnen) nenne ich den Grad der Form .P; die Anzaht dr Factoten (abe), (ac) ... ihre Classe; die Anzabl der verschiede- hen Smbole a, b, c, ... oder was tierselbe ist ihren Grad ha den Coefilcienken yon f ihre Oralhung, die Summe yon Grmt und Classe endlich 'hren Rang. Ich kann nun die Frage stellen in welcher Weise die Form deren Ordnung m sein mSg% aus einer Form (m--l) TM Ordnung atehen kann. Demgemss entferne ich die Factoren a und erseLze die symbo'lischen Factoten (ba), (eau), (da), ..., in denen sowohl der Buchstabe a als auch der ]]uchstabe  yorkorator, b c d ..., endlich ersee ich die symbolischen Factoten (bca), (bda), (cda) .... , in denen zwar der Buchsfabe a abet nicht der Buchstabe 'vorkommt d,re (V), (,6.), (.), .... Ich gelange dutch dieses Verfahren zu einem symbolischen Pro- duct .F, welches den Buchstaben a nicht mehr enhil also yon der (m--l) TM Ordmmg ist. In dieset Weise kann ich jedes symbolische Product mir Formen hiedeter Oralming in Beziehtmg seLzen. Umgekehr will ich mir 'jetzt die Frage vorlegen, wie man das symbolische Product .P bilden kann wenn die. Form . ----- ,  , ... (re.) (,) (,)... (a,) (v© (,) (,el). ,. gegeben ism. Man kann dieselbe auch folgendermassen schreiben: -- ? 2  ...  , _  ... % ß s, wobei r?, r? . . . die Factoten b, ,c  dx, 1, 1., ß :. die Factoten (bcu), (bdu), ... darsellen, das Zeichen S endlich bedenter das Pro~ duc (bcd) (bde (ode.) .... Es vers4eht sich nach dieser Bezeich- hung yon selbst dass mekrere der Factoten r, oder  unter einander iibereinsimmen kSnnen. Der Grad yon .Fist bier 2, die Classe der Rang p q- q, die Ordnung endlich m -- 1. Um nun 2 aus .F abzulein muss man in einigen (ea Factoren, b, c, #,..., oder was drosselbe ist, ), z), ... durch (ba) , (eau), (dan) , . .., resp. (r(i)au) erseLzen, lerner elaige, ehva : der'Facoren (bc), (bdu), . . . , reap. %, %, ... durch (bca), (b#a), ..., reap. a, ersetn und die so erttalnen Formen a -z-z multipliciren. Dieses ganze VerfaJaren will ich im Folgenden so ausdrfick&rt: Die Form 2o entskeh aus de Forn .F mit;;els; einer Combinat.ion welche die Modula  undi besi;zt;. Dutch die Moduln ist; eine Combination noeh keineswegs besimmt; es giebt vietmeJar eine Anzahl yon Combinakionen welehe dieselben Modula besifzen ohne deshath ;dbereinzuskimmen. Man elfit$ Ueber ernre Formen. dristan Grades. diese Combinaf/onen dadurch dass man j e Z der p Facfren  in (rCOa) und je  der q Faeoren  in % verwandel; die Anzahl aller dieset Combinationart ist: Z --- ! q Einige yon ihnen warden fibereinsimmen andore wieder versehie- den sein, ja naehdem die Faeoren r, und  unr einandr gleieh odor yon elnahalex rersehieden sind. Man sieht b dass alle symbolisehen Produe m t* Ordnung miOels Combinaionen aus don Forman (m 1) to Oralhung heorgehen; ebonso gehen diese wieder durck Combinaon atu Formen (m--2) tø Qrd- hung hergot' u.s. w., so dass man a.lle nur &nkbaren symboll- sehen Prodnote dutch wiederhole Combination ans der Form f erhal- ß Sen kann. Um sammliehe symbolischen Produee  Ordnung zu erhal- ten hilda man sich also vorers das System , /', ...... aller Formen (n  1) t* Oralhung. Hierauf selle man alle ttlodularsysteme af das heisst alle Wet,he- padre (s t) die jedoch stats so gewahl warden milssen, dass die Summe  q-l die Zahl n nieh iiberseig; jedem dieser Modulamy-, seme enksprieh eine Anzald Combinafionen. Wende man are dieseCombinationen auf die F0rmen / an, so erll man nach und nach alle symbolischen Prodnote . Die Anordnung der Modttlarsyseme , ;[ will ieh hierbei in der folgenden Weise festsetzen. Das ersf Modularsystem ist dasjenige, far welches die Summe  q-i verschwinde mithin anch sowold  wie i versehwinde. Dann kernmen die 8ysteme, fttr