Fullerene:
Konvexe Polyeder aus Fünfecken und Sechsecken.
Genauer:
- Man verwendet als Flächen konvexe ebene Polygone, und zwar
Fünfecke und Sechsecke.
- und man setzt voraus: in jeder Ecke stoßen drei Flächen zusammen.
Satz. Es gibt genau 12 Fünfecke,
Beweis:
| F
| Anzahl der Flächen
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Euler'sche Polyederformel:
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| K
| Anzahl der Kanten
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| E
| Anzahl der Ecken
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Es gebe f Fünfecke und s Sechsecke,
also
| F
| -K
| +E
| = 2
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| f+s
| -(5f+6s)/2
| +(5f+6s)/3
| = 2
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| Es ist
| s - 6s/2 + 6s/3 = 0.
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| Also:
| f -5f/2 + 5f/3 = 2,
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| Multiplikation mit 6:
| 6f - 15f + 10f = 12,
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| Also:
| f = 12
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