Fullerene: Konvexe Polyeder aus Fünfecken und Sechsecken.
Genauer:
Man verwendet als Flächen konvexe ebene Polygone, und zwar Fünfecke und Sechsecke.
und man setzt voraus: in jeder Ecke stoßen drei Flächen zusammen.
Satz.
Es gibt genau 12 Fünfecke,
Beweis:
F
Anzahl der Flächen
Euler'sche Polyederformel:
F-K+E=2.
K
Anzahl der Kanten
E
Anzahl der Ecken
Es gebe f Fünfecke und s Sechsecke, also
F
-K
+E
= 2
f+s
-(5f+6s)/2
+(5f+6s)/3
= 2
Es ist
s - 6s/2 + 6s/3 = 0.
Also:
f -5f/2 + 5f/3 = 2,
Multiplikation mit 6:
6f - 15f + 10f = 12,
Also:
f = 12