welce  q-  --- I ism; dann die- jenigen, Eu- welche diese Summa  q- ; die Werftte 2, 3, 4 .... besif. Die 8yseme far weldae x q- ; denselb en Werh ha, warden nae-h den Wefthen yon : so geordne class man dem Modul  der teihe naeh die Wetthe 0 !, 2 3, .... erheilt. ' Demgemass enf. hlt das zweie Modularsystem die Moduln --0 ;ttl ads dritee die Moduln 1; ;t:0; dasvierfe (0, ), alas Fan (1, !); ads see/se 0) a. s.w. D!e'..Systeme , walehe bei dieset Anor&t/mg fraher ?rselaeinen, nenne idhniedere MMla_systeme die sparer anateenden hShere Mod*!,?systeme; aesgleiehen nenneAeh die niederen Modularsystemen . nn Comb'mationen nieaee Combinationart. Enfreehen 2-:-Co_.aioia 2[ and B die. .a ant eine Form: Ueber ternate Formen dr/tten Grades. anwendet, demselbem ModOarsysem, d. It. haben sie dieselben Moduln  und  so nenne ieh sie dann-benac-hbart wenn die Factoten yon _/7, Qvelehe dutch sie verinder werden his auf einen fiberelnsmmen. Es kSnnen hierbei zwei Frdle einrefen, je aehdem die nieht fibereinsfimmenden Factoten die Form % oder u haben. Ieh bin jett im Stand% die symbolisehen Produete v yon der n t" Ordnung zu gruppiren, wobei ieh folgendermassen verfahre: Zuerst kommen die Formen, deren Rang 0 ist, namlieh die Inva- Manten, dann die Formen die den Rang 1 besitzen, dan die mir dem lang 2, 3 4, ... Die Formen 9% welehe denselben Rang besitzen, ordne ich wieder naeh den Madularsystemen, denen die 0ombinat5o- hen entsprechen dutch welehe die Fomen 9 aus den Formen entstehen. Die in die s e r Anordnung fr'dher auftretenden Formen > nenne ieh fr'dhere Formen die spiiter auftretenden sptere Fomen w]arend diejenigen Formen welehe denselben Ramg haben und ausserdem dureh Comb/nat5onen mi gleiehen Moduln entsehea, als gleiekzeifige ange- sehen wetden mSgen. Naehdem nun gezeig worden ist, wie man naeh und naeh alle symbolisehen Produee n t Ordnung erhalten kann lieg die Frage nahe eine Anzahl yon Formen m e Ordnung zu finden, dureh welche sieh alle diese Formen linear nit numerisehen Coeffleienten darstellen lassen. ' Ehe ieh jedoeh die eigentliehe Beantwor[ung dieset Frage be- ginne will ich vorerst einige Beziehungen zwisehen den Formen ½ ent- wiekeln aleten ieh dabei bedarf. Ableitung der Formen aus dem Processe der Uebereinander- schiebung. Es ist zuers der folgend Satz den ich beweisen ill: Entstehen die Formen rp und rf us der Form dutch zwei benaehbare Combinatioen 21 und / welche die Moduln  und besitzen, dannist die Differenz eine lineare Function yon friiheren Formen in aleten Coef- fielenten die Variabeln u und x nut noeh in der Verbindung u vorkommen. Beweis. Sind diejenigen symbolischen Factoten yon Y, welehe durch die Combinafionen A. and B nieh abereinstimmena ge'&nde 94: Uober rarre Formen drifen Grades. werden ) und rc), so hat die Differenz der Formen rp und rp, ausser den gemeinsamen Factoten dieset Formen noch jlen Factor: Sic is[ die Differenz zweier l?ormen ' und ,q", yon denen die lez- tere " den Faefisr , also een Rg hat der  2 Einhein klei- ner t Ms der ang yon  d a. Die ere .Form ' 6nh ans der Form Ft welche aus  dadarch heorgeh ds m das sbolihe  PrMne r? ? deh () a) ) ezt, dch dne Combinaon wdche die Moduln %1 bitz also eem niederen Modrsysm enpfieht. Die Fomen ' nnd " sind also k'ere Formen  x und  nnd es is4  em Mle der Satz eriesen. Im zwdn Fe mSgen dch e Combinationen A'd B die Facren  d  nicht abereinsmmend geinde werden. Die Fo   e enil bier ausser den gemesamen Fren yon  and e den Facet: Sic eh a der Form , welche a  dadurch h%orgeh da m alas Prodnc u5 u5 dch (s s2 x) ersetz; dutch eine Com- bination, deren Mn x  1 ,l + 1 sind, Mso einem niederen Modsysm entsphcht. So ist aueh in diesera FaHe der Satz erwiesen. Der