Was ist Algebra?
Zu allererst:
Das Rechnen mit Variablen ("Platzhaltern", "Unbestimmten", "Buchstaben").
Diese Variablen stehen für Zahlen, oder für
ganz andere Dinge, für die sich Mathematiker interessieren:
Funktionen, Operatoren, usw.
Was sind Algebren?
Rechensysteme: Vorgegeben sind eine Reihe von Variablen, und
zugehörige Rechenregeln,
- zum Beispiel Kommutativität: ab = ba,
- oder Regeln, wie man mit dem "Kommutator" ab-ba
zu rechen hat (z.B.: a(ab-ba) = (ab-ba)a )
Man spricht dann von "nicht-kommutativen" Algebren.
- oder Nilpotenz-Bedingungen, wie etwa a3 = 0, usw.
Studiert werden einerseits Folgerungen, die sich aus den
Vorgaben ableiten lassen,
vor allem aber die möglichen Realisierungen, die
"Darstellungen" ("representations", "Moduln") einer derartigen Algebra.