Auslander-Reiten-Theorie

Sei Λ eine endlich-dimensionale Algebra.
mod Λ ist die Kategorie der (endl.dim.) Darstellungen von Λ.

Man konstruiert den Auslander-Reiten-Köcher Γ(Λ),
dies ist ein "Köcher", also ein gerichteter Graph:

  • Die Ecken von Γ(Λ) sind die Isomorphie-Klassen
    der unzerlegbaren Darstellungen;
  • Pfeile stehen für irreduzible Abbildungen.
Ist umgekehrt ein Translationsköcher Γ wie zum Beispiel Γ(Λ) gegeben, so sei k[Γ] die zugehörige Maschenkategorie.

mod Λ Γ(Λ) k[Γ(Λ)]

Es zeigt sich: Die Maschenkategorie k[Γ(Λ)] ist
ein vereinfachtes Modell der Kategorie mod Λ.

Maurice Auslander
1926 - 1994
Idun Reiten
1942 -

Beispiel: Λ = k[X,Y]/(X2,Y2)