eben bewiesene Satz ka  folgender A und Weise aus- gede[ wetden: Entstehen die Formen  und Ca aus der Form mittelst der Combinationen At und A2 welche dieselben Moduln besitzen, dannisdie Differenz ½ ½ einelineare Function yon fraheren Formen  derselben Oralhung, deren Coeffieienea L die Variabe!n u und x nut in der Verbin- dung u enhalt. en. Es wird:  -- ,   L p. Beweis. Da , d A a eln MMntn babe% so kann man s lche mbinaonen A A, As ... A ben, aass in der Rede je zwei aeder fdgende Combinaen M dem obigen Sinne benachbar d. Behne ieh n e aurch die Cmbinaonen am F en hden Fomen dutch: m is die e: Ueber iern-re Formen dritten Grades.. 95 Also eine Summe yon Formen, deren jede ein Aggregat yon heren Formen ist. Somit t die Behauplung erwiesen. -Wir wollen voa jelzl ab ee neue sbotisehe Ausdrueeise einhren, nrta die Form. , welche den Grad p una die Classe hat, sbolisch dureh  u bezeieMen so dass die Ident ndet: Erseze ich in der Form: der Faetoren 9 dutch (9a) und  der Facren  din'oh a und multiplicire dn mir a .... z so erhal i& eine neue Form: welche eine eare homogene Function der Coeffieienten yon  ist. Diesen Proeess 11 ieh in der Folge sd ausdeken: Die Form  entseh{ aus der Form dureh eine Ueber- einandersehiebung welehe dieModnln g nnd g besitz. Die Uereinandeehiebung teeheide sieh wesehrlich durch yon der Combination, das% wahrend ehem Modmysteme hble Com- binationen entspreehen die Uebereinandersehiebg dteh e Moduln genau bestimm i. Die Anorung der dutch Uebereinandemehe- bg ans den Formen  entstehenden Fomen m3ge in derselben Weise gesehehen wie die der dutch Combination enmdenen. Zuerst kommen die lnvadann und dram der ihe nh die Formen deren Rang die Were 1 2 3 ... n hak Die Fomen desselben gges wetden naeh den Modulaystemen geordnet, alehen die Ueberehandersiebgen enpree% denen sie am den ' hervorgehen sowie nh diesen ormen selbs so ds er keine gleiezeifigen Fomen aureten sondern jMe Fore ihren fesn Pla eimt. Man kn die dutch Uebereinandemehebg entehende ?orm leieht dur& Formen dsllen die deh Combination entstehen. Zu dem gnde setze ieh in der Idenig r x: x + g und far u: u + vv und verglei&e da auf iden Sein die Coeffieienn yon grseze ieh in der so enhden Gleiehg die 8ymle 0 and deh (Oau) nnd (rCau) d nso , nnd Ji dutch a und a,i, und muliplieire dn mi[ a--l so gdange ieh zu der auf deren re&n ite die 8uan ar abe Fomen ½ dehnen  wdehe deh e 96 Ueber ternate ormen dritten Grades. Combinaionen enehen e dem Modysm   enprechen. ß Beu  eine deser Formen so ken wit ser Glechg die  geben: Die Differenz   i is wie on bewiesen wurd% ee on L' yon fere Formen  mihin uch die rech Sei, es ism: wo e L &e Vabeln x und  nut in der Verbindung  die ticlenin yon f abet gat nicht enthalten.  Im Falle  e fr'es Fore m TM Ordng i verschwinden e Foden  d m hat: Der nmche Fa i e, we  eine Invarian isL Die Formel     L ' kann man leicht in die fol- gende transformiren: in welcher dib ' frhere dutch Uebereinanderschiebung enistandene Formen  bedeuen und die Co efficienten M wiede-r die Variabeln x und  nut in der Verbindung die Coefficienten yon f abet nich enthalen. Um es Stz hachween kann ieh da er fr die fhee d Foden  t, die nahme machen er sei ffir alle Fomen nachgeesen welche  der Anordnung der dch Combina6on en sfiandenen Foden vor  shen; dsss ae ese o in e Fo ge- brat werden kSnnen: Tg  die Wehe in e Fomel     L ' ein so er- hat die Gleichg: welg e -verl Fore Man si mit ds le Foden m  Ordng sich line chen Fomen mensezen lsen wele  deh Fomen dch Ureindemcebg enhen, dgss diese lezteren zlso ein olles System yon Formen m  Ordnung bilden. Dis Sm k j knwe   voe Sysm der Fmen  yon den  bfiden Fen ae ejegen w 't, wche 8 fxahere Fen  1 ween kSnnen.