Wichtig

• Durch jede Gerade g gehen genau 10 andere Geraden.
  Genauer: wir erhalten 5 Dreiecke,
• Interessant: Die Gerade g zusammen mit 5 Geraden, die g schneiden, und in allgemeiner Lage sind.
  Dies liefert eine Schläfli'sche Doppelsechs ...

Geraden im Raum

• Vier paarweise windschiefe Geraden liegen hyperbolisch wenn gilt: Jede Gerade, die drei dieser Geraden schneidet, schneidet auch die vierte.
  Die Geraden einer Geradenschar auf dem einschaligen Hyperboloid haben diese Eigenschaft.
  Die direkte Summe zweier isomorpher homogener Darstellungen.

  Drei paarweise windschiefe Geraden a,b,c liefern ein Hyperboloid H.
  Für jede weitere Gerade gilt einer der drei folgenden Fälle

  • sie liegt ganz auf H und schneidet keine der Geraden a,b,c.
  • sie liegt ganz auf H und schneidet jede der Geraden a,b,c.
  • sie schneidet H in zwei Punkten
  • sie berürt H, liegt aber nicht auf H.
  schneidet H in

Sätze

• Eine Doppelsechs hat das Punkt-Geraden-Schema (30₂,12₅),
  d.h. Es gibt genau 30 Punkte, durch jeden Punkt gehen genau 2 Geraden;
  Es gibt genau 12 Geraden und auf jeder Geradaen liegen genau 5 Punkte.
• Doppelsechstheorem: Man geht aus von 5 Geraden in allgemeiner Lage (2',3',4',5',6'), die eine vorgegebene Gerade (1) sschneiden, und erhält eine Doppelsechs.
  Labs p.39
  Beweis von Schlaefli mit Hilfe von kubischen Flächen, Frage: Gibt es einen direkten Beweis?
  Elementare Beweise, siehe Henderson p.14-15.

  
  

• Zu je zwei windschiefen Geraden auf einer glatten kubischen Fläche gibt es genau eine Doppelsechs mit diesen Geraden als die Geraden 1, 1'.
  Es gibt genau 216 Zweiermengen windschiefer Geraden (nämlich 27.16/2, dabei ist 16 = 27 -10 -1: jede Gerade schneidet 10 andere).
  Es gibt demnach 216/6 = 36 Doppelsechsen (Jede Doppelsechs erhält man auf 6 verschiedene Weisen).

• Es gibt genau 45 ebene Dreiermengen von Geraden (nämlich 27.5/3 = 9.5 = 45, zu jeder Geraden gibt es 5 Ebenen, in denen sie selbst und zwei weitere Geraden liegen; Jede Dreiermenge erhält man 3 mal).
  davon sind 10 Büschel, und 35 echte Dreiecke.

• Es gibt genau 135 Zweiermengen sich schneidender Geraden (nämlich 27.10/2).
  105 Schnittpunkte von genau 2 Geraden, und 10 Schnittpunkte von drei Geraden.

Pentaeder

• Labs, p.18; dort: Pentaederform einer kubischen Fläche.

Aufblasung der Ebene in 6 Punkten liefert eine kubische Fläche

• Labs, p.20
• Hartshorne, p.377
• Griffith-Harris: p.480-489

Punkte in der Ebene

• Je zwei verschiedene Punkte liefern eindeutig eine Gerade
• Je 5 Punkte in allgemeiner Lage liefern eindeutig einen Kegenschnitt.
• Durch 6 Punkte gibt es viele kubische Kurven!

Eckardt points

• Eckardt, F. E.. Ueber diejenigen Flächen dritten Grades, auf denen sich drei gerade Linien in einem Punkte schneiden. Math. Ann. 10 (1876), 227-272.
• Segre, B. The non-singular cubic surfaces, Oxford at the Clarendon Press. (Oxford 1942).

Pentaeder

• Sylvester: Zuordnung eines Pentaeders (dessen Ecken die Knotenpunkte der Hesse'schen Fläche sind). Dies liefert eine Gleichung als Summe von 5 Kuben (1851, ohne Beweis)
• Steiner: Eigenschaften des Pentaeders (1856, ohne Beweis)
• Clebsch: (1861)
• Gordan: (1872) http://www.springerlink.com/content/qg565014m0124p5k/

Sturm

• Sturm, Rudolf (1841-1919). Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung
  (Link)
• A.Sturm: Geschichte der Mathematik bis zum Ausgange des 18. Jahrhunderts
  ( Link)

Schoutte

• Schoutte (1910) showed that the 27 lines can be put into a one-to-one correspondence with the vertices of a particular polytope in six-dimensional space in such a manner that all incidence relations between
• P. H. Schoutte, On the relation between the vertices of a definite six dimensional polytope and the lines of a cubic surface, Proc. Roy. Acad. Amsterdam 13 (1910), 375–383.